BAB II DASAR TEORI 2.1 Investasi

Transkripsi

1 A II DASAR EORI Sebelm melangkah lebih jah pada penenan porfolio opimal maka erlebih dahl dibahas mengenai pengerian invesasi pengerian porfolio lemma Io persamaan diferensial sokasik gerak rown bak proses Wiener fngsi ilias dan eori konrol opimal sokasik. Hal ini perl karena gas akhir ini membahas mengenai invesasi pada ase beresiko dan idak beresiko dimana nk meminimalkan resiko kergian maka dibenklah porfolio opimal. Porfolio opimal dibenk dengan menenkan proporsi invesasi opimal menggnakan eori konrol opimal sokasik dimana di dalamnya dignakan sa fngsi ilias. Selain i jga karena model porfolio invesasi akan berbenk persamaan diferensial sokasik yang mengandng proses Wiener. Persamaan diferensial sokasik erseb akan diselesaikan dengan menggnakan lemma Io nk kemdian dignakan pada simlasi.. Invesasi Invesasi secara mm berari mengorbankan sejmlah ang saa ini nk memperoleh ang di masa daang. erdapa da hal yang erliba yai wak dan resiko. Sejmlah ang yang dikorbankan dignakan saa ini sdah dalam jmlah yang pasi semenara hasilnya di masa depan belm bisa dipasikan berapa besarnya. Invesasi erbagi da yai real invesmens invesasi riil dan financial invesmens invesasi finansial. Invesasi riil melibakan beberapa ase nyaa seperi anah mesin aa pabrik. Invesasi finansial melibakan konrak yang erlis di selembar keras seperi saham obligasi dan menabng di bank. Dalam kehidpan ekonomi di masa lal kebanyakan invesasi merpakan invesasi riil dan dalam kehidpan ekonomi modern kebanyakan invesasi merpakan invesasi finansial. 5

2 Keda jenis invesasi ini idak saling berkompeisi melainkan saling melengkapi. Conohnya sebah persahaan ingin melebarkan sahanya dengan membka pabrik bar. Unk jan erseb en saja ia membhkan ang yang idak sediki. Uang erseb dapa diperoleh dengan cara menerbikan saham di brsa efek. Jadi invesasi finansial dapa membiayai invesasi riil. Dalam berinvesasi seorang invesor dimngkinkan berinvesasi bkan hanya pada sa ase hal ini dilakkan nk mengrangi resiko invesasi. Kombinasi beberapa ase erseb diseb porfolio.. Porfolio Porfolio adalah serangkaian kombinasi beberapa ase yang dipegang oleh invesor baik perorangan mapn lembaga. Kombinasi ase erseb bisa berpa ase riil ase finansial aapn kedanya. Seorang invesor yang menginvesasikan dana biasanya idak hanya memilih sa ase saja karena dengan melakkan kombinasi ase invesor bisa meraih rern yang opimal sekaligs akan memperkecil resiko melali diversifikasi. Memilih porfolio yang opimal bkanlah hal yang mdah ini diseb dengan masalah pemilihan porfolio. Pembenkan porfolio berasal dari saha diversifikasi invesasi nk mengrangi resiko. erbki bahwa semakin banyak jenis ase yang dikmplkan maka resiko kergian sebah ase dapa dineralisir oleh kenngan yang diperoleh dari ase lain. Walapn demikian diversifikasi ini bkanlah sa jaminan memperoleh resiko yang minimm dengan kenngan yang maksimm sekaligs. eori pemilihan porfolio perama kali dikembangkan oleh Harry Ma Markowiz dengan beberapa asmsi sebagai berik: Seorang invesor mempnyai sejmlah ang eren Sejmlah ang erseb diinvesasikan nk jangka wak eren yang diseb holding period. Pada akhir holding period invesor akan menjal sahamnya Invesor akan selal mencoba menghindari resiko 6

3 Unk menghindari resiko invesor mencoba melakkan diversifikasi invesasinya. Invesor menghadapi beberapa porfolio dimana harga sdah pasi. Masalahnya bagaimana mengalokasikan ang mereka di anara berbagai porfolio nk memaksimalkan hasil yang diharapkan. Invesor mamp mengesimasikan hasil yang diharapkan dari masingmasing porfolio. Sema porfolio secara semprna dap dibagi Pilihan nk invesasi idak erganng pada invesor lain Invesor melakkan diversifikasi invesasi dalam berbagai porfolio dikarenakan hasil yang diharapkan dari iap jenis ase dapa saling menp. Lebih lanj pemodal mengesimasikan hasil invesasi dengan hasil yang eringgi. Invesor idak mengeahi sercara pasi rern yang diharapkan. Jadi invesor mencona meramal rern yang diharapkan dengan memakai baas kemngkinan bahwa hasil idak dapa dicapai. Kemngkinan hasil yang diharapkan idak dapa dicapai adalah apa yang diseb resiko. jan pembenkan porfolio adalah sebagai berik: Pada ingka resiko eren bersaha mencapai kenngan semaksimal mngkin. Pada ingka kenngan eren bersaha mencapai resiko yang minimal..3 Lemma Io Lemma Io adalah meode yang dignakan nk menyelesaikan Inegral Sokasik. Lemma Io adalah analogi sokasik dari aran ranai yang diemi dalam diferensiasi biasa. Unk memahami aran ranai pada fngsi sokasik akan dibahas erlebih dahl mengenai aran ranai nk fngsi deerminisik. Misalkan f dan g fngsi yang diferensiabel maka aran ranai nk diferensiasinya adalah [ f g s ] f g s g s.. 7

4 Persamaan. dilis dalam benk inegral pada selang [ ] menjadi f g s g s ds f f g f g g s dg s.. Persamaan. dilis dalam benk diferensial menjadi df g f g dg yang bisa dilis sebagai raian aylor f g dg f g f g dg f g [ dg ]....3 disini dggd-g adalah kenaikan dari g di [d]. Orde da dan orde yang lebih inggi dari ekspansi aylor ini dapa diabaikan nk d yang kecil. Uraian aylor.3 bisa dierapkan nk kass yang lebih mm. Misalkan f memiliki rnan parsial yang konin paling sediki orde da maka raian aylor.3 menjadi dimana f d d f f d f d [ f d f d d f d....4 fi fij i i f j f i i j. Seperi pada kalkls sk dengan orde lebih inggi di.4 dapa diabaikan begi pla sk dengan dd dan d semenara d dilis sebagai d. Dengan menginegralkan sisi kanan dan sisi kiri persamaan.4 dan mengmplkan sk dengan d dan d secara erpisah diperoleh f f s s f f d f d s <..5 s Persamaan.5 kemdian dikenal sebagai Lemma Io yang dilis secara lengkap seperi lemma berik s 8

5 Lemma Io Misalkan jga proses Io dan f adalah proses Io dimana d f s s s f d f d s < s f d vdw maka f adalah..4 Persamaan Diferensial Sokasik Persamaan diferensial sokasik PDS adalah persamaan diferensial deerminisik yang diberi ganggan acak. Persamaan diferensial sokasik merpakan persamaan inegral sokasik yang melibakan inegral biasa inegral Riemann dan inegral sokasik Io. Persamaan diferensial sokasik secara maemaika diliskan dalam benk sebagai berik d a d b dw.6 dengan proses sokasik dan W proses Wiener bak berdisribsi N. a d merpakan bagian deerminisik dan b dw merpakan bagian sokasik dari persamaan Solsi Persamaan Diferensial Sokasik Persamaan.6 dapa diliskan ke dalam benk persamaan inegral sebagai berik Inegral a s s ds merpakan inegral biasa inegral Riemann dan a s s ds b s s dws s. <.7 penyelesaiannya dapa dilakkan dengan meode inegral biasa. Masalah akan mncl saa menyelesaikan inegral b s s dws menginga W merpakan fngsi dengan variasi ak erbaas nbonded variaion meskipn W memiliki realisasi yang konin. Inegral erseb idak dapa diinerpreasikan sebagai 9

6 inegral Riemann-Sieljes yang berbenk f dg karena inegral erseb ada jika kondisi-kondisi berik erpenhi fg idak memiliki diskoninias di iik yang sama f memiliki variasi p erbaas dan g memiliki variasi q erbaas nk sa pq> sedemikian sehingga > p q Karena proses Wiener W memiliki variasi ak erbaas maka diperlkan meode lain nk menyelesaikan inegral erseb. Inegral erseb dikenal jga sebagai inegral sokasik. Meode yang banyak dignakan nk menyelesaikan inegral sokasik adalah dengan menggnakan Lemma Io. Unk memdahkan memahami meode ini maka selanjnya akan diperlihakan bagaimana Lemma Io dignakan. Perhaikan persamaan diferensial sokasik berik d c d σ d..8 Persamaan.8 dapa diliskan ke dalam benk inegral sebagai berik nk sa konsana c σ >. c sds σ sdws s <.9 Misalkan f W nk fngsi mls f maka menr Lemma Io dapa dilis menjadi dimana [ f s Ws f s Ws ] ds f s Ws dws s.. < fi fij i i f j f i i j.

7 Dengan menyamakan persamaan.9 dan. diperoleh cf f f.. σ f f.. Dari persamaan. diperoleh f σ f. σ σ f..3 σ f. Dengan mensbsisikan persamaan.3 ke persamaan. diperoleh c.5σ f f..4 Selanjnya nk mempermdah memperoleh solsi f akan dilis sebagai hasil kali da bah fngsi dengan variabel erpisah yai f g h.5 sehingga f g h. f g h..6 Dengan menggnakan.6 maka persamaan. dan persamaan.4 dilis menjadi c.5σ g g..7 σ h h..8 Persamaan.7 dan persamaan.8 dapa diselesaikan dengan meode separasi variabel sehingga diperoleh g g e h h e c.5σ σ...9 Dengan mensbisikan persamaan.9 ke persamaan.5 diperoleh c.5σ σ f g h g h e.. Dikeahi f W f g sehingga persamaan. menjadi h f c.5σ σw W e.

8 dimana persamaan. merpakan solsi dari persamaan.8. Persamaan diferensial sokasik yang berbenk seperi persamaan.8 adalah persamaan harga saham yang persamaan diferensial sokasiknya berbenk dimana d µ d σ dw d adalah perbahan harga saham d perbahan wak Wiener µ raa-raa rae of rern RoR dan σ volailias harga saham. dw proses Rae of Rern dihing dengan formla: D P P RoR % P dimana D adalah dividen P adalah harga saham saa penjalan dan P harga saham saa pembelian. Dengan menggnakan Lemma Io dan dengan cara pengerjaan yang sama dengan conoh di aas maka diperoleh persamaan harga saham yang diseb persamaan harga saham geomerik yai µ.5σ σw e..5 erak rown ak Proses Wiener Dalam maemaika Proses Wiener adalah coninos-ime sochasic process. Proses Wiener jga sering diseb erak rown ak Sandard rownian Moion yang diberi nama dari seorang ahli biologi Rober rown. Proses Wiener erdapa dalam maemaika mrni maemaika erapan keangan dan fisika. Proses Wiener memainkan peran pening di dalam maemaika mrni mapn maemaika erapan. Pada maemaika mrni proses Wiener memainkan peranan pening seperi pada kalkls sokasik dan proses difsi. Pada maemaika erapan proses Wiener memainkan peranan pening pada bidang eknik elekronika eori konrol dan eori filering filering heory. Proses Wiener W memiliki iga sifa yai

9 W W mempnyai realisasi konin W mempnyai peningkaan yang independen dan sasioner W berdisribsi Normal N ambar.: Proses Wiener.6 Fngsi Uilias Fngsi ilias adalah fngsi kekayaan wealh U w yang dapa dirnkan da kali nk w>. Fngsi ini memiliki sifa non-saiaion rnan perama U w > dan risk aversion rnan keda U w <. Sifa non-saiaion idak pernah pas menyaakan bahwa ilias meningka seiring dengan peningkaan kekayaan. Sifa risk aversion invesor idak menykai resiko menyaakan bahwa fngsi ilias berbenk konkaf dengan kaa lain ilias marginal menrn saa kekayaan meningka. Unk meliha mengapa fngsi ilias berbenk konkaf perhaikan conoh berik. Misalkan ilias marginal didefinisikan sebagai penambahan seras rib rpiah. agi orang yang hanya pnya kekayaan seras rib rpiah mendapakan lagi seras rib rpiah menjadi pening. agi orang yang pnya kekayaan sa milyar rpiah penambahan seras rib rpiah menjadi idak berari. Jadi ilias marginal menrn saa kekayaan meningka. Secara geomerik fngsi ilias berbenk konkaf ini akan erleak di aas sebah garis lrs yang melali da iik sebagai berik 3

10 ambar.: Fngsi ilias risk aversion erdapa berbagai macam fngsi ilias nk kass risk aversion yai Uilias Kadraik Qadraic Uiliy Uilias Eksponensial Eponenial Uiliy Uilias pangka Power Uiliy dari keiga fngsi ilias erseb fngsi yang paling baik dan mdah dignakan adalah fngsi ilias berbenk fngsi pangka power fncion. erik ini adalah gambar fngsi ilias berbenk fngsi pangka a..5 dan.. a dengan ambar.3: Fngsi ilias berbenk fngsi pangka power fncion.7 eori Konrol Opimal Sokasik eori Konrol Opimal Sokasik idak lain adalah eori konrol opimal nk sisem yang berbenk sokasik. Keadaan sisem berbenk persamaan diferensial sokasik PDS dan melibakan parameer yang mengar sisem sehingga sisem erseb memenhi keadaan yang diinginkan yai keadaan opimal. Parameer yang mengar sisem erseb diseb konrol. 4

11 Secara maemaika persamaan keadaan yang berbenk persamaan diferensial sokasik erseb diliskan sebagai berik d a d b dw. dengan parameer yang mengar sisem aa konrol yang meminimmkan aa memaksimmkan sa indeks performansi J E F d K.. Indeks performansi berpa ekspekasi sebah fngsi karena dalam sisem sokasik yang acak idak pasi maka kia hanya bisa mengambil ekspekasi sa nilai. Fngsi K dan F adalah fngsi yang diberikan dimana benknya erganng dari jan yang ingin dicapai. Nilai minimm aa maksimm dari indeks performansi erseb dilambangkan oleh vale fncion yang berbenk min[ J ] aa ma[ J ].3 dimana vale fncion erseb hars memenhi persamaan Hamilon-Jacobi ellman HJ berik min{ F L } aa ma{ F L }..4 Keadaan akhir yang diinginkan adalah K..5 L adalah operaor yang mempnyai benk d d.6 i i j L a s D s s dimana sehingga D bb i i i j i j d d i L a s D s i j s i i i j i j..7 5

12 Parameer yang mengar sisem aa konrol dienkan dengan langkahlangkah sebagai berik enkan yang memenhi persamaan Hamilon-Jacobi-ellman HJ.4 yai dengan cara menrnkan persamaan.4 erhadap sebagai berik F L..8 yang didapa dari langkah perama di aas dimaskkan kembali ke persamaan.4 dan dengan kondisi akhir.5 didapa benk yang diinginkan. enk yang diinginkan erseb dimaskkan kembali ke yang didapa dari persamaan.8 maka didapa konrol yang mengar sisem sehingga mencapai kondisi yang diinginkan. Selanjnya akan dinjkkan masalah konrol opimal nk sisem persamaan diferensial sokasik linear berik. Perhaikan sisem yang dijelaskan dalam benk persamaan diferensial sokasik berik d A d d dw.9 > dimana A mariks d d mariks d p dan mariks d m. Misalkan indeks performansi yang akan diminimmkan adalah dengan J E F d K.3 F C D.3 K H a b.3 dimana C simeri dan defini non-negaif D simeri dan defini posiif. ale fncion yang diinginkan min[ J ]..33 6

13 7 j i d i d j ij A L.34 sehingga r A L.35 dimana. Persamaan Hamilon-Jacobi-ellman HJ ] min[ L F..36. ] min[ D C r A.37 Akan dicari yang memenhi persamaan HJ.37yai ] [ D C r A.38 Dari persamaan.8 diperoleh D..39 Dengan mensbisikan persamaan.39 ke persamaan.37 diperoleh 4 C D A r..4 Dengan kondisi akhir b a H K..4 Kia coba solsi yang berbenk p q Q.4 dimana Q simeri dan defini non-negaif. Dengan mensbsisikan persamaan.4 ke persamaan.4 didapa persamaan diferensial nk dan p q Q yang hars diselesaikan secara mndr mlai dari ke yai

14 Dikeahi Q& A q& A p& r Q QA C QD QD Q q D 4 Q Q H. q q a. q p b..43 Q q dan dengan mensbisikannya ke persamaan.39 diperoleh D Q q..44 Unk a diperoleh q maka D Q..45 Jadi yang memberikan nilai yang diinginkan adalah persamaan Persamaan Hamilon-Jacobi-ellman HJ Persamaan Hamilon-Jacobi-ellman HJ adalah persamaan diferensial parsial yang pening dalam eori konrol opimal. Solsi dari persamaan HJ adalah vale fncion yang memberikan nilai yang opimal nk sa sisem dinamik dengan fngsi ongkos eren. Persamaan HJ ini diperoleh sebagai hasil dari eori pemrograman dinamik heory of dynamic programming yang dimlai oleh Richard ellman dan rekanrekannya pada ahn 95-an. Persamaan HJ yang berbenk diskri biasa diseb persamaan ellman ellman eqaion. Dalam benk konin persamaan ini diseb HJ sebagai hasil pengembangan oleh William Rowan Hamilon dan Carl sav Jacob Jacobi. Perhaikan masalah konrol opimal deerminisik berik erhadap min C d D.46 & F[ ].47 8

15 dimana adalah sae dari sisem diberikan dan nk adalah konrol yang akan dicari. Unk sisem yang sederhana ini persamaan HJ-nya adalah min F C.48 erhadap kondisi akhir D..49 Fngsi yang idak dikeahi di aas diseb ellman ale Fncion. Persamaan HJ diselesaikan secara mndr yai dimlai dari hingga. Persamaan HJ adalah syara ckp Sfficien Condiion nk keopimalan. Jika kia dapa menemkan maka kia dapa menemkan konrol yang memberikan hasil opimal. Persamaan HJ ini dapa diperlas nk sisem berbenk sokasik. 9