BAB VI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP)

Transkripsi

1 BAB VI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP) Pendahlan Persamaan diferensial parsial memegang peranan pening di dalam penggambaran keadaan fisis, dimana besaran-besaran yang erliba didalamnya berbah erhadap rang dan wak. Sebagai conoh, ika kia menina opik-opik fisika lan (advanced physics), seperi halnya mekanika klasik lan yang membicarakan enang gelombang elekromagneik, hidrodinamik dan mekanika kanm (gelombang Schroedinger), maka kia akan menemkan penggnaan persamaan diferensial parsial yang dignakan nk menggambarkan fenomena fisis yang berkaian dengan masalah-masalah erseb. Masalah-masalah erseb dalam kenyaaannya sli nk dipecahkan dengan cara analiik biasa, sehingga meode nmerik perl dierapkan nk menyelesaikannya. Penggnaan persamaan diferensial idak erbaas pada masalah fisika saa, eapi lebih las lagi dalam bidang sains dan eknologi. Pendekaan Beda Hingga Unk memahami dengan benar masalah persamaan diferensial ini, sebelmnya pada bab 5 kia sdah membahas bahwa sa derivaif dapa didekai dengan beda hingga, sehingga persamaan diferensial dapa didekai dengan persamaan beda hingga pla. Dalam bab ini meode beda hingga yang elah dikenalkan sebelmnya akan diperlas lagi nk kass di dalam rang mlidimensi yang lebih epa dikai dengan menggnakan persamaan diferensial parsial. Pada bab V yang lal, kia sdah menggnakan pendekaan beda hingga nk mendekai ngkapan rnan perama dan keda. Namn pada pembahasan yang lal kia masih membaasi pada pendekaan nk rnan pada rang dimensi sa. Saa ini, kia masih akan menggnakan kaidah-kaidah pendekaan erseb namn diingkakan nk rang dimensi da. Pada pembahasan enang persamaan diferensial biasa di bab 7 yang lal, kia elah melakkan pendekaan beda hingga pada penyelesaiannya. Nah di bab ini, kia ga

2 akan melakkan hal sama pada benk derivaif parsialnya. Mengapa? Karena nk masalah-masalah yang melibakan da aa lebih variabel bebas, prinsip-prinsip erseb masih eap dapa dierapkan. Di dalam pembahasan enang persamaan diferensial biasa, variabel bebas yang erliba dalam masalah hanya sa, sedangkan nk persamaan diferensial parsial variabel bebas bermlah lebih dari sa. Ten saa, hal ini saa memba permasalahan akan semakin kompleks. Unk memberikan ilsrasi dan mempermdah pemahaman kia enang masalah ini, sekarang marilah kia ina sebah aring koak yang menggambarkan da variabel bebas dan y seperi erliha pada gambar 8.. Seiap koak dalam aring erseb memiliki lebar karena i, panang variabel bebas seelah langkah ke i dinyaakan oleh i ( ),,..., dan y. Oleh i i N (8-5) dan panang variabel y seelah langkah ke adalah ( ),,..., y N (8-6) Dengan menggnakan iik-iik aring pada gambar 8., diferensial orde perama dan keda dapa didekai oleh: Δy Δy Δ Δ Gambar 8.. Jaring iik-iik hingan pada pendekaan beda hingga dengan variabel bebas dan y.

3 i, i, (8-7) i, i, (8-8) (8-9) i, i, i, i, i, ( ) (8-) y 4 y i, i, i, i, ( ) ( ) (8-) Dalam beberapa masalah fisika dan eknik persamaan diferensial ada yang dinyaakan dalam rnan perama erhadap wak dan rnan keda erhadap rang, misalnya pada persamaan difsi. Unk persamaan diferensial parsial yang mengandng variabel rang dan wak ini, pendekaan beda hingga dapa dinyaakan dalam aring (aring) bidang dan (liha gambar 8.). Δ i, i, i, i, Δ Gambar 8.. Jaring iik-iik hingan pada pendekaan beda hingga dengan variabel bebas dan. Δ

4 Jaring koak yang menyaakan variabel rang dan wak dibagi menadi piaspias dengan inerval rang dan wak inerval ke i dinyaakan sebagai i ( ),,..., dan. Panang variabel rang seelah i i N (8-) Sedangkan nk variabel wak seelah inerval wak ke adalah ( ),,..., N (8-3) Benk rnan perama erhadap waknya dapa diliskan sebagai i, i, Ungkapan (8-4) dapa pla diliskan sebagai (8-4) i i (8-5) dengan indeks bawah menyaakan harga pada langkah wak, dan indeks aas mennkkan harga pada langkah rang. Sedangkan nk derivaif keda erhadap variabel rang seperi dinyaakan pada persamaan (8-) dapa diliskan kembali i i i ( ) (8-6) 8. Klasifikasi Persamaan diferensial parsial dibagi menadi iga enis, yai persamaan diferensial elipik, parabolik dan hiperbolik. Unk membedakan keiga enis persamaan diferensial parsial erseb, marilah sekarang kia menina sebah persamaan diferensial parsial orde da dalam da variabel rang dan wak, A B C D,,,, (6-) dimana A,B dan C merpakan fngsi dari dan, dan D adalah fngsi dari dan derivaif dan, sera dan. Kia ga akan memperkenalkan variabel bar

5 sedemikian hingga sk-sk yang mengandng derivaif campran akan sama dengan nol. Selannya, pembedaan aas iga klas persamaan diferensial parsial erseb didasarkan pada harga diskriminan B 4AC dari persamaan (8-) erseb. Perama, ika kia menina pada sa iik (, ) memenhi syara bahwa harga diskriminan ( ) ( ) ( ) B A C dan di iik erseb, 4,, > (8-) maka persamaan diferensial parsial erseb dikaakan hiperbolik pada iik (, ). Selanya, ika persamaan erseb hiperbolik pada selrh iik di dalam ranah (domain) yang diina, maka persamaan diferensial parsial erseb dikaakan sebagai persamaan hiperbolik. Sebagai conoh, ika kia menina persamaan gelombang yang mengambil benk Persamaan gelombang c Dalam persamaan gelombang erseb harga A c, B dan C, sehingga harga diskriminannya berharga posiip. Ini berari persamaan gelombang benar-benar mask dalam klasifikasi persamaan diferensial hiperbolik. Persamaan (8-) erseb memiliki dimensi rang sa dengan c adalah kecepaan gelombang cahaya di rang hampa. Persamaan erseb menelaskan dengan sederhana bahwa derivaif keda dari penyelesaiannya berbanding lrs dengan derivaif keda lainnya dengan konsana kesebandingan c. Keda, Jika pada sa iik (, ) ( ) ( ) ( ) B A C memenhi persyaraan, 4,, (8-3) maka persamaan erseb dikaakan parabolik pada iik (, ). Dan ika di selrh iik dipenhi harga diskriminan (8-3), maka persamaan erseb diseb persamaan parabolik. Conoh dari persamaan diferensial parabolik adalah persamaan difsi yang mengambil benk Persamaan difsi κ

6 dengan A κ, B dan C. Oleh sebab i, harga deskriminannya sama dengan nol. Persamaan ini dikenal dengan persamaan panas, yang menggambarkan aliran (difsi) panas melali sebah penghanar. Dalam kass ini κ adalah kondkivias ermal yang merpakan kebalikan dari R yang merpakan hambaan ermal. Di dalam ilm fisika persamaan diferensial yang mirip dengan persamaan difsi adalah persamaan Schroedinger yai, h V, y, z i m h Persamaan Schroedinger ( ) Persamaan Schroedinger ini memegang peran pening di dalam mekanika kanm. Keiga, ika pada sa iik (, ) ( ) ( ) ( ) B A C berlak syara, 4,, < (8-4) maka persamaan erseb dikaakan elipik pada iik (, ), dan ika di selrh iik dipenhi syara erseb, maka persamaan erseb mask dalam klas persamaan elipik. Conoh dari persamaan elipik adalah persamaan Poisson dan Laplace yang di dalam rang dimensi da masing-masing mengambil benk y Persamaan Poisson S ( y ), Persamaan Laplace y Persamaan Poisson memperkenalkan smber panas ke dalam sisem yang diina. Sedangkan persamaan Laplace merpakan kass khss dari persamaan Poisson anpa smber. Disamping i, persamaan Laplace ga bisa dirnkan dari persamaan difsi. Jika sebah obek diisolasi dari lingkngan, maka akan dicapai disribsi sh dalam keadaan manap, sa kondisi seimbang yang digambarkan oleh derivaif wak sama dengan nol pada persamaan difsi. Keadaan manap sa aliran panas dinkkan oleh kanias yang sama anara panas yang kelar dan mask sa ampang linang. Dari kenyaaan bahwa derivaif wak pada persamaan difsi sama dengan nol, maka diperoleh persamaan Laplace. Oleh karena idak ada

7 variabel wak yang gay, maka penyelesaian nk persamaan Laplace mapn Poisson erseb adalah ak gay wak. Persamaan menarik lain yang menggambarkan persamaan elipik dan agak mirip dengan persamaan Poisson adalah persamaan Helmholz yai, 8. Persamaan Beda Hingga Persamaan Helmoz y λ 8.. Persamaan Hiperbolik Persamaan Gelombang Conoh klasik dari persamaan hiperbolik adalah persamaan gelombang yang dinyaakan oleh c (8-7) Persamaan ini mncl dalam berbagai masalah dari elasisias dan aksik sampai hidralika. Oleh sebab i, dari iga benk persamaan diferensial parsial yang kia keahi, persamaan hiperbolik merpakan persamaan yang paling banyak dikai oleh ilmwan kompasi. Jika persamaan gelombang (8-7) didekai menggnakan pendekaan beda hingga, maka dapa diliskan sebagai i i i i i i c ( ) ( ) (8-8) dengan (, ) (8-9) i i Dengan memecahkannya nk variabel i maka kia memperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c i i i i i (8-) Persamaan ini menelaskan kepada kia bahwa apabila kia mengeahi pada selrh i pada saa-saa dan, maka kia dapa menenkan harga pada

8 selrh i pada langkah wak beriknya. Hal ini diseb dengan meode eksplisi. Teapi, ada sediki masalah pada permlaan perhingan, karena secara mm kia idak mengeahi harga pada da wak berr-r. Sedangkan, kia hars mengeahi harga (,) dan derivaif (,) i i di selrh harga i. Oleh sebab i, dengan mengeahi ngkapan aa (, ) i i i i i ( ) ( ) (, ) i (8-) (8-) maka, kia dapa menyaakan ( ) ( ) i sebagai ( ) ( ) (,) c c i i ( i i ) i ( ) Persamaan Adveksi (8-3) Persamaan adveksi merpakan sa-sanya persamaan di dalam dinamika flida yang mnclnya lebih sering dibandingkan persamaan difsi. Persamaan ini memerikan cara sa besaran kekal (conserved) seperi halnya sh poensial aapn momenm dibawa bersama aliran dara aa air. Unk menelaskan secara fisika enang masalah adveksi ini, sekarang misalnya ada seorang pengama berdiri di sa lapangan dengan membawa sebah ermomeer. Di empa erseb berip angin dari arah bara membawa dara lebih hanga men ke arah imr yang bersh dara lebih dingin. Dalam hal ini seb saa bahwa arah bara ke imr adalah. Selanya, apa yang diliha oleh pengama erseb dengan ermomeer yang dibawanya? Ternyaa angka yang dinkkan oleh ermomeer semakin besar, yang berari bahwa keadaan sh di empa erseb semakin hanga. Hal ini disebabkan oleh perganian dara yang eradi di empa erseb, yai dari keadaan dara yang dingin digani dengan dara yang lebih hanga.

9 Jika yang eradi adalah bahwa angin yang berhembs ke arah pengama erseb idak mengalami perbahan sh, maka pengama erseb idak dapa memberi informasi bahwa eradi kenaikan sh. Nah, karena kenyaaannya eradi perbahan sh maka ada yang diseb gradien sh. La perbahan sh yang eradi di empa i berganng kepada besarnya gradien mapn la perpindahan dara, yai La perbahan sh -(La perpindahan dara) (Gradien sh) Tanda mins menyaakan bahwa sh hanya akan naik apabila gradien sh rn, aa dengan kaa lain dara akan menadi lebih hanga ika kia bergerak ke arah aa dari arah imr ke bara, yakni bergerak ke arah berlawanan dengan arah angin. Dalam bahasa maemaika, pernyaaan di aas dapa dingkapkan dalam benk c (8-4) dengan menyaakan sh poensial yang merpakan besaran kekal yang dalam hal ini merpakan variabel yang diadveksi. Dalam kaiannya dengan masalah ini, maka kia hanya akan membahas nk harga c konsan. Penyelesaian mm nk persamaan (8-4) adalah F ( c ) (8-5) dengan F merpakan fngsi sembarang bernilai nggal. Gambar 8.3. Angin berip dari arah bara ke imr membawa dara hanga

10 Persamaan adveksi diaas merpakan conoh yang sanga bags bahwa anara pendekaan nmerik dengan analiis idak selal menemkan hasil yang sama. Di dalam pasal ini kia akan membahas beberapa pendekaan nmerik yang dapa dignakan nk mendekai persamaan (8-4) erseb dan seiap meode akan kia kai sabilias dan akrasinya Meode FTCS (Forward-Time Cenered-Space) Unk menyelesaikan persamaan (8-4) kia akan mengimplemenasikan sebah meode dengan menggnakan pendekaan beda erpsa (meode Leap-Frog) nk derivaif rangnya dan meode Eler ma nk derivaif waknya. aa n n ( ) n n O ( ) c O ( ) c ( ) n n n n (8-6) (8-7) dimana indeks bawah menyaakan langkah rang dan indeks aas n menyaakan langkah wak. Dengan menggnakan analogi erhadap pembahasan enang meode Eler dan meode Leap-Frog pada bab yang lal, maka kia dapa menyimplkan bahwa keeliian nk meode ini adalah orde perama nk -nya dan orde keda nk, Pendekaan beda hingga nk persamaan adveksi (8-6) inilah yang diseb dengan forward in ime, cenered in space aa lebih dikenal dengan meode FTCS. Peranyaan selannya apakah meode ini sabil saa mendekai persamaan adveksi erseb? Unk mengeahi apakah meode yang kia gnakan nk mendekai persamaan erseb sabil aa idak, maka kia perl melakkan i kesabilan dengan menggnakan analisa sabilias Von Neman. Ide dari benk analisis kesabilan ini, kia dapa membayangkan bahwa koefisien-koefisien dari persamaan beda berbah

11 sanga lamba keika diperlakkan sebagai konsana dalam rang dan wak. Dalam kass demikian, penyelesaian bebasnya aa swamode dari persamaan beda mengambil benk n n ξ (8-8) ep ( ik ) dengan k menyaakan bilangan gelombang rang real yang dapa berharga sembarang, sedangkan ξ ξ ( k ) adalah bilangan komplek yang berganng pada k. Jika kia mensbsisikan persamaan (8-8) ke persamaan hampiran (8-7), maka dengan mdah diperoleh c ξ i sin ( k ) Dari persamaan (8-9) dapa dikeahi modls dari ξ yai ξ c sin ( k ) (8-9) (8-3) Persamaan (8-3) memberi ari bahwa pengaan (amplificaion) penyelesaiannya berhrga, ini berari bahwa meode FTCS idak sabil mlak nk mendekai persamaan adveksi. Skema nk meode FTCS dapa diilsrasikan seperi gambar 8.4 Gambar 8.4. gambaran enang meode FTCS. Dalam gambar (8-4) erseb blaan kosong menggambarkan iik bar yang akan dienkan nilainya, sedangkan blaan hiam merpakan harga-harga fngsi yang sdah dikeahi yang akan dignakan nk memperoleh penyelesaian pada blaan kosong. Garis sambng menghbngkan anara iik-iik yang akan

12 dignakan nk menghing derivaif rang, sedangkan garis ps-ps menghbngkan iik-iik yang akan dignakan nk menghing derivaif wak Meode BTCS (Backward-Time Cenered-Space) Dengan menggnakan pendekaan beda mndr nk langkah waknya dan beda erpsa nk langkah rangnya, maka persamaan adveksi dapa didekai dengan n n ( ) O ( ) c O ( ) n n aa dapa dissn kembali menadi c ( ) n n n n (8-3) (8-3) Penggnaan analisa sabilias Von Noman pada pendekaan BTCS nk persamaan adveksi ini menghasilkan aa ξ c ξ ξ ξ ik ik ( e e ) c i sin ( k ) Persamaan (8-34) mennkkan bahwa fakor pengaannya adalah ξ c sin ( k ) yang berari, skema (8-3)) adalah sabil mlak. Meode Cenered-Time Cenered-Space (CTCS) (8-33) (8-34) (8-35) Unk persamaan adveksi, penggnaan meode Eler ma nk langkah wak (forward-ime) idak sabil mlak, apakah ini berari dengan menggnakan pendekaan beda erpsa (cenered-space) akan sabil? Unk menawab peranyaan ini, marilah kia lakkan pendekaan persamaan adveksi erseb dengan skema CTCS ini.

13 Dengan menggnakan skema CTCS, maka persamaan adveksi dapa didekai menadi n n n n O ( ) O ( ) Persamaan (8-36) dapa dissn kembali menadi benk c ( ) n n n n (8-36) (8-37) Sabilias Kia dapa mengees sabilias dari skema ini dengan analisa sabilias Von Noman. Dengan mensbsisi mode Forier adveksi yang didefinisikan (8-8) pada persamaan (8-37) maka diperoleh c ξ iξ sin ( k ) (8-38) Persamaan (8-38) merpakan persamaan kadra dalam ξ, sehingga harga-harga nk ξ dapa dinyaakan oleh ξ c c i sin ( k ) ± sin ( k ) 4 (8-39) Modls dari masing-masing akar adalah, sedangkan syara sabil adalah ξ, ini berari bahwa meode CTCS sabil nk menyelesaikan persamaan adveksi. 8.7 Meode La Meode La merpakan sebah meode yang dimaksdkan nk memodifikasi meode FTCS dari sisi perbaikan erhadap sabiliasnya. Caranya adalah dengan menggani n dalam derivaif wak dengan reraa rangnya n n n ( ) (8-4) sehingga persamaan adveksi menadi c ( ) ( ) n n n n n (8-4)

14 Gambar 8.5. Deskripsi nk skema beda La Dengan mensbsisi benk mode Forier ke persamaan (8-8) ke persamaan beda (8-4) diperoleh c ξ cos k i sin k (8-43) Modls dari ξ adalah ξ c ( k ) sin ( k ) cos (8-44) Pernyaaan (8-44) mengisyarakan kepada kia bahwa meode La sabil nk c c. Unk harga < dinyaakan oleh fakor pengaannya berkrang. Fakor pengaan ini c ( k ) sin ( k ) ξ cos (8-45) υ Unk harga, penyelesaiannya adalah eksak karena fakor pengaannya berharga aa idak mengalami pengaan, sehingga n (8-46) n c Krieria sabilias dikenal dengan syara Coran. Secara iniif, syara sabilias ini dapa dideskripsikan seperi pada gambar (8.6). Gambar erseb menerangkan bahwa kanias n dalam persamaan (8-4) dapa dikeahi seelah diperoleh informasi iik-iik dan pada saa n. Dengan kaa lain, dan Gambar 8.6 Daerah dibawah garis ps-ps secara fisis adalah menr

15 merpakan baas yang memngkinkan nk memberikan informasi pada besaran n. Hasil yang mengagmkan pada pendekaan La adalah bahwa pengganian dengan reraanya seperi erliha pada ngkapan (8-4) dapa mensabilkan skema FTCS. Skema La pada (8-4) selanya dapa diampilkan dalam benk n n n n n n n n c yang merpakan represenasi dari meode FTCS (8-47) ( ) c (8-48) Dalam persamaan (8-48) ini, kia memiliki sk difsi. Oleh sebab i, skema La ini dikaakan memiliki disipasi nmerik. 8.8 Skema La-Wendroff Skema Wendroff merpakan meode dengan akrasi orde keda erhadap wak. Jika kia mendefinisikan sa harga inermedie pada langkah wak n n dan langkah rang. Jika ini dihing dengan menggnakan meode La, maka akan diperoleh F F ( ) ( ) n n n n n (8-49) Sedangkan, harga erbar nk n dapa dihing dengan pernyaaan erpsa sebagai

16 F F ( ) n n n n (8-5) Gambar 8.7. Tiik-iik aring pada skema La- Wendroff Gambar 8.8. Deskripsi skema La-Wendorf Selannya, kia akan mengkai sabilias dari meode ini nk persamaan adveksi dengan mensbsisi F (8-5), maka diperoleh c. Dengan mensbsisi pernyaaan (8-49) ke ngkapan c c ( ) ( ) n n n n n n c n n n n ( ) ( ) (8-5) Dengan menggnakan i sabilias Von Noman, maka dengan mdah diperoleh

17 c c ξ i sin k cos k Harga modls dari ξ adalah ( ) (8-5) aa ξ ξ c c ( cos k ) sin k c c cos ( k ) (8-53) (8-54) Krieria sabilias yang hars dipenhi adalah ξ, hal ini mensyarakan harga c aa lebih dikenal sebagai krieria Coran. 8.. Persamaan Parabolik Persamaan difsi, kondksi panas dan persamaan Schroedinger gay wak merpakan conoh dari persamaan diferensial parabolik. Persamaan parabolik memilki kemiripan dengan persamaan hiperbolik yakni baasnya yang erbka. Di dalam Geofisika, persamaan difsi merpakan salah sa persamaan yang sanga pening yang mncl dalam berbagai koneks yang berbeda-beda. Di bawah ini diberikan bebarapa conoh persamaan diferensial parabolik yang dinyaakan dalam ngkapan maemais a. Persamaan neron ransien dalam rang sa dimensi (, ) T T ρ c k Q ( ) b. Persamaan kondksi panas ransien dalam rang sa dimensi υ D ψ ψ ψ υ ψ S (, ) a dengan ψ menyaakan flks neron. c. Persamaan difsi nk ranspo konvekif spesies kimia f

18 ψ ( ) ψ D ψ dengan ψ menyaakan rapa flks spesies kimia, ( ) adalah kecepaan aliran dan D adalah konsana difsi Meode Eksplisi (Eler Ma) Marilah kia diina sebah persamaan difsi yang mengambil benk κ (8-55) Dengan mengimpemenasikan meode Eler ma nk derivaif wak seperi yang elah kia bahas pada bab persamaan diferensial biasa yang lal, sera menggnakan pendekaan derivaif orde keda erpsa pada rnan keda erhadap variabel rangnya, maka diskriisasi erhadap ngkapan (8-55) erseb mengambil benk n n n ( ) n n κ ( ) (8-56) aa dapa diliskan kembali sebagai κ ( ) ( ) n n n n n (8-57) Skema ini diseb sebagai meode eksplisi, karena ika n i dikeahi nk selrh n pada iik-iik aring, maka kia dapa menghing n i pada wak n anpa menyelesaikan melali persamaan simlan. Deskripsi skema ini dapa diliha pada gambar 8.9. Gambar 8.9 Deskripsi meode eksplisi pada persamaan difsi

19 Apabila pendekaan penyelesaian persamaan difsi (8-57) dilakkan i sabilias menggnakan prosedr analisa sabilias Von Neman, maka dengan mdah dapa diperoleh bahwa aa k ξ cos ξ ( ) ( ) ( ( k ) ) κ k 4 sin (8-58) (8-59) Dari hasil analisa sabilias dapa keahi bahwa meode yang kia gnakan nk mendekai persamaan difsi erseb sabil karena syara sabil ξ dipenhi. Meode Implisi (Eler Mndr) Unk memberikan gambaran enang pendekaan meode implisi pada persamaan difsi yang kia miliki, sekarang marilah kia menginga kembali enang kemngkinan pendekaan persamaan erseb dengan beda mndr. Jika persamaan difsi erseb kia dekai dengan beda mndr, maka diperoleh n n n n n i i i i i κ ( ) yang dapa dissn kembali menadi ngkapan κ ( ) ( ) n n n n n i i i i i (8-6) (8-6) Ungkapan (8-6) sebenarnya mengiki sa peranian, bahwa kanias yang belm dikeahi harganya diempakan di ras kiri, sedangkan besaran yang sdah dikeahi diempakan diras kanan. Dalam kass ini, harga-harga pada langkah wak n dianggap idak dkeahi, harga-harga yang dikeahi adalah pada langkah wak ke n. Deskripsi skema implisi ini dapa diliha pada gambar 8.. Gambar 8. Deskripsi meode implisi pada persamaan difsi

20 Dengan mengambil α κ ( ) (8-6) maka nk seiap iik rang dengan,,3,..., N, kia memperoleh ( ) α ψ α ψ α ψ ψ (8-63) n n n n i i i i Jika syara baas pada ng-ngnya diberikan yai dan N, maka kia persamaan (8-63) dapa diampilkan dalam benk persamaan simlan linier sebagai berik dengan n n Ag Ψ Ψ (8-64).. α α α..... A (8-65) α α α... Kia ga akan menggnakan analisa sabilias Von Noman nk meyakinkan apakah skema implisi ini sabil aa idak sabil. Jika kia mensbsisikan mode Forier ke persamaan (8-6), maka dengan mdah diperoleh κ cos ( ) ( k ) ξ aa dapa dissn kembali menadi ξ κ sin k ( ) (8-66) (8-67)

21 Fakor pengaan yang memiliki benk semacam ini, ennya hars berharga. Ini mennkkan bahwa skema implisi yang kia gnakan nk mendekai persamaan difsi adalah sabil mlak Meode Dfor-Frankle Meode ini merpakan salah sa dari beberapa meode yang dignakan nk mengaasi masalah sabilias yang diemkan pada meode Eler ma aa FTCS. Meode Dfor-Frankle merpakan sa eknik yang memanfaakan sabilias ak bersyara dari meode inrinsic nk persamaan diferensial sederhana. Selannya kia dapa memodifikasi persamaan (8-6) menggnakan meode Dfor-Frankle sebagai berik κ ( ) n n n n n n ( ) (8-68) Gambar 8.. Deskripsi meode Dfor-Frankle Jika diambil β κ, maka persamaan (8-68) dapa dissn kembali menadi ( ) benk α α α α ( ) n n n n (8-69) Pengian sabilias erhadap pendekaan Dfor-Frankle menggnakan analisa Von Noman memnclkan persamaan kadra dalamξ, hal ini dikarenakan

22 mnclnya iga pangka konskif pada ξ keika prosedr Von Neman disbsisi ke dalam persamaan erseb. Persamaan kadra erseb adalah α α ξ ξ cos k (8-7) α α Selannya persamaan (8-7) memiliki da penyelesaian yai ( cos k ) sin k ξ α ± α α (8-7) Unk mengeahi kesabilan skema ini, maka kia dapa mengecek bagaimana modls dari ξ erseb. Dengan menganggap α sin k dan α sin k <, maka kia akan memperoleh bahwa ξ. Ini mennkkan bahwa skema Dfor- Frankle erseb sabil mlak. Meode Cranck-Nicolson Pendekaan meode Cranck-Nicolson nk menyelesaikan persamaan diferensial parabolik didasarkan pada meode Eler ermodifikasi seperi yang elah dibahas pada bab yang lal. Dengan menggnakan meode ini, maka pendekaan pada persamaan difsi selannya dapa dilis kembali menadi aa n n ψ i ψ i κ ( ) ( ) n n n n n n ( ψ i ψ i ψ i ) ( ψ i ψ i ψ i ) κ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ( ) ( ) n n n n n n n n i i i i i i i i (8-7) (8-73) Gambar 8.. Deskripsi skema Cranck-Nicolson

23 Dengan mendefinisikan γ κ ( ), maka ngkapan (8-73) ga dapa dinyaakan dalam benk persamaan simlan sebagai berik aa ( ) ( ) γ ψ γ ψ γ ψ γ ψ γ ψ γ ψ (8-74) n n n n n n Aψ n n g B ψg (8-75) dengan mariks A dan B didefinisikan sebagai.. γ γ γ..... A (8-76) γ γ γ... dan.. γ γ γ..... B (8-77) γ γ γ... Dengan menggnakan analisa sabilias Von Noman seperi yang elah kia erapkan pada meode-meode sebelmnya, maka diperoleh fakor pengaannya sebesar ξ ( k ) ( k ) γ sin γ sin (8-78) Fakor pengaan erseb mennkkan bahwa harganya selal. Ini mennkkan bahwa skema ini sabil mlak. Lebih lan lagi, karena pendekaan beda yang dignakan dalam meode ini adalah meode Eler ermodifikasi, maka keeliian meode ini lebih inggi dibanding meode Eler ma aapn mndr.

24 Conoh penggnaan skema Cranck-Nicolsan adalah pada penyelesaian persamaan Schroedinger. 8.3 Persamaan Schroedinger Jika kia mengkai secara seris ilm fisika, maka kadang-kadang kia menemkan sa masalah yang mengandng kendala (consrain), sebagai conoh persamaan Scrhoedinger gay wak di dalam Mekanika Persamaan ini ermask ke dalam persamaan diferensial parabolik nk evolsi besaran kompleks ψ. Unk persamaan diferensial parsial yang memerikan hambran pake gelombang yang disebabkan oleh poensial V ( ) dalam rang D, maka persamaannya memiliki benk ψ h ψ i V ( ) ψ m (8-79) Jika kia menggnakan saan niversal, sedemikian hingga konsana Planck dan massa parikel m /, maka persamaan Schroedinger (8-79) akan mengmbil benk ψ ψ i V ( )ψ (8-8) Pengenaan syara baas nk masalah di aas adalah harga ψ pada saa awal aa ψ (, ) bersama dengan ± yai ψ. Selannya langkah diskriisasi nk persamaan gelombang (8-7) dapa dinyaakan dalam benk ψ ψ ψ ψ ψ i V ( ) n n n n n n ψ (8-8) Skema yang dinkkan pada persamaan beda (8-8) menggnakan skema implisi aa meode BTCS. Oleh sebab i, facor pengaannya adalah aa ξ 4 k i sin V ( ) (8-8)

25 ξ 4 k sin ( ) V (8-83) Dengan harga ξ di aas mennkkan bahwa skema ini sabil mlak. Sayangnya, skema ini idak nier. Mengapa hars nier? Hal ini disebabkan oleh sa syara bahwa probabilias oal sa parikel diemkan dalam sa range daerah yang erbenang dari sampai adalah sa. ψ d (8-84) Persamaan (8-84) mensyarakan fngsi gelombang awal ψ (,) ernormalisir. Jika ngkapan persamaan Schroedinger (8-8) dinyaakan dalam benk ψ i Hψ dengan H adalah operaor hamilonian yang mengambil benk H V maka penyelesaian persamaan (8-85) erseb secara analiik adalah ψ ( ) (, ) e ih ψ (,) (8-85) (8-86) (8-87) Implemenasi algorima FTCS nk mendekai persamaan (8-87) berbenk ψ n ( ih ) ψ (8-88) n dimana H dinyaakan oleh pendekaan beda hingga erpsa dalam. Sedangkan, penggnaan skema implisi BTCS akan mengambil benk berbeda yai ψ n ( ih ) ψ (8-89) n Da meode yang dignakan di aas memiliki akrasi orde perama dalam wak, seperi elah dibahas di depan. Dengan kenyaaan bahwa meode eksplisi mapn implisi bkan meode yang baik nk menyelesaikan persamaan Schroedinger gay wak ini, maka kia

26 akan menggnakan benk Cayleys nk menyaakan wakilan beda hingga yang memiliki akrasi orde da dan nier yai e dengan kaa lain, ih ih ; (8-9) ih n ih ψ ih ψ n (8-9) Selannya dari persamaan (8-9), maka kia memiliki sisem ridiagonal. Skema erseb adalah sabil, nier dan memiliki akrasi orde keda. Nah cara ini diseb sebagai meode Crank-Nicolson. ih e Conoh sorce code nk menyelesaikan persamaan difsi Program Difsi Ineger*4 man, manplo parameer( man 3, manplo 5 ) ineger*4 n, i,, iplo, nlangkah, plo_langkah, nplo, ilangkah real*8 a, l, h, kappa, koef, (man), _bar(man) real*8 plo(man), plo(manplo), plo(man,manplo) C iniialisasi parameer (langkah wak, pias, dll). wrie(*,*) maskkan langkah wak: ' read(*,*) a wrie(*,*) maskkan mlah aring: ' read(*,*) n l. h l/(n-) kappa. koef kappa*a/h** if( koef.l..5 ) hen wrie(*,*) 'penyelesaian diharapkan sabil' else wrie(*,*) 'warning: apakah penyelesaian diharapkan idak sabil endif C se syara awal dan syara baas. do i,n (i).

27 _bar(i). enddo (n/) /h iplo nlangkah 3 plo_langkah 6 nplo nlangkah/plo_langkah do i,n plo(i) (i-)*h - l/ enddo do ilangkah,nlangkah do i,(n-) _bar(i) (i) koef*((i) (i-) - *(i)) enddo do i,(n-) (i) _bar(i) enddo if( mod(ilangkah,plo_langkah).l. ) hen do i,n plo(i,iplo) (i) enddo plo(iplo) ilangkah*a iplo iplo endif enddo nplo iplo- open(,file'plo.',sas'nknown') open(,file'plo.',sas'nknown') open(3,file'plo.',sas'nknown') do i,nplo wrie(,*) plo(i) enddo do i,n wrie(,*) plo(i) do,(nplo-) wrie(3,) plo(i,) enddo wrie(3,*) plo(i,nplo) enddo forma(e.6,', ',$) sop end 8. Persamaan Elipik

28 Conoh mm dari persamaan diferensial elipik adalah persamaan Poisson yang berbenk Jika ( y ) y ρ, ( y ) ρ,, maka diseb persamaan Laplace yang berbenk (8-9) y (8-93) Unk menyelesaikan persamaan elipik dibhkan syara baas di ngngnya. Oleh sebab i penyelesaian persamaan elipik mask dalam kaegori masalah nilai baas. Meode penyelesaian nmerik nk persamaan diferensial elipik diklasifikasikan dalam da kaegori, yai meode beda hingga dan elemen hingga. Teapi dalam pasal ini kia hanya akan menggnakan meode beda hingga nk menangani persamaan ini. Meode beda hingga dirnkan dari aring koak. Penggnaan meode ini nk menyelesaikan masalah diferensial elipik memiliki banyak kenngan. Adapn kenngan meode elemen hingga dianaranya adalah bahwa persamaan diskrinya idak ergangg oleh benk geomeri yang rmi, sehingga meode ini fleksibel nk dierapkan dalam benk geomeri apapn. Namn akhir-akhir ini, meode beda hingga ga elah dikembangkan nk mengaasi masalah geomeri ini yai dengan cara ransformasi koordina. Persamaan Beda dalam Geomeri Recanglar Dalam pasal ini kia idak akan membahas meode beda hingga dalam geomeri yang rmi, eapi kia hanya akan membahas meode erseb di dalam gomeri koak saa. Unk memdahkan pemahaman kia enang meode ini, sekarang marilah kia ina sebah persamaan Laplace dalam koordina karesan seperi erliha pada persamaan (8-93). Unk mempermdah pemahaman kia enang masalah yang kia bahas ini, sekarang diina nk domain L dan y Ly seperi erliha pada gambar 8.. Syara baas yang dikenakan pada sisi-sisinya adalah

29 Baas kiri Baas kanan Baas aas Baas bawah y (syara baas Nemann) (syara Dirichle) Unk menrnkan persamaan beda hingga pada persamaan Laplace, maka kia perl memba aring pada koak erseb. Jika kia mengasmsikan bahwa lebar pias y, maka persamaan Poisson erseb dapa didekai dengan pendekaan beda erpsa yang mengambil benk ( ) δ δ ρ i i, i, i, aa secara eksplisi dapa dinkkan dalam benk deskri ρ i, i, i, i, i, i, i, dengan i, ( i, y ) (8-94) (8-95) y L y y i 3 4 Masalah yang imbl dalam menangani persamaan beda (8-95) adalah bagaimana cara memberikan perlakan pada iik-iik di syara baas pada sisi kiri Gambar 8.4. Persamaan Laplace dalam geomeri koak bersama dengan syara baasnya L 3 4 ma i ma

30 dan bawah. Sedangkan persamaan beda di sisi aas dan kanan idak pening, karena kia sdah mengeahi harga dari. Sekarang kia akan menina nk persamaan beda di perbaasan sisi kiri. Pada gambar erseb erliha bahwa syara baas di sebelah kiri adalah. Derivaif keda dari aa dekai dengan, pada iik-iik baas sebelah kiri selannya dapa kia y i, i, (8-96) Sekarang, bagaimana cara kia mendekai derivaif perama erhadap pada sk perama pembilang pada persamaan beda (8-96) erseb? Lihalah gambar 8.5. Pada gambar erseb ampak iga iik erdeka yang mengelilingi iik (,). Dengan kenyaaan i, kia memang idak bisa menerapkan persamaan beda nk derivaif keda seperi erliha pada persamaan (8-95), karena kia hars memiliki empa iik yang mengiari iik psa. Oleh sebab i, kia berharap dengan pendekaan beda (8-96) erseb permasalahan erseb eraasi. i, i-, i, i,- i, Gambar 8.5. Tiik (i,) dikelilingi empa iik erdeka. Pendekaan beda nk derivaif keda erhadap dinyaakan pada persamaan (88).,,,-, Gambar 8.6. Tiik-iik di perbaasan kiri

31 Selanya, sk perama pembilang pada persamaan (8-96) dapa didekai dengan,,, (8-97) Oleh karena sk keda pembilang pada persamaan beda (8-96) berharga sama dengan nol, maka pendekaan beda adalah,,, (8-98) Selannya, persamaan beda derivaif keda erhadap di perbaasan sisi kiri mengambil benk ρ,,,,,, (8-99) Dengan menggnakan cara yang sama, maka kia dapa mendekai derivaif perama erhadap di perbaasan sisi bawah koak adalah i, i, y i, sehingga derivaif keda dapa didekai dengan persamaan beda ρ i, i, i, i, i, i, (8-) (8-) I, i-, I, i, Gambar 8.6. Tiik-iik di perbaasan kiri

32 Dengan menggnakan persamaan beda () dan () nk derivaif perama erhadap, maka kia dapa menenkan pendekaan derivaif keda dari yang mengambil benk ρ,,,,, (8-) Conoh Diina sebah persamaan Laplace dalam rang dimensi da dengan domain 8 dan y 6 mengambil benk ϕ ϕ y dengan syara baas yang diberikan adalah Baas kiri L y Baas kanan Baas aas Baas bawah y 6 Penyelesaian 3 4 y Unk menyelesaikan persamaan di aas, maka kia memba aring dengan lebar pias sama yai. Harga iik-iik di perbaasan koak aas dan kanan berharga ϕ, sedangkan iik-iik di perbaasan kiri dan bawah memenhi ϕ dan ϕ y. Dengan syara baas yang diberikan adi, kia akan menghing iik-iik y 8 L i 3 4 5

33 yang lain kecali pada perbaasan aas dan kanan, karena di perbaasan ini harga ϕ sdah dikeahi. Dengan menggnakan persamaan beda hingga (8-95), (8-99) dan (8-), maka kia dapa menliskan persamaan simlan dalam ϕ yai. Tiik (,) 4ϕ, ϕ, ϕ,. Tiik (,) ϕ, 4ϕ, ϕ 3, ϕ, 3. Tiik (3,) ϕ, 4ϕ 3, ϕ 4, ϕ 3, 4. Tiik (4,) ϕ 3, 4ϕ 4, ϕ 4, 5. Tiik (,) ϕ, 4ϕ, ϕ, ϕ,3 6. Tiik (,) ϕ, ϕ, ϕ 3, 4ϕ, ϕ,3 7. Tiik (3,) ϕ 3, ϕ, 4ϕ 3, ϕ 4, ϕ 3,3 8. Tiik (4,) ϕ 4, ϕ 3, 4ϕ 4, ϕ 4,3 9. Tiik (,3), 4,3,3. Tiik (,3),,3 4,3 3,3. Tiik (3,3) 3,,3 43,3 4,3. Tiik (4,3) ϕ 4, ϕ 3,3 4ϕ 4,3 benknya Jika persamaan simlan di aas dinyaakan dalam benk mariks, maka

34 dinyakan oleh 4 ϕ 4 ϕ 4 ϕ 3 4 ϕ 4 4 ϕ 4 ϕ 4 ϕ 3 4 ϕ 4 4 ϕ 3 4 ϕ 3 4 ϕ 33 4 ϕ 43 Jika persamaan simlan linier yang dinyaakan dalam benk mariks erseb AgX b maka nk menemkan harga seiap elemen mariks X dapa dilakkan dengan cara X A gb Dengan menggnakan kaidah ini, maka elemen-elemen mariks X maka kia dapa menenkan harga ϕ pada seiap iik yai Meode Ieraif Jacobi ϕ.3377, ϕ.3799, ϕ.58 3 ϕ.7379, ϕ.955, ϕ ϕ.4647, ϕ.799, ϕ ϕ.3, ϕ.9, ϕ Sesai dengan namanya, ide dari meode ieraif Jacobi adalah menemkan harga seiap iik-iik dalam koak melali alan ierasi hingga diemkan harga yang opimm. Ierasi awal dimlai dengan memberikan nilai ebakan pada variabelvariabelnya. Ierasi dilakkan ers meners hingga selisih harga elemen kini dan sebelmnya melebihi oleransi yang diberikan. Unk lebih elasnya, sekarang kia akan menina kembali persamaan Laplace seperi pada conoh 8. eapi dengan syara baas sebagai berik Baas kiri

35 Baas kanan Baas aas Baas bawah Dengan syara baas yang diberikan erseb, maka kia dapa membenk persamaan simlan bar sebagai berik. Tiik (,). Tiik (3,) 3. Tiik (4,) 4. Tiik (,3) 5. Tiik (3,3) 6. Tiik (4,3) 4ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ aa,, 3,,,3 ϕ, ϕ ϕ 3,,3 4ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ aa 4 3,, 4, 3, 3,3 ϕ 3, ϕ ϕ ϕ 4, 4, 3,3 4ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ aa 4, 3, 5, 4, 4,3 ϕ 4, ϕ ϕ 4 3, 4,3 4ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ aa,3,3 3,3,,4 ϕ,3 ϕ ϕ 4, 3,3 4ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ aa 3,3,3 4,3 3, 3,4 ϕ 3,3 ϕ ϕ ϕ 4,3 4,3 3, 4ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ aa 4,3 3,3 5,3 4, 4,4 ϕ 4,3 ϕ ϕ 4 3,3 4,

36 Sebagai langkah awal, kia berikan ebakan awal selrh iik sama dengan nol, kecali pada baas-baas yang elah kia enkan. Dari langkah ini, kia memiliki harga-harga pada seiap iik anara lain ϕ,, ϕ 3,, ϕ 4,, 5, ϕ,3, 5, ϕ 3,3, 5, ϕ 4,3,5. Dengan menggnakan bahasa pemrograman, maka arga iik-iik pada ierasi beriknya dapa kia emkan sampai oleransi yang diberikan. Program Ierasi_acobi dimension pa(5,4),pb(5,4) real phip characer* fname wrie(*,5) read 9,fname 9 forma(5a) 5 forma(3,'nama file op:',\) open(8,filefname) c ebakan awal nk selrh iik diberikan sama dengan nol c kecali pada baas-baas yang elah dienkan c syara baas pada iik-iik aring adalah c c pa(,4). pa(3,4). pa(4,4). pa(5,4). pa(5,). pa(5,3). pb(,4). pb(3,4). pb(4,4). pb(5,). pb(5,3). pb(5,4). do 5 ier, wrie(8,9)ier do 3 i,4 do 4,3 pb(i,)(pa(i-,)pa(i,)pa(i,-)pa(i,))/4.

37 4 conine 3 conine do 35 i,4 do 45,3 pa(i,)pb(i,) 45 conine 35 conine c wrie (8,) pb(,4),pb(,4),pb(3,4),pb(4,4),pb(5,4) wrie (8,) pb(,3),pb(,3),pb(3,3),pb(4,3),pb(5,3) wrie (8,) pb(,),pb(,),pb(3,),pb(4,),pb(5,) wrie (8,) pb(,),pb(,),pb(3,),pb(4,),pb(5,) wrie (*,) pb(,4),pb(,4),pb(3,4),pb(4,4),pb(5,4) wrie (*,) pb(,3),pb(,3),pb(3,3),pb(4,3),pb(5,3) wrie (*,) pb(,),pb(,),pb(3,),pb(4,),pb(5,) wrie (*,) pb(,),pb(,),pb(3,),pb(4,),pb(5,) 5 conine 9 forma(i4) forma(5f.6) close(8) sop end Tabel 8. Conoh ekseksi program ierasi Jacobi Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke

38 Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Meode Relaksasi Konsep dari meode relaksasi didasarkan pada sa ide bahwa konvergensi ke sa penyelesaian dari pemberian erkaan awal eren dapa dicapai dengan cara menglang-lang ierasi seiap iiknya. Konsep dari ierasi berasal dari sa ide bahwa perbahan perlahan-lahan (evolsi) erhadap wak dapa diliha keika persamaan diferensial parsial elipik dinyaakan dalam benk persamaan diferensial parabolik. 8.. Meode RelaksasiGass-Seidel

39 Meode relaksasi Gass-Seidel elah erbki memperoleh skses besar dalam keberhasilannya menyelesaikan persamaan diferensial parsial elipik. Unk lebih elasnya, sekarang kia akan menyaakan persamaan elipik sebagai persamaan difsi menadi y ρ, ( y ) (8-7) y ρ, ( y ) (8-73) Apabila pada erdapa disribsi awal, maka kia dapa mengaakan bahwa bahwa keika penyelesaian sdah merelaks ke arah keadaan seimbang. Saa erseb, maka dipenhi /. Jika persamaan (8-73) kia lakkan diskriisasi menggnakan meode FTCS, maka ngkapan erseb akan menadi benk ( ) n n n n n n n, l, l, l, l, l, l 4, l ρ, l (8-74) dengan indeks aas n mewakili variabel wak, sedangkan indeks bawah menyaakan variabel rang. Dengan menginga kembali bahwa di dalam rang D meode FTCS sabil hanya ika dipenhi /, dan sabil dalam rang D hanya ika maka ngkapan (8-74) dapa dinyaakan kembali dalam benk ( ) ρ 4 4 /, 4 n n n n n, l, l, l, l, l, l (8-75) Dari ngkapan (8-75), kia dapa menemkan harga erbar dari pada langkah ( n ) dengan menggnakan empa harga lama yang mengelilinginya pada langkah n dan sk smbernya. Prosedr menemkan harga erbar erseb dilakkan dengan cara menyap iik-iik yang diawali dari baris demi baris iik dan menghing harga bar dengan mengnakan ngkapan (8-75). Prosedr ini dilanglang hingga keeliian yang diharapkan dicapai. Meode ini diseb dengan ierasi

40 Jacobi seperi yang elah dibahas di aas. Sayangnya, meode ini masih ckp lamba mencapai konvergen. Sa meode yang barangkali lebih baik dibandingkan dengan meode ierasi Jacobi memba algorima erseb menadi benk semi implisi ( ) ρ 4 4 n n n n n, l, l, l, l, l, l (8-76) Dalam skema ini, harga-harga bar dari dignakan segera seelah hargaharga erseb ada, arinya bahwa iik-iik yang sdah er-pdae akan dignakan segera dalam perhingan nk memperoleh harga erbar pada iik beriknya. Skema yang diperlihakan pada (8-76) erseb dikenal dengan meode relaksasi Gass-Seidel. Sayangnya, meode ini ga masih lamba konvergensinya. 8.. Meode Over-Relaksasi Simlan Unk memperoleh meode relaksasi lebih baik dalam hal kecepaan konvergensi, maka kia perl mengkoreksi secara over meode Gass-Seidel. Kia akan melakkan generalisasi erhadap skema (8-76) sehingga seiap langkah relaksasi ϕ, l akan diganikan dengan kombinasi linier anara harga lamanya dan harga erpdaenya. Jadi ω ( ω ) ( ) 4 n n n n n n (8-76), l, l, l, l, l, l, l dimana ω merpakan parameer over relaksasi. Meode ini konvergen hanya dalam ranah < ω <. Unk harga < ω <, maka skema (8-76) diseb dengan nder relaaion, sedangkan nk ranah < ω < skema erseb dikenal dengan over relaaion. Unk harga ω dalam ranah < ω < memberikan konvergensi lebih cepa dibandingkan dengan meode Gass-Seidel. ρ Conoh sorce code nk menyelesaikan Persamaan Laplace menggnakan Ierasi Gass-Seidel dan over relaksasi Program Laplace Ineger ma real omega

41 c c Parameer(ma4,ma5,omega.5) Real*8, p(ma,ma),phip Ineger i,, ier, y membka file op Open(8, File'laplace.da', Sas'Unknown') sisi-sisi aring dengan poensial konsan Do i, ma p(i,). p(i,4). Conine Do, ma p(,). p(5,). Conine c c c c c c algorima ierasi Do ier, wrie(8,)ier Do 3 i,(ma-) Do 4,(ma-) menenkan harga iik-iik pada aring dengan meode Gass-Seidel p(i,).5*(p(i,) * p(i-,)p(i,)p(i,-)) menenkan harga iik-iik pada aring dengan meode over relaksasi dengan parameer relaksasi omega.5 c phip.5*(p(i,) c * p(i-,)p(i,)p(i,-)) c p(i,)(.-omega)*p(i,)omega*phip 4 Conine 3 Conine Wrie (8,) p(,4),p(,4),p(3,4),p(4,4),p(5,4) Wrie (8,) p(,3),p(,3),p(3,3),p(4,3),p(5,3) Wrie (8,) p(,),p(,),p(3,),p(4,),p(5,) Wrie (8,) p(,),p(,),p(3,),p(4,),p(5,) Wrie (*,) p(,4),p(,4),p(3,4),p(4,4),p(5,4) Wrie (*,) p(,3),p(,3),p(3,3),p(4,3),p(5,3) Wrie (*,) p(,),p(,),p(3,),p(4,),p(5,)

42 Wrie (*,) p(,),p(,),p(3,),p(4,),p(5,) conine Forma(i4) Forma(5f.6) Close(8) Sop 'daa ersimpan dalam laplace.da End Conoh ekseksi nk penyelesaian persamaan Laplace menggnakan meode ierasi Gass-Seidel Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke

43 Ierasi ke Conoh ekseksi nk penyelesaian persamaan Laplace menggnakan meode relaksasi dengan parameer relaksasi omega.5 Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke Ierasi ke SOAL LATIHAN

44 . Jelaskan dengan singka perbedaan anara persamaan diferensial hiperbolik, parabolik dan elipik sera berikan conoh masing-masing. Apakah perbedaan fisis erpening anara persamaan hiperbolik dan parabolik di sa sisi dan persamaan elipik di sisi lain.. Apakah persamaan-persamaan diferensial berik merpakan persamaan hiperbolik, parabolik aa elipi? f f f a. 3 f f f f b Persamaan f β f f f f e f f f f f c. 3 6 d. f f f f e. 3 f sin 3 f 3 dapa dinyaakan dalam persamaan beda hingga sebagai berik ( 3 3 ) ( m ) ( m ) ( m) ( m) ( m ) ( m) f f µ f f f f µ 3 ( ) β δ δ n n n n n n 3 enkan kesalahan pemblaan dari persamaan beda erseb. 4. Jelaskan dengan singka, apa yang sadara keahi enang masalah nilai awal dan masalah nilai baas. Apa yang mmbedakan kedanya, dan berikan conohnya masing-masing. 5. Skema La dilis sebagai n n 7 n n ( ) ( ) n i i i i i dengan γ α /. Tnkkan bahwa skema erseb sabil ika < γ <. 6. Persamaan diferensial parsial diberikan oleh

45 dengan a s a (, ) s(, ) (, ) 3. (, ). Dengan mengasmsikan syara awal diberikan oleh (, ) nk enkan penyelesaiaan nk masalah erseb., 7. Persamaan difsi dalam sa rang, dimana konsana difsi D berbah erhadap rang D D ( ) dinyaakan oleh f f f f D f D aa D Tnkkan bahwa persamaan beda dinyaakan sebagai m m m m m m m fn fn fn fn fn Dn Dn fn f n Dn δ δ δ δ idak konservaif, yai bahwa fd idak kekal. 8. Balah sa skema alernaif yang mennkkan bahwa persamaan difsi yang dinyaakan pada soal nomor erseb konservaif. 9. Tnkkan bahwa skema La nk penyelesaiam persamaan adveksi ekivalen dengan f f δ f δ sk orde lebih inggi δ. Uilah perilak penyelesaian like- gelombang f i ( k ω ) La dan elaskan perilak dalam sk-sk difsi. dalam skema ep ( )