KETEROBSERVASIAN SISTEM DESKRIPTOR DISKRIT LINIER

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol 2 No 3 Hal ISSN : c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KETEROBSERVASIAN SISTEM DESKRIPTOR DISKRIT LINIER DIANA SYAFRIDA Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Andalas Kampus UNAND Limau Manis Padang Indonesia dianasyafridadsy@gmailcom Abstrak Dalam penelitian ini akan dikaji keterobservasian sistem deskriptor diskrit linier yang regular bebas waktu dengan matriks E adalah singular Kajian ini dimulai dari mendekomposisi sistem sehingga dapat direduksi menjadi dua subsistem yaitu slow subsystem dan fast subsystem Selanjutnya untuk menguji keterobservasian sistem akan digunakan kriteria keterobservasian yang menggunakan slow subsystem Kata Kunci: Sistem deskriptor diskrit linier metode dekomposisi standar keterobservasian sistem Pendahuluan Diberikan suatu sistem deskriptor diskrit linier sebagai berikut: Ext + = Axt + But x0 = x 0 yt = xt di mana x = xt R n menyatakan vektor keadaan state u = ut R m menyatakan vektor input dan y = yt R p menyatakan vektor output E A R n n B R n m R p n dan t Z + menyatakan waktu [5] Jika matriks E nonsingular yaitu dete 0 berarti E ada maka sistem dapat ditulis menjadi xt + = Āxt + But yt = xt 2 di mana Ā = E A B = E B Sistem 2 disebut juga sistem normal Jika matriks E singular yaitu dete = 0 berarti E tidak ada maka sistem dapat didekomposisi dengan menunjukkan adanya matriks nonsingular P Q sedemikian sehingga sistem dapat direduksi menjadi dua subsistem yaitu x t + = A x t + B ut y t = x t dan 3 Nx 2 t + = x 2 t + B 2 ut y 2 = 2 x 2 t 4 42

2 Keterobservasian Sistem Deskriptor Diskrit Linier 43 di mana x R n x 2 R n2 A R n n B R n m B 2 R n2 m R p n 2 R p n2 n = deg detse A n +n 2 = n y = y +y 2 dan N R n2 n2 adalah matriks nilpotent dengan indeks nilpotensi h Sistem 3 disebut slow subsystem S dan sistem 4 disebut fast subsystem S 2 Dalam [2] dinyatakan bahwa sistem dikatakan terobservasi bila terdapat suatu waktu t f > 0 sedemikian sehingga jika ut dan yt diberikan pada [0 t f ] maka x0 = x 0 dapat ditentukan Definisi ini juga berlaku untuk sistem normal Dalam berbagai permasalahan penggunaan definisi ini untuk menentukan apakah suatu sistem terobservasi atau tidak adalah sulit Kriteria berikut dapat digunakan untuk menentukan keterobservasian dari sistem normal [2] Sistem normal 2 si Ā adalah terobservasi jika dan hanya jika = n s dengan s berhingga 2 Solusi Sistem Deskriptor Diskrit Linier Sebelum menguji keterobservasian sistem deskriptor diskrit linier terlebih dahulu perlu dilakukan dekomposisi terhadap sistem seperti yang diberikan dalam teorema berikut Teorema 2 Sistem adalah regular jika dan hanya jika terdapat matriks nonsingular Q P R n n sedemikian sehingga In O A O QEP = dan QAP = 2 O N O I n2 di mana A R n n N R n2 n2 n + n 2 = n dan matriks N adalah matriks nilpotent dengan indeks nilpotensi h Bukti Misalkan sistem regular Maka detse A 0 untuk suatu s R sehingga se A ada Misalkan Maka Ê = se A E dan  = se A A  = se A se + A se = I + sse A E = sê I Karena E singular maka Ê juga singular Akibatnya terdapat matriks nonsingular T R n n sedemikian sehingga T E O ÊT = O E 2 di mana E R n n adalah nonsingular dan E 2 R n2 n2 adalah nilpotent Akibatnya E 2 s I adalah nonsingular Perhatikan kesamaan berikut αe A = α se + se A 22

3 44 Diana Syafrida untuk suatu α R Kalikan kedua ruas 22 dengan se A diperoleh se A E O αe A = α st T + I 23 O E 2 Dapat dilihat bahwa 23 ekivalen dengan α T se A se + I αe AT = n O 24 O se 2 I n2 + αe 2 Selanjutnya kalikan kedua ruas 24 dengan E O O se 2 I n2 diperoleh Tulis E O O se 2 I n2 In O = α O se 2 I n2 E 2 E Q = O O se 2 I n2 T se A αe AT sin E O O I n2 T se A dan P = T 25 sehingga persamaan 25 dapat ditulis sebagai In O A O QαE AP = α O N O I n2 di mana N = se 2 I n2 E 2 dan A = si n E Jadi terdapat Q P sehingga berlaku 2 Misalkan terdapat matriks Q P R sedemikian sehingga 2 berlaku Misalkan s σa Tanpa mengurangi keumuman misalkan s R Maka detsi n A 0 Karena maka detsn I n2 = det I n2 sn dengan s 0 = n2 s n2 s n2 = n2 26 detse A = dets Q QEP P Q QAP P = detq dets QEP QAP detp = detq dets I n A n2 detp 0 sehingga sistem regular

4 Keterobservasian Sistem Deskriptor Diskrit Linier 45 Berdasarkan Teorema 2 matriks E A R n n dapat didekomposisi sedemikian sehingga E = Q In O P dan A = Q A O P O N O I n2 untuk suatu matriks nonsingular P Q R n n Misalkan xt = P zt untuk suatu zt R n Maka sistem dapat ditulis menjadi EP zt + = AP zt + But 27 yt = P zt 28 Dengan mengalikan kedua ruas 27 dengan matriks nosingular Q diperoleh In O O N di mana QB = B B 2 QEP zt + = QAP zt + QBut z t + z 2 t + yt = P zt 29 A O z t B = + ut O I n2 z 2 t B 2 yt = 2 zt 20 dan P = 2 Dari sistem 20 dapat dilihat bahwa sistem dapat direduksi menjadi dua subsistem yaitu: Solusi dari 2 adalah z t + = A z t + B ut y t = z t dan 2 Nz 2 t + = I n2 z 2 t + B 2 ut y 2 t = 2 z 2 t 22 t z t = A t z 0 + A t j B uj t = sedangkan solusi 22 adalah j=0 h z 2 t = N j B 2 ut + j t Z + 24 Sehingga solusi sistem adalah A t xt = P z 0 + t j=0 At j B uj h j=0 N j B 2 ut + j j=0

5 46 Diana Syafrida 3 Keterobservasian Sistem Deskriptor Diskrit Linier Teorema berikut akan digunakan untuk menguji apakah sistem terobservasi atau tidak Teorema 3 [4] Sistem adalah terobservasi jika dan hanya jika sistem 2 adalah terobservasi Bukti z 2 t dapat ditentukan dari 24 untuk N B 2 dan ut Sehingga sistem adalah terobservasi jika dan hanya jika z t dapat ditentukan dari 2 dan yt 2 z 2 t Jadi sistem adalah terobservasi jika dan hanya jika sistem 2 adalah terobservasi Teorema 32 [4] Pernyataan berikut adalah ekivalen Sistem adalah terobservasi sin A 2 Rank = n s dengan s berhingga se A 3 Rank = n s dengan s berhingga 4 kersi A ker = {0} s dengan s berhingga 5 kerse A ker = {0} s dengan s berhingga Bukti 2 Jelas dari Bab I dan Teorema 3 sin A 2 3 Misal = n s dengan s berhingga Akan ditunjukkan se A bahwa = n s dengan s berhingga Perhatikan bahwa se A sqep QAP P si n A O O O sn I n2 sin A = n + n 2 = n + sn I n2

6 Keterobservasian Sistem Deskriptor Diskrit Linier Perhatikan persamaan berikut sin A + si n A O sn I n2 O sn I n2 2 sqep QAP P se A Jadi sin A se A sn I n2 = n n 2 = n se A 3 5 Rank = n s dengan s berhingga jika dan hanya jika se A ker = {0} Karena se A ker = {0} = kerse A ker se A maka = n s dengan s berhingga jika dan hanya jika kerse A ker = {0} 2 4 Dapat dibuktikan dengan mengikuti penalaran bukti ontoh Diberikan sistem deskriptor diskrit linier Ext + = Axt + But yt = xt 4 di mana E = 0 0 A = 0 0 B = 0 0 = Akan diperiksa apakah sistem ini terobservasi atau tidak s 0 detse A = det 0 s 0 = s 2 + s 0 s Pilih s = diperoleh s 0 det 0 s 0 = s 0

7 48 Diana Syafrida Selanjutnya Ê = Karena setiap matriks bujursangkar similar dengan suatu matriks Jordan maka terdapat matriks nonsingular T R n n sedemikian sehingga T E ÊT = = E di mana E = E 2 = 0 dan T = 0 0 Dengan menggunakan diperoleh Q = 0 dan P = T = Kemudian dan QEP = 0 0 QAP = QB = P = Dengan menggunakan 2 diperoleh 0 A = 0 0 Kemudian B = 2 I n2 = N = 0 I n = B 2 = 0 2 = 2 = 0 Berdasarkan Teorema 32 si A = 2 = n sehingga sistem adalah terobservasi Jika digunakan bagian ke-3 dari Teorema 32 diperoleh 0 se A = 3 0

8 Keterobservasian Sistem Deskriptor Diskrit Linier 49 Jika digunakan bagian ke-4 dari Teorema 32 diperoleh kersi A si A ker = ker = ker Jika digunakan bagian ke-5 dari Teorema 32 diperoleh 0 kerse A ker = ker 0 0 = {0} 0 sehingga sistem terobservasi Jadi sistem 4 terobservasi = {0} 5 Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr Muhafzan Bapak Dr Admi Nazra Ibu Dr Lyra Yulianti Ibu Arrival Rince Putri MT MSi yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik Daftar Pustaka [] Anton H 99 Aljabar Linier Elementer Edisi Kedelapan-Jilid Erlangga Jakarta [2] Duan G R 200 Analysis and Design of Descriptor Linear System Springer New York [3] Meyer D 2000 Matrix Analysis and Applied Linear Algebra SIAM New York [4] Kaczorek T 992 Linear ontrol Systems Vol Research Studies Press Ltd England [5] Dai Liyi 989 Singular ontrol Systems Springer New York