Hasil Kali Titik. Dua Operasi Vektor. Sifat-sifat Hasil Kali Titik. oki neswan (fmipa-itb)

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Hasil Kali Titik. Dua Operasi Vektor. Sifat-sifat Hasil Kali Titik. oki neswan (fmipa-itb)"

Yuliana Tedjo
7 tahun lalu
Tontonan:

1 oki neswan (fmipa-itb) Da Operasi Vektor Hasil Kali Titik Misalkan OAB adalah sebah segitiga, O (0; 0) ; A (a 1 ; a ) ; dan B (b 1 ; b ) : Maka panjang sisi OA; OB; dan AB maing-masing adalah q joaj = qa qb 1 + a ; jobj = 1 + b ; jabj = (a 1 b 1 ) + (a b ) : Menrt Atran Kosins, jika = \AOB; maka jabj = joaj + jobj joaj jobj cos (a 1 b 1 ) + (a b ) = a 1 + a + b 1 + b ab cos a 1 a 1 b 1 + b 1 + a a b + b = a 1 + a + b 1 + b ab cos a 1 b 1 a b = ab cos yang setelah disederhanakan, memberikan joaj jobj cos = a 1 b 1 + a b : (1) Dari hbngan ini kita dapat melihat bahwa hasil sederhana a 1 b 1 + a b memat informasi yang sangat berharga mengenai panjang sisi-sisi dan sdt : Dengan demikian, ngkapan a 1 b 1 + a b yang sederhana tapi sangat berharga diberi nama khss. De nition 1 Jika x = (x 1 ; x ; x 3 ) dan y = (y 1 ; y ; y 3 ) ; maka hasil kali titk x dan y adalah Khssnya jika x = y; x y = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 x x = x 1 + x + x 3 Jadi, x x adalah kadrat panjang vektor x: Panjang vektor x ditlis sebagai kxk ; dibaca norm x. Maka x x = kxk Hasil (1) dalam notasi ini ditlis sebagai kak kbk cos = a b: Dengan mdah kita dapat melihat bahwa hbngan ini berlak ntk vektor mm, yait Theorem Jika x = (x 1 ; x ; : : : ; x n ) dan y = (y 1 ; y ; : : : ; y n ) ; maka kak kbk cos = a b dengan adalah sdt antara keda vektor; = \ (a; b), dan 0 : Sifat-sifat Hasil Kali Titik Theorem 3 Jika a; b; dan c adalah vektor-vektor dan k adalah bilangan real. Maka 1. a a = kak. a b = b a 3. a (b + c) = a b + a c 4. (ka) b = (a kb) = k (a b) 5. kcak = jcj kak 1

2 Proyeksi Vektor Proyeksi vektor v terhadap vektor ; 6= 0; ditlis proy v; adalah vektor w searah sehingga v w tegak lrs pada. Karena w searah ; ditlis w k ; maka terdapat bilangan real sehingga w = : Maka \ (w; ) = : v? Dengan menggnakan hasil kali titik diperoleh (v ) = 0: Karena 6= 0; maka Jadi, Vektor Bentk lain adalah, kk proy v = (v ) = 0 v = 0 = v = v = v kk proy v = v v = v kk = adalah vektor satan, yait vektor dengan norm sat skalar v kk kk = 1 kk = 1 kk = 1: kk vektor kk Maka kproy vk = v kk kk = v kk kk = j vj kk : Persamaan Bidang Persamaan bidang dapat ditlis secara lebih singkat dengan menggnakan bahasa vektor. bidang adalah ada garis l sehingga setiap garis pada bidang tegak lrs pada garis l tersebt. Ciri penting

3 Bidang B melali titik P dengan vektor normal n 6= 0 adalah himpnan sema titik X sehingga vektor P X tegak lrs n: Maka P X n = 0 ata (X P ) n = 0 Misalkan n = (a; b; c) dan P (x 1 ; y 1 ; z 1 ) ; X = (x; y; z) : Maka P X = X P = (x x 1 ; y y 1 ; z z 1 ) : Diperolah persamaan bidang Persamaan standar bidang adalah (x x 1 ; y y 1 ; z z 1 ) (a; b; c) = 0 ata a (x x 1 ) + b (y y 1 ) + c (z z 1 ) = 0 ata Persamaan bidang jga dapat ditlis sebagai yang diperoleh dari (). ax + by + cz = d; dengan d = ax 1 + by 1 + cz 1 : () a (x x 1 ) + b (y y 1 ) + c (z z 1 ) = 0 (3) ax + by + cz = d (4) De nition 4 Da bidang denga vektor normal masing-masing adalah n 1 dan n ; dikatakan 1. Paralel jika n 1 k n ; yait jika n 1 = n ntk sat konstants :. Tegak lrs jika n 1? n ; yait jika n 1 n = 0: Jarak Titik ke Bidang Misalkan B adalah bidang melali P (x 1 ; y 1 ; z 1 ) dan vektor normal n = (a; b; c) : Jika X (x 0 ; y 0 ; z 0 ) sebah titik sebarang, kita ingin menentkan jarak dari X ke bidang B: Jarak dari titik X ke bidang B; ditlis j (X; B) adalah jarak dari X ke Y sehingga 4P Y X sik-sik di Y; P Y? XY : Titik Y disebt proyeksi X ke bidang B: Akibatnya XY tegak lrs bidang. Dengan demikian XY k n: Jadi, j (X; B) = XY P X n = proy n P X = knk = ja (x 0 x 1 ) + b (y 0 y 1 ) + c (z 0 z 1 )j p a + b + c SOAL Jarak dari titik X (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ke bidang B dengan persamaan ax + by + cz = d adalah j (X; B) = jax 0 + by 0 + cz p 0 a + b + c dj 3

4 CONTOH Tentkan persamaan bidang melali (1; 3; ) yang sejajar bidang x y + z = 6: Karena sejajar, maka dapat dipilih normalnya adalah (; 1; 1) : Maka persamaannya adalah ata (x 1) (y ( 3)) + (z ) = 0 x y + z = 7: CONTOH Tentkan jarak antara da bidang yang sejajar yait x+z = 1 dan x+z = 10: Ambil sebarang sebarang titik dibidang pertama, sebt X (1; ; 1) : Jarak antara da bidang tersebt sama dengan jarak dari titik (1; ; 1) pada bidang pertama ke bidang keda, x + z = 10: Normal keda bidang adalah n = (; 0; 1) : Maka jarak antara keda bidang adalah j (X; B) = j (1) + 0 ( ) + 1 (1) 10j p = 7 p 5 CONTOH Tentkan sdt antara diagonal segiempat dengan titik-titik sdt A (1; 0) ; B (0; 3) ; C (3; 4) ; dan D (4; 1) : Misalkan = AC = C A = (; 1) dan v = BD = D B = (4; ) : Maka cos = v kk kvk = ( ) p + 1 q4 + ( ) = 3 5 Jadi, 3 = cos 1 = 0:9795 rad 53:13 5 4

5 Hasil Kali Silang Bila garis ditentkan oleh da titik yang dilalinya, maka bidang ditentkan oleh tiga titik tak segaris yang dilalinya. Misalkan A; B; dan C tak segaris berada pada sebah bidang P: Untk menentkan persamaan bidang (3), kita memerlkan vektor normal n: Karena vektor AB dan AC berada pada bidang, maka tentnya AB dan AC tegak lrs terhadap n: Jadi, kita perl menentkan sebah vektor n yang tegak lrs terhadap da vektor AB dan AC; yait ( n AB = 0 (5) n AC = 0 Ini adalah sat contoh mnclnya masalah menentkan vektor yang tegak lrs terhadap da vektor yang diketahi. Maka masalahnya secara mm dapat diformlasikan sebagai berikt. Misalkan a = a 1 i + a j + a 3 k dan b = b 1 i + b j + b 3 k da vektor tak nol yang tidak sejajar. Tentkan vektor x = x 1 i + x j + x 3 k sehingga x a = 0 dan x b = 0: (6) Dengan demikian kita perl menyelesaikan sistem persamaan (6), yang secara eksplisi adalah sistem persamaan linear Tlis lang sebagai x a = a 1 x 1 + a x + a 3 x 3 = 0 x b = b 1 x 1 + b x + b 3 x 3 = 0 a 1 x 1 + a x = a 3 x 3 b 1 x 1 + b x = b 3 x 3 Karena a dan b tidak sejajar, artinya a bkan kelipatan dari b; maka dapat diasmsikan bahwa a1 b 1 Jadi, a 1 b a b 1 6= 0: Misalkan p = a 3 x 3 dan q = b 3 x 3 : Maka sistem persamaan linear 6= a b. a 1 x 1 + a x = p b 1 x 1 + b x = q mempnyai penyelesaian x 1 = pb qa a 1 b a b 1 = ( a 3b + a b 3 ) x 3 a 1 b a b 1 x = qa 1 pb 1 a 1 b a b 1 = ( a 1b 3 + a 3 b 1 ) x 3 a 1 b a b 1 Artinya, solsi adalah (a b 3 a 3 b ) x 3 x = ; (a 3b 1 b 3 a 1 ) x 3 ; x 3 a 1 b a b 1 a 1 b a b 1 a b 3 a 3 b = x 3 ; a 3b 1 b 3 a 1 ; 1 a 1 b a b 1 a 1 b a b 1 (7) 5

6 ntk tiap x 3 R: Jika kita pilih x 3 = a 1 b a b 1 ; diperoleh sebah solsi istimewa yait Solsi ini disebt hasil kali silang dari a dan b; x = (a b 3 a 3 b ; a 3 b 1 a 1 b 3 ; a 1 b a b 1 ) a b = (a b 3 a 3 b ; a 3 b 1 a 1 b 3 ; a 1 b a b 1 ) Berdasarkan (7), setiap vektor yang tegak lrs a dan b adalah kelipatan dari a b; jika x a = 0 dan x b = 0; maka x = (a b) ntk sat konstanta : Notasi lain a a a b = det 3 a1 a ; det 3 a1 a ; det b b 3 b 1 b 3 b 1 b Sifat-sifat Hasil Kali Silang Theorem 5 Untk tiap vektor a; b; dan c di R 3 ; dan k konstanta, 1. a b = (b a). a (b + c) = a b + a c 3. k (a b) = (ka) b = a (kb) 4. a (a b) = b (a b) = 0 5. a (b c) = (a b) c 6. a (b c) = (a c) b (a b) c Theorem 6 (Persamaan Lagrange) Untk tiap vektor a; b; dan c di R 3 ; kak kbk = (a b) + ka bk Hasil Kali Silang, Las dan Volme Persamaan Lagrange dan fakta bahwa a b = kak kbk cos memberikan bahwa ka bk = kak kbk sin Jadi, ka bk adalah las jajar genjang yang dibangn oleh vektor a dan b: 6

7 Gnakan hasil di atas ntk memperlihatkan bahwa k(a b) ck adalah volme paralelpipedim yang dibangn oleh vektor a; b; dan c: CONTOH Diberikan tiga titik A ( ; ; 0) ; B (0; 1; 1) ; dan C ( 1; ; ) : 1. Tentkan persamaan bidang yang melali ketiga titik. Tentkan las 4ABC Misalkan a = CA = A C = ( 1; 0; ) dan b = CB = B C = (1; 1; 1) : Maka normal bidang ABC adalah n = a b = ( 1; 0; ) (1; 1; 1) = (; 3; 1) : Maka persamaan bidang tersebt adalah (x ( 1)) + 3 (y ) + (z ( )) = 0 x + + 3y 6 + z + = 0 ata x + 3y + z = Sedangkan las 4ABC adalah setengah dari las jajar genjang yang dibangn oleh a = CA dan b = CB; yait las 4ABC = 1 (ka bk) = 1 p p (; 3; 1) = = CONTOH Tentkan persamaan bidang melali titik (3; 1; ) ; dan tegak lrs terhadap da bidang: x y + z = 1 dan x + 3y + z = 7: Misalkan n 1 = (; 1; ) dan n = ( 1; 3; 1) adalah vektor normal keda bidang yang diketahi. Misalkan vektor normal bidang yang akan ditentkan adalah n: Karena tegak lrs pada keda bidang, maka n n 1 = 0 dan n n = 0: Maka boleh dipilih Maka persamaan bidang yang dimaksd adalah n = n 1 n = (; 1; ) ( 1; 3; 1) = ( 7; 4; 5) : 7 (x 3) 4 (y ( 1)) + 5 (z ) = 0 ata 7x + 1 4y 4 + 5z 10 = 0 ata 7x 4y + 5z = 7 CONTOH Tentkan irisan bidang P 1 : x y + z = 3 dan P : x + 4y z = 0. Tentkan dl salah sat titik pada irisan P 1 dan P : Misalkan titik tersebt adalah A (a; b; c) : Karena A P 1 \ P ; maka a b + c = 3 a + 4b c = 0 a b = 3 c a + 4b = c 7

8 Maka a = 4 (3 c) ( ) (c) 4 (1) 1 ( ) = dan b = c (3 c) 4 (1) 1 ( ) = 3c 3 6 Untk c = 1; diperoleh b = 0: Maka A = (; 0; 1) : Misalkan L = P 1 \ P : Untk tiap X L; AX adalah vektor yang tegak lrs pada n 1 = (1; ; 1) dan n = (1; 4; ) : Jadi AX = t (n 1 n ) = t ((1; ; 1) (1; 4; )) = t (0; 3; 6) X A = t (0; 3; 6) ata X (t) = A + t (0; 3; 6) = (; 0; 1) + t (0; 3; 6) : 8

dokumen-dokumen yang mirip

HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI

HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI A. Hasil Kali Titik (Hasil Kali Skalar) Da Vektor. Hasil Kali Skalar Da Vektor di R Perkalian diantara da