Aljabar C* dan Mekanika Kuantum 1

Transkripsi

1 Aljabar C* dan Mekanika Kuanum 1 Oleh: Rizky Rosjanuardi rizky@upi.edu Jurusan Pendidikan Maemaika FPMIPA Universias Pendidikan Indonesia Absrak Pada makalah ini dibahas konsep aljabar-c* dan kaiannya dengan masalah mekanika kuanum. Dinamik dari sisem mekanika kuanum yang diformulasikan sebagai masalah operaor pada ruang Hilber, selanjunya dapa dipandang sebagai sebuah sisem dari aljabar-c*. 1. Pendahuluan Peranyaan seperi mengapa kia mempelajari aljabar-c*?, unuk apa kia mempelajari srukur aljabar-c*?, apakah srukur aljabar Banach saja idak cukup? sering penulis erima. Peranyaan-peranyaan adi memoivasi penulis unuk menyusun makalah ini. Aljabar-C* adalah sebuah srukur aljabar yang sanga pening dalam bidang analisis fungsional. Srukur ini mendasari kajian-kajian pada analisis fungsional dan aljabar operaor moderen. Srukur ini mengganikan peran aljabar Banach sebagai dasar dari kajian analisis fungsional dan aljabar operaor klasik. Sebuah aljabar-c* didefinisikan secara konkri sebagai aljabar B( H ) (aas lapangan kompleks ) dari operaor-operaor linier erbaas pada sebuah ruang Hilber H dengan dua sifa ambahan beriku: B( H ) adalah sebuah himpunan yang eruup pada opologi yang dibangun oleh norm dari operaor, B( H) eruup erhadap ajoin dari operaor. Pada awal perkembangannya, konsep aljabar-c* digunakan dalam masalah mekanika kuanum unuk memodelkan aljabar dari observabel. John von Neumann berusaha mengembangkan kerangka umum dari aljabar ini yang bermuara kepada kumpulan paper enang gelanggang dari operaor. Sekiar ahun 1943, peneliian dari 1 Peneliian ini dibiayai oleh Peneliian Hibah Kompeiif UPI 26 no. Konrak 12/J.33.8/PL..14/26

2 Gelfand, Naimark dan Seagal menghasilkan konsep absrak dari aljabar-c*, yang sama sekali erlepas dari konsep operaor. Pada makalah ini akan dibahas konsep aljabar-c* absrak, injauan konsep mekanika kuanum dari sisi maemaika dan kaian dianara keduanya. 2. Aljabar-C* Absrak Sekarang kia akan membahas konsep aljabar-c* secara absrak dan kaiannya dengan aljabar Banach. Misalkan A adalah sebuah aljabar bernorm aas lapangan kompleks. Apabila A adalah lengkap erhadap norm dan memenuhi ab a b unuk semua a,b di A, maka A disebu aljabar Banach. Involusi pada A * adalah pemeaan a a dari A ke A, sehingga bila a, b di A, dan di berlaku : ( a*)* a, ( ab)* b* a *, ( a b)* a * b *. Bila aljabar Banach A dilengkapi dengan involusi, A disebu aljabar Banach*. Bila unuk seiap a di A berlaku 2 a* a a, maka A disebu sebuah aljabar-c* (absrak). Perhaikan bahwa sebuah aljabar-c* adalah sebuah aljabar Banach dengan syarasyara ambahan. Adanya kekhususan ini membua aljabar-c* memiliki banyak sifa yang secara eknis sanga mengunungkan. Sifa-sifa ini diurunkan melalui konsep fungsional kalkulus, aau melalui reduksi erhadap aljabar-c* komuaif. Sebuah eorema yang sanga fundamenal dari Gelfand dan Naimark menyaakan bahwa seiap aljabar-c* komuaif adalah isomorfik dengan suau aljabar dari fungsi koninu C(X) pada himpunan kompak X. Beriku ini adalah beberapa sifa pening dari aljabar-c* yang idak dimiliki oleh aljabar Banach: seiap homomorfisma-* anara aljabar-c* adalah erbaas, lebih jauh memiliki norm yang kurang aau sama dengan 1, norm dari aljabar-c* adalah unggal, seiap aljabar-c* memiliki idenias pendekaan (approximae ideniy) arinya seiap aljabar-c* dapa dipandang sebagai aljabar-c* dengan unsur sauan. Penurunan dari sifa-sifa di aas dapa dijumpai pada buku-buku eks analisis fungsional lanju aau aljabar operaor. Adanya sifa dari aljabar-c* yang idak dimiliki oleh aljabar Banach umum membukikan bahwa srukur dari aljabar-c* adalah lebih kaya daripada aljabar Banach umum. Kia masih dapa meliha kaian anara aljabar-c* konkri dan aljabar-c* absrak melalui represenasi dari aljabar-c*. Sebuah represenasi dari aljabar-c* A pada sebuah ruang Hilber H adalah homomorfisma : A B( H ). Represenasi disebu

3 nondegenerae bila span ( a) h: a A, h H adalah pada di H. Perhaikan bahwa ( A ) adalah subaljabar-* dari B( H ) dan uup, akibanya ( A ) adalah subaljabar-c* dari B( H ). Oleh karenanya, kia akan dapa mengenali A sebagai bagian dari aljabar-c* konkri B( H ). Lebih dari iu, kia dapa membua ( A ) isomorfik dengan sebuah sub aljabar-c* dari B( H ) dengan jalan memilih represenasi yang injekif. Eksisensi dari represenasi (injekif) sebuah aljabar-c* dijamin oleh eorema beriku. Teorema 1 (Gelfand-Naimark-Seagal) Misalkan A adalah aljabar-c* maka akan erdapa sebuah ruang Hilber H dan represenasi : A B( H ) sedemikian sehingga nondegenerae dan injekif. 3. Mekanika Kuanum Mekanika kuanum adalah sebuah eori yang mengkoreksi eori mekanika Newon klasik yang gagal dalam menjelaskan fenomena mekanik pada skala aomik dan subaomik. Teori ini mengganikan konsep deerminisik klasik oleh konsep indeerminisik, karena adanya inerpreasi probabilisik pada srukur aomik dan subaomik. Perbedaan anara mekanika klasik dan mekanika kuanum adalah erleak pada deskripsi sisem fisik. Dalam mekanika klasik, seiap posisi dan momenum seiap saa dari semua parikel dapa dienukan secara epa melalui persamaan gerak. Semenara iu, deskripsi kuanum dienukan oleh persamaan gelombang yang memberikan prediksi secara saisik unuk besaran-besaran yang erukur pada sisem. Teori mekanika kuanum moderen perama kali dikembangkan oleh Erwin Schrodinger pada akhir ahun 1924 dan Werner Heisenberg pada awal Scrodinger mengembangkan konsep mekanika gelombang, sedangkan Heisenberg secara erpisah mengembangkan konsep mekanika mariks. Schrodinger elah membukikan bahwa kedua meode ini secara fisika adalah ekuivalen, karena mereka menghasilkan probabilias yang sama unuk observabel A pada sae. Seluruh sifa yang erukur seperi energi, posisi dan momenum disebu observabel. Dalam mekanika kuanum, idak ada nilai yang pasi unuk observabel, sebagi ganinya digunakan konsep disribusi peluang, yaiu peluang memperoleh seiap hasil dari pengukuran sebuah observabel. Hasil pengukuran ini akan berganung kepada keadaan kuanum pada saa dilakukan pengukuran. Sebuah keadaan (sae) kuanum dinyaakan sebagai fungsi gelombang (kompleks) dari posisi dan waku. Berbeda dengan mekanika klasik seperi gelombang panas, gelombang bunyi aau gelombang air, fungsi gelombang ini idak memiliki inerpreasi fisika secara langsung. Fungsi ini berkaian dengan peluang unuk menemukan sebuah parikel pada saa erenu dan posisi erenu, misalnya unuk posisi x dan waku, ekspresi

4 ( x, ) ( x, ) (1) adalah peluang unuk menemukan sebuah parikel pada posisi x dan waku. Unuk seiap waku, parikel harus berada pada lokasi erenu pada daerah R, dengan demikian peluang unuk menemukan parikel pada suau empa pada seiap waku haruslah bernilai 1. Jadi fungsi gelombang haruslah dinormalisasi, yaiu jumlah peluang diseluruh empa R pada seiap waku haruslah bernilai 1. Hal ini idak lain adalah ( x ) ( x ) dx 1 unuk seiap waku. R Lokasi x dari sebuah parikel adalah besaran yang eramai, dengan demikian merupakan sebuah observabel. Ekspekasinya diberikan oleh E ( x) x ( x, ) ( x, ) dx. (2) R Persamaan (1) menginspirasi kia unuk meninjau ruang Hilber kompleks karena ( x ) ( x ) dx R idak lain adalah hasil kali dalam (unuk seiap waku ). Jika posisi x diasumsikan berada pada 3, maka ruang Hilber yang erkai adalah 2 3 L ( ). Secara umum, unuk mengkonsruksi sebuah sisem mekanika kuanum, kia memerlukan sebuah ruang Hilber, sebu H, biasanya ruang Hilber ini disebu ruang konfigurasi, aau ruang keadaan, aau ruang fasa. Von Neumann dalam [1] menunjukkan bahwa erdapa korespondensi sau-sau anara vekor di H dan keadaan fisik. Keadaan yang mungkin pada sisem diberikan oleh vekor sauan di H, dan unuk seiap skalar kompleks c di, dan c adalah keadaan-keadaan yang ekivalen. Sekarang kia akan membahas dinamik dari keadaan dan observabel, yaiu perubahan dari keadaan dan observabel seiring dengan perubahan waku. Unuk seiap keadaan awal dari sisem, akan diperoleh secara unggal keadaan unuk waku, dengan demikian dapa kia ulis U (). (3) Percobaan secara fisika menyaakan bahwa keadaan memenuhi sifa superposisi, dengan demikian U () haruslah merupakan sebuah operaor linier pada H, lebih jauh operaor U () adalah unier. Persamaan (3) mengakibakan U () adalah operaor idenias, dan U( s) U( ) U( s), akibanya invers dari U () diberikan oleh U( ). Dapa diunjukkan bahwa keluarga dari operaor-operaor U () membenuk sebuah grup yang biasa disebu grup unier sau parameer, dengan kaa lain pemeaan U() 2 L,

5 memberikan sebuah homomorfisma dari grup adiif ke grup operaor unier U( ): H H. Pemeaan ini biasa disebu represenasi unier dari pada H. Unuk ringkasnya, kia peroleh aksioma sandar dari mekanika kuanum beriku: Aksioma 2 (Dinamik dari Keadaan). Dinamik dari keadaan diberikan oleh sebuah grup unier sau parameer U( ): H H. Jika menyaakan keadaan awal, maka keadaan pada waku diberikan oleh U (). Sebuah eorema dari Sone [5, Theorem 5.2] menyaakan bahwa seiap ih represenasi unier dari adalah berbenuk e unuk suau operaor ajoin dengan diri sendiri (self adjoin) H. Operaor H disebu generaor infiniesimal dari U, dan diberikan oleh H : d U() i ( U( ) ) i lim d. Operaor H disebu Hamilonian. Secara fisika, operaor ini adalah jumlah dari energi kineik dan energi poensial dari sisem, dengan demikian merupakan fungsi dari posisi dan momenum. Selain menenukan energi dari sisem, operaor Hamilonian menggambarkan evolusi waku dari solusi persamaan gelombang: d H i d. Persamaan gelombang ini dikenal sebagai persamaan Schrodinger. Jika Dom( H ), maka akan merupakan sebuah solusi dari persamaan. Mengambarkan evolusi waku dari solusi persamaan Schrodinger dikenal sebagai meoda Schrodinger, pada meoda ini keadaan dianggap bergerak, sedangkan observabel dianggap eap. Cara lain unuk menggambarkan evolusi waku adalah dengan memfokuskan pada observabel. Kebalikan dengan meoda Schrodinger, pada meoda ini observabel dianggap bergerak dan keadaan dianggap eap. Meoda ini dikenal sebagai meoda Heisenberg. Misalkan A adalah sebuah observabel dari sisem kuanum, dan keadaan dianggap eap dan diberikan oleh. Evolusi waku dari observabel A diberikan oleh A U ( )* AU ( ), (4) dimana U( ): adalah grup sau parameer dari operaor unier. Von Neumann dalam [1] pada ahun 1931 membukikan bahwa observabel berkorespondensi dengan operaor yang ajoin dengan diri sendiri, dengan demikian A adalah operaor yang ajoin dengan diri sendiri. Akibanya unuk seiap waku, operaor A merupakan sebuah operaor yang ajoin dengan diri sendiri.

6 4. Mekanika Kuanum Sebagai Masalah Aljabar-C* Kia elah meliha bahwa dinamik dari sisem mekanika kuanum diberikan oleh operaor H yang ajoin dengan diri sendiri pada sebuah ruang Hilber H melalui salah sau algorima beriku: U () (meoda Schrodinger), aau A A U ( )* AU ( ) (meoda Heisenberg). Ruang Hilber yang erkai dengan sebuah parikel di 3 diberikan oleh 2 3 L ( ). 2 3N Secara umum, ruang Hilber unuk N buah parikel diberikan oleh L ( ). Keika kia membahas sejumlah ak berhingga parikel, idak ada ruang Hilber yang mudah unuk digunakan. Dengan demikian unuk masalah seperi ini, pemakaian meoda ruang Hilber seperi pada pasal sebelumnya idak lagi efekif. Unuk menangani masalah ini kia harus menggunakan meoda lain. Usaha unuk memperumum meoda Schrodinger erbenur dengan masalah eori represenasi, dengan demikian usaha pengembangan lebih erfokus pada meoda Heisenberg. Pada meoda ini digunakan konsep aljabar-c* dan unsur-unsur yang adjoin dengan diri sendiri dipandang sebagai observabel dari sisem. Bahasan lebih mendalam mengenai ini dapa diperoleh dalam [2] dan [4]. Evolusi waku dari sisem kuanum beriku diberikan oleh Iain Raeburn [4] sebagai beriku. Aksioma 3. Evolusi waku dari sisem kuanum yang observabelnya diberikan oleh unsur-unsur yang ajoin dengan diri sendiri dari sebuah aljabar-c* diberikan oleh homomorfisma dari grup adiif ke grup Auo( A ) yang erdiri dari auomorfismaauomorfisma pada A. Observabel direpresenasikan oleh unsur yang a a* A yang ajoin dengan diri sendiri, pada saa = bergerak menjadi observabel ( a ) pada saa. Komponen uama yang erkai pada definisi di aas adalah aljabar-c* A, homomorfisma dan grup. Tripel ( A,, ) disebu sisem dinamik aljabar-c*. Dengan demikian sebuah sisem mekanika kuanum dinyaakan sebagai sisem dinamik aljabar-c*. Represenasi Gelfand-Naimark-Seagal memungkinkan kia unuk memandang sisem mekanika kuanum aljabar-c* sebagai operaor-operaor di suau ruang Hilber H. Seiap unsur yang ajoin dengan diri sendiri akan dipandang sebagai operaor yang ajoin dengan diri sendiri juga, karena represenasi dari aljabar-c* mengawekan ajoin. Melalui Aksioma 3, sebuah observabel a bergerak menjadi observabel ( a ) pada saa, dilain pihak berdasarkan persamaan (4) sebuah observabel ( a ) bergerak menjadi observabel U( )* ( a) U( ) pada saa. Dengan demikian kia peroleh persamaan ( ( a)) U ( )* ( a) U( ) (5)

7 yang berlaku unuk seiap observabel a di A dan seiap waku di. Hal ini menyaakan bahwa evolusi waku yang digambarkan oleh aksi pada model aljabar-c* dan operaor unier U pada model ruang Hilber adalah sama. Persamaan (5) dalam eori sisem dinamik dari aljabar-c* biasa disebu sifa kovarian dari represenasi dari aljabar-c* A dan represenasi unier U dari grup. Dafar Pusaka [1] A. Bohm, H. Kaldass dan P. Pauleanu, Hilber Space or Gelfand Triple-Time Symmeric or Time Asymmeric Quanum Mechanics, preprin, Dep. of Physics, The Univ. of Texas a Ausin USA (25). [2] O. Braeli dan D.W. Robinson, Operaor Algebras and Quanum Saisical Mechanics I, Springer-Verlag, New York (22). [3] R. Madrid, On he Connecion Beween he Schrodinger and he Heisenberg Picures for Unbounded Operaors, preprin, Deparameno de Fisica Teorica, Univ. del Pais Vasco, Spain (25). [4] I. Raeburn, Dynamical Sysems and OperaorAlgebras, preprin, Deparmen of Mahemaics he Univ. of Newcasle, Ausralia (1999). [5] G. Teschl, Mahemaical Mehods in Quanum Mechanics wih Applicaion o Schrodinger Operaors}, Fakula fur Mahemaik, Wien, Ausria (26).