Persamaan Differensial Parsial Difusi Homogen pada Selang. dengan Kondisi Batas Dirichlet dan Neumann

Transkripsi

1 Okober 16, Vol. 1, No.1. ISSN: Persamaan Differensial Parsial Difusi Homogen pada Selang, dengan Kondisi Baas Dirichle dan Neumann Rukmono Budi Uomo Universias Muhammadiyah Tangerang Absrac This paper eamines he Parial Differenial Equaions (PDP) Homogeneous Diffusions on he inerval wih Dirichle and Neumann boundary condiions. Research done by undersanding in advance of he general form of differenial equaions homogeneous diffusions wihou boundary condiions and find soluions compleion. Once he research is done by inroducing a common form PDP Diffusions Homogeneous wih Dirichle and Neumann boundary condiions and heir compleion. In his paper also included eamples of he applicaion of PDP Hea homogeneous for boh ypes of he boundary condiions and he analysis. Keywords: Diffusion PDE, Dirichle and Neumann Boundary Value Problem PENDAHULUAN Misalkan sebuah pipa lurus berbenuk abung berisikan cairan ak bergerak yang mengandung za kimia (poluan) dan menyebar melewai cairan ersebu. Para penelii ingin menyelidiki bagaimana konsenerasi puluan pada posisi saa. Masalah seperi ini disebu panas aau difusi dengan solusi dicari menggunakan persamaan differensial parsial. Persamaan Differensial Parsial (PDP) adalah suau persamaan yang melibakan suau fungsi dengan urunannya. PDP merupakan persamaan differensial bagi fungsi yang memiliki lebih dari sau variabel bebas dan hal inilah yang membedakan dari Persamaan Differensial Toal. Apabila diberikan suau fungsi Z F, maka urunan fungsi Z ersebu disebu Persamaan Differensial Toal, karena fungsi akan diurunkan kepada sau-saunya variabel bebas yang dimiliki yakni.turunan oal unuk fungsi ini dalam maemaika dinoasikan dengan dz d aau df. Lain halnya apabila d Z F, y, maka fungsi Z dapa diurunkan kepada variabel bebas, erdapa suau fungsi Z dinoasikan dengan d dan y, dinoasikan dengan Z sehingga urunan ini disebu dy urunan aau differensial parsial. PDP Difusis sanga era kaiannya dengan kehidupan sehari hari. Misalnya saja dalam percobaan memasukkan suau za kimia kedalam sebuah pipa yang mengandung cairan, maka unuk mengeahui berapa banyaknya poluan pada posisi saa haruslah menggunakan model PDP Difusi. Percobaan aau rise ini banyak dilakukan oleh perusahaan yang bergerak dalam bidang kimia lingkungan, indusri bahkan kimia-biologi. Berdasarkan hal iulah perlu dikaji mengenai pembenukan model difusi Tulisan ini berujuan menguraikan benuk umum dari model PDP Difusi homogen sederhana. Dimulai dari pembenukan model difusi, kemudian membenuk model difusi homogen dalam domain anpa syara baas, kemudian mencari solusi penyelesaiannya. Lebih lanju akan diuraikan benuk umum PDP Difusi dengan syara baas Dirichle dan Neumann besera solusi penyelesaiannya unuk kedua kondisi ersebu. Sebagaimana dikeahui bahwa dalam model maemaika, pasi akan ada syara awal dan baas yang diberikan. Syara-syara ini unuk menemukan solusi khusus dari model ersebu disamping berguna dalam proses simulasi dengan nilai parameer yang elah dienukan. Tidak lupa dalam peneliian ini juga diberikan conoh Page 1

2 Okober 16, Vol. 1, No.1. ISSN: penerapan penggunaan model PDP Difusi baik unuk PDP dengan syara baas Dirichle maupun Neumann. METODE Meode yang digunakan dalam peneliian ini adalah pusaka, yakni mempelajari erlebih dahulu benuk umum PDP Difusi homogen anpa syara baas dan mencari solusinya. Seelah iu, dibenuk PDP Difusi dengan syara baas Diricle dan Neumann sera mencari solusi penyelesaian unuk kedua syara baas ersebu. Buku-buku penunjang yang digunakan dalam peneliian ini anara lain adalah buku Parial Differenial Equaions karya Srauss, Inroducion o Differenial Equaions: Lecure Noes karya Jeffrey R Chasnov, Handbook of Differenial Equaions: Saionary Parial Differenial Equaions Volume 5 karya Michel Chipo buku Persamaan Differensial Parsial dari Deparemen Maemaika FMIPA ITB dan sumber-sumberlain yang dapa diliha ada dafar pusaka HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaan Difusi Homogen Misalkan sebuah cairan ak bergerak mengisi sebuah pipa aau abung lurus. Akan diselidiki konsenrasi za kimia yang menyebar melewai cairan ersebu pada posisi U, yang saa. Konsenrasi poluan pada posisi saa dinoasikan dengan merupakan solusi pari PDP Difusi. Unuk mencari solusi U, enu saja perama kali harus dicari erlebih dahulu mengenai Persamaan Difusi yang dimaksud Massa dari suau poluan saa didefinisikan dengan, M U d Kemudian apabila persamaan 1 ersebu diurunkan erhadap variabel waku maka akan diperoleh benuk sebagai beriku dm U d, d Persamaan merepresenasikan perubahan konsenrasi za iap sauan waku. Hukum Fick menyaakan bahwa laju poluan yang masuk (fluks) sebanding dengan negaif gradien konsenrasi. Dalam maemaik, Hukum Fick ini dapa diuliskan sebagai dm ku, ku, 3 d 3, maka akan diperoleh persamaan Dengan memandang benuk persamaan dan sebagai beriku 1,,, U d ku ku,, k U U ku, d 4 Persamaan 4 merupakan persamaan Difusi homogen yang dapa diuliskan kembali sebagai Page

3 Okober 16, Vol. 1, No.1. ISSN: U ku U ku 4 Persamaan Difusi Dalam Inerval Benuk umum persamaan Difusi dalam inerval U ku,, 5 dinyaakan sebagai U, pada persamaan 5 merupakan syara awal unuk persamaan bernilai. Benuk U, Difusi pada inerval yang merepresenasikan solusi U, saa Lebih lanju, akan dicari solusi U, pada persamaan 5. Sebelum dilakukan pencarian solusi U, pada persamaan 5,dikenalkan erlebih dahulu 5 sifa invarian dengan U, merupakan solusi persamaan yang diunjukkan pada persamaan 5, kelima sifa ersebu anara lain: 1. Apabila U, merupakan solusi persamaan merupakan solusi bagi persamaan ersebu. U, seperi U, U dan. Turunan-urunan dari fungsi 5, maka U y, juga U juga merupakan solusi. 3. Berdasarkan sifa invarian nomer, jika U dan U merupakan solusi persamaan 5, maka juga berlaku sifa superposisi yakni U Ujuga merupakan solusi PDP ersebu 4. Inegral dari suau benuk solusi PDP Difusi juga merupakan solusi dan 5. Benuk U, a a juga merupakan solusi yang disebu sifa dilaasi. Dalam sifa invarian di aas, apabila S, adalah solusi PDP Difusi, maka berdasarkan sifa invarian nomer 1, S y, juga merupakan solusi PDP ersebu. Lebih lanju dibenuk fungsi Berdasarkan persamaan,, U S y y dy 6 6, dapa diemukan nilai U dan U sebagai beriku : U S y y dy,, 7 U, S y, ydy Dilain pihak, misalkan diberikan suau fungsi, dengan syara awal Q, 1,, 8 Q yang memenuhi persamaan difusi 9 Page 3

4 Okober 16, Vol. 1, No.1. ISSN: Misalkan dibenuk Q, GP diemukan dengan P. Berdasarkan hal ersebu dapa Karena Q kq dapa diuliskan kembali sebagai ' '' Q kq PG G, maka persamaan 1 1 ' 1 '' '' ' PG G G PG 4 11 yang merupakan Persamaan Differensial homogen orde. Solusi dari persamaan 11. Dari persamaan 11, solusi umumq, adalah P 1 Q, C e dp C 1 Dengan memandang syara awal pada persamaan 9, maka akan dienukan solusi khusus dari PDP Difusi pada inerval. Berdasarkan syara awal yang diberikan dapa diperlihakan bahwa 1. Jika Q, 1, dengan demikian diperoleh persamaan. Jika, maka nilai P C e dp C 1 C C 1, maka nilai Q,, dengan demikian diperoleh persamaan P C e dp C C C 1 1 Dari persamaan 13 dan 14 diperoleh nilai C1 dan C dan. Berdasarkan hal ersebu, solusi khusus PDP Panas pada inerval adalah Definisikan S, Q, 1 P 1 15 Q, e dp, maka diperoleh 1 S, e, 16 Dengan meliha persamaan 16, maka solusi penyelesaian PDP Difusi pada inerval berdasarkan persamaan 6 adalah y 1 U, e y dy 17 Page 4

5 Okober 16, Vol. 1, No.1. ISSN: Persamaan Difusi Dalam Inerval Dengan Syara Baas Dirichle Benuk umum Persamaan Difusi dalam inerval dengan syara baas Dirichle dedefinisikan sebagai beriku U ku,,,, U U Sebelum mencari solusi PDP Difusi dengan syara baas Dirichle pada persamaan 18, perlu dikenalkan mengenai perluasan fungsi ganjil yang berkorespondensi dengan syara baas Dirichle. Perluasan fungsi ganjil didefinisikan sebagai 1, 1, 19, Berdasarkan hal ersebu solusi PDP Difusi unuk syara baas Dirichle adalah 18 y y 1 1 U, e y dy e y dy Misalkan z y, maka dz dy, dan perhaikan bahwa unuk y maka z, dan unuk y maka kembali sebagai z. Berdasarkan hal ersebu, persamaan z y dapa diuliskan 1 1 U, e zdz e ydy 1 Lebih lanju dimisalkan kembali z y maka dz dy dan perhaikan bahwa unuk y maka z, dan unuk y maka z. Berdasarkan hal ersebu, persamaan 1 dapa diuliskan kembali sebagai y y 1 1 U, e ydy e ydy Berdasarkan hal ersebu, solusi PDP Difusi unuk syara baas Dirichle adalah 1 y y U, e e ydy 4 k 3 Persamaan Difusi Dalam Inerval Dengan Syara Baas Neumann Benuk umum Persamaan Difusi dalam inerval dengan syara baas Neumann dedefinisikan sebagai beriku U ku,,,, U U 4 Page 5

6 Okober 16, Vol. 1, No.1. ISSN: Sebelum mencari solusi PDP Difusi dengan syara baas Neumann pada persamaan 4, perlu dikenalkan mengenai perluasan fungsi genap yang berkorespondensi dengan syara baas Neumann. Perluasan fungsi genap didefinisikan sebagai,, 5, Berdasarkan hal ersebu solusi PDP Difusi unuk syara baas Neumann adalah Misalkan z y y 1 1 U, e y dy e y dy 6 y, maka dz dy, dan perhaikan bahwa unuk y maka z, dan unuk y maka kembali sebagai z. Berdasarkan hal ersebu, persamaan z y 6 dapa diuliskan 1 1 U, e zdz e ydy 7 z y 1 1 e zdz e ydy Lebih lanju dimisalkan kembali z y maka dz dy dan perhaikan bahwa unuk y maka z, dan unuk y maka z. Berdasarkan hal ersebu, persamaan 7 dapa diuliskan kembali sebagai y y 1 1 U, e ydy e ydy 8 Berdasarkan hal ersebu, solusi PDP Difusi unuk syara baas Neumann adalah 1 y y U, e e ydy 4 k 9 Dalam penyelesaian PDP Difusi, sanga mungkin solusinya merupakan suau benuk fungsi seperi eror funcion, unuk hal demikian perlu didefinisikan suau fungsi yang disebu eror funcion. Eror funcion pada variabel aau erf didefinisikan sebagai P 3 erf e dp Beberapa sifa dari 1. erf erf anara lain: Page 6

7 Okober 16, Vol. 1, No.1. ISSN: P P. erf e dp e dp erf 3. P cerf 1 erf 1 e dp CONTOH PENERAPAN 1. Diberikan PDP Difusi dengan syara baas Dirichlec Sbb: U ku,, U, 1 U, Tenukan solusi U, dari PDP Difusi di aas. Solusi Penyelesaian Karena syara baasnya adalah Dirichlec, maka dilakukan perluasan fungsi ganjil. Dengan demikian solusi PDP difusi di aas adalah sebagai beriku: 1 y y 1 1 U, e dy e dy y 1 A e dy y 1 B e dy Misalkan dan, maka solusi 4 k 4 k y U, A B. Akan dicari erlebih dahulu solusi dari A. Misalkan P, maka y P dy dp. Perhaikan bahwa unuk y maka P, dan unuk y maka P. Berdasarkan hal ersebu, persamaan A dapa diuliskan kembali sebagai P P P A e dp e dp e dp 4 k Selanjunya akan dicari solusi B yakni dengan memisalkan y P. Berdasarkan hal ersebu y P dy dp. y P dy dp. Perhaikan bahwa unuk y maka P, dan unuk y maka P. Berdasarkan hal ersebu, persamaan B dapa diuliskan kembali sebagai 1 1 P P B e dp e dp Page 7

8 Okober 16, Vol. 1, No.1. ISSN: Dengan demikian benuk U, dapa diuliskan sebagai P P P P U, e dp e dp e dp e dp 1 P P P P e dp e dp e dp e dp 1 P P P e dp e dp e dp 1 erf U, PDP Difusi dengan syara Dirichle ini Berdasarkan hal ersebu solusi adalah U, erf. Pandang kembali conoh 1, apabila syara baasnya adalah Neumann, maka U, PDP Difusi ersebu. enukan solusi Solusi Penyelesaian Karena syara baasnya adalah Neumann maka dilakukan perluasan fungsi genap. Dengan demikian solusi PDP difusi di aas adalah sebagai beriku: Misalkan y y 1 1 U, e dy e dy 3. y 1 A e dy dan 4 k y 1 B e dy, maka solusi 4 k U, A B.selanjunya akan dicari erlebih dahulu solusi dari A. Misalkan y P, maka y P dy dp. Perhaikan bahwa unuk y maka P, dan unuk y maka P. Berdasarkan hal ersebu, persamaan A dapa diuliskan kembali sebagai P P P A e dp e dp e dp 4 k Page 8

9 Okober 16, Vol. 1, No.1. ISSN: Selanjunya akan dicari solusi B yakni dengan memisalkan y P. Berdasarkan hal ersebu y P dy dp. y P dy dp. Perhaikan bahwa unuk y maka P, dan unuk y maka P. Berdasarkan hal ersebu, persamaan B dapa diuliskan kembali sebagai 1 1 P P B e dp e dp Dengan demikian benuk, U dapa diuliskan sebagai P P P P U, e dp e dp e dp e dp 1 P 1 e dp 1 Berdasarkan hal ersebu solusi, adalah U, 1 U PDP Difusi dengan syara Dirichle ini KESIMPULAN DAN SARAN Dalam peneliian ini dapa dirumuskan beberapa kesimpulan dan saran sebagai beriku: Kesimpulan 1. PDP Difusi dapa dikaakan sebagai suau persamaan differensial parsial yang menjelaskan penyebaran konsenrasi za poluan pada suau cairan didalam pipa U, menjelaskan banyaknya konsenrasi poluasn pada lurus. Solusi posisi saa.. Benuk umum PDP Difusi pada inerval diunjukkan pada U, 17 persamaan 5 dengan solusinya diunjukkan pada persamaan 3. Benuk umum PDP Difusi pada inerval dengan syara Dirichle diunjukkan pada persamaan 18dengan solusinya U, diunjukkan pada persamaan 3 4. Benuk umum PDP Difusi pada inerval dengan syara Neumann diunjukkan pada persamaan 4 dengan solusinya U, diunjukkan pada persamaan 9 Saran 1. Perlu dikembangkan benuk umum PDP Difusi Non homogen pada inerval besera solusi penyelesaiannya Page 9

10 Okober 16, Vol. 1, No.1. ISSN: Perlu dikembangkan benuk umum PDP Difusi Non homogen pada inerval dengan syara baas Dirichle yang berkorespondensi dengan perluasan fungsi ganjil besera solusim penyelesaiannya 3. Perlu dikembangkan benuk umum PDP Difusi Non homogen pada inerval dengan syara baas Neumann yang berkorespondensi dengan perluasan fungsi genap besera solusi penyelesaiannya DAFTAR RUJUKAN Srauss, A., Waler. 8. Parial Differenial Equaions: an Inroducion. USA: John Wiley & Sons Chasnov, R., Jeffrey. 9. Inroducion o Differenial Equaions: Lecure Noes. Hong Kong: The Hong Kong Universiy of Science and Technology Chipo, Michel. 8. Handbook of Differenial Equaions: Saionary Parial Differenial Equaions Volume 5. Amserdam: Elsevier Deparemen Maemaika ITB. 1. Persamaan Differensial Parsial. Bandung: FMIPA ITB Folland, G.B Lecures on Parial Differenial Equaions. Bombay: Taa Insiue of Fundamenal Research Huner, K., John. 14. Noes on Parial Differenial Equaions. California: Deparmen of Mahemaics, Universiy of California a Davis Miersemann, Erich. 1. Parial Differenial Equaions: Lecure Noes. Leipzig: Deparmen of Mahemaics Leipzig Universiy Moore, Doug. 3. Inroducion o Parial Differenial Equaions. California: Deparmen Mahemaics of UCSB Pinchover & Rubinsen. 5. An Inroducion o Parial Differenial Equaions. London: Cambridge Universiy Press Yanovsky, Igor.5. Parial Differenial Equaions: Graduae Level Problems and Soluions. California: Deparmen of Mahemaics UCLA Page 1