BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 4 BAB II LANDASAN TEORI. Beberaa Definii dan Teorea Definii Nilai akiu dan iniu ialkan S daerah aal dari fungi f, yang eua iik c. aka : i fc adalah nilai akiu f ada S jika fc f unuk eua di S ii fc adalah nilai iniu f ada S jika fc f unuk eua di S iii fc adalah nilai ekri f ada S jika fc adalah nilai akiu aau nilai iniu. Purcell 984 Definii Bilangan rii Bilangan krii dari uau fungi f adalah uau bilangan c di dala daerah aal f edeikian ehingga f c = aau f c idak ada. Jika f eunyai akiu aau iniu lokal di c, aka c adalah bilangan krii f. Purcell 984 Teorea : Uji Turunan edua unuk Ekri Lokal ialkan dan ada ada eia iik dala elang erbuka a,b yang eua c, dan andaikan =. i Jika c <, fc adalah nilai akiu lokal f. ii Jika c >, fc adalah nilai akiu lokal f Buki : Liha Purcell 984 Definii 3 Fungi Polino Fungi P diebu olino jika P = a + a + a + a a n- n- + a n n dengan n adalah bilangan bula ak negaif dan bilangan a, a, a,, a n adalah konana yang diebu koefiien olino. Daerah aal ebarang olino adalah = -,. Jika koefiien a n, aka deraja olino adalah n. Sewar J Definii 4 Akarciri dan Vekorciri Jika A adalah arik berukuran nn aka kalar λ dan vekor yang eenuhi A = λ aing-aing diebu akarciri dan vekorciri arik A.

2 5 Akarciri juga diebu ebagai nilai eigen eigenvalue, nilai karakeriik characeriic value, aau akar laen laen roo. Unuk endaakan enyeleaian λ dari eraaan A = λ dengan aau A- λi = edeikian ehingga vekor enyeleaiannya ak rivial, harulah dienuhi dea- λi =. Fungi A λ = dea- λi diebu olino karakeriik arik A, dan eraaan A λ = dea- λi = diebu eraaan karakeriik arik A. Anon H 989 Teorea : Jika A adalah arik berukuran n n aka berlaku : i dea- λi eruakan olino A λ berderaja n. ii Akarciri arik A eruakan enyeleaian dari A λ =. Buki : i Akan dibukikan dengan induki aeaika. Jika A berukuran aka dea- λi = a λa λ a a eruakan olino λ yang berderaja. Jika A berukuran k k, andaikan benar bahwa dea- λi eruakan olino λ berderaja k. Jika A berukuran k+ k+ aka dea- λi = - i+j de ij unuk uau i =,,, k+, dengan a ij = unur ada bari ke-i dan kolo ke-j arik A- λi. ij = arik A- λi yang elah dihau bari ke-i dan kolo ke-j. Dengan engabil i ebagai bari ke-k+ arik A- λi, dieroleh : dea- λi = - k++j de k+j arena k+j eruakan anak arik A-λI yang dieroleh dengan enghilangkan bari ke-k+ dan kolo ke-j, aka arik k+j berukuran k k. Dengan deikian de k+j eruakan olino λ berderaja k, dan berderaja. Akibanya eraaan eruakan olino λ berderaja k+. ii ialkan λ eruakan akarciri arik A aka erdaa yang idak nol edeikian ehingga : A = λ

3 6 A λ = A λi = arena A λi = akan eunyai enyeleaian yang ak nol jika dan hanya jika dea λi =, dan dea λi = A λ, aka λ eenuhi eraaan A λ =. Berari λ eruakan enyeleaian bagi A λ =. Anon H 989 Definii 5 Akarciri dan Vekociri doinan Jika A adalah arik berukuran n n dan λ, λ,, λ n adalah akarciri-akarciri arik A, λ i dikaakan ebagai akarciri doinan arik A jika berlaku λ > λ unuk uau i =,, 3, dan unuk eua j i. Vekorciri yang bereuaian dengan λ i diebu ebagai vekorciri doinan arik A. Anon H 989. Pengerian igrai igrai adalah erindahan enduduk dari uau ea ke ea lain, baik elewai baa olii negara auun baa adinirai/baa bagian dala uau negara dengan ujuan unuk enea. igrai ering diarikan ebagai erindahan yang relaif eranen dari uau ea ke ea yang lain. Daa igrai daa diuun berdaar ola igrai keluar, igrai auk, enuru uur, dan jeni kelain BPS 995. Daa igrai yang eredia berdaarkan hail enu enduduk hanya daa ebedakan iga jeni igran, yaiu igran euur hidu a lifeie igran, igran oal dan igran rien recen igran. igran euur hidu adalah ereka yang indah dari ea lahir ke ea inggal ekarang ana eliha kaan indahnya. Dala kone ini igrai dieroleh dari keerangan ea lahir dan ea inggal ekarang, jika kedua keerangan erebu berbeda aka erauk igran euur hidu. igran oal adalah ereka yang indah ehingga ea inggal ebelunya berbeda dengan ea inggal ekarang. igrai ini dieroleh dari keerangan ea inggal ebelunya dan ea inggal ekarang. Sedangkan igran rien adalah ereka yang ernah indah dala kurun waku 5 ahun erakhir, keerangan ini dieroleh dari eranyaan ea inggal 5 ahun yang lalu dan ea inggal ekarang. Jika keerangan erebu berbeda aka erauk igran rien BPS 995.

4 7 enuru Roger e al. 978 ola engaaan igrai enuru uur ecara aeai erdiri aa ea koonen ening yaiu :. Pra-angkaan kerja re-labor force, yang diunjukkan dengan uau eraaan ekonenial dengan angka enurunan ebear α yaiu : f = a e-α ; + 3. Angkaan kerja labor force, yaiu uau eraaan ekonenial ganda dengan au iik uncak, dengan uia raa-raa µ, era eiliki angka kenaikan λ dan enurunan α yaiu : f = a e{-α - µ e[-λ -µ ]} ; Paca angkaan kerja o-labor force, yaiu uau eraaan ekonenial ganda, dengan uia raa-raa µ 3, era eiliki angka kenaikan λ 3 dan enurunan α 3 yaiu : f 3 = a 3 e{-α 3 - µ 3 e[-λ 3 -µ 3 ]} ; Suau konana c, yaiu uau eraaan yang dierlukan unuk eerbaiki keeaan aeai enakiran kedul ini yaiu : f 4 = c 6 Penjulahan dari keea eraaan diaa diruukan oleh eraaan odel kedul igrai ebagai beriku: = a e -α + a e{-α - μ - e[-λ - μ ]} a3 e{-α3 - μ3 - e[- λ3 - μ3]} + c Pola igrai enuru kelook uur di uau wilayah belu enu aa dengan odel eeri yang dikeukakan di aa. Pola daa berbeda euai dengan karakeriik individu enduduk aau wilayahnya. Pola yang dihailkan oleh negara aju belu enu aa dengan ola dari negara berkebang. Naun deikian Roger 984 elah enyederhanakan ola yang ada enjadi iga keluarga odel kedul igrai berdaarkan benuk ola igran ada uur acaangkaan kerja, yaiu:. odel enuh. Pada odel ini eunyai benuk eraaan ekonenial ganda ada uia aca-angkaan kerja yang dierlihakan oleh eraaan 7.

5 8. odel idak enuh. Dala odel ini idak erdaa uncak ada uur aca angkaan kerja. Sehingga eraaan aeainya enjadi: = a e -α + a + a e α + c 3 μ - e[-λ - μ ]} + 8 e{-α odel ederhana. Dala odel ini idak ada ola ada uia aca-angkaan kerja. Sehingga eraaan aeainya enjadi: = a e -α + a + c e{-α - μ - e[-λ - μ ]} + 9 Leden dan Teroe 99 didala Choib 998 elah eerlihakan ola yang berbeda dari igran yang keluar dari DI Jakara dan dari luar DI Jakara berdaarkan daa SP 98 dan SP 99. Angka igrai enuru kelook uur Age Secific igraion Rae/ASR dieroleh dari roori enduduk yang berau igran roini ea inggal ekarang berbeda dengan roini ea inggal lia ahun yang lalu ada uur erenu. Indek yang enunjukkan ringkaan dari ASR adalah GR yang diruukan ebagai beriku: GR =, diana i = uur igran..3 eode uadra Terkecil Peraaan Polino Di dala engeaan kurva, ialkan diberikan n iik yang berua aangan bilangan,f,, f,, n, f n dan diina unuk enenukan ebuah fungi P edeikian rua ehingga P i f i, dengan i =,, 3,,n. ialkan P eruakan jeni fungi olinoial yang dicocokkan fied erhada daa f i. Sifa fiing idak elalu P i = f i unuk eua i. Sehingga nilai-nilai araeer yang dieroleh dari ebuah ercobaan akan engandung gala ercobaan. Pada kau yang ederhana engeaan kurva daa dilakukan cuku dengan aa elanjang. Naun jika iik iu erencar, aka cara ini idak daa diandalkan ehingga lebih baik digunakan eode kuadra erkecil.

6 9 erkecil: Prini enenuan fungi olino P berderaja dengan eode kuadra i P eruakan olinoial berderaja dengan benuk uu: P = a + a + a + a a dengan a, a, a,, a eruakan nilai-nilai araeer. ii Seliih anara P dan f unuk iik daa erenu adalah: i = f i P i, i=,, 3,, n iii Sedangkan julah kuadra eliih anara P dan f uuk eua iik daa adalah: S = = = iv Syara yang haru dienuhi agar S iniu adalah :,, = j =,, Sehingga akan ebangkikan uau ie eraaan ebagai beriku: j =,,, Beriku ini ie eraaan unuk + araeer yang belu dikeahui: a n + a Dala benuk arik daa dinyaakan ebagai: aau A = = Sehingga a, a,, a daa dieroleh ebagai olui eraaan linear dari: A =

7 .4 eode uadra Terkecil Peraaan Nonlinear ialkan diberikan n iik daa berua aangan bilangan,y,, y,, n, y n dan akan dienukan ebuah fungi nonlinear f,,,, edeikin rua ehingga f i,,,, y i, diana i, i =,,, <n adalah araeer. Diauikan uuk n iik daa yang diberikan adalah : y = f,,,, y = f,,,, y n = f n,,,, Daa dicari nilai-nilai araeer dari fungi dengan einiukan z i = y i - f i,,,,, i =,, n. Turunan z i erhada araeer-araeer adalah = Aau dala benuk arik daa dinyaakan ebagai d = Ad, diana A =, d =, dan d = Dengan eberian nilai awal araeer-araeer: =, dan erhiungan dilakukan unuk nilai i =,,, n, aka dieroleh: = Sie ini akan bekerja ecara ierai dengan, diana ehingga:,,,, Nilai-nilai araeer akan dieroleh dengan cara einiukan, ehingga: <, diana adalah gala erkecil.

8 .5 ecocokan odel Skedul igrai Unuk enilai kecocokan odel goodne-of-fi yang eredia dala odel kedul bila hal erebu dierakan ada daa yang diaai, kia enghiung PE Proorional Error, dengan enggunakan nilai dari eraaan beriku : PE =, = akual, = dugaan 3 Wei WWS 99.6 odel Proyeki Penduduk uliregional Perhiungan julah dan kooii enduduk dilakukan dengan eerhaikan koonen ferilia, oralia dan igrai ecara eriah. eiganya keudian eengaruhi julah dan kooii enduduk di uau wilayah. Dala deografi uliregional, julah dan kooii enduduk di uau wilayah eruakan hail dari ineraki anara keiga koonen erebu ecara beraaan, diana riadona dari keiga koonen erebu ebenarnya adalah igrai Choib 998. Secara uu baik dala erekif uniregional auun uliregional erhiungan ederhana enang julah enduduk ebagai hail ineraki dari iga koonen di aa adalah ebagai beriku : + = +r, 4 diana : + r = Julah enduduk ada ahun + = angka erubuhan enduduk = Julah enduduk ada awal ahun Angka erubuhan enduduk r eruakan enjulahan dari erubuhan enduduk alai naural increae, yaiu erbedaan angka kelahiran dan keaian b-d dan angka igrai neo i-o. Dan ecara uu daa diruukan ebagai beriku : r = b d + i o, diana b, d, i dan o aing-aing adalah angka kelahiran, angka keaian, angka igrai auk dan angka igrai keluar. Perbedaan anara uniregional dan uliregional erleak ada engukuran araeer igrai auk i. Dala uniregional, ebagi igrai auk adalah enduduk wilayah yang didaangi, edangkan ada uliregional ebaginya adalah enduduk wilayah aal igran.

9 .7 Life Table Uniregional enuru Brown 997 Life Table adalah uau gabaran yang enunjukkan riwaya keaian dala ayaraka ada waku erenu yang eliui: l adalah julah orang yang berahan hidu dari lahir hingga ea uur ke-. d adalah banyaknya keaian anara uur hingga +, diana d = l l+ 5 adalah eluang berahan hidu dari uur hingga uur +, diana l + = l 6 q adalah eluang keaian eeorang yang hidu ada ea uur dan akan ai ebelu encaai uur +, diana d q = = l l l + l 7 L adalah banyaknya enduduk erengahan ahun yang hidu anara uur dan +, diana L = l - d = l + l+ 8 T adalah oal waku hidu yang akan dijalani oleh l enduduk beruur, diana T = L + L+ + L e adalah angka haraan hidu bagi enduduk uur, diana e T = l adalah ingka keaian bagi enduduk uur, diana d = L Dala enenukan life able uniregional daa dilakukan dengan enggunakan odifikai Bra yang dikenal dengan ie odel logi life able Anoni 983. Bra elah eneukan adanya hubungan linear anara l* dan l. ialkan λl enyaakan ranforai dari nilai l, aka daa diuli hubungan linear anara λl* dan λl ebagai beriku: λl* = α + βλl

10 3 diana l* dan l enyaakan dua nilai life able yang berbeda level, α dan β eruakan konana. Peraaan akan berlaku unuk eua nilai jika λ didefiniikan ebagai : λl = logi. l =,5 ln. l/l 3 Dari eraaan dan eraaan 3 daa diurunkan ebuah eraaan: l* =. + eα + βλl - 4 Buki: Liha Lairan 4 Peraaan 4 daa digunakan unuk ebua life able uniregional ecara ederhana dengan enggunakan nilai α dan β yang euai dengan level..8 one Deografi uliregional Selanjunya akan dijelakan beberaa kone berkaian dengan deografi uliregional yang eliui urvivorhi, life able uliregional, dan kelahiran. Beriku definii dan noai yang digunakan : h ij : eluang eeorang yang ekarang beruur dan inggal di wilayah-i, dan berahan hidu hingga uur +h dan inggal di daerah-j h q i : eluang eeorang yang ekarang beruur dan inggal di wilayah-i, akan ai ebelu encaai uur +h. h ii : eluang eeorang yang ekarang beruur dan inggal di wilayah i, berahan hidu hingga uur +h dan idak indah ke wilayah lain. h ii = - j = h ij - h q i i,j =,,..., il j y il j y b ji B : banyaknya enduduk yang berahan hidu hingga uur y ahun dan inggal di wilayah j dari l i enduduk yang ada aa uur ahun inggal di wilayah i : oal julah enduduk yang ada uur y ada di daerah j dan ebelunya inggal di daerah i ada uur. il j y = h [ i l j y] : inenia kelahiran bayi dala elang waku aai +4 dan ada awal inerval waku yang inggal di wilayah j dan ada akhir inerval inggal di wilayah i : arik b ji dengan eleen bari ke-i dan kolo ke-j

11 4 ji S : roori enduduk dari eua uur hingga +4 yang inggal di daerah j ada eriode dan berahan hingga 5 ahun. eudian uur +5 hingga +9 inggal di wilayah i ada eriode +. : arik ij dengan eleen bari ke-i dan kolo ke-j. i : oal julah enduduk ada wilayah i ada eriode ada kelook α β.8. Survivorhi uur aai +4. : uia reroduki erendah : uia reroduki eringgi Beriku ini adalah ie enduduk dengan -daerah, julah enduduk ada kelook uur aai +4 ada daerah i adalah : i = j j= i, i =,,..., 5 diana j i adalah individu lahir di daerah-j, yang ada di daerah-i ada kelook uur aai +4 ada aa. Survivorhi adalah roori enduduk yang berahan hidu ada uau eriode aai eriode berikunya, dinyaakan dengan: Li + 5 j ij = i, j =,,..., Lij 6 Pada oulai uliregional enduduk yang diharakan berahan hidu aai inerval waku 5 ahun adalah: j +5 = i= ij, j =,,..., 7 i diana ij adalah roori bahwa individu di daerah-i uur aai +4 dan inggal di daerah-j ada aa uur +5 aai uur +9. Dari hubungan eraaan 5 dan eraaan 7 dan faka bahwa bayi yang lahir di daerah-i idak daa enjadi anggoa oulai bayi yang lahir di daerah-j, aau ebaliknya aka: + j i ki k = +5 = aau dala benuk arik : i,j =,,3,..., 8 j k

12 5 5 S = dengan : = Dengan arik urvivorhi dari ij : S = Sehingga dari eraaan 6 unuk ie oulai dua wilayah eleen bari ke j, kolo ke i daa diforulaikan: ij = i,j =, 3.8. Life Table uliregional Perhiungan life able uliregional diulai dengan endugaan igrai keluar enuru uur dan ingka keaian. Seelah enyuun life able, kia daa encari arik G yaiu arik oeraor erubuhan uliregional unuk erediki julah enduduk ada au inerval waku erenu. Pada daarnya eua fungi life able beraal dari arik eluang ranii P yang didefiniikan unuk eua uur dan unuk engkonrukinya dilakukan dengan cara enranforaikan ingka igrai dan ingka keaian enuru uur A aau roori urvivorhi S ke arik ranii. Ada dua roedur dala elakukan endugaan A, P, S. Proedur eraa difokukan ada ingka igrai dan ingka keaian enuru uur yang diaai, edangkan roedur kedua difokukan ada roori urvivorhi. enuru Roger975 dala Roger995 kedua jeni enduga ini diebu dengan eode Oion I dan eode Oion II a. Pendugaan enggunakan eode Oion I Pada eode ini endugaan diulai dengan endefiniikan arik igrai dan keaian yaiu:

13 6 A = diana ii = + i j ij id yang enyaakan bahwa id adalah ingka keaian ahunan enuru uur di daerah-i dan ij adalah julah ingka igrai enuru uur dari daerah-i ke daerah-j, unuk eua j, j i. Roger dan Leden976 dala Roger995 enunjukkan bahwa arik eluang P unuk inerval 5 ahunan dihiung dari arik A enggunakan eraaan : P = [ ] 5 + A I [ ] 5 A I, 3 diana : P = Dengan ij adalah eluang individu hidu di daerah-i ada ea uur kehiduan dan hidu 5 ahun eelahnya di daerah-j. b. Pendugaan enggunakan eode Oion II Dala eode ini akan digunakan jika daa igrai dan keaian idak ada yaiu dengan enggunakan daa urvivorhi. Leden dan Ree 986 dala Roger 995 engaakan bahwa eode ini diulai dengan endefiniikan hubungan anara arik P dan arik roori urvivorhi S = Proori urvivorhi unuk inerval waku uur 5 ahunan dihiung dengan cara: ij S -5 = = k ik ij 33

14 7 Diana ij enunjukkan julah igran yang dicaa dengan enu dari daerah-i ada waku -5 di daerah-j ada waku dan ik adalah julah igran dari daerah-i ada waku -5 unuk eua k daerah ada waku, roori erebu engacu ada kelook uur 5 ahun lebih uda dari uur yang dilaorkan keika enu diabil. arik eluang ranii beryara P dieroleh dari arik roori urvivorhi beryara enuru uur, S, enggunakan inerolai linear eraa yang diberikan oleh Ree dan Wilon977 dala Roger995: P = [ ] 5 P S S P P σ σ + = 34 S = P = Dan P σ adalah arik diagonal dari eluang berahan hidu idak beryara, benuk ariknya : P σ = σ σ σ Forula unuk enghiung eia eleen diagonal dala P σ enggabarkan definii uniregional dari eluang berahan hidu Leden & Ree 986, diacu dala Roger 995: P iσ = = + k id ik id diana id adalah ingka keaian uur aai +4 di daerah-i..8.3 elahiran Proyeki enduduk uliregional idak lengka ana eerkirakan julah oal kelahiran yang berahan hidu elaa au elang waku.

15 8 Tingka kelahiran enduduk wania ada uia di daerah-i dinoaikan dengan F i = βi, diana β i eruakan banyaknya kelahiran ada waku uur ρ i di daerah-i dan ρ eruakan banyaknya enduduk wania ada waku uur di daerah i. i Julah bayi yang lahir elaa elang inerval 5 ahun adalah: = 5 5 Julah bayi yang berahan hidu di daerah-j aai akhir elang inerval adalah: 5 Sehingga dieroleh julah bayi yang lahir dari wania uia reroduki α aai β elaa elang waku 5 ahun adalah: = = = eleen ada bari ke-i kolo ke-j arik B adalah: b ji = Li Fj + S l j j k = jk Dengan arik kelahiran dari b ji : B = b b b b b b b b b k.9 arik Proyeki uliregional Li Fk + 5 lk 3 Dari arik urvivorhi dan arik kelahiran, daa di uun arik oeraor erubuhan enduduk ecara uliregional Roger 995 yaiu : G = S S5 B α 5 S B β 5 S z 5

16 9 arik G di aa yang keudian diebu ebagai roe erubuhan dengan generaliai arik Lelie. Seelah ebua arik oeraor G aka daa dilakukan royeki enduduk dengan enggunakan odel royeki : + = G 36 Dari eraaan 36 kia daa eeroleh eraaan-eraaan beriku: + = G + = G + = G +n = G n 37 Dengan deikian aabila kia engeahui vekor ebaran uur awal dan arik G, aka kia daa enenukan vekor ebaran uur oulai di waku yang akan daang. odel royeki di aa keudian diebu dengan odel royeki generaliai arik Lelie yang elibakan igrai ecara uliregional, diana: = 5, = z Pada oulai yang elah encaai ebaran uur abil aka julah enduduk ada eriode + adalah julah enduduk ada eriode dikali laju erubahannya, ehingga erjadi eraaan : + = λ, 38 diana λ adalah laju erubahan. Aabila λ > aka erjadi kenaikan, λ < erjadi enurunan, dan unuk λ = aka konan. Dari eraaan 38 di aa kia daa eeroleh eraaan-eraaan beriku: + = λ + = λ + = λ +n = λ n 39 Dala odel royeki generaliai arik Lelie yang elibakan koonen igrai ecara uliregional dikeahui bahwa: + = G

17 ehingga jika uau oulai dengan odel arik Lelie yang elah encaai ebaran uur abil akan berlaku : + = G = λ 4 diana λ adalah konana akarciri doinan dari arik G. Dari eraaan 37 dan 39 daa diforulaikan : +n = G n = λ n 4 Berdaarkan eorea unuk endaakan enyeleaian λ ada eraaan 4 aka erdaa edeikian rua ehingga G-λI = akan eunyai enyeleaian yang ak nol haru dienuhi deg- λi =. Unuk engeahui gabaran oulai eelah ebaran uur abil ercaai, aka daa dilakukan eneluuran erhada akarciri arik Lelie. Pada oulai yang elah encaai ebaran uia abil aka akarciri arik G adalah berifa oiif, unggal dan real ebu ebagai λ dan berlaku λ >, j =, 3,, dan berdaarkan definii 5 aka λ adalah akarciri doinan dari arik G. Di dala Jainingia 996 elah diunjukkan bahwa akarciri oiif arik Lelie λ hanya au. Vekorciri yang beradanan dengan λ eiliki unur-unur yang oiif. Jika erdaa dua kela uur aau lebih yang beruruan, aka akarciri doinan arik Lelie adalah akarciri oiifnya. Di dala Brown 997 odel laju erubuhan enduduk ada oulai abil daa nyaakan ebagai : + = e r 4 diana r eruakan laju erubuhan enduduk. Sehingga dari eraaan 4 dan 4 laju erubuhan enduduk ada oulai encaai kondii abil unuk inerval uur 5 ahunan daa dienukan dengan: r = ln λ