PENYELESAIAN MASALAH KONTROL OPTIMAL KONTINU YANG MEMUAT FAKTOR DISKON

Transkripsi

1 Jrnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal ISSN : c Jrsan Matematika FMIPA UNAND PENYELESAIAN MASALAH KONTROL OPTIMAL KONTINU YANG MEMUAT FAKTOR DISKON DALIANI Program Stdi Matematika, Fakltas Matematika dan Ilm Pengetahan Alam, Universitas Andalas, Kamps UNAND Lima Manis Padang, Indonesia, daliani.lia99@gmail.com Abstrak. Masalah kontrol optimal kontin merpakan masalah kotrol optimal yang saat ini telah dignakan dalam berbagai bidang. Tjan masalah kontrol optimal kontin ini adalah memaksimmkan fngsi tjan J() yang memat faktor diskon e αt. Eksistensi dari pengontrol (t) sangat bergantng pada konstrain yang diberikan. Oleh karena it, akan dikaji syarat ckp yang menjamin eksistensi kontrol optimal (t) yang memenhi konstrain yang berpa persamaan diferensial ẋ(t) = g(t, x(t), (t)). Selain it diberikan beberapa contoh sebagai ilstrasi ntk memperkat keberlakan syarat ckp tersebt. Kata Knci: Kontrol optimal, persamaan Lagrange, Crrent Vale Hamiltonian 1. Pendahlan Masalah kontrol otimal kontin merpakan masalah penentan sat pengontrol (t), t R yang memaksimmkan fngsi tjan max J() = S(x(T ), T ) f(t, x(t), (t))dt s.t ẋ(t) = g(t, x(t), (t)), t [, T ] (1.1) x() = x, x(t ) diberikan ata bebas, di mana x adalah variabel keadaan dan adalah variabel kontrol, dengan x, C 2 ([, T ]) = {y(t) ÿ ada dan kontin pada [, T ]}. Model optimisasi (1.1) sering mncl dalam aplikasi, tertama dalam biologi [6], kesehatan [2], ekonomi [3]. Khss dalam bidang ekonomi, fngsi tjan yang dignakan sering memat sat faktor diskon e αt, di mana < α < 1, sehingga fngsi tjan berbentk J() = S(x(T ), T ) e αt f(t, x(t), (t))dt. (1.2) Dalam paper ini, akan dikaji syarat ckp yang menjamin eksistensi pengontrol (t) yang memenhi persamaan diferensial ẋ(t) = g(t, x(t), (t)) dan memaksimmkan fngsi objektif (1.2). 157

2 158 Daliani 2. Penyelesaian Masalah Kontrol Optimal yang Memat Faktor Diskon Perhatikan masalah kontrol optimal berikt. max J() = S(x(T ), T ) e αt f(t, x(t), (t))dt, s.t. ẋ(t) = g(t, x(t), (t)), (2.1) x() = x, x(t ) bebas ata diberikan, di mana x C 2 ([, T ]) adalah variabel keadaan dan C 2 ([, T ]) adalah variabel kontrol. Selanjtnya, akan ditentkan pengontrol yang memenhi konstrain (2.1) sekaligs memaksimmkan fngsi tjan (2.1). Definisikan Lagrangian sebagai berikt. L(x,, λ) = S(x(T ), T ) e αt (f(t, x(t), (t)) λ(t)(g(t, x(t), (t)) ẋ(t))) dt, (2.2) di mana λ(t) adalah pengali Lagrange. Asmsikan α =, maka persamaan (2.2) menjadi L(x,, λ) = S(x(T ), T ) = S(x(T ), T ) [f(t, x(t), (t)) λ(t)g(t, x(t), (t)) λ(t)ẋ(t)]dt, [f(t, x(t), (t)) λ(t)(g(t, x(t), (t)) x(t) λ(t)]dt λ()x() λ(t )x(t ). (2.3) Definisikan fngsi H sebagai berikt. Maka (2.3) dapat ditlis menjadi L = S(x(T ), T ) H = f(t, x(t), (t)) λg(t, x(t), (t)). (2.4) [H(t, x(t), (t), λ(t)) x(t) λ(t)]dt λ()x() λ(t )x(t ). (2.5) Fngsi H ini disebt sebagai fngsi Hamiltonian [5]. Misalkan (t) adalah kontrol optimal dan x (t) adalah keadaan optimal yang diinginkan, maka (t) = (t) εp(t), x(t) = x (t) εq(t), x(t ) = x (T ) εdx(t ), di mana p(t), q(t) C 2 ([, T ]) dan ε >. Dengan menggnakan syarat ekstrim L L = S(x(T, ε), T ) ( H x λ =, diperoleh ) x(t, ε) dt λ(t ) =. (2.6)

3 Penyelesaian Masalah Kontrol Optimal Kontin yang Memat Faktor Diskon 159 Dengan menggnakan atran rantai, maka (2.6) menjadi ( ) L S T [( ) H = x λ(t ) dx(t ) x λ q(t) H ] p(t) dt (2.7) Dari (2.7) dan konstrain pada (2.1) diperoleh bahwa syarat perl agar merpakan kontrol optimal adalah ẋ = H = g(t, x(t), (t)), λ λ = H x H = λ(t ) = S x. (2.8) Teorema 2.1. [4] Untk masalah kontrol optimal (2.1), misalkan fngsi f dan g memenhi syarat berikt, (1) fngsi yang kontin dalam (x,, t), (2) memiliki trnan parsial pertama terhadap x dan, (3) concave dalam (x, ) ntk setiap (x, ) C 2 ([, T ]). Jika (t, x, ) memenhi (2.8) maka memaksimmkan fngsi tjan (2.1) dengan α =. Bkti. Karena f concave dalam (x, ), maka berlak J() J( ) = S(x(T ), T ) S(x (T ), T ) S x (x (T ), T )(x(t ) x (T )), f(t, x, ) f(t, x, )dt, [f x (t, x, )(x x ) f (t, x, )( )]dt, S x (x (T ), T )(x(t ) x (T )) [ ( λ λg x )(x x ) λg ( )]dt, = S x (x (T ), T )(x(t ) x (T )) λ(t )(x(t ) x (t)) λ()(x() x ()) [λ(ẋ ẋ )dt λg x (x x ) λg ( )]dt, = λ()(x() x ()) λ[g(t, x, ) g(t, x, ) g x (x x ) g ( )]dt. (2.9) Karena f concave dalam (x, ), maka komponen dalam integral adalah non positif. Selanjtnya, karena x() tetap, maka x() = x = x (). Sehingga J() J( ), ata J() J( ), yang memperlihatkan bahwa merpakan pemaksimm dari masalah (2.1).

4 16 Daliani Selanjtnya, jika < α < 1 maka Hamiltonian dapat ditlis sebagai H = e αt f(t, x(t), (t)) λg(t, x(t), (t)). (2.1) Dengan menggnakan Crrent Vale Hamiltonian, maka syarat perl (2.8) menjadi ẋ = H λ = H λ e αt = H m, λ = H x αm(t), H = H =, m(t ) = S x eαt. (2.11) Proses di atas telah membktikan teorema berikt ntk menentkan solsi optimal masalah kontrol optimal (2.1). Teorema 2.2. [5] Jika (x (t), (t)) yang memenhi kondisi pada (2.11) dan H adalah concave dalam (x, ) maka (t) adalah optimal ntk masalah kontrol optimal (2.1). 3. Contoh Perhatikan masalah kontrol optimal berikt. max 1 1 J() = 2 2 e.5t dt s.t. ẋ = x, x() = 2, x(1) bebas. Akan ditentkan kontrol optimal dari masalah di atas. H(x,, t) = m( x ) Berdasarkan (2.11) diperoleh syarat ekstrim sebagai berikt. (1) H = m = = m, (2) ṁ = H x αm, ṁ 1.5m =, (3) ẋ = x, ẋ x =. Karena x(1) bebas maka λ(1) =. Misalkan D = d dt, maka syarat ekstrim (2) dan (3) dapat disbtitsikan sebagai berikt. (D 1.5)(ẋ x) = (D 1.5)( m), D(ẋ x) 1.5(ẋ x) = D( m) (1.5)( m), ẍ ẋ 1.5ẋ 1.5x = (ṁ 1.5m), ẍ.5ẋ 1.5x =. (3.1) Persamaan karakteristik dari persamaan (3.1) adalah r 2.5r 1.5 =, (3.2)

5 Penyelesaian Masalah Kontrol Optimal Kontin yang Memat Faktor Diskon 161 sehingga diperoleh solsi akibatnya x(t) = Ae 1.5t Be t, = (D 1)x = (D 1)(Ae 1.5t Be t ) = 2.5Ae 1.5t m = = (2.5Ae 1.5t ). Selanjtnya diperoleh syarat awal sebagai berikt. Dari (3.3) dan (3.4) diperoleh A = 2 2 e 1.5 = 2(e1.5 1) e 1.5, B = 2 e 1.5. Jadi, kontrol optimalnya adalah sebagai berikt. x() = A B = 2. (3.3) m(1) = 2.5Ae 1.5. (3.4) (t) = 2.5Ae 1.5t = 2.5( 2(e1.5 1) e 1.5 )e 1.5t, dan keadaan optimal adalah : 4. Ucapan Terima kasih x (t) = ( 2(e1.5 1) e 1.5 )e 1.5t 2 e 1.5 e t. Penlis mengcapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Mhafzan, Ib Dr. Lyra Ylianti, Bapak Dr. Admi Nazra dan Bapak Zlakmal, M.Si yang telah memberikan maskan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pstaka [1] Chiang, A. C Element of Dynamic Optimization. Science Typographers Inc, Singapore. [2] Fadila, Ana Kontrol Optimal pada Model Epidemik Sir. Jrnal-S1 Jrsan Matematika Universitas Brawijaya, Malang. [3] Frqon, Ahmad. 26. Model Respon Penjalan Saham Terhadap Iklan. Skripsi- S1 Jrsan Matematika UI, Jakarta. [4] Grass, Dieter, dkk. 28. Optimal Control of Nonlinear Processes. Springer, Berlin. [5] Kamien, M.I. dan N.L. Schwartz Dynamic Optimization: The Calcls of Variations and Optimal Control in Economics and Management. North Holland, Amsterdam. [6] Lesnssa, Y. A. 21. Aplikasi Kendali Optimm dalam Penentan Interval Wakt dan Dosis Optimal pada Kemoterapi Kanker. Jrnal-S1. ITS, Srabaya.