B a b 1 I s y a r a t

Transkripsi

1 9 TKE 35 ISYARAT DAN SISTEM B a b I s y a r a (bagian 2) Indah Susilawai, S.T., M.Eng. Program Sudi Teknik Elekro Fakulas Teknik dan Ilmu Kompuer Universias Mercu Buana Yogyakara 29

2 2.4. Isyara Periodik Salah sau jenis isyara yang banyak dijumpai adalah jenis isyara periodik. Jenis isyara ini mempunyai sifa yang idak berubah dengan pergeseran waku T (yang berharga posiif dan disebu sebagai perioda isyara), aau dapa dinyaakan: Jika x() adalah isyara waku koninyu yang periodik dengan perioda T, maka x() = x( T) aau x() = x( mt) dengan m adalah bilangan bula. Harga erkecil dari T disebu dengan periode dasar isyara aau T. Conoh isyara waku koninyu yang periodik diunjukkan pada gambar.6. Isyara periodik waku koninyu yang lain misalnya isyara sinusoidal dan cosinusoidal. Isyara yang idak periodik disebu isyara aperiodik. x(). -2T -T T 2T Gambar.6 Isyara periodik waku koninyu Isyara waku diskri yang periodik juga mempunyai sifa yang sama, yaiu idak berubah dengan pergeseran waku N (yang berharga posiif dan disebu sebagai perioda isyara), aau dapa dinyaakan: Jika x[n] adalah isyara waku koninyu yang periodik dengan perioda N, maka x[n] = x[n N] aau x[n] = x[n mn]

3 2 dengan m adalah bilangan bula. Harga erkecil dari N disebu dengan periode dasar isyara aau N. Gambar.7 memperlihakan conoh isyara periodik waku diskri dengan periode dasar N = 3. x[n] n Gambar.7 Isyara periodik waku diskri, N = 3.5. Isyara Genap dan Ganjil Jika diliha dari sifa simeri isyara erhadap waku, yang berhubungan dengan alih ragam waku balikannya, maka isyara dapa dibedakan menjadi isyara genap dan isyara ganjil. Sebuah isyara disebu isyara genap jika memenuhi syara bahwa isyara hasil alih ragam waku balikannya sama dengan isyara asli, aau dapa dinyaakan sebagai x(-) = x() unuk iwk dan x[-n] = x[n] unuk iwd Sedangkan sebuah isyara merupakan isyara ganjil jika memenuhi syara bahwa isyara hasil alih ragam waku balikannya sama dengan negaif dari isyara asli, aau dapa dinyaakan sebagai x(-) = - x() unuk iwk dan x[-n] = - x[n] unuk iwd Dengan demikian, isyara ganjil harus mempunyai nilai nol pada saa = (unuk iwk) dan n = (unuk iwd).

4 22 x() (a) x() (b) Gambar.8 Isyara waku koninyu (a) genap (b) ganjil Pada dasarnya, seiap isyara dapa diuraikan menjadi isyara genap dan ganjil yang menjadi komponen-komponen pembenuknya. Dengan cara ini maka isyara-isyara yang rumi dapa dipecah aau diurai menjadi beberapa isyara yang lebih sederhana sehingga dapa menyederhanakan proses analisisnya. Perhaikan persamaan-persamaan beriku ini. Dan Jika x() adalah isyara waku koninyu, maka isyara genap dan ganjil yang menjadi komponennya dapa dienukan sebagai beriku. Isyara genap = Ev {x()} = ½ { x() + x(-) } Isyara ganjil = Od {x()} = ½ { x() - x(-) }

5 23 Jika x[n] adalah isyara waku diskri, maka isyara genap dan ganjil yang menjadi komponennya dapa dienukan sebagai beriku. Isyara genap = Ev {x[n]} = ½ { x[n] + x[-n] } Isyara ganjil = Od {x[n]} = ½ { x[n] x[-n] } x[n] (a) n x[n] (b) n Gambar.9 Isyara waku diskri (a) genap (b) ganjil.4.. Conoh Soal dan Penyelesaiannya. Isyara waku diskri dienukan oleh persamaan,n x[n] =,n < enukan isyara genap dan ganjil yang menjadi komponen penyusunnya. Penyelesaian: Isyara x[n] dapa digambarkan sebagai beriku.

6 24..,n x[n] =,n < n Gambar.2 Isyara x[n] unuk conoh soal no. Unuk menenukan isyara genap dan ganjil yang menjadi komponen penyusun x[n], harus dienukan lebih dahulu isyara waku balikan x[n], yaiu x[-n]. Selanjunya dengan menggunakan persamaan-persamaan yang elah dibahas di aas, dapa dienukan isyara genap dan ganjil yang dimaksud. Perhaikan gambar.2. x[n]. (a) n (b) x[-n] n Ev {x[n]} = ½ { x[n] + x[-n] } (c).... ½ n

7 25 Od {x[n]} = ½ { x[n] x[-n] } (d) ½... - ½ n Gambar.2 (a) Isyara x[n] (b) Isyara x[-n] (c) Isyara Ev {x[n]} (d) Isyara Od {x[n]} 2. Isyara waku koninyu digambarkan seperi pada gambar.22. Tenukan isyara genap dan ganjil yang menjadi komponen penyusunnya. x() Gambar.22 Isyara x() unuk conoh soal no. 2 Penyelesaian: Dengan proses yang serupa dengan penyelesaian pada conoh soal no., maka penyelesaian unuk isyara waku koninyu pada conoh soal no. 2 ini dapa diperhaikan pada gambar.23. (a) x()

8 26 (b) x(-) Ev {x()} = ½ { x() + x(-) } (c) ½ Od {x()} = ½ { x() - x(-) } (d) ½ -½ Gambar.23 (a) Isyara x() (b) Isyara x() (c) Isyara Ev {x()} (d) Isyara Od {x()}.4.2. Soal-soal Tambahan. Unuk isyara-isyara beriku ini, enukanlah periodik aau aperiodik. Jika periodik maka enukanlah periode dasarnya. a. x() = 3 cos 4 b. x() = sin c. x() = cos 2 2. Jika isyara waku diskri dapa dinyaakan dengan persamaan

9 27 x [n] 2, unuk n ganjil =, unuk n genap enukanlah apakah x[n] periodik aau aperiodik. Jika periodik maka enukan pula periode dasarnya. 3. Unuk isyara waku koninyu seperi diperlihakan pada gambar.24, skesalah komponen genap dan ganjil yang menjadi penyusunnya. x() -2 - Gambar.24 Isyara x() unuk soal no.3 4. Unuk isyara waku diskri seperi diperlihakan pada gambar.25, skesalah komponen genap dan ganjil yang menjadi penyusunnya n Gambar.25 Isyara x[n] unuk soal no.4.5. Isyara Eksponensial dan Sinusoidal Pada sub bab ini akan dibahas isyara eksponensial dan sinusoidal unuk waku koninyu dan waku diskri.

10 Isyara Eksponensial dan Sinusoidal Kompleks Waku Koninyu Isyara eksponensial kompleks waku koninyu dinyaakan dengan persamaan yang berbenuk: x() = C e a dimana C dan a adalah bilangan kompleks. Jika dipandang dari parameer C dan a, maka isyara eksponensial dapa dibedakan menjadi:. Isyara eksponensial riil Isyara jenis ini mempunyai nilai C dan a yang riil. Konsana C menenukan leak iik dimana isyara akan memoong garis =, aau sumbu x(). Sedangkan nilai (posiif aau negaif) konsana a akan menenukan kecenderungan isyara, yaiu naik sejalan dengan membesarnya waku aau sebaliknya. a. Isyara eksponensial naik Isyara jenis ini mempunyai nilai a yang posiif dan idak sama dengan nol (a > ), sehingga isyara mempunyai kecenderungan naik sejalan dengan membesarnya waku. Sebagai conoh isyara jenis ini misalnya reaksi beranai bom aom, dan lain-lain. Ilusrasi isyara jenis ini dapa diliha pada gambar.26. b. Isyara eksponensial urun Isyara jenis ini mempunyai nilai a yang negaif (a < ), sehingga isyara mempunyai kecenderungan urun sejalan dengan membesarnya waku. Sebagai conoh isyara jenis ini misalnya anggapan rangkaian RC, peluruhan radioakif, dan lain-lain. Ilusrasi isyara jenis ini dapa diliha pada gambar Isyara eksponensial kompleks dan sinusoidal periodik Isyara eksponensial kompleks periodik diperoleh jika a merupakan bilangan imaginer. Sebagai misal, C = dan a = jω, maka isyara yang bersangkuan dapa dinyaakan sebagai

11 29 x () = e j ω x() C x() = C e a a > Gambar.26 Isyara eksponensial naik x() x() = C e a a < C Gambar.27 Isyara eksponensial urun Isyara ini periodik, dan jika periodenya dilambangkan dengan T maka berlaku e sehingga jω = e = e jω ( + T) jω.e jω T

12 3 = cosω T+ jsinω T = e jω T cosω T = ωt =,2 π,4 π,... = n 2 π dengan n =,, 2,. Dengan demikian, periode dasar T dapa dienukan sebagai beriku. sehingga ω T = 2 π T = 2 π ω Jika ω =, maka berari isyara periodik unuk seiap harga T. Isyara yang mirip dengan isyara eksponensial kompleks periodik adalah isyara sinusoidal yang dinyaakan sebagai beriku. dengan x() = A cos (ω + φ) = A 2 adalah waku (deik) jω jφ jω jφ { e.e + e.e } ϕ adalah geseran fase (radian) ω adalah frekuensi sudu (radian/deik) f adalah frekuensi (Hz) T adalah periode (deik) Hubungan anara frekuensi dalam herz dan frekuensi sudu sera periode dinyaakan dengan ω = 2πf = 2π T Gambar.28 memperlihakan isyara sinusoidal waku koninyu.

13 3 A x() x() = A cos (ω + ϕ) A cos ϕ T - ϕ -A Gambar.28 Isyara sinusoidal waku koninyu Dari definisi bilangan kompleks, maka dapa pula didefinisikan hal-hal beriku. sehingga e j(ω + φ) = cos(ω + φ) + jsin(ω + φ) A.cos(ω + φ) = A.Re dan A sin(ω + φ) = A.Im j(ω + φ) { e } j(ω + φ) { e } Isyara eksponensial kompleks memiliki energi oal idak erbaas dan daya raa-raa yang erbaas. Hal ini dapa diperlihakan dengan persamaan beriku. E + = f() + jω = e + = d + = = Dan daya raa-raanya adalah sebagai beriku. 2 2 d d

14 32 P lim = T lim = T lim = T lim = T lim = T = 2T 2T 2T 2T 2T + T T + T T + T T 2T f() e d + T T 2 jω 2 d d Beberapa isyara eksponensial kompleks disebu erhubung secara harmonik jika isyara-isyara eksponensial ersebu mempunyai frekuensi dasar yang merupakan perkalian frekuensi ω, aau dapa dinyaakan dalam persamaan sebagai beriku. φ () = e k jk ω dengan k =, ±, ±2, ±3,. Jika k = maka ϕ () = konsan, namun jika k maka ϕ k () merupakan isyara periodik dengan frekuensi yang dinyaakan sebagai ω k = k.ω. Sedangkan periodanya dienukan dengan persamaan, dengan 2π k ω T k Tk = = T adalah perioda dasar T k adalah perioda isyara harmonik ke-k ω adalah frekuensi dasar ω k adalah frekuensi isyara harmonik ke-k Secara umum, isyara eksponensial kompleks dapa dinyaakan sebagai: x() = C e a dengan C = C e jθ a = r + jω Sehingga persamaan ersebu dapa dinyaakan kembali sebagai:

15 33 x() = C e a = C e = C e = C e jθ r r e e (r+ jω ) j(ω + θ) { cos(ω + θ) + jsin(ω + θ) } Komponen C e r pada persamaan di aas akan menenukan benuk kurva yang membungkus isyara, dan selanjunya disebu dengan sampul kurva osilasi. Secara umum, erdapa iga benuk dasar sampul kurva osilasi jika diliha dari besarnya nilai r, yaiu:. Konsan Sampul kurva osilasi berbenuk konsan jika r =. C x() x() = C {cos (ω θ)} θ -C Gambar.29 Isyara sinusoidal dengan sampul kurva osilasi konsan 2. Naik Sampul kurva osilasi mempunyai kecenderungan naik jika r >. Ilusrasinya diperlihakan pada gambar.3.

16 34 X() Gambar.3 Isyara sinusoidal dengan sampul kurva osilasi naik 3. Turun Sampul kurva osilasi mempunyai kecenderungan urun jika r <. Isyara seperi ini biasa disebu dengan isyara sinusoidal eredam. Ilusrasinya diperlihakan pada gambar.3. X() Gambar.3 Isyara sinusoidal dengan sampul kurva osilasi urun