EVALUASI DISTRIBUSI GABUNGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA KONVOLUSI DAN REKURSI PANJER

Transkripsi

1 Vol 7, o, Juni 0 EVALUAI DITRIBUI GABUGA MEGGUAKA ALGORITMA KOVOLUI DA REKURI PAJER Roita Kuumawati Juruan Pendidian Matematia Faulta Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Univerita egeri Yogyaarta (UY) Karangmalang, Yogyaarta 558, Indoneia roitauumawati@gmailcom Abtra Evaluai ditribui gabungan merupaan bagian penting dalam matematia aurani dan manajemen reio Perbandingan evaluai ditribui gabungan menggunaan algoritma Konvolui dan reuri Panjer aan diaji dalam tulian ini Keyword: ditribui gabungan, onvolui, reuri panjer Abtact Evaluation of the compound ditribution i an important part in the field of mathematic inurance and ri manajement Comparative evaluation of the compound uing Convolution algorithm and Panjer recurion will be reviewed in thi paper Keyword: compound ditribution, convolution, panjer recurion PEDAHULUA alah atu pilar dalam teori reio lai dan aurani adalah analia umpulan reio atau jumlahan laim dari eluruh poli-poli dalam uatu portofolio aurani Ada dua cara untu melauan analia aumulai laim (Kulgman, et al 004), yaitu dengan model reio individu (individual ri model) dan model reio oletif (collective ri model) Individual ri model melihat poli ecara individual, edangan collective ri model melihat jumlahan laim ecara menyeluruh dalam portofolio buan poli ecara invidual Aumulai laim aurani ebaaran dan erugian adalah alah atu contoh aurani yang coco dimodelan menggunaan collective ri model Collective ri model merupaan proe aca Mialan peubah aca menyataan jumlah laim yang terjadi dari uatu portofolio poli dalam uatu rentang watu tertentu, dan peubah aca X i adalah bear laim e i, untu i =,,, Total laim dari portofolio dalam periode terebut adalah, X X X Aumi yang digunaan untu mempermudah dalam mempelajari model reio umpulan di ata yaitu, i X, X, iid ii peubah aca, X, X, aling independen 33

2 Evaluai Ditribui Gabungan(Roita Kuumawati) Evaluai ditribui gabungan angatlah penting dalam collective ri model Ada beberapa pendeatan yang dapat dilauan yaitu algoritma Konvolui, algoritma Reuri untu ela ditribui yang lebih bear dalam, Fat Fourier Tranform (FFT), pare vector, dan lain lain Dalam tulian ini penuli aan mengaji algoritma Konvolui dan Reuri Panjer dalam evaluai ditribui gabungan FUGI DITRIBUI GABUGA Fungi ditribui gabungan dari total jumlah laim dari eluruh poli dalam portofolio adalah fungi yang dapat digunaan untu melauan analia umpulan reio yang implementainya pada aurani ebaaran digunaan untu menghitung premi reaurani top lo ifat-ifat ditribui gabungan aan dibaha dalam beberapa teorema di bawah ini b Var EVar X E X Var c m t m log mx t buti: a E E E n0 n0 n0 n0 E X X n P n n E X X n P n E X X P n n ne X P E X E b Dengan menggunaan deompoii variani diperoleh, Var E Var Var E Var E Var X n E Var X E X Var t c m t E E e Teorema (Bower, et al, 997) Diberian variabel random total laim yaitu X X X, dengan variabel random jumlah laim dan X i iid a E E X E n0 n0 n0 t X X E e n P n t X Xn E e P n n mx t P n log mx t E e 34

3 Vol 7, o, Juni 0 m log m t X buti : cuup jela menggunaan Teorema Pemilihan ditribui dari aan berpengaruh pada ditribui dari Terdapat beberapa bentu huu yang ering digunanan dalam analia model reio, yaitu untu berditribui Poion, maa berditribui gabungan Poion, dan untu berditribui binomial negatif, berditribui gabungan binomial negatif ALGORITMA KOVOLUI Mialan dua peubah aca X, X, yang aling independen dan X X dengan daerah diberian pada gambar di bawah ini Teorema (Bower, et al, 997) Untu POI, diebut ditribui gabungan Poion dengan E X E, Var E X dan m t mx t exp buti : cuup jela menggunaan Teorema Teorema 3 Untu, BI r p, diebut ditribui gabungan Binomial rq, p egatif dengan E E X rq rq Var E X E X p p dan m t p qm X t r Gambar Daerah X X Fungi ditribui dari adalah F P P X X Jia adalah peubah aca dirit maa dengan huum peluang total dapat diperoleh, F P X X X r P X r r r P X r X r P X r Dietahui X, X independen, ehingga diperoleh, 35

4 Evaluai Ditribui Gabungan(Roita Kuumawati) F F r f r X X r () Hal yang ama juga diperoleh untu peubah aca ontinu Proe pada peramaan () diebut onvolui dari epaangan fungi ditribui F x X dan FX x, yang dapat dinotaian dengan FX * F X Algoritma Konvolui untu ditribui gabungan ecara umum diberian dalam teorema di bawah ini Teorema Konvolui (Ka R, 008) Ditribui beryarat untu = n adalah, n0 F P P X X n P n atau dapat ditulian dalam bentu lain * n F P P n, dan n0 * n f p P n n0 buti : cuup jela menggunaan huum peluang total Contoh Dietahui jumlah laim berditribui Poion dengan Diaumian P X, erta X, dan i P X P X 3 Tentuan 4 ditibui dari Untu jumlah laim berditribui Poion dengan, n e P n f ( n) Ditribui n! aan ditentuan menggunaan algoritma Konvolui Dari Teorema 4, diperoleh tabel onvolui ebagai beriut, 0 3 P n x e e e 4 3 e *0 * * *3 p x p x p x p x 0 e 4 4 * n f ( x) p x P n n0 e e e e e 4 4 i 36

5 Vol 7, o, Juni e e e e Tabel Konvolui Ditribui Gabungan Poion Terlihat bahwa evaluai ditribui gabungan menggunaan algoritma Konvolui angat rumit dan membutuhan perhitungan yang angat banya terutama etia n emain bear Algoritma reuri adalah alah atu pendeatan lain untu ditribui gabungan ALGORITMA REKURI PAJER Algoritma beriutnya yang dapat digunaan untu mengevaluai ditribui gabungan adalah Algoritma reuri Panjer Relai yang mendaari reuri Panjer diberian dalam Teorem 5 di bawah ini Pada beberapa literatur banya dijumpai algoritma reuri lain yang menggunaan relai yang ama relai beriut Teorema 5 (Ka R, 008) Ditribui gabungan dengan adalah jumlah laim yang terjadi dengan P( n) b a P( n ) n atau dapat dituli dalam notai lain qn qn a n b, untu n =,,, dan X i adalah bear laim e i dengan x 0, x X i adalah f 0 jia p Pr 0, 0 0 m log p 0, jia p0 0 bh f a ph f h,,, 0 ap h (3) buti: Untu = 0, dengan menggunaan (Teorema 4), n0 f P P X X n P n 37

6 Evaluai Ditribui Gabungan(Roita Kuumawati) diperoleh bahwa p 0 0 maa f (0) Pr 0, dan untu jia p0 0 maa f (0) m log p 0 Untu =,,, dibentu T X X X Ada iid variabel, dengan X dan variabel yang lain iid dan imetri, jela bx b b (i) E a T a a Harga harapan terebut dapat pula dinyataan dalam bentu, E a T a P X h T a h0 h0 bx bh bh P X h P T X h P T (ii) b Dari (i), (ii) dan relai qn qn a, diperoleh Ditribui gabungan yaitu n f q P T b a q P T h0 bx E a T q P T bh P X h P T X h q a P T P T bh q a P X h P T X h h 0 bh a P X h q P T X h h0 bh a p h f h h 0 bh ap 0 f a p h f h h diperoleh, bh f a p h f h ap 0 h Algoritma reuri Panjer hanya dapat digunaan untu ditibui yang memenuhi relai Teorema 5, dan ditribui ditribui itu adalah ditribui Poion, Binomial egatif, dan Binomial Beriut formula reuri untu 38

7 Vol 7, o, Juni 0 ditribui gabungan Poion, Binomial egatif, dan Binomial, i Ditribui Poion meme- b nuhi qn qn a, dengan dengan n a 0 dan b 0 Peramaan 3 untu ditribui Poion adalah, f 0 0 e Pr 0 e, jiap 0 0 0! p 0 m p p e jiap log 0 exp 0, 0 0 f hph f h,,, h Contoh Tentuan ditibui dari pada Contoh dengan algoritma Reuri Panjer Dietahui ditribui gabungan Poion dengan dengan dan P X,,3,, Dengan 4 4 Teorema 5 diperoleh, f p () f p f 3 p 3 f 3 f 4 f 6 f f f f 3 untu =,, Diperoleh, f (0) e, f () f (0) e, f () f f 0 e e e, f (3) f f f 0 e e e e Contoh implementai reuri Panjer dalam program R dengan menggunaan PanjerBin function yaitu, PanjerPoi<- function(theta,p, ma=00) { if (um(p)> any(p<0)) top("p parameter not a denity") f=ull d=length(p) f[]=exp(-theta*(- p[])) for ( in :ma){ ptemp=ull if ((+)<=d) ptemp=p[:(+)] if ((+)>d) { ptemp=p[:d] ptemp[d:]=0 ptemp=ptemp*((:)*theta) ftemp=f[:] 39

8 Evaluai Ditribui Gabungan(Roita Kuumawati) f[+]=((/)*p[]))*(ptemp%* %ftemp) if (um(f)> ) brea return(f) i Ditrbui Binomial egatif b r, memenuhi qn qn a n, f 0 r 0 r 0 r Pr 0, jia p r m log p 0, jia p 0 0 p0 dengan a, dan b a r r Dengan a dan r b ehingga a 0 a dan a b 0, atau a, dan b ar r Peramaan 3 untu ditribui Binomial egatif r, adalah, p p h r h f p h f h 0 h r h p h f h,,, 0 Contoh implementai reuri Panjer dalam program R dengan menggunaan PanjerBin function yaitu, PanjeregBin<- ma=00) { function(r,theta,p, if (um(p)> any(p<0)) top("p parameter not a denity") f=ull d=length(p) f[]=(theta/(-(-theta)*p[]))^r for ( in :ma){ ptemp=ull if ((+)<=d) ptemp=p[:(+)] if ((+)>d) { ptemp=p[:d] ptemp[d:]=0 ptemp=ptemp*((:)*(r-)/+) ftemp=f[:] f[+]=((-theta)/(-(- theta)*p[]))*(ptemp%*%ftemp) if (um(f)> ) brea return(f) ii Ditrbui Binomial, b memenuhi qn qn a n, dengan 40

9 Vol 7, o, Juni 0 atau a Dengan a a dan ba, a, dan b ehingga 0 f 0 a danb a, Peramaan 3 untu ditribui Binomial, adalah, 0 0 Pr 0, jia p log p0 m log p 0 e p 0, jia p 0 0 h f p h p 0 h f h h p h f h h p 0 h p h f h h p 0 p 0 h p h h p h f h h p h f h,,, 0 Contoh implementai reuri Panjer dalam program R dengan menggunaan PanjerBin function yaitu, PanjerBin<- ma=00) { function(,theta,p, if (um(p)> any(p<0)) top("p parameter not a denity") f=ull d=length(p) f[]=(-theta+theta*p[])^ for ( in :ma){ ptemp=ull if ((+)<=d) ptemp=p[:(+)] if ((+)>d) { ptemp=p[:d] ptemp[d:]=0 ptemp=ptemp*((:)*(+)/-) ftemp=f[:] f[+]=(-theta)/(theta*(-p[])- )*(ptemp%*%ftemp) if (um(f)> ) brea return(f) 4

10 Evaluai Ditribui Gabungan(Roita Kuumawati) IMPULA Algoritma reuri Panjer mempermudah evaluai dari ditribui gabungan dibandingan algoritma onvolui Aan tetapi algoritma reuri hanya dapat dijalanan untu ditribui gabungan tertentu aja yaitu ditribui gabungan Poion, egatif Binomial, dan Binomial DAFTAR PUTAKA Bower, et al 997, Actuarial Mathematic, nd Edition, ociety of Actuarie Crawley, M J, 007, The R Boo, John Wiley & on, Ltd Ka, R 008, Modern Actuarial Ri Theory uing R, pringer Verlag Klugman, tuart A, Panjer, Harry H and Willmot, Gordon E 004 Lo Model from Data to Deciion, nd edition ew Jerey : John Wiley & on, Inc Rice, J A (995), Mathematical tatitic and Data Analyi, nd Edition, Duxbury Pre, Belmont, CA 4