PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN MODEL ALIRAN POLUTAN DI TIGA DANAU YANG SALING TERHUBUNG ANDRI TRI WIBOWO

Transkripsi

1 PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN MODEL ALIRAN POLUTAN DI TIGA DANAU YANG SALING TERHUBUNG ANDRI TRI WIBOWO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 213

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyaakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Meode Homoopi unuk Menyelesaikan Model Aliran Poluan di Tiga Danau yang Saling Terhubung adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam benuk apa pun kepada perguruan inggi mana pun. Sumber informasi yang berasal aau dikuip dari karya yang dierbikan maupun idak dierbikan dari penulis lain elah disebukan dalam eks dan dicanumkan dalam Dafar Pusaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipa dari karya ulis saya kepada Insiu Peranian Bogor. Bogor, April 213 Andri Tri Wibowo NIM G5491

4 ABSTRAK ANDRI TRI WIBOWO. Penggunaan Meode Homoopi unuk Menyelesaikan Model Aliran Poluan di Tiga Danau yang Saling Terhubung. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO. Pencemaran danau merupakan masalah serius bagi lingkungan hidup. Salah sau cara pemanauan polusi pada danau dilakukan dengan membangun suau model maemaika. Model penyebaran poluan pada iga danau yang saling erhubung diurunkan dan diselesaikan dengan meode homoopi. Dalam meode homoopi, didefinisikan suau operaor yang didasarkan pada benuk persamaan diferensial dalam model maemaika. Hasil meode ini sesuai dengan meode perurbasi homoopi yang elah dilakukan oleh Merdan (29). Grafik fungsi penyebaran poluan pada iga danau yang saling erhubung diberikan berdasarkan benuk-benuk sumber poluan yang masuk pada danau perama. Kaa kunci: model penyebaran poluan pada iga danau yang saling erhubung, meode homoopi, meode perurbasi homoopi ABSTRACT ANDRI TRI WIBOWO. The Use of Homoopy Mehod for Polluion Models in Inerconneced Three Lake Problems. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO. Polluion of lake is a very serious hrea o he environmen. One way o monior polluion on lakes is consrucing a mahemaical model. The model of spreading polluion on inerconneced hree lakes is solved by using homoopy mehod. In homoopy mehod, i is defined as an operaor based on differenial equaion forms in mahemaical models. The resul of his mehod is compared o he resul of he perurbaion homoopy mehod published by Merdan (29). The graph of spreading polluion funcion on inerconneced hree lakes is based on he forms of polluion sources a he firs pollued lake. Keywords: model of spreading polluion on inerconneced hree lakes, homoopy mehod, perurbaion homoopy mehod

5 PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN MODEL ALIRAN POLUTAN DI TIGA DANAU YANG SALING TERHUBUNG ANDRI TRI WIBOWO Skripsi sebagai salah sau syara unuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Deparemen Maemaika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 213

6

7 Judul Skripsi : Penggunaan Meode Homoopi unuk Menyelesaikan Model Aliran Poluan di Tiga Danau yang Saling Terhubung Nama : Andri Tri Wibowo NIM : G5491 Diseujui oleh Pembimbing I Pembimbing II Dr Jaharuddin, MS NIP Drs Ali Kusnano, M.Si NIP Dikeahui oleh Keua Deparemen Maemaika Dr. Berlian Seiaway, MS NIP Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjakan kepada Allah SWT aas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini juga idak lepas dari banuan beberapa pihak. Unuk iu penulis mengucapkan erima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Ayah A Zawawi (alm) dan ibu Dely Suharini, besera kakak Hendro Wijaya besera isri, Dede Suhardi, ane Tini aas semua doa, dukungan, semanga, pengorbanan, nasiha, pendidikan, perhaian, cina dan kasih sayangnya. 2. Dr. Jaharuddin, M.S. dan Drs. Ali Kusnano, M.Si. masing-masing sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II aas semua ilmu, kesabaran, moivasi, dan banuannya selama penulisan skripsi ini. 3. Dosen dan saf penunjang Deparemen Maemaika aas semua ilmu dan banuannya. 4. Kakak Maemaika 45 dan 44 aas banuan, saran dan semua ilmunya, eman-eman Maemaika 46 aas kebersamaannya, sera eman-eman omda Ikamusi aas banuan, dukungan dan moivasinya selama ini. Semoga karya ilmiah ini dapa bermanfaa dan menjadi inspirasi bagi peniliian-peniliian selanjunya. Bogor, April 213 Andri Tri Wibowo

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL ix DAFTAR GAMBAR ix DAFTAR LAMPIRAN ix PENDAHULUAN 1 Laar Belakang 1 Tujuan Karya Ilmiah 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Penurunan Model Maemaika 2 Meode Homoopi 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 7 Analisis Meode 7 Aplikasi Meode 9 Sumber Poluan Berupa Fungsi Konsan 9 Sumber Poluan Berupa Fungsi Sinusoidal 13 SIMPULAN 17 Simpulan 17 DAFTAR PUSTAKA 17 LAMPIRAN 19 RIWAYAT HIDUP 26

10 DAFTAR TABEL 1 Gala meode homoopi orde ke enam pada kasus perama 11 2 Gala meode perurbasi homoopi orde ke enam pada kasus perama 11 3 Gala meode homoopi orde ke enam pada kasus kedua 14 4 Gala meode perurbasi homoopi orde ke enam pada kasus kedua 15 DAFTAR GAMBAR 1 Laju alir jumlah poluan pada iga danau 2 2 Bagan aliran sumber poluan pada iga danau 3 3 Perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (1) dengan meode homoopi hingga orde keenam dan penyelesaian eksak dengan 7 4 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) unuk danau 1 pada kasus perama 12 5 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) unuk danau 2 pada kasus perama 12 6 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) unuk danau 3 pada kasus perama 12 7 Penyelesaian masalah nilai awal (1) unuk danau 1 pada kasus kedua 15 8 Penyelesaian masalah nilai awal (1) unuk danau 2 pada kasus kedua 16 9 Penyelesaian masalah nilai awal (1) unuk danau 3 pada kasus kedua 16 DAFTAR LAMPIRAN 1 Penurunan persamaan (7) 19 2 Penyelesaian masalah nilai awal (1) 21 3 Penurunan Persamaan (16) 22 4 Program Mahemaica unuk Tabel 1, Tabel 2, dan Gambar 4, 5, dan Program Mahemaica unuk Tabel 3, Tabel 4 dan Gambar 7, 8, dan 9 25

11 PENDAHULUAN Laar Belakang Polusi elah menjadi masalah yang sanga serius bagi lingkungan hidup. Polusi aau pencemaran lingkungan hidup adalah masuknya aau dimasukkannya makhluk hidup, za, energi, aau komponen lain ke dalam lingkungan hidup oleh kegiaan manusia sehingga kualiasnya urun sampai ke ingka erenu yang menyebabkan lingkungan hidup idak dapa berfungsi sesuai dengan perunukkannya. Banyaknya bencana yang erjadi, seperi banjir dan anah longsor, merupakan buki besarnya polusi memengaruhi kelesarian lingkungan hidup. Salah sau masalah yang erkai pencemaran lingkungan hidup, yaiu pencemaran danau. Danau memiliki manfaa yang besar bagi kehidupan manusia, seperi unuk pengairan sawah, sebagai objek pariwisaa, sebagai pembangki lisrik enaga air (PLTA), sebagai sumber penyedia air bagi makhluk hidup sekiar dan juga sebagai pengendali banjir dan erosi, sehingga dibuuhkan penyelamaan bagi danau ersebu. Pemanauan polusi adalah langkah awal menuju perencanaan unuk menyelamakan lingkungan hidup. Pemanauan polusi pada danau dapa dilakukan dengan pendekaan sisem dalam membangun model suau penyebaran jumlah polusi pada danau. Model ini dapa digunakan sebagai bahan perimbangan aau acuan unuk memformulasi kebijakan dalam pengendalian pencemaran yang erjadi. Penggunaan persamaan diferensial dari pemanauan polusi sering muncul pada model maemaika. Dalam karya ilmiah ini, akan dipelajari penyelesaian masalah laju alir jumlah poluan pada iga danau dengan saluran yang saling erhubung. Masalah ini pernah dimodelkan oleh Biazar e al. (26). Model maemaika ersebu dinyaakan dalam benuk sisem persamaan diferensial. Sisem persamaan diferensial ini seringkali suli diselesaikan secara analiik. Beberapa peneliian difokuskan pada penemuan meode pendekaan analiik unuk memeroleh penyelesaian dari masalah yang dimodelkan dalam suau persamaan diferensial. Beberapa meode yang elah digunakan unuk menyelesaikan model laju alir poluan pada iga danau dengan saluran yang saling erhubung adalah meode aproksimasi Pade (Merdan ), meode perurbasi (Merdan 29), meode modifikasi ransformasi diferensial (Merdan 21), dan meode ierasi variasi (Biazar e al. 21). Dengan meode aproksimasi Pade Merdan (28) mencari penyelesaian model poluan dengan menggunakan ransformasi Laplace suau fungsi rasional. Dengan meode perurbasi, Merdan (29) memisalkan penyelesaian model poluan ke dalam benuk dere pangka dari suau parameer kecil. Meode modifikasi ransformasi diferensial, Merdan (21) menggunakan penyelesaian dalam benuk dere Taylor. Sedangkan meode ierasi variasi, Biazar e al. (21) membenuk suau fungsi koreksi dengan menggunakan pengali Lagrange unuk memeroleh penyelesaian model poluan. Dalam karya ilmiah ini akan digunakan meode homoopi (Liao 24) yaiu suau meode pendekaan analiik unuk menyelesaikan suau masalah persamaan diferensial. Dalam meode ini, akan didefinisikan suau operaor yang didasarkan pada benuk persamaan diferensial dari masalah ersebu. Penyelesaian persamaan diferensial dengan menggunakan meode homoopi dimisalkan dalam benuk dere

12 2 yang umum. Hasil-hasil yang diperoleh dengan meode homoopi akan dibandingkan dengan hasil-hasil yang elah diperoleh dengan meode perurbasi homoopi yang elah dilakukan oleh Merdan (29). Tujuan Karya Ilmiah Berdasarkan laar belakang di aas, maka ujuan peneliian ini adalah: a. Menggunakan meode homoopi unuk menyelesaikan model laju alir jumlah poluan pada iga danau yang saling erhubung, dan membandingkan penyelesaian meode ersebu dengan penyelesaian eksaknya. b. Membandingkan hasil-hasil yang diperoleh dari meode homoopi dengan hasil-hasil yang elah diperoleh dalam (Merdan 29). c. Menginerpreasikan hasil-hasil yang didapa sesuai dengan sumber poluan yang diberikan. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dibahas eori-eori yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah ini. Teori-eori ersebu melipui penurunan model laju alir jumlah poluan pada iga danau dengan saluran yang saling erhubung berdasarkan pada Biazar e al. (26), konsep dasar meode homoopi, dan conoh masalah sederhana yang diselesaikan dengan meode ersebu. Penurunan Model Maemaika Beriku ini akan dibahas penurunan model dari permasalahan laju alir jumlah poluan iga danau saling erhubung yang diperlihakan oleh Gambar 1. danau 1 danau 2 sumber poluan danau 3 Gambar 1 Laju alir jumlah poluan pada iga danau Model permasalahan laju alir jumlah poluan iga danau yang saling erhubung didasarkan pada iga danau besar yang berada di perbaasan anara Amerika Serika dan Kanada, yaiu danau Superior, danau Huron, dan danau

13 Michigan. Keiga danau ersebu memiliki saluran berupa pipa yang diperlihakan oleh anak panah pada Gambar 1. Poluan dikenakan ke dalam danau perama dari sumber poluan. Di dalam danau perama poluan dapa mengalir ke danau kedua dan keiga. Pada danau kedua poluan hanya bisa mengalir ke danau keiga, sedangkan di danau keiga, poluan hanya bisa kembali mengalir ke dalam danau perama. Aliran ini dapa disederhanakan ke dalam bagan alir yang diperlihakan pada Gambar 2. 3 Sumber Poluan p() Danau 1 Danau 2 Danau 3 Gambar 2 Bagan aliran jumlah poluan pada iga danau Pada Gambar 2, laju jumlah poluan yang masuk ke danau per uni waku dilambangkan dengan p(), dan konsana dinyaakan sebagai laju aliran volume poluan dari danau i ke danau j. Misalkan merupakan jumlah poluan dalam danau i pada, dengan i = 1, 2, 3. Diasumsikan poluan di masing-masing danau ersebar secara meraa di sepanjang danau oleh proses pencampuran, dan volume air di danau i eap unuk seiap danau. Diasumsikan pula polusi bersifa homogen dan idak menyusu ke benuk lain yang lebih sederhana, sehingga konsenrasi poluan di danau i pada waku diberikan oleh Diasumsikan iap danau pada awalnya bebas dari pencemaran, sehingga () = unuk seiap i = 1, 2, 3. Arus alir poluan dari danau i ke danau j pada seiap waku, didefinisikan sebagai beriku: Besaran digunakan unuk mengukur laju perubahan jumlah poluan di danau i yang mengalir ke danau j pada waku. Berdasarkan proses pencampuran, oal laju perubahan poluan sama dengan selisih laju perubahan poluan yang masuk dan keluar. Menerapkan prinsip ini unuk seiap danau menghasilkan sisem persamaan diferensial orde perama beriku: (1)

14 4 dengan jumlah poluan pada danau dalam waku, dimana, suau konsana dari laju alir volume poluan dari danau ke danau, p() fungsi laju jumlah poluan saa masuk ke danau per uni waku sebagai sumber poluan, volume air di danau, dimana. Selanjunya, asumsikan pula bahwa volume keiga danau ersebu idak berubah selama proses pencampuran poluan. Jadi laju alir volume poluan ke dalam danau sama dengan laju alir volume poluan yang keluar dari danau, sehingga diperoleh persamaan beriku: F 13 = F 21 + F 31, F 21 = F 32, F 31 + F 32 = F 13. Dalam ulisan ini akan diselesaikan masalah (1) dengan kendala (2) dan x i () =, i = 1, 2, 3 dengan menggunakan meode homoopi dan membandingkan hasilnya dengan meode perurbasi homoopi yang elah dilakukan oleh Merdan (29). Meode Homoopi Beriku ini diberikan ilusrasi konsep dasar meode homoopi berdasarkan pada (Liao, 24). Misalkan diberikan persamaan diferensial beriku: A[y()] =. (3) dengan A suau operaor urunan dan y fungsi yang akan dienukan dan berganung pada. Selanjunya didefinisikan pula suau operaor linear yang memenuhi [f] =, bila f =. (4) Didefinisikan suau fungsi homoopi sebagai beriku: (u(,q),q) = (1 - q) [u(,q) - ] + qa[u(,q)], (5) dengan u fungsi yang akan dienukan dan berganung pada dan parameer q. Fungsi merupakan pendekaan awal dari penyelesaian. Pada saa q =, persamaan (5) menjadi (u(,),) = [u(,) - ], dan pada saa q = 1 menjadi (u(,1),1) = A[u(,q)]. Berdasarkan persamaan (3) dan (4), maka penyelesaian persamaan (u(,),) = dan (u(,1),1) = masing-masing adalah u(,) =, dan u(,1) = y(). Dere Taylor unuk fungsi u(,q) erhadap q di sekiar q = adalah (2)

15 5 Misalkan dinoasikan Karena u(,) =, maka (6) Karena u(,1) = y(), maka pada saa q = 1 diperoleh (7) Pada meode homoopi, fungsi u(,q) adalah penyelesaian dari persamaan (u(,q),q) = aau (1 - q) [u(,q) - ] = - qa[u(,q)]. Selanjunya persamaan ersebu diurunkan erhadap q hingga m kali dan dievaluasi pada q =, maka diperoleh persamaan sebagai beriku: [ m - ] = - R m ( m - 1 ), (8) dengan - = (, ), (9) Hasil pada meode homoopi dengan menyelesaikan persamaan (8) digunakan unuk memeroleh penyelesaian persamaan (3) yaiu pada persamaan (7). Penurunan persamaan (8) dapa diliha pada Lampiran 1. Unuk lebih memahami meode homoopi yang elah dibahas di aas, misalkan diberikan suau masalah nilai awal beriku: (1) dengan syara awal x() = dan y() =. Penyelesaian eksak masalah nilai awal persamaan (1) adalah e ( e e ) (11)

16 6 Beriku ini akan dicari penyelesaian masalah nilai awal (1) dengan menggunakan meode homoopi. Misalkan didefinisikan operaor beriku (12) dengan q merupakan suau parameer, dan adalah suau fungsi yang berganung pada dan q. Didefinisikan suau fungsi homoopi yang diperluas berdasarkan persamaan (12) sebagai beriku: Pada meode homoopi dibuuhkan perluasan persamaan (8), sehingga diperoleh ( - - ) dengan (13) dan diberikan pada persamaan (9). Misalkan penyelesaian pendekaan awal,. Selanjunya persamaan (13) disubsiusikan ke persamaan, dan diinegralkan kedua ruas erhadap sehingga diperoleh Misalkan penyelesaian pendekaan awal = r 1 dan = r 2, maka unuk m = 1 dan berdasarkan persamaan (14) diperoleh dan unuk m = 2, diperoleh dan dan ds (14) Jika proses dilanjukan, maka diperoleh penyelesaian,, dan,,. Sehingga penyelesaian masalah nilai awal (1) berdasarkan meode homoopi adalah

17 7 Program Mahemaica unuk menggambarkan grafik dan dapa diliha pada Lampiran 2. Gambar 3 menunjukkan perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (1) secara eksak dengan penyelesaian menggunakan meode homoopi. Berdasarkan Gambar 3 ersebu diperoleh bahwa penyelesaian pendekaan dari masalah nilai awal (1) mendekai penyelesaian eksaknya dengan baik. Hasil ini menunjukkan bahwa meode homoopi dapa digunakan unuk menyelesaikan sisem persamaan diferensial dengan nilai awal aau nilai baas yang diberikan. 4 y() x() 3 HOMOTOP I EKSAK Gambar 3 Perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (1) dengan meode homoopi hingga orde keenam dan penyelesaian eksak dengan 1 HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penggunaan meode homoopi unuk menyelesaikan masalah laju alir jumlah poluan pada iga danau yang saling erhubung. Pada bagian ini juga, diberikan conoh dua kasus berdasarkan benuk fungsi dari sumber poluan. Hasilnya berupa kurva yang menyaakan hubungan anara jumlah poluan pada keiga danau erhadap waku. Hasil-hasil ersebu akan dibandingkan dengan hasil-hasil yang elah diperoleh pada (Merdan 29). Analisis Meode Akan digunakan perluasan meode homoopi unuk menyelesaikan model dari permasalahan laju alir jumlah poluan pada iga danau yang saling erhubung. Misalkan didefinisikan operaor linear sebagai beriku:

18 8 dengan (15) dengan fungsi yang berganung pada dan q. Didefinisikan suau fungsi homoopi yang diperluas berdasarkan persamaan (15) sebagai beriku: Pada meode homoopi dibuuhkan perluasan persamaan (8), sehingga diperoleh ( ) dengan (16) (17) Penurunan persamaan (16) diberikan pada lampiran 3 dan diberikan pada persamaan (9). Misalkan penyelesaian pendekaan awal,, dan. Jika benuk pada persamaan (17) disubsiusikan ke persamaan (16), dengan,, dan pada persamaan (15), kemudian kedua ruasnya diinegralkan erhadap, maka unuk m diperoleh (18)

19 9 Penyelesaian masalah nilai awal persamaan (1) dengan meode homoopi hingga orde keenam dinyaakan dalam persamaan beriku: Aplikasi Meode Pada bagian ini meode homoopi akan diaplikasikan dengan masukan daadaa sebagai beriku: jumlah poluan yang masuk ke danau i pada saa = adalah i, dengan i = 1,2,3, volume konsan dari seiap danau adalah mi, mi, mi, laju aliran volume poluan ke dalam suau danau dari danau lainnya iap ahunnya adalah mi ah n, mi ah n, mi ah n dan mi ah n. Besaran-besaran ini harus memenuhi kendala-kendala yang diperoleh pada persamaan (2). Dalam karya ilmiah ini, diinjau dua kasus laju alir jumlah poluan yang masuk ke danau perama dari sumber poluan yaiu: i. Laju alir jumlah poluan berupa fungsi konsan. Pada kasus ini, jumlah poluan yang masuk ke dalam danau perama berambah erus menerus secara linear hingga waku erenu. ii. Laju alir jumlah poluan berupa fungsi sinusoidal. Pada kasus ini, jumlah poluan yang masuk ke dalam danau perama berubah-ubah secara periodik erhadap waku. Sumber Poluan Berupa Fungsi Konsan Misalkan laju alir jumlah poluan yang masuk ke danau perama dari sumber poluan, yaiu p() diberikan sebagai beriku:

20 1 dengan C in adalah raa-raa laju alir jumlah poluan selama proses pencampuran erjadi hingga waku dan nilai = seelah waku. Asumsikan = 1 poluan per sauan waku, yang menyaakan bahwa laju alir jumlah poluan yang masuk ke danau perama sebagai sumber poluan sebesar 1 poluan per ahun unuk selama 1 ahun. Berdasarkan persamaan (18), unuk m = 1 diperoleh Unuk, diperoleh Jika proses dilanjukan, maka diperoleh penyelesaian,, dan, Jadi berdasarkan meode homoopi diperoleh penyelesaian model persamaan (1) sampai orde keenam dengan p() fungsi konsan sebagai beriku: Berdasarkan nilai parameer-parameer yang elah diberikan dengan p() = 1, diperoleh penyelesaian eksak pada selang 1 sebagai beriku: ( ) ( ( ) ( ) os ( ) ( ( ) ( ) os ( ) ( ( ) ( ) os

21 Beriku ini diberikan Tabel 1 yaiu selisih anara penyelesaian meode homoopi dengan penyelesaian eksaknya. Tabel 2 yaiu selisih anara penyelesaian meode perurbasi homoopi yang diperoleh dari (Merdan 29) dengan penyelesaian eksaknya. Tabel 1 Gala meode homoopi orde ke enam pada kasus perama Tabel 2 Gala meode perurbasi homoopi orde ke enam pada kasus perama Berdasarkan Tabel 1 raa-raa gala yang dihasilkan dengan menggunakan meode homoopi unuk danau perama, kedua, dan keiga masing-masing sebesar ; 1,29 1-6, dan,12. Pada Tabel 2 dengan menggunakan meode perurbasi homoopi, danau perama, kedua, dan keiga masing-masing menghasilkan raa-raa gala sebesar 2, ; 6, dan 4, Dari kedua abel ersebu, meode homoopi memiliki penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih gala yang dihasilkan oleh meode ini pada beberapa selang sanga kecil. Hal ini berari meode homoopi dapa digunakan unuk menghampiri penyelesaian eksak masalah poluan di iga danau yang saling erhubung pada kasus p() berupa fungsi konsan. 11

22 12 Beriku ini diberikan Gambar 4, 5, dan 6 yang merupakan penyelesaian eksak persamaan (1) unuk kasus perama. Gambar 4, 5, dan 6 masing-masing menunjukkan grafik penyelesaian unuk x 1 (), x 2 (), dan x 3 (). x 1 () Gambar 4 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) unuk danau 1 pada kasus perama x 2 () Gambar 5 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) unuk danau 2 pada kasus perama x 3 () Gambar 6 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) unuk danau 3 pada kasus perama Berdasarkan Gambar 4, 5, dan 6 diperoleh bahwa semakin besar nilai unuk selang waku selama 1 ahun, semakin besar jumlah poluan yang dihasilkan. Pada selang waku di aas 1 ahun, jumlah poluan menjadi sabil, eapi seiap danau mengalami perubahan penambahan jumlah poluan. Pada danau perama, jumlah poluan menurun hingga konvergen ke 588,234, sedangkan pada danau kedua dan danau keiga, jumlah poluan mengalami kenaikan hingga masing-masing konvergen ke 172,415 dan 239,352. Hal ini disebabkan oleh idak

23 adanya poluan yang masuk ke danau perama pada selang waku di aas 1 ahun ( p() =, > 1 ) dan erjadi proses pencampuran dari keiga danau. Jika perubahan jumlah poluan dari keiga danau pada bulan keiga dalam selang 1 ahun diamai, maka danau perama, kedua dan keiga masing-masing menghasilkan laju perubahan jumlah poluan sebesar 99,67;,15;,33. Jumlah dari keiga hasil ersebu sama dengan laju perubahan jumlah poluan yang berada di keiga danau yaiu 1 poluan/ahun. Toal laju perubahan dari jumlah poluan keiga danau meningka secara linear berganung pada fungsi konsan p() yang diberikan yaiu bernilai 1. Dengan demikian poluan yang diberikan dari sumber poluan akan menyebar ke seiap danau. Sumber Poluan Berupa Fungsi Sinusoidal Misalkan laju alir jumlah poluan yang masuk ke danau perama dari sumber poluan, yaiu p() diberikan sebagai beriku: ( ) dengan a simpangan normal yang memengaruhi nilai maksimum dan minimum fungsi p() dan selalu bernilai anara dan 1, T periode yang dibuuhkan dalam perubahan jumlah poluan selama proses pencampuran, C i raa-raa laju alir jumlah poluan selama proses pencampuran. Agar laju alir jumlah poluan ersebu selalu bernilai posiif dan berubahubah secara periodik dari sampai dengan 2, maka diasumsikan = 1, a = 1, dan T = 2. Berdasarkan persamaan (17), unuk m = 1 diperoleh 13 Unuk m = 2, diperoleh

24 14 Jika proses dilanjukan, maka diperoleh penyelesaian,, dan, Jadi berdasarkan meode homoopi diperoleh penyelesaian model sampai orde keenam persamaan (1) dengan p() fungsi sinusoidal sebagai beriku: Berdasarkan nilai parameer-parameer yang elah diberikan dengan fungsi p() = 1(1 + sin ), diperoleh penyelesaian eksak sebagai beriku: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Beriku ini diberikan Tabel 3 yaiu selisih anara penyelesaian meode homoopi dengan penyelesaian eksaknya. Tabel 4 yaiu selisih anara penyelesaian meode perurbasi homoopi yang diperoleh dari (Merdan 29) dengan penyelesaian eksaknya. Tabel 3 Gala meode homoopi orde ke enam pada kasus kedua

25 Berdasarkan Tabel 3 raa-raa gala yang dihasilkan dengan menggunakan meode homoopi unuk danau perama, kedua, dan keiga masing-masing menghasilkan raa-raa gala sebesar 7, ; 1, dan,12. Tabel 4 Gala meode perurbasi homoopi orde ke enam pada kasus kedua Pada Tabel 4 dengan menggunakan meode perurbasi homoopi, danau perama, kedua dan keiga masing-masing menghasilkan raa-raa gala sebesar 1, ; 1, dan 8, Dari kedua abel ersebu, meode homoopi memiliki penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih gala yang dihasilkan oleh meode ini pada beberapa selang sanga kecil. Hal ini berari meode homoopi dapa digunakan unuk menghampiri penyelesaian eksak masalah poluan di iga danau yang saling erhubung pada kasus p() berupa fungsi sinusoidal. Beriku ini diberikan Gambar 7, 8, dan 9 yang merupakan penyelesaian eksak persamaan (1) unuk kasus kedua. Gambar 7, 8, dan 9 masing-masing menunjukkan grafik penyelesaian unuk x 1 (), x 2 (), dan x 3 (). x 1 () Gambar 7 Penyelesaian masalah nilai awal (1) unuk danau 1 pada kasus kedua

26 16 x 2 () Gambar 8 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) unuk danau 2 pada kasus kedua x 3 () Gambar 9 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) unuk danau 3 pada kasus kedua Berdasarkan Gambar 7, 8, dan 9 diperoleh bahwa semakin besar nilai, semakin besar jumlah poluan yang dihasilkan. Pada danau perama, perubahan jumlah poluan berganung pada suau selang waku. Unuk selang waku anara sampai 2 ahun, jumlah poluan meningka secara signifikan. Namun pada selang waku anara 2 sampai 4 ahun, jumlah poluan meningka secara perlahan melalui iik belok di sama dengan. Hal iu erjadi erus menerus unuk selang waku berikunya. Pada danau kedua dan keiga, perubahan jumlah poluan berubah-ubah sesuai selang waku erenu. Pada selang waku anara sampai 7 ahun, jumlah poluan meningka secara perlahan. Seelah iu, jumlah poluan meningka secara signifikan unuk selang waku yang besar. Hal ini disebabkan oleh sumber poluan berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik. Jika perubahan jumlah poluan dari keiga danau pada bulan keiga dalam selang 1 ahun diamai, maka danau perama, kedua dan keiga masing-masing menghasilkan laju perubahan jumlah poluan sebesar 124,37;,17;,37.

27 17 SIMPULAN Simpulan Model permasalahan laju alir poluan pada iga danau yang saling erhubung didasarkan pada iga danau besar yang berada di perbaasan anara Amerika Serika dan Kanada, yaiu danau Superior, danau Huron, dan danau Michigan. Tiap danau memiliki saluran penghubung berupa pipa. Poluan dikenakan ke dalam danau perama sebagai sumber poluan yang berupa fungsi konsan, dan fungsi sinusoidal. Hal ini akan memengaruhi perubahan jumlah poluan pada seiap danau. Model permasalahan laju alir poluan pada iga danau yang saling erhubung diselesaikan dengan menggunakan meode homoopi. Dari kedua fungsi masukan sebagai sumber poluan ersebu, meode homoopi memiliki penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih gala yang dihasilkan oleh meode ini pada beberapa selang waku sanga kecil. Hal ini berari meode homoopi dapa digunakan unuk menghampiri penyelesaian eksak masalah poluan di iga danau yang saling erhubung. Pada fungsi masukan (sumber poluan) berupa fungsi konsan, semakin besar nilai unuk selang waku selama 1 ahun, semakin besar jumlah poluan yang dihasilkan. Pada selang waku di aas 1 ahun, jumlah poluan menjadi sabil. Hal ini disebabkan oleh idak adanya poluan yang masuk ke danau perama pada selang waku di aas 1 ahun. Perubahan oal dari jumlah poluan keiga danau meningka secara linear berganung pada nilai konsan pada fungsi masukan yang diberikan, yaiu bernilai 1 poluan/ahun. Dengan demikian poluan yang diberikan dari sumber poluan menyebar ke seiap danau. Pada fungsi masukan berupa fungsi sinusoidal, semakin besar nilai, semakin besar jumlah poluan yang dihasilkan. Pada danau perama, perubahan jumlah poluan berganung pada selang waku erenu. Unuk selang waku anara sampai 2 ahun, jumlah poluan meningka secara signifikan. Namun pada selang waku anara 2 sampai 4 ahun, jumlah poluan meningka secara perlahan melalui iik belok di sama dengan. Hal iu erjadi erus menerus unuk selang waku berikunya. Pada danau 2 dan 3, perubahan jumlah poluan pun berubahubah sesuai dengan selang waku erenu. Pada selang waku anara sampai 7 ahun, jumlah poluan meningka secara perlahan. Seelah iu, jumlah poluan meningka secara signifikan unuk selang waku yang besar. Hal ini disebabkan oleh sumber poluan berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik. DAFTAR PUSTAKA Biazar J, Farrokhi L, Islam MR. 26. Modelling he polluion of a sysem of lakes. Applied Mahemaics and Compuaion. 178: Biazar J, Shahbala M, Ebrahimi H. 21. VIM for solving he polluion problem of a sysem of lakes. Journal of Conrol Science and Engineering. 21: doi:1.1155/21/

28 18 Liao. 24. Beyond Perurbaion: Inroducion o he Homoopy Analysis Mehod. Boca Raon, New York. Merdan M He s variaional ieraion mehod applied o he sol ion of modelling he polluion of a sysem of lakes. DPU Fen Bilimleri Dergisi. 29(18): Merdan M. 29. Homoopy perurbaion mehod for solving modelling he polluion of a sysem of lakes. SDU Journal of Science (E-Journal). 4(1): Merdan M. 21. A new applicaion of modified differenial ransformaion mehod for modelling he polluion of a sysem of lakes. Selcuk Journal of Applied Mahemaics. 11(2):27-4.

29 19 Lampiran 1 Penurunan persamaan (7) Tinjau persamaan beriku : aau Selanjunya, persamaan di aas diurunkan erhadap hingga kali. Turunan perama (m = 1) sehingga diperoleh Turunan ke-dua (m = 2) sehingga diperoleh

30 2 Turunan ke-iga (m = 3) sehingga diperoleh Dengan langkah yang sama, urunan ke m pada saa q = adalah Jika kedua ruas dari persamaan di aas di bagi denganm!, maka diperoleh aau ( - ) dengan - ( ) dan

31 21 Lampiran 2 Penyelesaian masalah nilai awal (1) n=6; r1=5; r2=8; METODE HOMOTOPI x[1,_]:=(r1+r2) y[1,_]:=(9r1+r2) i i s i s i s i s ds i i s i s i s i s ds n r i i n r i i h[_]:=1/6 Exp[-2](3r1+3Exp[6]r1-r2+Exp[6]r2) g[_]:=1/2 Exp[-2](3r1+3Exp[6]r1+r2+Exp[6]r2) Plo[{x[],y[],h[],g[]},{,,1},PloSyle {Auomaic,Auomaic,Dashed,Dashed }]

32 22 Lampiran 3 Penurunan Persamaan (16) dengan Tinjau persamaan (7) yang elah diperluas beriku : ( ) dan. Beriku ini benuk - - -, - - -, dan akan disederhanakan. Diberikan operaor aklinear beriku maka dapa dienukan penyederhanaan nilai - - -, - - -, dan - - -

33 23 m

34 24 Lampiran 4 Program Mahemaica unuk Tabel 1, Tabel 2, dan Gambar 4, 5, dan 6 r1=; r2=; r3=; v1=29; v2=85; v3=118; F13=38; F31=2; F32=18; F21=18; p=1; h=-1; n=6; METODE HOMOTOPI a[1,_] := - (r1 - F13 (r3/v3-r1/v1) p ) b[1,_] := - (r2 - F21 (r1/v1-r2/v2) ) c[1,_] := - (r3 - F13(r1/v1) - F32(r2/v2) + F13(r3/v3)) m s a m s a m a m (a m ds b m b m (b m m m ( m a r a m n m n b r b m m n r m m a m s b m s ds) a m s b m s m s ds ) ) f D olve v v v v v v v y1[_] Evaluae[x[]/.f] y2[_] Evaluae[y[]/.f] y3[_] Evaluae[z[]/.f] f1:=plo[evaluae[x[]/.f],{,,1},plosyle Dashed] f2:=plo[evaluae[y[]/.f],{,,1},plosyle Dashed] f3:=plo[evaluae[z[]/.f],{,,1},plosyle Dashed] able bs a i i i able bs b i i i able bs i i i

35 Lampiran 5 Program Mahemaica unuk Tabel 3, Tabel 4 dan Gambar 7, 8, dan 9 r1=; r2=; r3=; v1=29; v2=85; v3=118; F13=38; F31=2; F32=18; F21=18; h=-1; n=6; METODE HOMOTOPI a[1, _] := h ( r1 - F13 (r3/v3 - r1/v1) + Cos[]) b[1, _] := h (r2 - F21 (r1/v1 - r2/v2) ) c[1, _] := h (r3 - F13(r1/v1) - F32(r2/v2) + F13(r3/v3)) m s a m s a m a m (a m ds b m b m (b m m m ( m a r a m n m n b r b m m n r m m a m s b m s f D olve sin() v v v v v y1[_]:=evaluae[x[]/.f] y2[_] Evaluae[y[]/.f] y3[_] Evaluae[z[]/.f] f1:=plo[evaluae[x[]/.f],{,,1},plosyle Dashed] f2:=plo[evaluae[y[]/.f],{,,1},plosyle Dashed] f3:=plo[evaluae[z[]/.f],{,,1},plosyle Dashed] Table[Abs[a[i] y1[i]],{i,,1,.1}] Table[Abs[b[i] y2[i]],{i,,1,.1}] Table[Abs[c[i] y3[i]],{i,,1,.1}] ds) ) 25 a m s b m s m s ds ) v v

36 26 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Laha, Sumaera Selaan pada anggal 4 Juni 1991 sebagai anak keiga dari iga bersaudara dari pasangan A Zawawi (alm) dan Dely Suharini. Pendidikan formal yang diempuh penulis yaiu di TK Bhayangkari Muara Enim lulus pada ahun 1997, SD Negeri 18 Muara Enim lulus pada ahun 23, SMP Negeri 1 Muara Enim lulus pada ahun 26, SMA Negeri 1 Muara Enim lulus pada ahun 29 dan pada ahun yang sama penulis dierima di Insiu Peranian Bogor melalui jalur USMI di Deparmen Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam. Selama menunu ilmu di IPB, penulis akif di organisasi kemahasiswaan Gugus Mahasiswa Maemaika (GUMATIKA) sebagai Sekrearis Umum pada ahun 211, dan sebagai Wakil Keua pada ahun 212. Penulis juga pernah menjadi wakil dari IPB unuk mengikui Olimpiade Sains Nasional bidang Maemaika di ingka region 3 pada ahun 211 dan 212. Selain iu penulis pernah menjadi pengajar olimpiade maemaika di SMP Negeri 5 Bogor, sera menjadi asisen dosen unuk maa kuliah Persamaan Differensial Biasa pada ahun 211, Penganar Teori Peluang pada ahun 211, Persamaan Differensial Parsial pada ahun 212 dan 213, dan Kalkulus III pada ahun 212 dan 213.