Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM"

Transkripsi

1 Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM 5 Hasil Kali Dalam Untk memotiasi konsep hasil kali dalam diambil ektor di R dan R sebagai anak panah dengan titik awal di titik asal O = ( ) Panjang sat ektor x di R dan R dinamakan norm dari x dan dinotasikan x Jadi ntk sat ektor x = (x x ) R dirmskan x = x x smb x x (x x ) Gambar 5: Vektor x = (x x ) Sejalan dengan it ntk ektor x = ( x x x ) R didefinisikan x = x x x Meskipn tidak bisa digambar di dimensi yang tinggi generalisasi ntk R n adalah jelas: norm dari ektor x = (x x x n) R n didefinisikan oleh x = x xn x smb x Norm tidaklah linear pada R n Untk memaskkan linearitas ke pembahasan diperkenalkan hasil kali titik Untk x y R n hasil kali titik (dot prodct) dari x dan y dinotasikan x y didedifinisikan oleh x y = x y + + x ny n Perl dicatat bahwa hasil kali titik dari da ektor di R n adalah sat bilangan bkan sat ektor Jelasnya x x = x ntk sema x R n Secara khss x x ntk sema x R n dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika x = Selanjtnya ntk y R n maka secara jelas pemetaan dari R n ke R yang membawa x R n ke x y adalah linear Lebih jah lagi x y = y x ntk sema x y R n Sat hasil kali dalam adalah sat generalisasi dari hasil kali titik 9 Didit B Ngroho

2 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam DEFINISI 5 Sat hasil kali dalam (inner prodct) pada sat rang ektor V atas field F adalah sat fngsi yang membawa setiap pasang ektor (x y) dari elemenelemen V ke sat bilangan x y F dan dinotasikan : V V F sehingga aksioma-aksioma berikt dipenhi ntk sema x y z V dan sebarang k F: HKD Simetris: x y = y x; HKD Aditif-homogen: kx + y z = kx z + y z; HKD Positif dan terbatas: x x dan x x = x = V Sat rang ektor V yang dilengkapi dengan sat hasil kali dalam disebt rang hasil kali dalam (inner prodct space) Khssnya jika F = R maka V disebt rang hasil kali dalam real sedangkan jika F = C maka V disebt rang hasil kali dalam kompleks Selanjtnya di bab ini ditetapkan hasil kali dalam yang mengac pada field R Sifat-sifat yang secara cepat bisa ditrnkan dari ketiga aksioma hasil kali dalam antara lain: V x = x V = V; x y + z = x y + x z; x ky = kx y CONTOH 5 Diberikan ektor x = (x x x n) dan y = (y y y n) di R n dan didefinisikan hasil kali titik dari da ektor x dan y yait x y = x y + x y + + x ny n Akan ditnjkkan bahwa hasil kali titik memenhi sema aksioma dari hasil kali dalam Bahasan Diambil sebarang ektor x y z = (z z z n) R n dan k R (i) x y = x y + x y + + x ny n = y x + y x + + y nx n = y x (ii) kx + y z = k(x x x n) + (y y y n) (z z z n) = (kx kx kx n) + (y y y n) (z z z n) = (kx + y kx + y kx n + y n) (z z z n) = (kx + y )z + (kx + y )z + + (kx n + y n)z n = k(x z + x z + + x nz n) + (y z + y z + + y nz n) = kx z + y z (iii) x x = x x + x x + + x nx n = x + x + + x n ; x x = x + x + + x n = x = x = = x n = x = x x = x x + x x + + x nx n = Hasil kali dalam yang didefinisikan tersebt dinamakan hasil kali dalam Eclid CONTOH 5 Untk setiap ektor = ( ) = ( ) R didefinisikan: = + Akan ditnjkkan bahwa adalah sat hasil kali dalam di R Bahasan Diambil sebarang ektor w = (w w ) R dan k R (i) = + = + = (ii) k + w = (k( ) + ( ) (w w )) = ((k k ) + ( ) (w w )) = ((k + k + ) (w w )) = (k + )w + (k + )w = k w + k w + w + w = k w + w (iii) = + = + ; = + = = = = + = Didit B Ngroho

3 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam CONTOH 5 Diberikan rang ektor M (R) yait himpnan sema matriks berkran dengan sema nsrnya bilangan real Untk ektor-ektor: U = dan V = di M (R) berlak bahwa rms U V = mendefinisikan sat hasil kali dalam CONTOH 5 Rms p q = a b + a b + a b dengan p = a + a x + a x dan q = b + b x + b x adalah sebarang da ektor di P [x](r) mendefinisikan sat hasil kali dalam di P [x](r) CONTOH 55 dan didefinisikan Diberikan sebarang polinomial p = p(x) dan q = q(x) di P n[x](r) p q = b p ( x) q( x) dx a dengan a b R dan a < b Rms p q mendefinisikan hasil kali dalam di P n[x](r) Bahasan Diambil sebarang p q r P n[x](r) dan k R (i) p q = b p ( x) q( x) dx = a b q ( x) p( x) dx = q p a b (ii) kp + q r = x) q( x) (iii) p p = b px a p p = b px a dx 5 Norm a kp ( r( x) dx = k b p( x) r( x) dx + a b q ( x) r( x) dx a = kp r + q r dx b px a ; dx = p p = = px p(x) = P n[x](r) DEFINISI 5 Diberikan V adalah sat rang hasil kali dalam dan ektor V Norm dari ektor didefinisikan oleh = Perl dicatat bahwa = jika dan hanya jika = (sebab = jika dan hanya jika = ) Sifat mdah yang lainnya dari norm adalah k = k ntk sema k F dan sema V Di sini bisa dibktikan k = k k = k k = kk = k dan dengan pengambilan akar da akan memberikan persamaan yang diinginkan Bkti tersebt menggambarkan sat prinsip mm: bekerja dengan norm kadrat pada mmnya lebih mdah daripada bekerja secara langsng dengan norm Selanjtnya jarak antara da ektor dan dinotasikan dengan d( ) didefinisikan oleh d( ) = Didit B Ngroho

4 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam CONTOH 5 Jika = ( n) dan = ( n) adalah ektorektor di R n dengan hasil kali dalam Eclid maka dan = = d( ) = = n = n n CONTOH 5 dan Pada Contoh 5 jika diambil = ( ) dan = ( ) maka = ( )( ) = = d( ) = = ( ) = ( )( ) = ( )( ) = 5 DEFINISI 5 Diambil ektor V Vektor dikatakan ortogonal (orthogonal) terhadap jika = Secara simbolis ditliskan (dibaca: tegak lrs (perpendiclar) terhadap ) Jelas bahwa jika dan hanya jika Selanjtnya jika ortogonal terhadap setiap ektor di sat himpnan S maka dikatakan bahwa ortogonal terhadap S Secara jelas ektor ortogonal terhadap setiap ektor Lebih jah lagi ektor menjadi sat-satnya ektor yang tegak lrs dengan dirinya sendiri DEFINISI 5 Sat himpnan V dikatakan ortogonal dengan himpnan V ditliskan V V jika ntk setiap V dan V Sat himpnan bagian U dari sat rang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika ntk setiap U dan maka = CONTOH 5 Pada rang ektor P [x](r) dengan hasil kali dalam p q = p ( x) q( x) dx jika diambil p = x dan q = x maka p q = x x dx = Karena p q = maka ektor p = x ortogonal terhadap q = x relatif terhadap hasil kali dalam yang diberikan TEOREMA 5 (Teorema Pythagoras) Jika adalah ektor-ektor ortogonal di V maka + = + Bkti Diketahi ortogonal berarti = dan karena it + = ( + ) ( + ) = + + = + Diandaikan V Selanjtnya dimaksdkan ntk menliskan sebagai sat kelipatan skalar dari ditambah sat ektor w yang ortogonal terhadap seperti yang ditnjkkan pada Gambar 5 Didit B Ngroho

5 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam w k Gambar 5: Dekomposisi ortogonal ektor Untk menemkan bagaimana cara menlis sebagai sat kelipatan skalar ditambah sat ektor ortogonal terhadap diambil k R dan dinyatakan = k + ( k) Jadi hars dipilih k sehingga ortogonal terhadap ( k) Dengan kata lain harslah = k = k Persamaan tersebt mennjkkan bahwa dapat dipilih k (diandaikan bahwa V ntk menghindari pembagian oleh ) Dari pemilihan k tersebt dapat ditliskan Jika V maka dari persamaan tersebt dapat ditliskan sebagai sat kelipatan skalar dari ditambah sat ektor ortogonal terhadap Persamaan tersebt akan dignakan dalam pembktian teorema di bawah ini yang memberikan sat dari banyak ketaksamaan penting dalam matematika TEOREMA 5 (Ketaksamaan Cachy) Jika V dengan V adalah rang hasil kali dalam maka berlak dan kesamaannya terjadi jika dan hanya jika and adalah tidak bebas linear Bkti Diambil sebarang V Jika and adalah tidak bebas linear maka dapat diambil = k yang mengakibatkan keda sisi dari ketaksamaan sama dengan k Secara khss jika = V maka keda sisi dari ketaksamaan sama dengan Selanjtnya ntk and yang tidak bebas linear (disajikan seperti pada Gambar 5) maka dapat diandaikan bahwa Diberikan dekomposisi ortogonal w dengan w ortogonal terhadap Berdasarkan Teorema Pythagorean = w = Karena > maka dengan mengalikan keda sisi dengan dan mengambil akar kadrat diperoleh ketaksamaan Cachy seperti yang diinginkan w Didit B Ngroho

6 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Ketaksamaan Cachy sering jga disebt dengan ketaksaman Cachy-Schwarz ata Cachy-Schwarz-Bnyakosky Selanjtnya dengan mengingat sifat harga mtlak ketidaksamaan Cachy dapat ditlis menjadi ata ekialen dengan Dari hasil tersebt ntk sat rang hasil kali dalam real didefinisikan cos( θ) Dengan mengambil nilai tama [ ] diperoleh sdt antara ektor dan yang serpa dengan sdt biasa antara da ektor di R mapn di R CONTOH 5 Diberikan ektor = ( ) dan = ( ) di rang ektor R dengan sat hasil kali dalam Eclid Diperoleh = ( ) = dan karena it ata = ( ) = 8 = ( ) ( ) = 9 cos( θ) arccos arccos 6 6 CONTOH 55 Pada Contoh 5 jika diambil U dan V maka sdt antara matriks U dan V sama dengan karena U V cos( θ ) U V U V Hasil berikt ini dinamakan ketaksamaan segitiga sebab dari interpretasi geometrisnya bahwa panjang sat sisi segitiga adalah krang dari jmlahan panjang keda sisi lainnya + Gambar 5: Jmlahan ektor dan dengan atran segitiga Didit B Ngroho

7 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam 5 LEMMA 5 (Ketaksamaan Segitiga) Jika V maka + + Ketaksamaan menjadi kesamaan jika dan hanya jika sat dari ata adalah kelipatan tak negatif dari yang lainnya Bkti Diambil V maka + = + + = = = ( + ) Dengan mengambil akar kadrat dari keda sisi akan diperoleh + + Hasil beriktnya dinamakan kesamaan jajaran genjang sebab interpretasi geometrisnya adalah bahwa dalam sat jajaran genjang jmlah dari kadrat panjang diagonal-diagonal sama dengan jmlah dari kadrat panjang keempat sisinya - + Gambar 5: Jmlahan ektor dan dengan atran jajaran genjang LEMMA 5 (Kesamaan Jajaran Genjang) Jika V maka + + = ( + ) Bkti Diambil V maka + + = = = ( + ) 5 Basis Ortonormal dan Ortogonalisasi Gram-Schmidt Dalam banyak persoalan yang berkenaan dengan rang ektor pemilihan sat basis ntk rang tergantng pada kemaan penyelesai masalah Tent saja strategi yang terbaik adalah memilih basis ntk menyederhanakan dengan mdah penyelesaian dari sat persoalan Di rang hasil kali dalam seringkali terjadi bahwa pilihan terbaik adalah sat basis yang sema ektornya saling ortogonal Di sini akan dibahas bagaimana basis-basis tersebt dapat dibentk DEFINISI 5 Sat himpnan ortogonal yang setiap ektornya mempnyai norm dikatakan ortonormal Dengan kata lain { n} dari ektor-ektor di V adalah ortonormal jika j k j k j k ( j k n) Didit B Ngroho

8 6 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam CONTOH 5 Diberikan himpnan V = { } dengan = () = = adalah ektor-ektor di R yang dilengkapi hasil kali dalam Eclid Diperoleh = = = = = = Selanjtnya dihitng norm dari setiap ektor di V sebagai berikt: = = = Karena setiap ektor di V adalah ortogonal dan mempnyai norm maka V adalah ortonormal Jika adalah ektor tak nol dalam sat rang hasil kali dalam maka ektor mempnyai norm karena = = DEFINISI 5 Proses perkalian sat ektor tak nol dengan kebalikan panjangnya (norm) ntk memperoleh sat ek tor dengan norm disebt dengan normalisasi (normalizing) TEOREMA 5 Jika { n} adalah ortonormal maka k + k + + k n n = k + k + + k n ntk n V dan k k k n F Bkti Karena setiap j (j = n) mempnyai norm ini mengikti dengan mdah aplikasi yang dilang pada Teorema Pythagoras AKIBAT 5 Setiap ektor di himpnan ortonormal adalah bebas linear Bkti Diandaikan { n} adalah ortonormal dengan n V dan k k k n F sehingga k + k + + k n n = Selanjtnya berdasarkan Teorema 5 maka k + k + + k n = yang berarti bahwa sema k i sama dengan Didit B Ngroho

9 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam 7 Sat basis dari rang hasil kali dalam V yang ortonormal disebt basis ortonormal ata basis satan dari V Jika basisnya hanya ortogonal maka disebt basis ortogonal Teorema berikt ini memperlihatkan bahwa sederhana sekali ntk menyatakan sat ektor dalam sk-sk dari sat basis ortonormal TEOREMA 5 Jika { n} adalah sat basis ortonormal ntk sat rang hasil kali dalam V dan adalah sebarang ektor di V maka = n n dan = n Bkti Karena { n} adalah basis maka bisa dinyatakan dalam bentk = k + k + + k n n Untk melengkapi bkti ini akan ditnjkkan bahwa ntk i = n berlak k i = i Setiap ektor i akan mempnyai bentk i = k + k + + k n n i = k i + k i + + k n n i Karena himpnannya adalah ortonormal berarti i i = i = dan i j = ntk i j dan karena it i = k i Selanjtnya dengan menggnakan Teorema 5 diperoleh = n n = n CONTOH 5 Diberikan ektor-ektor = () = 5 5 = 5 5 Mdah diperiksa bahwa himpnan S = { } adalah basis ortonormal ntk R dengan hasil kali dalam Eclid Selanjtnya diambil sat ektor = () dan akan dicari kombinasi linearnya dari ektor-ektor di S = + + = = = Berdasarkan Teorema 5 diperoleh TEOREMA 5 Diberikan himpnan ortonormal { n} di sat rang hasil kali dalam V Jika W adalah rang yang direntang oleh n maka setiap ektor V bisa dinyatakan dalam bentk = w + w dengan w W dan w ortogonal terhadap W yang dirmskan oleh w = n n w = w = n n Didit B Ngroho

10 8 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Berikt ini ilstrasi dari Teorema 5 di rang R w Gambar 55: Proyeksi ektor Berdasarkan gambar di atas ektor w disebt proyeksi ortogonal dari pada W disingkat proy W sedangkan ektor w disebt komponen dari yang ortogonal terhadap W CONTOH 5 Diberikan rang ektor R dengan hasil kali dalam Eclid dan rang ektor W yang direntang oleh ektor-ektor ortonormal = () dan 5 5 Proyeksi ortogonal dari ektor = () pada W adalah proy W = + = () = 5 5 sedangkan komponen dari yang ortogonal terhadap W adalah 8 proy W = () = AKIBAT 5 Setiap rang hasil kali dalam tak nol yang berdimensi berhingga mempnyai sat basis ortonormal Bkti Diambil rang hasil kali dalam tak nol V yang berdimensi n dan sat himpnan U = { n} sebagai basis ntk V Langkah-langkah berikt ini dikenal dengan nama ortogonalisasi Gram-Schmidt akan menghasilkan sat basis ortogonal { n} ntk V Langkah Mengambil = Langkah Membentk ektor yang ortogonal terhadap dengan cara menghitng komponen dari yang ortogonal terhadap rang W yang direntang oleh yait = proy W = k = [Untk mendapatkan k w lihat kembali pembahasan dekomposisi ortogonal pada halaman 87 88] Langkah Membentk ektor yang ortogonal terhadap dan dengan cara menghitng komponen dari yang ortogonal terhadap rang W yang direntang oleh dan yait = proyw = W Didit B Ngroho

11 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam 9 Langkah Membentk ektor yang ortogonal terhadap dan dengan cara menghitng komponen dari yang ortogonal terhadap rang W yang direntang oleh dan yait = proyw = Proses dilanjtkan sampai n Dihasilkan himpnan ortogonal { n} yang terdiri dari n ektor bebas linear di V dan merpakan sat basis ortogonal ntk V Penormalan ektor-ektor di basis ortogonal akan menghasilkan basis ortonormal Rms Gram-Schmidt dapat dinyatakan secara mm sebagai berikt: k k j k k j k = n j j CONTOH 5 Diberikan V = R dengan hasil kali dalam Eclid dan akan diterapkan algoritma Gram-Schmidt ntk mengortogonalkan basis {( ) ( ) ( )} Langkah = ( ) Langkah = ( ) = ( ) = Langkah = ( ) 5 = ( ) = Selanjtnya dengan menormalkan ektor-ektor dan akan diperoleh basis ortonormal Seringkali diperlkan ntk mengetahi tidak hanya adanya sat basis ortonormal tetapi jga ektor-ektor ortonormal yang dapat diperlas ke sat basis ortonormal Pada akibat berikt ini algoritma Gram-Schmidt mennjkkan bahwa sat perlasan adalah mngkin AKIBAT 5 Setiap ektor-ektor ortonormal di V dapat diperlas ke sat basis ortonormal ntk V Bkti Diandaikan bahwa { m} adalah sat himpnan ektor-ektor ortonormal di V maka { m} adalah bebas linear dan karena it dapat diperlas ke sat basis { m n} ntk V Sekarang diaplikasikan algoritma Gram- Schmidt ntk { m n} yang menghasilkan sat ektor-ektor ortonormal { m w w n} Jelas bahwa himpnan tersebt adalah sat basis ortonormal ntk V karena bebas linear dan rentangannya sama dengan V Oleh karena it dipnyai perlasan dari { m} ke sat basis ortonormal ntk V Didit B Ngroho

12 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam 5 Perbahan Basis DEFINISI 5 Jika B = { n} adalah sat basis ntk rang ektor V berdimensi berhingga maka ntk setiap V dapat dinyatakan: = k + k + + k n n Skalar-skalar k k k n disebt koordinat-koordinat dari relatif terhadap B sedangkan ektor koordinat dari relatif terhadap B dinyatakan dengan ( ) B didefinisikan oleh () B = (k k k n) Matriks koordinat dari relatif terhadap B dinyatakan oleh [] B didefinisikan oleh k [] B = k k n CONTOH 5 (a) Diberikan basis B = { } ntk R dengan = ( ) = ( 9 ) dan = ( ) Tentkan ektor koordinat dan matriks koordinat dari ektor = (5 9) yang relatif terhadap basis B (b) Tentkan sat ektor di R yang ektor koordinat relatif terhadap B adalah () S = ( ) Penyelesaian (a) Dibentk kombinasi linear k ( ) + k ( 9 ) + k ( ) = (5 9) dengan k k k R Dengan menyelesaikan sistem tersebt maka akan diperoleh k = k = dan k = Jadi (b) () B = ( ) dan [] B = Dengan menggnakan Definisi 5 diperoleh = ( ) + ( 9 ) + ( ) = ( 7) Vektor koordinat dan matriks koordinat ditentkan oleh rtan bagaimana ektor-ektor basis ditlis Perbahan rtan dari ektor-ektor basis menghasilkan perbahan yang bersesaian dari rtan ntk nsr-nsr matriks koordinat dan ektor koordinat CONTOH 5 Diberikan basis B = { x x } ntk P [x](r) Vektor koordinat dan matriks koordinat yang relatif terhadap B ntk p = a + a x + a x adalah a (p) S = (a a a ) dan [p] B = a a CONTOH 5 Jika B = { n} adalah sat basis ortonormal ntk sat rang hasil kali dalam V maka berdasarkan Teorema 5 ntk sebarang V diperoleh () B = ( n n) Didit B Ngroho

13 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Didit B Ngroho dan [] B = n Selanjtnya diandaikan {w w w k} dan { k} adalah da basis ntk sat rang bagian B dari R n Bagaimanakah mereka berhbngan? Dibentk matriks W = [w w w k] dan V = [ k] berkran nk Diklaim bahwa terdapat sat matriks inersibel R berkran kk sehingga V = WR CONTOH 5 Diberikan matriks 9 A yang mempnyai basis (tnjkkan sebagai latihan) {w w w } dan { } dengan w = w = w = dan = = = Dari sit dibentk matriks W dan V Benarkah bahwa V = WR ntk sat matriks inersibel R berkran? Jika ya hars dipnyai W T V = (W T W)R dan karena it R = (W T W) - W T V Jika dihitng akan didapatkan bahwa W T W adalah inersibel dan 6 R Dapat diperiksa bahwa V = WR Jika basis B ntk sat rang ektor dibah ke basis B bagaimanakah matriks koordinat [] B dihbngkan dengan matriks koordinat B? Berikt ini akan difokskan pada ektor-ektor di R yang dapat digeneralisasikan ke R n Basis bak di R adalah dan ditentkan basis lain dengan acan sistem koordinat kartesis Diberikan basis B = { w} dan w B ntk R Diandaikan bahwa ektor basis dan w ntk B mempnyai koordinat relatif ntk basis B sebagai berikt: b a B d c w B

14 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam yang mempnyai arti bahwa = a + bw w = c + dw Untk sebarang ektor V dimisalkan k B = k yang mempnyai arti = k k Dengan mensbstitsikan dan w ke akan diperoleh = k (a + bw) + k (c + dw) = (k a + k c) + (k b + k d)w Dengan kata lain matriks koordinat dari terhadap basis B adalah ak ck a ck a c [] B = = bk dk = b d k B b d Persamaan tersebt menyatakan bahwa jika matriks koordinat dari relatif terhadap basis B sdah diketahi maka matriks koordinat B dikalikan dari sebelah kiri dengan matriks a c P b d akan menghasilkan matriks koordinat dari relatif terhadap basis B Matriks P disebt matriks perbahan koordinat (matriks transisi) dan bersifat inersibel Oleh karena it jika P adalah matriks perbahan koordinat dari B ke B maka P - adalah matriks perbahan koordinat dari B ke B dan B = P - [] B CONTOH 55 Diberikan basis B dan B Matriks transisi dari B ke B adalah P Jika diketahi B = maka ektor mempnyai koordinat [] B = = yang relatif terhadap basis B Karena P maka dapat dinyatakan bahwa B = = Didit B Ngroho

15 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Contoh berikt ini memperkenalkan sat basis ketiga ntk melihat hbngan antara da basis tak bak CONTOH 56 Diberikan B Untk menemkan matriks perbahan koordinat dari basis B pada Contoh 55 ke basis B pertama kali dinyatakan ektor basis dan di B sebagai kombinasi linear dari ektor-ektor basis dan di B : = a + b = c + d Dengan menyelesaikan sistem-sistem di atas akan diperoleh 9 a = b = c = d = Jadi matriks transisi dari B ke B adalah Vektor dengan koordinat relatif terhadap basis B mempnyai koordinat = yang relatif terhadap basis B CONTOH 57 (Rotasi Smb Koordinat) Diandaikan diperoleh sistem koordinat bar dari sistem koordinat kartesis bak dengan rotasi berlawanan arah jarm B dari ektor satan sepanjang smb x dan jam bersdt Basis bar smb y bertrt-trt mempnyai koordinat cos( θ) sin( θ) B B sin( θ) cos( θ) Diperoleh cos( θ) sin( θ) cos( θ) sin( θ) P dan P sin( θ) cos( θ) sin( θ) cos( θ) Jadi sat ektor x y B pada sistem koordinat awal mempnyai koordinat dirmskan oleh x cos( θ) sin( θ) x y = B sin( θ) cos( θ) y B pada sistem koordinat rotasi x y B yang Didit B Ngroho

16 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Didit B Ngroho Gambar 56: Rotasi smb koodinat kartesis Misalnya jika ektor [] B = pada sistem koordinat awal dirotasikan sebesar = 5 maka koordinat barnya adalah B = ) cos(5 ) sin(5 ) sin(5 ) cos(5 = = 5 Berikt ini diberikan definisi yang mm ntk memdahkan dalam memperoleh sat matriks transisi dari da basis DEFINISI 5 Diberikan B = { n} dan B = { n} sebagai basis ntk sat rang ektor V Diberikan A M n(f) sebagai matriks yang mempnyai i sebagai kolom-kolomnya dan B M n(f) sebagai matriks yang mempnyai i sebagai kolom-kolomnya Matriks P = B A dinamakan matriks transisi dari B ke B sedangkan matriks P = A B dinamakan matriks transisi dari B ke B CONTOH 58 Diberikan basis ntk R B = dan B = Tentkan matriks transisi dari B ke B dan jga matriks transisi dari B ke B Tentkan jga koordinat dari B relatif terhadap basis B Penyelesaian Diambil A B Matriks transisi dari B ke B adalah P = B A yait x y x y

17 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Didit B Ngroho 5 P = = Matriks transisi dari B ke B adalah P Diperoleh koordinat dari B relatif terhadap basis B yait = SOAL-SOAL UNTUK BAB 5 Diberikan V = C n F = C x y = x y Diambil x = (x x x n) dengan x j = j dan y = (y y y n) dengan y j = ( + i)j dan i = Hitng x y y x x x dan y y Diambil A dan x y = Ax y ntk sema x y R Tnjkkan bahwa mendefinisikan sat hasil kali dalam pada R Diambil A sebagai matriks real mn dan A T sebagai transposnya Tnjkkan bahwa Ax y = x A T y ntk sema x R n dan y R m Pada setiap rms di bawah ini tentkan apakah adalah sat hasil kali dalam atas rang ektor yang diberikan: (a) = ; R (b) = + + ; R (c) = ; R 5 Bktikan apakah ) ( ) ( dt t g t f g f adalah sat hasil kali dalam pada C [ ]

18 6 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam 6 Tnjkkan apakah rms yang didefinisikan berikt ini adalah sat hasil kali dalam pada R : (a) a b = a b a b + a b (b) a b = a b + a b + a b 7 Tnjkkan bahwa = sat rang hasil kali dalam real ntk sembarang dan dalam 8 Didefinisikan a a a a pada R Tnjkkan bahwa ini sebenarnya tidak terdefinisi dengan baik (not well-defined) dan tent saja bkan sat norm 9 Didefinisikan a a a a dengan baik (well-defined) dan merpakan sat norm pada R Tnjkkan bahwa ini terdefinisi Diambil V sebagai sat rang hasil kali dalam dan V dengan = = = dan = Hitng + dan + Jika diandaikan bahwa + = maka hitnglah Diambil V sebagai sat rang hasil kali dalam dan V R Bktikan bahwa (a) V = (b) = (c) = (d) + + = ( + ) Diandaikan V Bktikan bahwa a b = jika hanya jika + ntk sema F Diandaikan V Hitng jika diketahi = + = = 6 Diandaikan V dan k F Bktikan bahwa = jika dan hanya jika + k 5 Diandaikan bahwa ektor-ektor w di sat rang hasil kali dalam V memenhi = w = w = 5 = = dan w = 7 Hitng: (a) + + w (b) w + w (c) w + (d) + (e) w (f) + w 6 Bktikan bahwa jika V adalah sat rang hasil kali dalam real maka ntk sema V = 7 Diambil V sebagai sat rang hasil kali dalam dan n V Bktikan bahwa jika ortogonal terhadap n maka ortogonal terhadap rentangan { n} Didit B Ngroho

19 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam 7 8 Menggnakan ketaksamaan Cachy-Scharwz tnjkkan bahwa jika a a a n adalah bilangan-bilangan real positif maka a a an n a a a n 9 Nyatakan ( ) sebagai sat kombinasi linear dari ektor -ektor dalam basis ortogonal {( ) ( ) ( 5)} Tnjkkan bahwa = ( ) = ( ) dan = ( ) membentk sat basis ortogonal ntk R terhadap hasil kali dalam Eclid Selanjtnya tliskan = ( ) sebagai kombinasi linear dari Diperhatikan P [x](r) sebagai rang bagian dari C[ ] Periksalah bahwa { x x } adalah sat basis ortogonal terhadap hasil kali dalam f g = f( )g( ) + f()g() + f()g() Diambil { n} sebagai sat kelarga ektor-ektor ortonormal dalam sat rang hasil kali dalam V Bktikan bahwa n = n Tentkan basis ortonormal di R ntk rentangan {( ) ( ) ( )} Tentkan sat basis ortogonal ntk R yang memat ektor-ektor ( 5 ) dan ( ) 5 Diberikan S yang menotasikan kelarga ektor-ektor di R yang berkorespondensi dengan titik-titik pada bidang x y + z = (a) Tentkan sat basis ortonormal { } ntk S (b) Tentkan sehingga { } adalah basis ortonormal ntk R 6 Diambil V = R dan = ( ) = ( ) = ( ) V Tentkan basis ortonormal ntk V dengan menerapkan algoritma Gram-Schmidt 7 Diberikan = ( ) = ( ) dan = ( 5) Tnjkkan bahwa { } adalah sat basis ntk R dan aplikasikan proses Gram-Schmidt ntk basis tersebt agar menemkan sat basis ortonormal ntk R 8 Tnjkkan bahwa ektor-ektor = ( ) = ( ) = ( ) dan = ( ) membentk sat basis ntk R Selanjtnya aplikasikan proses Gram-Schmidt ntk menemkan sat basis ortogonal bagi R Tentkan jga basis ortonormal yang berkorespondensi 9 Gnakan algoritma Gram-Schmidt pada = ( ) = ( ) dan w = ( ) ntk memperoleh sat basis ortonormal bagi R Ulangi masalah tersebt dengan = ( ) = ( ) w = ( ) Apa yang bisa disimplkan? Didit B Ngroho

20 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Didit B Ngroho 8 Diambil V = C dan = (i ) = ( i ) = (i ) V Tentkan basis ortonormal ntk V dengan menerapkan algoritma Gram-Schmidt Pada P [x](r) diberikan hasil kali dalam p q = ) ( ) ( dx x q x p Aplikasikan algoritma Gram-Schmidt ntk basis { x x } ntk menghasilkan sat basis ortonormal dari P [x](r) Periksa bahwa ektor-ektor ( ) ( ) ( ) dan ( ) membentk sat basis ntk R Gnakan algoritma Gram-Schmidt ntk mengbah ektor-ektor tersebt menjadi sat basis ortonormal Diberikan ektor-ektor bebas linear di R a = a = a = a = (a) Tentkan koordinat dari terhadap basis {a a a a } (b) Tentkan koordinat dari terhadap basis {a a a a } Diandaikan bahwa B = dan B = adalah basis-basis ntk R Tentkan matriks transisi dari B ke B 5 Diandaikan bahwa B = dan B = adalah basis-basis ntk R Tentkan matriks transisi dari B ke B dan selanjtnya tentkan koordinat dari terhadap B

21 INDEKS B basis ortogonal 7 ortonormal 7 H hasil kali dalam dalam Eclid titik 9 K kesamaan jajaran genjang 5 ketaksamaan Cachy segitiga 5 koordinat M matriks koordinat transisi N norm 9 normalisasi 6 O ortogonal ortogonalisasi Gram-Schmidt 8 ortonormal 5 R rang hasil kali dalam T Teorema Pythagoras V ektor

22 koordinat

BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU

BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU Konsep it mempnyai peranan yang sangat penting di dalam kalkls dan berbagai bidang matematika. Oleh karena it, konsep ini sangat perl ntk dipahami. Meskipn pada awalnya

Lebih terperinci

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik 16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan

Lebih terperinci

BAHAN AJAR FISIKA OLEH : BAMBANG PRIO HARTONO, ST,MT

BAHAN AJAR FISIKA OLEH : BAMBANG PRIO HARTONO, ST,MT BAHAN AJAR FISIKA OLEH : BAMBANG PRIO HARTONO, ST,MT 1 FISIKA Mata Kuliah : FISIKA (3 sks) Kode Mata Kuliah : ED1109 Prasyarat : - Kompetensi : Mahasiswa mampu menaganalisis dan menyelesaikan persoalan

Lebih terperinci

PELAYANAN KESEHATAN IBU DI FASILITAS KESEHATAN DASAR DAN RUJUKAN

PELAYANAN KESEHATAN IBU DI FASILITAS KESEHATAN DASAR DAN RUJUKAN KEMENTERIAN KESEHATAN REPUBLIK INDONESIA BUKU SAKU PELAYANAN KESEHATAN IBU DI FASILITAS KESEHATAN DASAR DAN RUJUKAN PEDOMAN BAGI TENAGA KESEHATAN PETUNJUK PENGGUNAAN ALGORITMA Algoritma yang ada di dalam

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

MAT. 05. Relasi dan Fungsi

MAT. 05. Relasi dan Fungsi MAT. 05. Relasi dan Fungsi i Kode MAT. 05 Relasi dan fungsi BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN

Lebih terperinci

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/00 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHAS :. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 00 . Perhatikan

Lebih terperinci

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri,

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL. Sumber: Dok. Penerbit

PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL. Sumber: Dok. Penerbit 4 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Sumber: Dok. Penerbit Pernahkah kalian berbelanja alat-alat tulis? Kamu berencana membeli 10 buah bolpoin, sedangkan adikmu membeli 6 buah bolpoin dengan

Lebih terperinci

Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama)

Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama) Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama) Dalam hal ini diberikan dua spesies yang hidup bersama dalam suatu habitat tertutup. Kita ketahui bahwa terdapat beberapa jenis hubungan interaksi

Lebih terperinci

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar Bab I Fungsi Dua Peubah atau Lebih Pengantar Seperti halna dengan fungsi satu peubah kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.fungsi dengan peubah

Lebih terperinci

F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI

F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI Fungsi Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.

Lebih terperinci

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang

Lebih terperinci

Ruang Hasil Kali Dalam

Ruang Hasil Kali Dalam Ruang Hasil Kali Dalam (Gram Schmidt) Wono Setya Budhi KKAG FMIPA ITB v 0.1 Maret 2015 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 1 / 13 Misalkan S subhimpunan di V, kita

Lebih terperinci

syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan dari sebuah

syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan dari sebuah 2 Tempat Kedudukan dan Persamaan 2.1. Tempat Kedudukan Tempat kedudukan (locus) adalah himpunan titik-titik yang memenuhi suatu syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan

Lebih terperinci

Kata-kata Motivasi ^^

Kata-kata Motivasi ^^ 1 Kata-kata Motivasi ^^ Barang siapa merintis jalan mencari ilmu maka Allah akan memudahkan baginya jalan ke surga. (HR. Muslim) Tak ada rahasia untuk manggapai sukses Sukses itu dapat terjadi karena persiapan,

Lebih terperinci

Teori Relativitas Umum. P.A.M. Dirac

Teori Relativitas Umum. P.A.M. Dirac Teori Relativitas Umum P.A.M. Dirac 14 Januari 2005 i Hak cipta c 1975 oleh John Wiley & Sons, Inc. Seluruh hak cipta dilindungi. Diterbitkan simultan di Kanada. Tak ada bagian dari buku ini dapat direproduksi

Lebih terperinci

Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs untuk Optimalisasi Tujuan Mata Pelajaran Matematika

Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs untuk Optimalisasi Tujuan Mata Pelajaran Matematika Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs untuk Optimalisasi Tujuan Mata Pelajaran Matematika Penulis Dra. Sri Wardhani Penilai Dra. Th Widyantini, M.Si. Editor Titik Sutanti, S.Pd.Si. Ilustrator

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Drs. Karso Modul 9 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Modul ang sekarang Anda pelajri ini adalah modul ang kesembilan dari mata kuliah Matematika Sekolah Dasar Lanjut. Adapun

Lebih terperinci

PEMBELAJARAN BANGUN-BANGUN DATAR (1)

PEMBELAJARAN BANGUN-BANGUN DATAR (1) H. Sufyani Prabawanto, M. Ed. Bahan Belajar Mandiri 3 PEMBELAJARAN BANGUN-BANGUN DATAR (1) Pendahuluan Bahan belajar mandiri ini menyajikan pembelajaran bangun-bangun datar yang dibagi menjadi dua kegiatan

Lebih terperinci

BABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI

BABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI LAMPIRAN 5 BABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI Laporan 2 Pelaksanaan OSN-PERTAMINA 2012 69 Olimpiade Sains Nasional Pertamina 2012 Petunjuk : 1. Tuliskan secara lengkap Nama, Nomor

Lebih terperinci

Hak Cipta 2013, Kementerian Pendidikan & Kebudayaan

Hak Cipta 2013, Kementerian Pendidikan & Kebudayaan Penulis : Hariyanto Editor Materi : Muhamad Syarif, Editor Bahasa : Ilustrasi Sampul : Desain & Ilustrasi Buku : PPPPTK BOE Malang Hak Cipta 2013, Kementerian Pendidikan & Kebudayaan MILIK NEGARA TIDAK

Lebih terperinci

MODEL VEKTOR DAN MATRIKS DARI DOKUMEN SERTA SUDUT ANTARA DUA VEKTOR DAN DUA SUBRUANG UNTUK MENDUGA DINI PLAGIARISME DOKUMEN

MODEL VEKTOR DAN MATRIKS DARI DOKUMEN SERTA SUDUT ANTARA DUA VEKTOR DAN DUA SUBRUANG UNTUK MENDUGA DINI PLAGIARISME DOKUMEN MODEL VEKOR DAN MARIKS DARI DOKUMEN SERA SUDU ANARA DUA VEKOR DAN DUA SUBRUANG UNUK MENDUGA DINI PLAGIARISME DOKUMEN Prasetyaning Diah R. Lestari, R. Agustian, R. Gafriadi, A.Febriyanti, dan A.D. Garnadi

Lebih terperinci

STATISTIKA DASAR. Oleh : Y. BAGUS WISMANTO

STATISTIKA DASAR. Oleh : Y. BAGUS WISMANTO STATISTIKA DASAR Oleh : Y. BAGUS WISMANTO FAKULTAS PSIKOLOGI UNIVERSITAS KATOLIK SOEGIJAPRANATA SEMARANG 007 DAFTAR ISI Halaman I. PENDAHULUAN A. Apa Statistika Itu? B. Pentingnya Penguasaan terhadap Statistika

Lebih terperinci

3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR

3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR Pada arena balap mobil, sebuah mobil balap mampu melaju dengan kecepatan (x + 10) km/jam selama 0,5 jam. Berapakah kecepatannya jika jarak yang ditempuh mobil tersebut 00

Lebih terperinci

Daftar Isi Kata Sambutan... iii Panduan Membaca Buku Ini... iv Kata Pengantar... vi Semester 1 Bab 1 Bilangan Bulat... 1 A. Operasi Hitung Campuran dan Sifat-Sifat Operasi Hitung pada Bilangan Bulat...

Lebih terperinci

BAB II. REGRESI LINIER SEDERHANA

BAB II. REGRESI LINIER SEDERHANA .1 Pendahuluan BAB II. REGRESI LINIER SEDERHANA Gejala-gejala alam dan akibat atau faktor yang ditimbulkannya dapat diukur atau dinyatakan dengan dua kategori yaitu fakta atau data yang bersifat kuantitatif

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ALGORITMA DAN PEMROGRAMAN I

BAHAN AJAR ALGORITMA DAN PEMROGRAMAN I BAHAN AJAR ALGORITMA DAN PEMROGRAMAN I OLEH: Budi Mulyono, S.Pd., M.Sc. Drs. Purwoko, M.Si. PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA i KATA PENGANTAR Bahan ajar

Lebih terperinci

KONSTRUKSI BALOK DENGAN BEBAN TIDAK LANGSUNG DAN KOSTRUKSI BALOK YANG MIRING

KONSTRUKSI BALOK DENGAN BEBAN TIDAK LANGSUNG DAN KOSTRUKSI BALOK YANG MIRING KONSTRUKSI BALOK DENGAN BEBAN TIDAK LANGSUNG 1 I Lembar Informasi A. Tujuan Progam Setelah selesai mengikuti kegiatan belajar 3 diharapkan mahasiswa dapat : 1. Menghitung dan menggambar bidang D dan M

Lebih terperinci