Volume 1, Nomor 1, Juni 2007 ISSN

Transkripsi

1 Volume, Nomor, Juni 7 ISSN

2 Barekeng, Juni 7 hal6-5 Vol No ANALISIS VARIANS MULTIVARIAT PADA EKSPERIMEN DENGAN RANCANGAN ACAK LENGKAP (Variance Mulivaria Analysis for Experimen wih Complee Random Design) Th PENTURY Jurusan Maemaika FMIPA Universias Paimura Ambon Jl Ir M Puuhena, Kampus Unpai, Poka-Ambon ABSTRAK Meode Saisika Mulivaria adalah eknik analisis saisik yang memperlakukan sekumpulan variabel dependen yang saling berhubungan sebagai sau sisem, dengan memperhiungkan kuanya hubungan anar variabel-variabel ersebu Analisis yang demikian biasanya dikenal aau disebu Analisis Saisik Mulivaria aau disingka Analisis Mulivaria Tujuan analisis dengan meode ini adalah menemukan dan menafsirkan srukur yang mendasari daa Pada analisis ini daa yang diolah adalah daa dari hasil pengukuran beberapa variabel ak bebas dan dapa saja diambah dengan hasil pengukuran dari sau aau beberapa variabel bebas Dengan demikian yang diukur adalah sau aau beberapa kelompok variabel, sedang daanya adalah beberapa kelompok skor Analisis Varians adalah ehnik analisis saisik, yang biasanya digunakan unuk komparasi beberapa raa-raa populasi, berdasarkan perbandingan pasangan aksiran varians fakor-fakor erenu Pada kondisi mulivaria, dimana analisis ini merupakan perluasan aau generalisasi dari analisis varians adalah Analisis Varians Mulivaria, dan merupakan ehnik analisis daa enang perbedaan pengaruh beberapa variabel erhadap sekelompok variabel krieria Kaa Kunci: Saisik Uji Wilks, Mariks Varian Kovarians PENDAHULUAN Analisis Varians adalah eknik analisis saisik, yang biasanya digunakan unuk komparasi beberapa raa-raa populasi, berdasarkan perbandingan pasangan aksiran varians fakor-fakor erenu Pada kondisi mulivaria, dimana analisis ini merupakan perluasan aau generalisasi dari analisis varians adalah Analisis Varians Mulivaria, dan merupakan ehnik analisis daa enang perbedaan pengaruh beberapa variabel erhadap sekelompok variabel krieria Pada Analisis Varians Univaria, kepuusan yang dibua erhadap hipoesis yang diajukan didasarkan pada sau saisik uji yaiu saisik F dari Fisher, dimana nilai saisik ini dienukan oleh rasio dari dua raa-raa Jumlah Kuadra Pada Analisis Varians Mulivaria ada beberapa saisik uji yang dapa digunakan unuk membua kepuusan erhadap hipoesis yang diajukan Dalam ulisan ini akan dijelaskan saisik uji yang digunakan unuk beberapa rancangan eksperimen yang biasanya digunakan Ada empa saisik uji yang biasanya digunakan unuk menjasifikasi hipoesis yang digunakan masing-masing adalah Uji hasil bagi kemungkinan, dengan menggunakan saisik uji λ ( lambda) dari Wilks Noasi yang digunakan adalah U (dari disribusi Uniform) U () dimana JKG Jumlah Kuadra Gala ( Mariks varianskovarians Gala) JKPr Jumlah Kuadra Perlakuan (Mariks varianskovarians Perlakuan) Uji Telusur dari Lawley-Hoelling dengan saisik LH noasi yang digunakan adalah LH (JKG) - (JK Pr) () dimana (JKG) - adalah invers dari mariks varianskovarians gala JK Pr adalah mariks varians-kovarians perlakuan 3 Uji Akar Maksimum dari Roy, dengan saisik uji R (akar karakerisik maksimum) noasi yang digunakan adalah R (JKG) (JK Pr) (3) dimana (JKG) - adalah invers dari mariks varianskovarians gala JK Pr adalah mariks varians-kovarians perlakuan Uji Pillai, dengan saisik uji P yang dinoasikan dengan benuk n k i P i + ki () dimana k, k,, k n adalah akar-akar karakerisik dari (JKG) - Saisik Wilks lambda (λ) dengan noasi U memiliki beberapa sifa yang perlu dikeahui dan sanga pening unuk melakukan pengujian dengan saisik uji ini Sifa ini digunakan unuk mempermudah analisis aau memberi pilihan yang cukup memudahkan pekerjaan Sifa-sifa ini adalah sebagai beriku : Disribusi U dengan derajad kebebasan (p;n) sama dengan disribusi U yang berderaja kebebasan (p;n;+m p);

3 Barekeng, Vol, 7 ANALISIS VARIANS 7 Unuk p nilai U p;n dapa diransformasi ke nilai F dengan rumus ( n )( U ; F ( n ) m U ; n Dimana U ;n menyaakan nilai variabel acak yang berdisribusi U dengan deraja kebebasan (; n), sedang F (n-) menyaakan nilai variabel acak yang berdisribusi F dengan deraja kebebasan [ (n ) ] 3 ( n p + )( U p ; ; F p; ( n p+ ) p U p ; ; n ( n)( U; F m ; n m( U; Manova pada Rancangan Acak Lengkap Unuk membandingkan efek dari perlakuan, yaiu P, P,,P, maka perlakuan-perlakuan iu perlu dikenakan secara acak pada kelompok, dimana masing-masing kelompok merupakan sampel acak dari populasi yang dielii Unuk memudahkan penunjukan, kelompok yang dikenai aau mengalami perlakuan P i maka disebukan dengan kelompok ke-i, sedang populasi yang bersangkuan disebu populasi ke-i, dimana i,,, dan seerusnya Andaikan perlakuan iu elah dikenakan menuru rancangan yang digunakan, dimana kelompok ke-i erdiri aas n i subjek Selanjunya unuk mengukur efek perlakuan maka seiap subjek diukur p variabelnya, yaiu X, X,,X p Model seperi ini dikenal sebagai model Rancangan Acak Lengkap Daa yang diperoleh dari pengukuran ini dapa disusun sebagai beriku : ( n p + )( U p ; ; p( U p ; ; F p ; n p+ Perlakuan Skor P P P X X X p X X X p X X X p X X X p X n Xn Xn p X l X X l X X n Xn Xn p Jumlah X X X p X X X p X l X Selanjunya digunakan noasi-noasi sbb : X ijk skor subjek ke-i dari kelompok ke-j, (yaiu kelompok yang mendapa perlakuan P j ), pada variabel X k i,, 3,, nj ; j,, 3,, ; k,, 3,, p X jk X i ijk X jk X ( X ) n i ijk n jk j j jk reraa dari populasi ke-j unuk variabel X k X k X + X + + X k k k n + n + + n x x x ij x p x ij ij ijp x x j j jp x x p, unuk i,,, ; J,,, j x j j jp

4 8 PENTURY ANALISIS VARIANS Pada kondisi univaria, unuk menguji kesamaan raaraa populasi perlu dihiung jumlah-jumlah kuadra, yaiu jumlah Kuadra unuk Perlakuan, JKPr, dan Jumlah Kuadra unuk Gala JKG Pada analisis varians mulivaria kia juga akan menguji kesamaan vekor raaraa, sehingga diperlukan aau harus dienukan mariks Jumlah Kuadra dan Hasil Silang (JKHS), baik unuk perlakuan maupun unuk gala yang dikenal dengan JKHS Perlakuan dan JKHS gala Perhiungannya adalah sebagai beriku : JK (To) JKHS Toal dimana n n + n + + n JK ( Pr ) JKHS Perlakuan JKG JKHS Gala JK (To) - JK (P r ) Apabila vekor raa-raa populasi iu sama, maka variabel j j i ( xij - x ) ( xij - x )' xij x' ij - n x x' x ij x ij x ijp x j x' j - n x x' x j x j x jp ( xij, xij,, xijp ) ( x j, x j,, xjp ) x x - n ( x, x,, xp ) x p akan berdisribusi U dengan deraja kebebasan (p; - ; n-) Sifa erakhir ini dapa digunakan unuk menguji hipoesis kesamaan vekor raaraa populasi Pada kondisi univaria, apabila p maka unuk menguji kesamaan raa-raa populasi digunakan saisik uji F RJK( P ) r RJKG Dalam pengujian ini hipoesis nol (H ) yang diajukan adalah bahwa raa-raa populasi sama, akan diolak pada araf signifikansi α erenu jika F hi > F ab dengan deraja kebebasan ( ; n ) Hal ini berari bahwa bila Ho diolak maka akan ada dua kemungkinan yaiu RJK (P r ) yang erlalu besar, aau RJK (G) erlalu kecil Dengan demikian pada kondisi mulivaria, hipoesis nol (H ) bahwa vekor raa-raa populasi sama, maka akan erjadi H o diolak jika JK(G) erlalu kecil Sehingga unuk H o, krieria kepuusannya ialah Ho diolak pada araf signifikansi α erenu jika < U ;( p; ; n ) α Pada analisis varians mulivaria kondisinya hampir sama dengan analisis varians univaria, dimana pada siuasi mulivaria ersebu, ehnik analisis adi hanya berlaku apabila pada seiap populasi, vekor variabel X berdisribusi Normal p-varia, dengan mariks varianskovarians yang sama Beriku ini disajikan sebuah conoh unuk memperkenalkan analisis varians mulivaria Pada sebuah peneliian peranian dicobakan empa varieas anamaenis erenu dalam peak anah, dimana iap varieas diaburkan secara acak pada lima peak Seelah masa anam minggu diukur inggi anaman yang umbuh (X ) dan banyaknya cabang aau unas (X ) pada iap baang anaman Daa hasil pengukuran disajikan dalam abel beriku : Tabel Daa Hasil Percobaan Jenis Varieas V V V 3 V x x x x x x x x Unuk permasalahan diaas, hipoesis yang diajukan adalah: H : Keempa vekor raa-raa populasi idak berbeda, dalam noasi diulis sebagai beriku H : Paling sediki ada sau pasangan vekor raa-raa populasi yang berbeda

5 Barekeng, Vol, 7 ANALISIS VARIANS 9 Dengan menggunakan saisik uji wilks U dengan deraja bebas ( ; 3 ; 6), maka kepuusan erhadapap hipoesis yang diajukan didasarkan pada krieria sebagai beriku H diolak jika U hi < U ab (;3;6) dengan α 5 H dierima jika U hi U ab (;3;6) dengan α 5 Dari daa pada abel maka dengan menggunakan auranauran perhiungan dapa dilakukan analisis unuk menguji hipoesis yang elah diajukan Hasil perhiungan adalah sebagai beriku : x 9 x 53 x 3 76 x 65 x 9 x 8 x 3 3 x 3 x ¼ ( ) 7,5 x ¼ ( ) 37,5 x ; x 58, x ; x 5, 8 55, x 3 x 6, 7, 5 37, 5 5, 6 5, 6 53,, 6 ' ' 35, 3, JKo xij x ij nx x 3, 5, ' ' 65,, JK( Pr ) x j x j nx x, 5, 8 89, 5, JKG JKo 5, 9 JKG 89, x 9, (5,) 3395,8 JKG + JKP 35, x , 8 U, 3838 unuk p 886 Tabel 3 Ringkasan Analisis Varians Mulivaria Sumber Variasi db JKHS U p;n (p;n) Perlakuan 3 65,, 5, 8,3838 (;3;6) Gala 6 65, 5, 5,, 9, Toal 9 35, 3, 3, 5, Karena U hi 3,7 < U ab (;3;6) dengan α 5 maka H diolak Inerval keyakinan suau konras aau kombinasi linear dari raa-raa populasi dapa dicari dengan pendekaan sebagi beriku : Apabila a b a b a dan b a p b p dimana b + b + + b, sedangkan mariks raa-raa j j j jp dan W j ' a jb j maka inerval kepercayaan -α unuk W adalah inerval dimana baas-baas adalah sebagai beriku : Baas kiri Baas kiri j j a' x j b j - a' x j b j + ( j ( j b j b j a' JK (K) a' JK (K) a ( xα - xα xα a ( - xα dimana xα adalah nilai yang diperoleh dari abel dengan P O banyaknya variabel yang diukur, m O deraja kebebasan unuk Perlakuan dan n deraja kebebasan unuk gala xα mo Unuk P O, erdapa F α; (mo ;n) - xα n 3 ) 3 )

6 5 PENTURY ANALISIS VARIANS Dimisalkan bahwa k C, banyaknya kombinasi dari, daika hanya konras-konras yang memua dua raa-raa populasi yang digunakan, maka banyaknya konras adalah k dengan baas inervel keyakinan adalah a' x j b j ± α ( ; n- k S adalah mariks varians-kovarians sampel Jika inerval keyakinan unuk perbedaan sebuah pasangan raa-raa idak memua bilangan, maka perbedaan iu signifikan pada araf signifikansi α yang diberikan Unuk menjelelaskan bagian ini perhaikan conoh beriku Jika dari daa di aas dicari inerval keyakinan unuk a aau a dan unuk b aau b aau b aau b maka didapakan hasil sebagai beriku Tabel Inerval Keyakinan Unuk Selisih Raa-raa Inerval a b Var Konras Keyakinan (,) (,-,,) X - (,99 ;,6 ) (,) (,,-,) X - 3 ( -3,6 ;, ) (,) (,,,-) X - ( -, ;, ) (,) (,,-,) X - 3 ( -, ;, ) (,) (,,-) X - ( -9, ;, ) (,) (,,,-) X 3 - ( -, ;,5 ) (,) (,-,,) X - ( -,5 ; ) ( (,) (,,-,) X - 3 ( -, ; 3,5 ) (,) (,,,-) X - ( -,7 ;,9 ) (,) (,,-,) X - 3 ( -,7 ;,9 ) (,) (,,-) X - ( -,3 ; 3,3 ) (,) (,,,-) X 3 - ( -,9 ; 3,7 ) b j ) a' S a, dimana KESIMPULAN Pada Analisis Varians Mulivaria ada beberapa saisik uji yang dapa digunakan unuk membua kepuusan erhadap hipoesis yang diajukan Pembukian hipoesis yang diajukan didasarkauga pada rancangan eksperimen yang digunakan Ada kemiripan penggunaan analisis varians pada kondisi univaria dengan analisis varians mulivaria pada rancangan acak lengkap Salah sau saisik uji yang biasa digunakan adalah saisik Wilks lambda Kesulian yang imbul adalah bagaimana menaa sera kemudian melakukan analisis erhadap daa hasil pengukuran yang elah dilakukan Penggunaan konsep mariks khususnya konsep varian kovarians menjadi pilihan unuk menyelesaikan analisis ini, walaupun dewasa ini ersedia kompuer dengan perangka analisis daa yang sanga familiar unuk digunakan DAFTAR PUSTAKA Bain I, J dan Engelhard, M, (99), Inroducion To Probabiliy And Mahemaical Saisics, nd ed, Duxbury Press, California Dudewicz, E J dan Mishra, S N, (988), Modern Mahemaical Saisics, John Wiley & Sons, New York Hogg R V dan Craig, A T, (995), Inroducion o Mahemaical Saisics,Fifh Ed, Prenice-Hall, Inc, New Jersey Dillon, WR and M Goldsein 98 Mulivariae Analysis Mehods and Aplicaions Torono : Joohn Wiley & Sons Kunoro,, Kajian Model Lisrel Forum Ilmu Kesehaan Masyaraka `Tahun ke XIX No Fakulas Ilmu Keshaan Masyaraka Unair Morrison, DF 988 Mulivariae Saisical Analysis Auckland : McGraw-Hill, Inc Solimun, Mulivariae Analysis : Srucural Equaion Modelling(SEM) Lisrel dan Amos Penerbi Univesias Negeri Malang Berdasarkan abel diaas maka dapa disimpulkan bahwa pada araf signifikansi 5%, perbedaan inggi baang anara varieas V dan varieas V adalah signifikan