PREMI UNTUK ASURANSI JIWA BERJANGKA PADA KASUS MULTISTATE

Transkripsi

1 REMI UNUK ASURANSI JIWA BERJANGKA ADA KASUS MULISAE S Aminah 1*, Hasriai 2, Johannes Kho 2 1 Mahasiswa rogram S1 Maemaika 2 Dosen Jrsan Maemaika Faklas Maemaika dan Ilm engeahan Alam Universias Ria Kamps Binawidya 2829 Indonesia * s.aminah5@gmail.com ABSRAC In his paper, a formlaion for a single premim erm life insrance in mlisae case is discssed. Using Markov chain, he amon of displacemen beween ranson sae is obained by sing probabiles which are solved sing Chapman-Kolmogorov differenial eqaions. he ime sed is homogeneos so ha he ranson rae is consan. Keywords: ranson probabiles, Chapman-Kolmogorov differenial eqaion, single premim erm life insrance. ABSRAK Keras kerja ini dibahas sa permsan premi nggal nk asransi jiwa berjangka pada kass mlisae. Dengan menggnakan ranai Markov, besarnya perpindahan anar sae dicari menggnakan pelang ransisi yang diselesaikan dengan menggnakan persamaan diferensial Chapman-Kolmogorov. Wak yang dignakan adalah homogen sehingga laj ransisinya adalah konsan. Kaa knci: pelang ransisi, persamaan diferensial Chapman-Kolmogorov, premi nggal asransi jiwa berjangka. 1. ENDAHULUAN Asransi Jiwa adalah sa program aa prodk asransi yang memberikan nilai manfaa (benefi) pengalihan resiko aas kehilangan nilai ekonomis hidp seseorang berpa pembayaran sejmlah ang eren aas kemaian eranggng aa nasabah persahaan asransi, kepada anggoa kelarga aa ahli waris yang berhak menerimanya sesai dengan keenan dalam polis asransi. Asransi jiwa erbagi dalam beberapa jenis salah sanya adalah asransi jiwa berjangka. Asransi jiwa berjangka adalah sa asransi apabila pemegang polis mlai dari disejinya konrak asransi sampai dengan jangka wak eren meninggal, maka akan dibayarkan ang peranggngan [1]. Uang peranggngan yang akan dibayarkan bersifa segera, dimana ang peranggngan akan dibayarkan segera seelah eranggng meninggal. Hal ini berari bahwa wak yang dignakan adalah konin. 1

2 Dalam menjalankan hidp, resiko idak hanya berpa kemaian. Resiko-resiko lain yang mngkin erjadi selal ada anara lain resiko hari a (mariy age), resiko saki (sick), resiko caca badan (disabiliy) dan sebagainya. Resiko-resiko erseb dapa dadikan sebagai model dengan banyak kass yang diseb kass mlisae. Unk mengeahi pelang perpindahan dari sae sa ke sae lainnya dignakan pelang ransisi yai dengan mengeahi sae awal pada wak sebelmnya maka akan dikeahi sae selanjnya pada wak beriknya. Berik ini gambar pelang ransisi dengan iga sae dianaranya seha, saki dan meninggal [2] dan [] Seha Saki Gambar 1. Kass mlisae dengan iga sae Berdasarkan Gambar 1, erdapa beberapa kemngkinan individ berbah sae dianaranya eap seha, dari seha ke saki, dari seha ke meninggal, eap saki, dari saki menjadi seha, dan dari saki ke meninggal. Dengan adanya sae-sae ini, nk mengeahi pelang ransisi dicari dengan menggnakan persamaan diferensial Chapman-Kolmogorov nk jenis forward (maj) dan jga menggnakan laj ransisinya. 2. REMI ASURANSI JIWA BERJANGKA Unk mengeahi besarnya premi yang hars dibayar, akan dibenk sa model berdasarkan fngsi benefi yang dinoasikan dengan b dan fngsi diskon yang dinoasikan dengan dengan v. Fngsi nilai nai dari variabel random Z dan dinyaakan dengan Z b v, 0. dinoasikan ada asransi jiwa berjangka n ahn, persahaan asransi akan membayar ang peranggngan hanya jika eranggng meninggal dalam jangka wak n ahn. ada wak konin, pembayaran dilakkan segera seelah eranggng meninggal [2] dengan permsan 1 n b 0 n, v v 0, Z Meninggal v n 0 n. 2

3 remi nggal asransi jiwa berjangka merpakan ekspekasi dari fngsi nilai nai akaria nk variabel random Z, dengan sehingga A ' Z A E :n ' n : n Z f ( ) 0 ' : n n v p 0 A d d.. ELUANG RANSISI RANAI MARKOV ada kass mlisae, pelang ransisi menggnakan konsep dasar ranai Markov. Ranai Markov adalah sa proses sokasik dimana ingkah lak dari sa proses masa yang akan daang hanya berganng pada ingkah lak masa sekarang, dan keadaan proses diwak yang lal idak mempengarhi keadaan dimasa yang akan daang. Berdasarkan wak erjadinya erdiri dari ranai Markov wak diskri dan ranai Markov wak konin. roses sokasik X, 0 adalah sebah ranai Markov wak konin nk seiap, 0 i, j, s nk 0 s, yang dinyaakan dengan dan ineger s X j X i, X s X j X i. Sehingga proses seelah wak hanya berganng pada sae diwak dan idak berganng pada sae sebelm. Jika X j X i independen erhadap, maka ranai Markov wak konin akan memiliki pelang ransisi yang homogen aa sasioner. Arinya pelang ransisi hanya berganng pada beda wak dari sae awal ke sae akhir. Secara sederhana sa ranai Markov nk sae diskri dengan wak konin dapa dinyaakan dengan, yai pelang sa ranai Markov yang berada pada sae i akan berada dalam sae j seelah wak aa dapa dilis dengan X j X i. elang ransisi dapa dissn dalam benk mariks yang diseb mariks pelang ransisi. Unk mariks pelang ransisi dengan kass iga sae maka dignakanlah mariks berkran berik:

4 dengan 11 : pelang seseorang yang berada pada sae 1 (seha) eap akan berada pada sae 1 (seha) seelah wak. 12 : pelang seseorang yang berada pada sae 1 (seha) akan berada pada sae 2 (saki) seelah wak. 1 : pelang seseorang yang berada pada sae 1 (seha) akan berada pada sae (meninggal) seelah wak. : pelang seseorang yang berada pada sae (meninggal) jga berada pada pada sae (meninggal) seelah wak. ersamaan Chapman-Kolmogorov nk wak homogen [4] dinyaakan dengan,, 0 (1) dan dilis dalam benk mariks dinyaakan sebagai berik k ik,, 0. Besarnya ransisi aa perpindahan dari sae i berpindah ke sae j dipengarhi oleh percepaan aa laj yang diseb laj ransisi. Misalkan M adalah mariks laj ransisi berkran r r dengan enri, adalah pelang ransisi dari sae i kj dan akan berpindah ke sae j seelah wak, maka laj ransisi ranai Markov [5] dinyaakan dengan lim (2) 0 dengan diseb dengan dela Kronecker dimana 1, i j 0, lainnya. Dari persamaan (2) dapa dicari laj ransisinya dimana nk i j, nilai dela Kronecker 1 sehingga lim lim 0 dan nk i j, nilai dela Kronecker 0 sehingga Berdasarkan sifa pelang ransisi 1 lim0. ji. 4

5 lim 0 1 lim ji ji ji lim lim 0. Berdasarkan raian enang laj ransisi ini, maka mariks laj ransisinya menjadi M 21 i j i2 Mariks laj ransisi nk ranai Markov homogen merpakan mariks dengan laj ransisi konsan. Arinya laj ransisi konsan sepanjang wak. Karena kass yang dibahas erdapa iga sae, maka mariks laj ransisi nk ranai Markov homogen adalah M oal laj ransisi nk sema sae i merpakan jmlah sema enri i pada sa baris nk i j yang dinyaakan dengan i. j: ji Dari persamaan (1) dan dengan menggnakan sifa-sifa laj ransisi dapa dicari persamaan diferensial Chapman-Kolmogorov jenis forward Noasi d d 2 j.. k j ik () kj menyaakan pelang ransisi dari sae i akan berpindah ke sae j seelah wak. Sedangkan d d merpakan laj pelang ransisi nk mask aa kelar sae j pada wak. ersamaan diferensial () memiliki solsi berik [] ep r r M M. (4) r0 r! Unk menyederhanakannya, dicari nilai eigen dari mariks laj ransisi M dengan M A D C. Yang mana D adalah mariks diagonal dengan elemen-elemen diagonal j 5

6 d1, d2, d r, semenara A adalah mariks vekor eigen yang bersesaian dengan d i dan C adalah invers dari mariks A. Misalkan adalah laj ransisi dari sae i ke sae j nk sa individ anara sia dan 1, dimana adalah ineger posf. Nilainilai laj ransisi dapa dignakan nk membangn mariks M, sehingga kemdia diperoleh A, D dan C. Sehingga persamaan (4) menjadi A r D r r0! D Ae r C. r C (5) Karena D r merpakan mariks diagonal dan jmlah sae yang dibahas pada skripsi ini ada sae maka elemen diagonalnya adalah d1, d2 dan d sehingga persamaan (5) dapa dinyaakan dalam benk d 2 diag e,e,e 1 d d A C. Lal, fngsi pelang ransisi yang diperoleh nk masing-masing elemen dari pelang ransisi adalah dk a c e. (6) k1 ik 4. REMI UNUK ASURANSI JIWA BERJANGKA ADA KASUS MULISAE Dengan memanfaakan mariks pelang ransisi sebagai pelang hidp yang dapa diperoleh dari mariks laj ransisi, maka perhingan nilai premi nggal yang melibakan sema sae dapa dienkan. Fngsi nilai nai dibenk dari fngsi benefi v dari bnga b yang diasmsikan sebesar 1 saan pembayaran dan fngsi diskon majemk yang diasmsikan laj bnga adalah eap. ada kass iga sae, fngsi nilai nai nk asransi jiwa berjangka dinyaakan dengan Karena nilai b 1 maka Z kj b v, 0. Z. v Fngsi densias dari variabel random nk kass mlisae adalah f. 6

7 Berdasarkan persamaan (6) maka fngsi densiasnya menjadi f dk aikckje. k1 Sehingga premi nggal bersih nk kass mlisae adalah d n 1 e a c. ' 1 k A : n ik kj d k 1 k (7) 5. CONOH Misalkan seseorang yang bersia 45 ahn akan membeli sa polis asransi. Jenis asransi yang akan diambil adalah asransi jiwa berjangka nk jangka wak 5 ahn. embayaran premi dilakkan sekaligs (premi nggal) pada saa polis dierbikan dan sesai perjanjian dalam polis, persahaan akan membayar sejmlah ang peranggngan jika erjadi klaim aa nasabah meninggal dnia sebesar Rp20 ja. Sebagai ilsrasi, berik ini adalah daa laj ransisi yang elah dipblikasikan oleh Insi Akaria Kanada abel 1. Laj ransisi nk Usia ahn 1 0, , , , , , , ,0018 0, , ,0028 0, , ,0225 0,0251 0,0280 0,01 0,050 0,091 0,047 0,0488 0,0544 0,0608 0,0677 0,0755 0, ,165 0,165 0,167 0,167 0,167 0,167 0,168 0,169 0,169 0,170 0,171 0,17 0, ,0004 0,0029 0,0052 0,0080 0, , , ,0050 0, , , ,0068 0, ,09 0,106 0,1150 0,1274 0,1411 0,1560 0,1725 0,1905 0,2102 0,218 0,255 0,2811 0,09 ingka sk bnga yang dignakan adalah i 0, 08 aa 8 % perahn dan benefi sebesar 1 saan pembayaran. Sehingga dapa dienkan mariks pelang ransisi dan jmlah premi nggal bersih yang hars dibayar oleh nasabah kepada persahaan asransi. Kemdian nk perhingan premi nggalnya dignakan rms premi nggal pada persamaan (7). Jmlah fakor pengali premi nggal yang hars dibayar disajikan pada abel berik ini 7

8 abel 2. remi nggal Asransi Jiwa Berjangka 5 ahn ahn olis Usia remi , , , , , Jmlah 0, Jadi fakor premi nggal nk asransi jiwa berjangka dengan jangka wak 5 ahn adalah 0, dari ang peranggngan. Sehingga nk ang peranggngan sebesar Rp20 ja maka premi nggal yang hars dibayar eranggng adalah sebesar Rp , KESIMULAN elang ransisi dari sae i ke sae j nk asransi jiwa berjangka pada kass sae dapa dicari dengan erlebih dahl menenkan laj ransisinya dan menysn ke dalam benk mariks. remi nggal nk asransi jiwa berjangka pada kass mlisae dipengarhi oleh pelang ransisi yang merpakan penggani dari pelang berahan pada premi asransi jiwa berjangka pada kass mm. Besarnya premi yang hars dibayar dipengarhi oleh sia pesera asransi saa mengiki asransi. Semakin a sianya maka premi yang hars dibayar jga semakin besar. Semakin lama jangka wak yang diambil pesera asransi, maka premi yang hars dibayar kepada pihak asransi semakin besar. Jika ingka bnga naik, maka premi yang hars dibayar semakin kecil, eapi besar ang peranggngan yang dierima jika eranggng meninggal dnia jmlahnya idak berbah. DAFAR USAKA [1] Bowers, N. L., Gerber, H. U., Hickman, J. C., Jones, D. A. & Nesbi, C. J Acarial Mahemaics 2nd Edon, he Sociey of Acaries. Iasca, Illinois. [2] Darwis, S. & Kslan On Esimaing he ranson robabiles: A_Case Sdy, Insi eknologi Bandng, 1(1): [] Jones, B. L Acarial Calclaions sing a Markov Model. ransacions of he Sociey of Acaries, 46: [4] Ross, S. M., 198. Sochasic rocesses, Jhon Wiley & Sons Inc, Canada. [5] Haberman S. & E. iacco Acarial Models for Disabiliy Insrance, Chapman & Hall / CRC, Florida. 8