MEMBAWA MATRIKS KE DALAM BENTUK KANONIK JORDAN. Irmawati Liliana. KD Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unswagati

Transkripsi

1 Jurnal Euclid, vol., No., p.568 MEMBW MTRIKS KE DLM BENTUK KNONIK JORDN Irmawai Liliana. KD Program Sudi Pendidikan Maemaika FKIP Unswagai bsrak Benuk kanonik Jordan erbenuk apabila erdapa suau mariks dengan nilai eigen λ dan u. u adalah vekor eigen dan vekor eigen ergeneralisir dari mariks, maka akan didapa mariks ransisi Q dimana enrienri mariks ransisi Q adalah vekor u sehingga didapa Q Q = J, dimana J adalah benuk kanonik Jordan. Suau mariks persegi dengan ordo nn yang mempunyai s vekor eigen yang bebas linier, maka similar dengan mariks J yang berbenuk: J J Q Q J J s J dinamakan benuk kanonik Jordan dengan iap J i (i =,,.., s) dinamakan blok Jordan, dimana Ji Dengan λi adalah nilai eigen unggal dari mariks dan mempunyai s vekor eigen yang bebas linier dari. Mariks Q kolomkolomnya merupakan vekor eigen dan vekor eigen ergeneralisir dari mariks. Kaa kunci: Benuk Kanonik Jordan, Nilai Eigen, Vekor Eigen, Vekor Eigen Tergeneralisir i. PENDHULUN Mariks merupakan salah sau bidang kajian dalam maemaika, yang lebih dikhususkan dalam kajian aljabar linear. Mariks adalah susunan segiempa sikusiku dari bilanganbilangan. Bilanganbilangan dalam susunan ersebu dinamakan enri dalam mariks (Howard non,). Proses membenuk suau mariks menjadi mariks diagonal kia keahui sebagai proses diagonalisasi mariks yang memerlukan nilai eigen dan vekor eigen. Sebuah mariks yang nonsingular P dapa mendiagonalisasikan mariks sedemikian sehingga P P diagonal. Jurnal Euclid, ISSN 557, vol., No., pp. 76 adalah mariks

2 Jurnal Euclid, vol., No., p.569 Suau mariks dapa dibawa ke benuk kanonik jika dapa didiagonalisasikan. Jika suau mariks idak dapa didiagonalisasikan maka harus dicari vekorvekor eigen dari mariks ersebu. da berbagai macam benuk kanonik dianaranya benuk kanonik rasional, Jacobian, riangular dan Jordan. Pada kesempaan ini penelii ingin memperdalam salah sau benuk yaiu benuk kanonik Jordan. Kanonik Jordan erjadi bila suau mariks dengan nilai eigen dan u adalah vekor eigen dan vekor eigen ergeneralisir dari mariks maka akan didapakan mariks ransisi Q, dimana mariks ransisi Q adalah vekor u sehingga didapa Q Q = J dimana J adalah benuk kanonik Jordan. Dalam arikel ini dibahas bagaimana membawa mariks ke dalam benuk kanonik Jordan menggunakan konsepkonsep aljabar linear. Oleh karena iu pening sekali dipelajari erlebih dahulu dasardasar aljabar linear seperi sisem persamaan linear, ruang vekor, mariks, dimensi dan basis. B. KJIN PUSTK Suau mariks dengan ordo nn dikaakan dapa didiagonalisasi jika hanya jika mempunyai vekor eigen yang bebas linier. Bila,,, nilai eigen dengan beruruuru m,m,,m, dimana mi (i =,, ) adalah banyaknya nilai eigen i dan dim ( E ) adalah dimensi ruang eigen maka dim ( E )+ dim ( E )+ + dim ( E ) = m+m+ +m = n hal ini mengakibakan mempunyai cukup vekor eigen dengan nilai eigen. Maka didapa mariks Q sedemikian hingga Q Q = D dimana D adalah mariks diagonal. Mariks dengan nilai eigen dengan m, sera vekor eigen yang bebas linier yang berhubungan dengan kurang dari m, maka dim( E ) m, ini berari bahwa idak mempunyai cukup vekor eigen dengan nilai eigen. Karena iu idak mungkin unuk menemukan mariks Q sedemikian hingga Q Q = D dimana D adalah mariks diagonal. Kolom mariks ransisi Q merupakan vekorvekor eigennya. Vekorvekor ini dinamakan vekor eigen ergeneralisir.. Benuk Kanonik Jordan Jika mariks persegi dengan ordo nn yang mempunyai s vekor eigen yang bebas linier, maka similar dengan mariks J yang berbenuk J J Q Q J J s Jurnal Euclid, ISSN 557, vol., No., pp. 76

3 Jurnal Euclid, vol., No., p.57 J dinamakan benuk kanonik Jordan dengan iap Ji (i =,,,s) dinamakan blok Jordan yang berbenuk mariks segiiga Ji dimana i adalah nilai eigen unggal dari mariks dan s adalah vekor eigen yang bebas linier dari. Q adalah mariks yang kolomkolomnya merupakan vekor eigen dan vekor eigen ergeneralisir dari mariks. (Bill Jacob, 99) Benuk kanonik Jordan adalah mariks diagonal dengan nilai eigen pada diagonal. Oleh karena iu mariks diagonal ersebu dinamakan benuk kanonik Jordan. i. Vekor Eigen Tergeneralisir Teori basis dapa digunakan pada vekor eigen ergeneralisir unuk menghasilkan balikan mariks ransisi Q sehingga ransformasi ini menyebabkan mariks menjadi benuk kanonik jordan. Vekor eigen u merupakan penyelesaian dari persamaan mariks u = u Iu. Sedangkan vekor eigen ergeneralisir ur merupakan penyelesaian dari persamaan mariks ur = r ur + ur. ur adalah vekor eigen ergeneralisir dari vekor eigen ur. Persamaan ini dapa I u diulis menjadi r r u r Jurnal Euclid, ISSN 557, vol., No., pp. 76. Dimana r adalah rank dari mariks. Jika u adalah vekor eigen, u adalah vekor eigen ergeneralisir dari vekor eigen u, dan seerusnya. Conoh Cari benuk kanonik jordan dari mariks Jawab: Karena mariks merupakan mariks segiiga aas sesuai dengan eorema maka nilai eigen yang di dapa == dan = Unuk == maka I H() rank = dan dim ( E ) adalah. Vekor eigen yang berhubungan dengan = adalah

4 Jurnal Euclid, vol., No., p.57 Jurnal Euclid, ISSN 557, vol., No., pp. 76 I = persamaannya menjadi + = = misal =, = dan = maka vekor eigen yang bersesuaian dengan = adalah vekor ak nol yang berbenuk jadi u Unuk mencari vekor eigen ergeneralisir dengan rank dan = digunakan persamaan : r u r u I r u u I maka didapa =, =, dan = maka vekor eigen ergeneralisir yang bersesuaian dengan = adalah vekor ak nol yang berbenuk = jadi vekor eigen ergeneralisirnya adalah u =. Unuk =,maka I H() I =

5 Jurnal Euclid, vol., No., p.57 Jurnal Euclid, ISSN 557, vol., No., pp. 76 persamaannya menjadi + = = erdapa sau variabel bebas, misal =, = dan = maka vekor eigen yang bersesuaian dengan = adalah u= Didapa himpunan vekor {u,u,u} Q sehingga Q Q Q j j dimana j dan j. Conoh Cari Q sehingga Q Q = J. J adalah benuk kanonik jordan dari mariks 5 Jawab: 5 I

6 Jurnal Euclid, vol., No., p.57 Jurnal Euclid, ISSN 557, vol., No., pp. 76 Persamaan eigen adalah 5 68 I Maka nilainilai eigen yang didapa ===, dan =5 Unuk ===, maka I H() rank = dan dim ( E ) adalah Vekor eigen yang berhubungan dengan = adalah I = persamaanya menjadi + = = + = erdapa variabel bebas dan misal =, =, = dan = = Jadi u = Unuk mencari vekorvekor eigen ergeneralisir dengan rank dan = digunakan persamaan : r u r u I r I u = u persamaanya menjadi + =

7 Jurnal Euclid, vol., No., p.57 Jurnal Euclid, ISSN 557, vol., No., pp. 76 = + = erdapa variabel bebas dan misal =, =, maka = dan = = Jadi u = I u = u persamaanya menjadi + = = + = didapa =, =, = 9 5 dan =s u = s s Jadi u = 9 5 Unuk =5, maka 5I =

8 Jurnal Euclid, vol., No., p.575 Jurnal Euclid, ISSN 557, vol., No., pp. 76 persamaanya menjadi + = = = = erdapa variabel bebas dan misal =, =, = dan =s = s s Jadi u = Didapa himpunan vekor {u,u,u,u} Q 9 5 sehingga Q Q Q j j

9 dimana j dan 5 j. Jurnal Euclid, vol., No., p.576 pabila suau mariks persegi yang mempunyai vekor eigen yang bebas linier dan J benuk kanonik jordan maka sesuai definisi akan diperoleh benuk: J Q Q J J s dimana enrienri dari Q adalah vekor eigen dan vekor eigen ergeneralisir dari mariks dan Ji (i=,,..,s) adalah blok Jordan. C. KESIMPULN DN SRN Suau mariks persegi dengan ordo nn dan mempunyai vekor eigen yang bebas linier, maka vekor eigen ersebu similar dengan mariks J yang berbenuk J J Q Q J J s Dimana J dinamakan benuk kanonik jordan dengan iap Ji (i=,,,s) dinamakan blok jordan i Ji i i adalah nilai eigen unggal dari mariks, mariks Q kolomkolomnya merupakan vekor eigen dan vekor eigen ergeneralisir dari mariks. Vekor eigen u merupakan penyelesaian dari persamaan mariks u = u I u. Sedangkan vekor karakerisik ergeneralisir ur merupakan penyelesaian dari persamaan mariks ur = r ur + ur. ur adalah vekor karakerisik ergeneralisir dari vekor karakerisik ur. Persamaan ini dapa diulis menjadi I u, dimana r adalah rank dari mariks. r r u r Penulis sanga berharap arikel ini dapa digunakan sebagai bahan perimbangan aau pedoman peneliian lebih lanju, misalnya peneliian enang benuk kanonik jordan bila diaplikasikan dalam bidang lain aau dalam kehidupan seharihari. Jurnal Euclid, ISSN 557, vol., No., pp. 76

10 Jurnal Euclid, vol., No., p.577 DFTR PUSTK non, H.. ljabar Linear Elemener. Jakara: Erlangga. yres, F. 99. Mariks. Jakara: Erlangga. Finkbeiner, D.T Inroducion To Marices nd Linear Transformaion. San Francisco: W.H. Freeman and Company. Hadley, G. 99. ljabar linier. Jakara: Erlangga. H.S, Suryadi. 99. Penganar ljabar Linear dan Geomeri naliik. Jakara: Gunadarma. Jacob, B. 99. Linear lgebra. New York: W.H. Freeman and Company. Seiadji. 7. ljabar Linear. Jogjakara: Graha Ilmu. Tabrizian, P.. How o Find he Jordan Canonical Form of Mari. hp://mah.berkeley.edu. Diakses 6 Sepember 5. Jurnal Euclid, ISSN 557, vol., No., pp. 76