ANALISIS SISTEM LINEAR SINGULAR PADA RANGKAIAN RLC SEDERHANA

Transkripsi

1 Prosiding Seminar Nasional Aplikasi Sains & Teknologi (SNAST) Periode SSN: 979-9X Yogyakara, 3 November ANASS SSTEM NEA SNGUA PADA ANGKAAN SEDEHANA Kris Sryowai Jrsan Maemaika, Faklas Sains Terapan, ST AKPND Yogyakara krisnaroz@gmail.om NTSA Sisem linear singlar aa diseb jga sisem deskripor merpakan sa sisem yang lebih mm dan banyak aplikasinya pada sisem dinamik, sisem pada rangkaian dan sebagainya. Sa onoh model sisem pada rangkaian sederhana dapa dibawa ke benk sisem linear singlar. Dalam hal ini dibahas pembenkan model sisem linear singlar pada rangakian, benk dekomposisi sandar sysem linear yang erdiri dari da sbsisem yai sbsisem perama dan ssbsisem keda dan benk solsi sisemnya, jga karakerisasi sisem yang melipi keerkendalian, keerobservasian dan sabilias sysem. Kaa kni: Sisem linear singlar, benk dekomposisi sandar, rangkaian PENDAHUUAN Sisem linear singlar aa sering diseb sisem deskripor mempnyai benk sisem sebagai berik Ex Ax B () y x dengan x n, m dan y r berr-r merpakan vekor keadaan, vekor maskan (kendali) dan vekor kelaran. Sedangkan E, A nxn, B nxm dan rxn adalah mariks mariks konsan dengan elemen-elemen aas lapangan, dengan rank E q < n. Pada sisem linear singlar diasmsikan bahwa mariks penil se-a reglar, dalam hal ini nk manjamin keberadaan dan kenggalan solsi sisem. ( Dai, 988) jga pada Dai, 988 dibahas karakerisasi sisem linear singlar yang melipi keerkendalian, keerobservasian dan sabilias sisem. Dikaakan bahwa sisem linear singlar () merpakan benk sisem yang paling mm karena jika mariks E nonsinglar maka sisemnya menjadi sisem normal, yang elah dibiarakan oleh Olsder (994), eapi dalam hal ini dibahas mariks E yang singlar. Pada Olsder (994) elah dibahas analisis sisem normal yang melipi benk solsi dan sifa sifa dianaranya keerkendalian, keerobservasian dan keadaan mpan balik. x Pada sisem () jika memenhi sifa reglar maka melali ransformasi x P x n dengan P mariks nonsinglar berkran nxn, x n, x dan n +n n, maka sisem () dapa dibenk ke dalam benk dekomposisi sandar sisem yang erdiri dari da sbsisem yai sbsisem perama berpa sisem normal dan sbsisem keda yang berpa sbsisem singlar khss, dalam hal ini sdah dibahas oleh Sryowai,. Unk karakerisasi sisem () yang melipi keerkendalian, keerobservasian, sabilias sisem dan daliasnya, pada obb (984). Salah sa kass dalam hal ini penlis mengambil onoh aplikasi dari sisem linear singlar pada rangkaian sederhana seperi erliha pada gambar. + e - Gambar. angkaian sederhana B-438

2 Prosiding Seminar Nasional Aplikasi Sains & Teknologi (SNAST) Periode SSN: 979-9X Yogyakara, 3 November Dengan adalah resisor dalam Ohm, indksansi diri dalam Henry, apasior dalam Farad, ars yang mengalir dalam Ampere dan e egangan smber dalam Vol. Sedangkan egangan pada resisor,, egangan pada apasior, dan egangan pada indksansi. Proses pembenkan model dengan menggnakan hkm Kirhof, Hkm Ohm dan hkm-hkm Fisika yang berlak. Pada rangkai di aas dapa dibenk ke dalam model sisem linear singlar berdasarkan Hkm-hkm fisika, dengan demikian yang menjadi permasalahan yai bagaimana pembenkan model pada rangkaian, benk solsinya dan jga karakerisasi sisemnya yang melipi keerkendalian, keerobservasian dan sabilias. METODE Sisem linear singlar pada persamaan (), dan dengan mengasmsikan bahwan mariks penil (se A) reglar nk menjamin keberadaan dan kenggalan solsi sisem. Berik ini diberikan beberapa konsep yang akan dignakan sebagai aan dalam pembahasan selanjnya. Definisi. ( Ganmaher, 96) Diberikan mariks A, E nxn, mariks penil (se A) diseb reglar jika erdapa skalar α yang memenhi αe A emma. Mariks penil se A reglar jika dan hanya jika erdapa mariks nonsinglar P Q berkran nxn aas lapangan, yang memenhi QEPdiag n, N dan QAPdiag A, n dengan n n +n n, A x n n, N xn nilpoen berindeks h Pada sisem () diasmsikan bahwa sisem reglar yang berari mariks penil (se A) reglar, x sehingga dengan emma. dan ransformasi x P sisem dapa dibawa ke benk sandar x dekomposisi berik: x A x + B ; y x... (.a) Nx n x + B ; y x... (.b) n dengan x n, x, y, y r n, B xm n, B xm rxn rxn,,, n + n n dan N nilpoen berindeks h. Dengan sisem (.a) sebagai sbsisem perama dan sisem (.b) sebagai sbsisem keda. Selanjnya benk mm solsi dan kelaran sisem () diberikan sebagai berik : A xp { e x() + e A (s) h h B (s) ds (i) i i (i) }+P {- N x() N B } i i A y { x () + B (s) ds (i) i i (i) } + {- N x () N B } e e A (s) h i Definisi 3. Sisem () diseb erkendali jika nk seiap >, x (), w n erdapa maskan x kendali m yang memenhi x( ) w. x n Diberikan mariks-mariks s [B, A B, A B,, A B ] dan f [B, NB, N B,, N h- B ] yang didefinisikan sebagai mariks keerkendalian pada sbsisem perama dan sbsisem keda. Teorema berik memberikan sifa-sifa keerkendalian sisem () Teorema 4. ) Sbsisem perama dikaakan erkendali jika dan hanya jika rank[se-a,b]n, s, s hingga. ). Sbsisem keda erkendali jika dan hanya jika ank[ N, B ] n jika dan hanya jika ank[ E, B ] n. 3). Sisem () erkendali jika dan hanya jika keda sbsisemnya erkendali B-439 h i

3 Prosiding Seminar Nasional Aplikasi Sains & Teknologi (SNAST) Periode SSN: 979-9X Yogyakara, 3 November Definisi 5. Sisem () erobservasi jika kondisi awal x() n dapa dienkan seara nggal oleh m, y r,. Selanjnya diberikan mariks W s A dan W f N, didefinisikan sebagai n h A N mariks keerobservasian sbsisem perama dan sbsisem keda Teorema 6. ). Jika, maka y, jika dan hanya jika x() KerW s KerW f. ). se A Sbsisem perama erobservasi jika dan hanya jika rank n, nk seiap s, s hingga. 3).Sbsisem keda erobservasi jika dan hanya jika rank N N n dan hanya jika ank h N E n jika dan hanya jika ank n. 4). Sisem () erobservasi jika dan hanya jika sbsisem perama dan keda erobservasi Berik diberikan definisi bahwa sisem () sabil, adapn sabil yang dimaksd disini adalah sabil aas pemikiran yapnov yai sabil asimoik. Definisi 7. Diberikan nk > dan x() x n. Sisem (E,A,B,) diseb sabil jika : ). Unk seiap > erdapa > sehingga jika x() < maka x(; x ) ε nk seiap >. ). limx(; x ) nk seiap x n Karakerisasi bahwa sisem () sabil diampilkan pada lemma dan eorema berik. emma 8. Sisem () sabil jika dan hanya jika sbsisem perama sabil Teorema 9. Sisem () dikaakan sabil jika dan hanya jika ( E,A), dengan {s es }, adalah seengah bidang komplek kiri erbka. PEMBAHASAN Pembenkan model sisem linear singlar pada rangkaian di aas dengan raian sebagai berik. Pada rangkaian erseb dierapkan hkm Kirhof, sehingga diperoleh : oop : + e + - e oop : + - Dengan hkm-hkm dalam Fisika berlak: d d ; d d Sehingga dari ke empa persamaan erseb diperoleh hbngan sebagai berik: ; ; e Kemdian dibawa ke benk sisem linear, yang dapa diliskan B-44

4 Prosiding Seminar Nasional Aplikasi Sains & Teknologi (SNAST) Periode SSN: 979-9X Yogyakara, 3 November B-44 + e dan sebagai kelaran sisem yai egangan pada kapasior, sehingga diperoleh y ) ( Misalkan vekor keadaan x, vekor maskan e dan vekor kelaran y, sehingga sisemnya dapa dinyaakan sebagai berik x x +... (3) y x Terliha bahwa sisem (3) merpakan benk sisem linear singlar karena mariks E merpakan mariks singlar. Dengan kaa lain sisem (3) berbenk x y B Ax Ex Dengan demikian mariks mariks konsan berpa E, A, B dan dengan,,, >. Selanjnya pada sisem (3) akan diperiksa apakah sisem erseb reglar yai berdasarkan sifa reglar sa sisem jika memenhi de(se-a), nk sa skalar s.

5 Prosiding Seminar Nasional Aplikasi Sains & Teknologi (SNAST) Periode SSN: 979-9X Yogyakara, 3 November B-44 de(se-a) de s s s ) ( s s s s s ) ) ( (.( ) ) ( ( ( s s s s 3 s s s nk sa skalar s. Dengan demikian erliha bahwa sisem () reglar. Kemdian menggnakan ransformasi x P x x dengan mariks nonsinglar P berkran 4x4 yang diperoleh dari perkalian mariksmariks elemener pada operasi baris elemener mariks E dan diambil mariks nonsinglar Q yang diperoleh dari perkalian mariks-mariks elemener pada operasi baris elemener mariks E, nk menghing QEP, QAP, QB dan P sebagai berik, QEP QAP

6 Prosiding Seminar Nasional Aplikasi Sains & Teknologi (SNAST) Periode SSN: 979-9X Yogyakara, 3 November B-443 QB P Dengan demikian diperoleh benk dekomposisi sandar pada sisem (3) sebagai berik Sbsisem perama: x x + y x dengan x Sbsisem keda : : ) ( x x + x y x y dengan x [ ] Benk solsi dan kelaran pada sisem (3). Menginga sifa pada sisem persamaan linear singlar jika sisemnya reglar maka sisem mempnyai solsi dan solsinya nggal. Adapn langkah-langkah dalam menenkan solsi adalah sebagai berik perama pembenkan dekomposisi Pada sisem (3) pada pembahasan diaas diperoleh benk dekomposisi sandar sisem yang erdiri dari sbsisem perama dan sbsisem keda sebagai berik: Sbsisem perama: x x + y x dengan x Sbsisem keda : ) ( x x + y x dengan x [ ]

7 Prosiding Seminar Nasional Aplikasi Sains & Teknologi (SNAST) Periode SSN: 979-9X Yogyakara, 3 November Keda menenkan solsi pada sbsisem perama, dengan syara awal x () x, sehingga solsi dan kelaran sisemnya adalah x A A (s) e x e B (s)d y { A x e A (s) e B(s)d } selanjnya diperoleh, sebagai berik x P 3 { A (s) e A x e B(s)d } + P y { A x e A (s) e B(s)d } dengan P, A, B, e, () x (), x, dan x [ ]. () Pada sbsisem keda, x x + y x dengan x [ ] sehingga solsi dan kelaran sisemnya adalah x y x Karakerisasi Sisem. Selanjnya pada sisem (3) akan diperiksa sifa-sifa sisem yang melipi keerkendalian, keerobservasian dan sabilias sisem sebagai berik: perama keerkendalian sisem s ank[se-a, B ] rank sbsisem perama erkendali. ank[e B] s s B-444 4, nk seiap s, s hingga, berari 4, berari sbsisem keda erkendali. Karena keda sbsisem bersifa erkendali maka sisem pada rangkaian erseb erkendali Keda keerobservasian sisem

8 Prosiding Seminar Nasional Aplikasi Sains & Teknologi (SNAST) Periode SSN: 979-9X Yogyakara, 3 November s se A s ank rank s 4, nk seiap s, s hingga, berari sbsisem perama erobservasi. E ank rank 3<4, sehingga sbsisem keda idak erobservasi, sehingga sisem erseb idak erobservasi. Dengan demikian sisem pada rangkaian di aas idak erobservasi aa idak dapa diobservasi sisemnya. Sabilias sysem. Dalam hal mengeek sifa sabilias sisem erlebih dahl menenkan (E,A) yai himpnan kb-kb berhingga sysem, sebagai berik s s s s de(se A) s s + s s ( s +)(s + ) Diperoleh persamaan karakresisik ( s +)(s + ) Adapn akar-akar persamaan karakerisiknya: ( s +) aa (s + ) ekivalen s - aa s - sehingga akar-akar karakerisiknya s -, s - i, dan s 3 i Jadi (E,A) { -, - i, i }, berari sisem () idak sabil. KESMPUAN Benk model pada rangkaian dapa dibawa kebenk sisem linear singlar yang berbenk pada sisem dan seelah melali proses perhingan maka sisem (3) bersifa reglar dan mempnyai solsi nggal. Pada karakerisasinya maka sisem (3) bersifa erkendali karena pada benk dekomposisi sandar sisem memenhi sifa keerkendalian. Sisem idak erobservasi karena pada ssbsisem keda idak memenhi sifa keerobservasian, sisem jga idak sabil karena idak memenhi sifa sabilias sisem yai erdapa akar-akar karakerisik sisem yang idak real. Pada pembahasan lebih jah dapa dierapkan pada rangakian yang idak sederhana dan dengan memberikan feedbak sesai maka dapa membenk kondisi sisem yang diharap misalnya membenk sisem menjadi sabil dan erobservasi. B-445

9 Prosiding Seminar Nasional Aplikasi Sains & Teknologi (SNAST) Periode SSN: 979-9X Yogyakara, 3 November DAFTA PUSTAKA Ganmaher, F,. (96). The Theory of Maries, volme. helsea Pblishing ompany. New York. obb, J,D. (984). onrollabiliy, Observabiliy and Daliy in Singlar Sysems. EEE Trans A. onrol. Vol.A-9. No.. pp Dai,. (988). ere Noes in onrol and nformaion Sienes. Singlar onrol Sysems, Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York. Olsder, G.J.(994). Mahemahial Sysems Theory. Delfse Uigevers Maashappij. Delf. Neherlands. Sryowai, dkk. (). Benk dekomposisi sandar sisem (E,A,B,) singlar. Arikel. Dipblikasikan di Jrnal Maemaika dan Pembelajarannya. UM. Malang. B-446