PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM. V, yang selanjutnya dinotasikan dengan v, didefinisikan:

Transkripsi

1 PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM Perl diingat kembali definisi panjang dan jarak sat ektor pada rang hasil kali dalam Eclid, yait rnag ektor yang hasil kali dlamnya didefinisikan sebagai hasil kali titik ( hasil kali dalam Eclid ). Panjang ektor,,..., ) ( n... n... n R didefinisikan sebagai: nn =. dan jarak antara ektor,,..., ) dan =,,..., ) didefinisikan sebagai: ( n ( n d (, ) ( ) ( )... ( n n) ( )( ) ( )( )... ( n n)( n n) ( )( ) Sejalan dengan generalisasi definisi hasil kali dalam pada sebarang rang ektor, maka secara analog, didefinisikan panjang dan jarak ektor pada sebarang rang hasil kali dalam sebagai berikt: Panjang ektor V, yang selanjtnya dinotasikan dengan, didefinisikan:, Jarak ektor Contoh. Diberikan rang ektor V dengan V, yang selanjtnya dinotasikan dengan d (, ) 3, ), didefinisikan: R dan hasil kali dalam yang didefinisikan, 3 33, hitng panjang ektor (3,,4) dan jarak ektor dan jika (,, ). Jaab: Panjang ektor adalah ( )( ) E_mail: karyati@ny.ac.id 44

2 Jarak ektor dan adalah:, ) ( 3 )(3 ) ( )( ) (4 )(4 ) Beriktnya diberikan sifat yang berlak pada sebarang rang hasil kali dalam, yang selengkapnya diberikan pada teorema berikt: Teorema. Jika,, a.,, b., k k, V dengan V adalah sebarang rang hasil kali dalam, maka berlak: c.,,, d.,,, e.,,, E_mail: karyati@ny.ac.id 45

3 Sdt Dan Orthogonalitas Pada Rang Hasil Kali Dalam Dalam bagian ini akan didefinisikan besarnya sdt antara da ektor dalam rang hasil kali dalam, dan konsep ini akan dignakan ntk memperoleh kaitan antara ektor-ektor pada rang hasil kali dalam. Pertidaksamaan Cachy-Scharz Perl diingat kembali, pada rang hasil kali titik ( dot prodct ) berlak baha jika, merpakan ektor-ektor tak nol di maka : R ata 3 R dan adalah sdt antara da ektor tersebt,. ata:. Tjan tama dalam bagian ini adalah mendefinisikan konsep sat sdt antara da ektor pada sebarang rang hasil kali dalam. Seperti pada generalisasi dari hasil kali titik, maka konsep inipn analog dengan pendefinisian hasil kali dalam pada sebarang rang ektor, sehingga definisi sdt antara da ektor tak nol pada sebarang rang hasil kali dalam adalah sebagai berikt:, Diketahi baha, sehingga setiap pasangan ektor pada rang hasil kali dalam memenhi pertidaksamaan :, Teorema.. Pertidaksamaan Cachy-Scharz Jika, ektor-ektor dalam rang hasil kali dalam real, maka berlak, E_mail: karyati@ny.ac.id 46

4 Bkti Jika, sehingga, dan dipenhi., sehingga keda ras sama. Dengan demikian Asmsikan baha. Misalkan a,, b,, c,, dan t sebarang bilangan real. Dengan menggnakan aksioma kepositifan, hasil kali dalam dari sat ektor dengan dirinya sendiri selal non negatif, sehingga: t, t, t, t, at bt c Pertidaksamaan ini berakibat baha polinomial kadratik ini tidak mempnyai akar real ata akar kembar. Sehingga diskriminannya hars memenhi pertidaksamaan b 4ac. Jika dinyatakan dengan pemisalan a,, b,, c,, maka diperoleh: 4, 4,, Ata:,,, Dengan mencari akar kadrat dari keda ras dan kenyataan dari sifat nonnegatif dari hasil kali dalam, maka diperoleh: Ata,,,, Selanjtnya, diberikan sifat-sifat panjang dan jarak sat ektor yang dirangkm dalam teorema berikt: Teorema.3 Jika, ektor-ektor dalam rang hasil kali dalam real V dan jika k sebarang skalar, maka: E_mail: karyati@ny.ac.id 47

5 a. b. k k c. d. Teorema.4 Jika,, ektor-ektor dalam rang hasil kali dalam real V dan jika k sebarang skalar, maka: a. d (, ) b. d (, ), ) c., ) d. d (, ), ), ) Orthogonalitas E_mail: karyati@ny.ac.id 48