BAB 7 NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

Transkripsi

1 BAB 7 NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

2 KERANGKA PEMBAHASAN. Nilai Eigen dan Vekor Eigen. Diagonalisasi. Diagonalisasi secara Orogonal

3 7. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Definisi : Misalkan A nn mariks mariks bujur sangkar adalah vekor ak nol di R n dan λ adalah skalar Rill sehingga memenuhi : = maka λ dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vekor eigen dari A

4 CONTOH Nilai eigen Vekor eigen

5 Perhaikan!!! Av Av Av v v I v A I v Inga. merupakan vekor ak nol Ini Berari Persamaan Karakerisik de A I

6 CONTOH : Tenukan nilai eigen dari mariks Persamaan Karakerisik de (A λi) = - - A

7 Dengan ekspansi kofakor sepanjang kolom ke- ( λ) ( ( λ) ( λ) ) = ( λ) ( λ² λ ) = ( λ) ( λ ) ( λ + ) = Jadi, mariks A memiliki iga buah nilai eigen yaiu : λ =, λ =, dan λ =.

8 CONTOH Tenukan basis ruang eigen dari : Jawab : Nilai eigen dari A diperoleh saa de A I A (λ ){( λ ) } + ( λ +) (+( λ )) = (λ ){ λ 4 λ + } (λ ) (λ ) = (λ ){( λ )( λ )} (λ ) = (λ )(( λ )( λ ) ) = (λ )( λ 5 λ + 4) = (λ )( λ 4) =

9 Nilai Eigen dari mariks ersebu adalah dan 4. Unuk λ = Dengan OBE diperoleh maka z y s s z y s dimana s, adalah parameer

10 Jadi Basis ruang eigen yang bersesuaian dengan = adalah, Inga bahwa Vekor eigen merupakan kelipaan dari unsur basis ersebu

11 Unuk λ = 4 Dengan OBE diperoleh maka Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan = 4 adalah z y s z y

12 7. DIAGONALISASI DEFINISI Suau mariks kuadra A nn dikaakan dapa didiagonalkan (diagonalizable) jika erdapa mariks P yang mempunyai invers sehingga dengan D mariks diagonal. D = P AP Mariks P dinamakan mariks yang mendiagonalkan (pendiagonal) dari A. Vekor-vekor kolom dari mariks P adalah vekor-vekor eigen dari A.

13 CONTOH Tenukan mariks yang mendiagonalkan A. A I de Jawab : Persamaan karakerisik dari mariks A adalah : aau

14 de. de c a c a c a A I Dengan menggunakan ekspansi kofakor : Pilih Baris I Sehingga diperoleh nilai eigen ; ;

15 ~. A I ~ ~ Unuk Dengan OBE maka Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan, dimana adalah parameer ak nol P adalah

16 ~. A I ~ ~ Unuk Dengan OBE maka Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan, dimana adalah parameer ak nol P adalah

17 Unuk Dengan OBE maka Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan, dimana adalah parameer ak nol adalah ~. A I ~ P

18 P k P k P k k k k ~ ~ ~ ~,, P P P Perhaikan Jadi merupakan himpunan yang bebas linear Dengan OBE

19 Jadi, Mariks yang mendiagonalkan A adalah : Mariks diagonal yang dihasilkan adalah : Hal yang perlu diperhaikan, mariks Juga mendiagonalkan A. Tapi mariks diagonal yang erbenuk adalah : P AP P D P AP P D

20 B nn dikaakan mariks orogonal jika B = B T Pernyaaan beriku adalah ekivalen : o Bnn adalah mariks orogonal. o Vekor-vekor baris dari B membenuk himpunan oronormal di R n dalam RHD Euclides. o Vekor-vekor kolom dari B membenuk himpunan oronormal di R n dalam RHD Euclides. Misalkan P merupakan mariks orogonal maka berlaku: P T P = I =, unuk seiap di R n

21 A B Beriku adalah conoh mariks orogonal : Terliha bahwa seiap vekor baris/kolom merupakan vekor sauan Dan hasilkali dalam anar vekor ersebu adalah nol CONTOH

22 T I A A T I B B Perhaikan bahwa : dan Semenara iu,

23 7. DIAGONALISASI SECARA ORTOGONAL Definisi : Suau mariks A nn dikaakan dapa didiagonalkan secara orogonal jika erdapa mariks orogonal P sedemikian hingga P AP (=P T AP) merupakan mariks diagonal.

24 Perhaikan bahwa : D = P AP aau A =PDP Misalkan P merupakan mariks orogonal, maka A = PDP T Sehingga diperoleh hubungan A T = (PDP T ) T = (P T ) T DP T = PDP T = A A dapa didiagonalkan secara orogonal jika dan hanya jika A mariks simeri

25 Misal Ann, cara menenukan mariks orogonal P yang mendiagonalkan A : a) Tenukan nilai eigen b) Tenukan basis ruang eigen unuk seiap nilai eigen yang diperoleh c) Rubah seiap basis pada (b) menjadi basis ruang eigen yang oronormal menggunakan PROSES GRAM-SCHMIDT d) Benuk mariks P dimana vekor-vekor kolomnya berupa basis ruang eigen yang oronormal.

26 CONTOH Tenukan mariks yang mendiagonalkan secara orogonal mariks Jawab : Gunakan Proses Gram-Schmid Basis ruang eigen : Unuk adalah Unuk adalah Unuk adalah u u u q q q A v v v

27 Sehingga mariks orogonal yang mendiagonalkan A adalah : P Dengan demikian, secara beruruan basis ruang eigen yang oronormal mariks ersebu,, dan AP P D HASILNYA SAMA

28 Inga Kembali Pers. Diferensial Jika sekumpulan PD orde diulis : Dengan mudah solusi sisem PD ersebu adalah : ) ( ) ( y a d dy a ce y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( r d dr r d dr r d dr ' ' ' r r r r r r e e e r r r

29 Masalahnya, sisem persamaan diferensial idak selalu memberikan mariks koefisien yang berbenuk mariks diagonal. Benuk Umum SPD orde : Langkah-langkah menyelesaikan SPD orde linear : Menenukan mariks P yang mendiagonalkan A. Tulis SPD dummy dalam benuk dengan Tenukan solusi SPD dummy Solusi SPD adalah n nn n n n n n a a a a a a a a a ' ' ' DU U ' AP P D DU U ' PU X

30 CONTOH Tenukan solusi dari sisem persamaan diferensial: Jawab : Tulis SPD dalam benuk : Dengan PK Nilai eigen dari mariks koefisien, 4 ' ' 4 d d d d 4 = dan =

31 BRE yang bersesuaian dengan = BRE yang bersesuaian dengan = Sehingga diperoleh Karena maka SPD dummy berbenuk : Solusi SPD dummy adalah dan P AP P D ' ' u u u u c e u e c u

32 Solusi dari SPD aau PU X e c c e e c c e e c c e

33 CONTOH Tenukan solusi dari masalah nilai awal dp d q( ) p. dq p q( ) d dengan kondisi awal p dan q

34 A A de.i ; diperoleh Jawab : Kia punya Maka Persamaan Karakerisiknya adalah

35 Unuk. I A ~ ~ Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan adalah vekor ak nol yang berbenuk, dimana merupakan parameer. Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan adalah P

36 ~ ~. A I P Unuk Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan adalah vekor ak nol yang berbenuk Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan adalah, dimana merupakan parameer

37 e e U PU X e c c e q p e c c e p e c c e q Sehingga Solusi Umum SPD U = D U adalah Dengan demikian solusi SPD kia adalah : aau sehingga

38 C C C C ; C C e e p ) ( e e q ) ( Unuk Dengan Eliminasi didapa Jadi solusi masalah nilai awal ersebu adalah p q dan sehingga