Jurnal MIPA 37 (1): (2014) Jurnal MIPA.

Transkripsi

1 Jural MIP 37 (1): (014) Jural MIP ESENSI NILI DN EKTOR EIGEN DRI SUTU OPERTOR PD RUNG HILBERT KLSIK Wurato Jurusa Matmatia, FMIP, Uivrsitas Ngri Smarag, Idosia Ifo rtil Sarah rtil: Ditrima Fbruari 014 Distuui Mart 014 Dipubliasia pril 014 Kwords: ilai ig; ctor ig; Ruag Hilbrt; oprator bstra Suatu trasformasi liar T dari W adalah fugsi dari ruag liar atas F ruag liar W atas F dga sifat utu stiap vtor da salar brlau Ruag Hilbrt atas lapaga ompls C satiasa ag dimasuda adalah ruag hasilali dalam lgap dalam arti adalah ruag liar atas C ag dilgapi dga suatu fugsi dari C da mmuhi smua sifat hasilali dalam, da lgapa dituua dalam apasitas sbagai ruag mtri dga sifat stiap barisa Cauch di ovrg suatu titi di. Mtri utu dibagu mlalui suatu orm pada ag didfiisia. Slauta ag dimasud dga oprator adalah suatu trasformasi liar otiu dari ruag Hilbrt ruag hibrt W. Dga dmiia ia diataa T suatu oprator pada, satiasa ag dimasuda adalah ruag Hilbrt atas C da T adalah suatu trasformasi liar dari. Notasi adalah olsi smua oprator dari W. Essi ilai ig da vtor ig braita lagsug dga sifat mdasar dari ilai da vtor ig dari suatu oprator pada ruag hilbrt lasi. bstract liar trasformatio of T from to W is fuctio from liar spac to F to liar spac W to F with th proprtis of vr vctor ad scalar applis. Hilbrt Spac ovr a compl fild C is alwas mat th complt ir product spac whr is a liar spac to C with a fuctio of from to C ad satisfis all proprtis of ir product spac, ad th compltss of is show b th capacit of as th mtric spac with th proprtis of Cauch squc i a covrgt to a poit i. Th mtrics for is built through a orm at which is dfid as.. Furthr, what is mat with a oprator is a cotiuous liar trasformatio of Hilbrt Spac to Hibrt Spac W. Thrfor, if T is said to b a oprator o, th it is alwas said that Hilbrt Spac is o C ad T is a liar trasformatio from to. Th otatio is th collctio of all oprators from to W. Th sstials of ig valus ad ig vctors ar rlatd dirctl with th basic proprtis of ig valu ad vctor of a oprator o a classical Hilbrt Spac. 014 Uivrsitas Ngri Smarag lamat orspodsi: Gdug D7 Latai 1, Kampus Us Sara, Guugpati, Smarag, 509 ISSN

2 Wurato / Jural MIP 37 (1): (014) PENDHULUN Bbrapa pgtahua prasarat ag rat hubugaa dga topi ag dibahas, sprti ruag liar, ruag brorma, ruag Hilbrt, ruag baach, ruag mtri da strutur Lc(X,Y) tida dibahas dalam rubri ii. Briut ii dibahas traita atara bragam oprator. Torma 1.1 Jia X da Y dua ruag hilbrt atas C da maa trdapat shigga utu stiap da. Slauta disbut oprator aoit dari oprator. (Follad 1984) Buti: daia ada oprator dari X Y ttapi tida ada oprator T dari Y X dga sifat artia, stiap oprator T dari Y X satiasa ta trcuali utu da duaa vtor ol di X da vtor ol di Y. Dga mmilih vtor ol di X da vtor ol di Y, las prata suatu otradisi. rtia, stiap ada shigga Torma 1.. Jia X, Y da Z tigaa ruag hilbrt maa, stiap da maa * * ** 5. * * 6. *0 ia da haa ia 0 7. C * * C * (Follad 1984) Buti: (1) X, Y, B,, B* (fata 1) Dilai piha B, B,, B,, *, B * Diprolh fata, * B *, * B * B,, * B * (fata ) Dari (fata 1) da (fataa) diprolh fata (+B)**+B* () X, Y da C,, *. (fata 3) Dari lai piha,, ( sifat HKD), * (Torma 1.1) Diprolh fata, *,, * ( aibat sifat HKD) (fata 4)) Dari (fata 3) da (fata 4) diprolh * * (3) X, Y *,, * Braibat, *,, Diprolh fata tau (sifat HKD) (Torma 1.1)...(fata 5), *, ( f ata 5), * ( sifat HKD),, * (4) X, Y,, * *,, * * * *, * *, (Torma 1.1) ( sifat HKD) (Torma 1.1) ( sifat HKD ) (sifat ougat di C) 80

3 Wurato / Jural MIP 37 (1): (014) Diprolh fata * *,, X, Y * rtia (5) Kara da maa omposisi * suatu oprator pada X. Da olh sbab mrupaa ruag baach trhadap orma ag didfiisia. : Lc X, X R if M 0 : M, X, maa sup : X da 0 1 * braibat * * * Maa * Dari lai piha ia X, Maa rtia, * * * * a * himpua ilai Dilai piha * (fata 6) atau (fata 7) (fata 8) * mrupaa batas atas dari ia 1 batas atas trcil dari himpua trbatas ia 1.rtia * (fata 9) Dari (fata 8) da (fata 9) diprolh *. Da dga mggatia pra * olh diprolh (6) Ditahui *0 dituua 0 X, Y, 0 *, (sbab * oprator ol), (Torma 1. butir 4) Diprolh fata atau vtor ol di X. Tapa mguragi prumuma buti, Misala bua vtor ol, maa harus vtor ol di X. Kara sbarag da dga mmilih ta ol da fata 0 maa harus oprator ol. Ditahui 0 dituua * 0. X, Y, 0 X, (7),, * Diprolh fata 0., * (sbab 0 da 0) (Torma 1.1) Satu-satua mugia * harus Oprator ol Y, C,, C* Dari lai piha C, C,, C * Ditmua fata, * C * C,, * C * (fata 10) (fata 11) Dari (fata 10) da (fata 11) diprolh (C)**C* 81

4 Wurato / Jural MIP 37 (1): (014) Dfiisi 1.3 Dipuai X ruag hilbrt atas lapaga ompls da stiap aggota Lc(X,X) disbut oprator pada X. Jia oprator pada X da I oprator idtitas pada X maa (1) disbut oprator isomtri ia *I () disbut oprator uitr ia **I (3) disbut oprator aoit madiri ia * (4) disbut oprator prosi ia da * (5) disbut oprator ormal ia ** (Rod 1980). Dasar Tori Ruag hilbrt lasi dalam tulisa ii satiasa ag dimasud adalah ruag hasil alidalam lgap dga basis higga atau ta higga trbilag. Torma.1 Jia X ruag hilbrt lasi da maa * da + * adalah oprator aoit madiri. (Rudi 1975) Buti: (*)* *(*)* (Torma 1.) *** ( (*)* **) * (Torma 1.) Jadi, (*)* *(*)*, da (+*)**+** ( Torma 1.) *+ ( Torma 1.) Jadi, (+*)* *+ Torma.. Jia X ruag hilbrt lasi da,b Lc(X,X) da B aoit madiri maa B aoit madiri ia da haa ia BB (Rudi 1975) Buti. Dipuai da B oprator aoit madiri da B aoit madiri, dituua BB, X B,, B*, B * *, B Diprolh fata B,, B (Torma 1.1) ( Torma 1.) ( *, B*B ) (fata1) Dilai piha B,, B*, B Diprolh fata B,, B (Torma 1.1) (B aoit madiri) (fata ) Dari (fata1) da (fata ) diprolh BB Dipuai da B oprator aoit madiri da BB, dituua B oprator aoiut madiri (B)*B** (Torma 1.) B ( da B aoit madiri) B ( ditahui BB) (B)*B, artia B oprator aoit madiri Torma.3 Jia X ruag hilbrt lasi da oprator pada X maa prataa briut quival oprator ormal * oprator ormal * X Buti: 1 (Rudi 1975) Dipuai ormal dituua * ormal ** ( ditahui ormal ) Maa (*)*(*)* Diprolh *** *** tau (*)***(*)*, artia * ormal hilbrt) 3 * X, Dipuai * ormal, dituua (orma di ruag * *, * * *, * (Torma 1.1) ( * ormal), * * * 8

5 Wurato / Jural MIP 37 (1): (014), * *, Diprolh fata 0 * Braibat * 1 (Torma 1.1) (**(*)* ) 3 Dipuai * dituua ormal. Dari hipótsis diprolh fata * Maa * 0 Euival Euival Euival Euival *, *, 0 X,, * * *, * 0, *, * 0, * * 0 Euival, * * 0 Kara Sbarag vtor di X maa dga mmilih bua vtor ol di X, haruslah (*- *) vtor ol di X. rtia, *-* harus oprator ol pada X. Dga ata lai ** atau oprator ormal pada X Dfiisi.4. Dipuai X ruag hilbrt lasi. (1) Barisa vtor { v} di X disbut basis Orthogoal utu X ia {v} bbas liar, mmbagu X da 0 apabila v i, v i () Barisa vtor {v} disbut basis ortoormal utu X ia {v} basis ortogoal da v 1 N (Rudi 1975) Torma.5. Jia X ruag hilbrt lasi da {} basis ortoormal, barisa bilaga ompls da barisa trbatas dga M sup maa trdapat oprator pada X shigga (1) () apabila 1 1 (3) Trbatas M (4) utu stiap (1,,3, ) * (5) * 1 1 (6) * ormal (Rudi 1975) Buti: (1) Dituua brsifat liar da otiu. Diostrusi oprator : X X da. Kara {} basis ortoormal utu X maa, X ttu trdapat barisa bilaga {α} da {β} di C shigga da α,, 1 da β, 1 utu sbarag salar ompls α, αα α. rtia α α (fata1) 83

6 Wurato / Jural MIP 37 (1): (014) (+) rtia (+) + (fata ) Dari prolha (fata 1) da (fata) muua bahwa brsifat liar Da Dituua otiu. 1 Bria ε>0, ia, 1 X maa (r 1 M ) 1 ( Msup{μ}) M Diprolh fata (fata 3) M Dari fata (3*) Jia, X, 1/ maa M 1. rtia. otiu. Jadi, tlah dituua suatu oprator ag mmuhi sifat μ brsifat liar otiu. () Kara barisa umlah parsial 1 Mrupaa barisa cauch di X da X lgap maa barisa 1 ovrg, 1 da olh sbab liar otiu maa barisa 1 ovrg 1 asala Diprolh fata,, 1 Dari fata (1*) da (*) diprolh * Diprolh 1 1 (3) sup : X da 1,,, 1 1,, 1 brhigga (fata 5) da 84

7 Wurato / Jural MIP 37 (1): (014) 1 1 1,,, M 1 M rtia apabila M Braibat M Dari lai piha Olh sbab M Maa M M (4) Dituua * Dipuai,, * Dari lai piha,,,, (5) Dituua *, 1 1.da 1 Kita tahu tahu * X ortoormal di X maa * *, 1, 1, 1 (fata 4) dga da {}basis, Diprolh * 1 (6) Dituua oprator ormal **μ * Jadi **, artia oprator ormal di X 3. Pmbahasa Kospsi ilai ig da vtor ig di ruag Hilbrt dituaga pada dfiisi briut Dfiisi 3.1 Dipuai X ruag hilbrt, X da oprator pada X. Slauta, disbut vtor ig ia bua vtor ol sdmiia higga trdapat bilaga λ shigga λ. (mbros 1975) Slauta λ disbut ilai ig ag braita dga vtor ig. Torma 3.. Jia X ruag hilbrt atas lapaga ompls C da oprator pada X, μ suatu ilai ig maa (1) () μ bilaga ral ia aoit madiri (3) ia isomtri 1 (mbros 1975) Buti: (1) Jia vtor ig ag brtaita dga ilai ig μ maa vtor ta ol di X dga sifat μ, maa. Diprolh fata Braibat (sbab LC(X,X) ( sbab ) 0 85

8 Wurato / Jural MIP 37 (1): (014) ()Jia vtor ig ag braita dga ilai ig μ maa (fata1),,, Dari lai piha,, *,.,, tau, (r *) (r μ) (sifat HKD) (fata ) Dari (fata 1) da (fata ) diprolh ( r ) 0 Satu-satua mugia μ ral (3) Jia vtor ig ag braita dga ilai ig μ maa μ da olh sbab isomtri maa Diprolh fata. Kara. Olh sbab 0 atau maa braibat 1 Torma 3.3. Jia X ruag hilbrt atas C da oprator pada X, ia suatu vtor ig ag braita dga ilai ig μ maa brlau μ * (mbros 1975) Buti:,, * da dari lai piha,,,, Diprolh fata, *,, utu stiap vtor ig ag braita dga ilai ig μ. Braibat * *,, da dari lai piha *,,,,, Jadi, μ Himpua bagia dari dari ruag hilbrt X ag trdiri dari smua vtor ig ag braita dga ilai ig μ ta trcuali vtor ol ag mrupaa solusi trivial dari prsamaa μ utu suatu oprator, mmbtu suatu ruag bagia X ag dial ruag vtor ig ag braita dga ilai ig μ atas oprator atau di otasia dga simbol Қ(μ) da didfiisia sbagai briut. Dfiisi 3.4. Dipuai suatu oprator pada ruag hilbrt X atas lapaga ompls C da μ. suatu ilai ig maa suatu himpua bagia dari X ag diotasia Қ(μ) da didfiisia Қ(μ) X : Slauta Қ(μ) disbut ruag vtor μ ig atas oprator. (mbros 1975) Utu mmbutia bahwa Қ(μ) mmuhi strutur ruag hilbrt, prhatia buti dari torma briut. Torma 3.5 Jia oprator pada ruag hilbrt X atas C da μ suatu ilai ig maa Қ(μ) ag didfiisia Қ(μ) X : Mmuhi strutur ruag hilbrt (mbros 1975) Buti: solusi dari μ, ii artia θ Қ(μ) Prtama, dituua Қ(μ) tida osog. Olh sbab θ (θ vtor ol di X ) mrupaa tau dga ata lai Қ(μ) tida osog. Kdua, dituua pumlaha vtor di Қ(μ), trtutup. mbil vtor, Қ(μ), maa da vtor di X dga sifat μ da μ. Diprolh fata +μ+μ (fata 1) Olh sbab da vtor di X da oprator pada X maa +(+) (fata ) 86

9 Wurato / Jural MIP 37 (1): (014) Olh sbab X ruag hilbrt atas C, artia X ruag vtor atas C, slauta olh sbab, X da μ C maa μ+μ μ(+) (fata 3) Brdasara tiga fata trsbut diprolh fata (+)μ(+) (fata 4) Kara + vtor di X dga sifat (+)μ(+) maa + Қ(μ) Ktiga, dituua pralia salar di C da vtor di Қ(μ), trtutup. mbil Қ(μ) da α C, maa vtor di X dga sifat μ da α X, braibat (α) α()α(μ) (αμ) (μα) μ(α) atau (α) μ(α). Diprolh fata, α X dga sifat (α) μ(α) maa α Қ(μ). Ktiga lagah trsbut muua bahwa Қ(μ) mmuhi strutur ruag liar atas C Cuup las bahwa sifat-sifat hasilali dalam pada X uga brlau pada Қ(μ).ara vtor di Қ(μ). dalah vtor di X. rtia bahwa Қ(μ). dalah ruag prhilbrt. Klgapaa dituua sbagai briut. mbil sbarag barisa cauch () di Қ(μ). Olh sbab () barisa cauch di X da X ruag hilbrt maa barisa () ovrg suatu X (sifat barisa diruag mtri lgap ). Tiggal dituua Қ(μ). Kara () barisa cauch di Қ(μ).maa X da μ brlau utu stiap N. Kara barisa () ovrg da oprator pada X maa brsifat liar otiu, braibat barisa () ovrg dga sifat μ. rtia Қ(μ). Tlah dituua, stiap barisa cauch di Қ(μ). Kovrg suatu Қ(μ). Jadi Қ(μ) ruag prhilbrt da lgap, artia Қ(μ) ruag Hilbrt. Slauta, Қ(μ) disbut ruag μ Eig atas, ii mrupaa ruag bagia dari ruag Hilbrt X atas lapaga C. Briut dibagu suatu ruag ig dari suatu oprator ormal pada ruag Hilbrt. Torma 3.6. Jia X ruag hilbrt atas C da suatu oprator pada da μ suatu ilai ig dari maa, ia oprator ormal braibat (1) * () * (3) ia λ μ (Brow 1973) Buti: (1) Pta vtor ol di Қ(μ) olh * adalah vtor ol ruag X ag saligus mrupaa vtor ol di Қ(μ), artia vtor ol di X saligus adalah vtor ol di Қ(μ) da *( Қ(μ)). Jadi *( Қ(μ) tida osog. mbil *(Қ(μ)), maa trdapat Қ(μ) dga sifat * da μ. Jlas sbab * oprator pada X. Tiggal dituua μ. Olh sbab μμ * (ara *) *μ * ( ara μ) * ( ara ormal) ( ara *) Jadi μ, artia Қ(μ). Kara, ia *(Қ(μ)).maa Қ(μ), artia * () mbil Қ(μ),maa μ shigga (fata 1),, * Dilai piha,,, Diprolh,,, ( sifat HKD) (sifat HKD) (fata ) Dari (fata 1) da (fata) diprolh *. Olh sbab, artia * * * ia Қ(μ) maa Қ(μ) mbil * *,, * * ( fata 3)., maa *, artia shigga (sifat oprator) X 87

10 Wurato / Jural MIP 37 (1): (014) artia Diprolh, *,, Dilai piha *,, Diprolh *,,,, (r **) (fata 4) (r * (sifat HKD) ) (sifat aibat HKD) (fata 5) Dari (fata 4) da (fata 5) diprolh μ, Қ(μ),. Olh sbab,trata ia * maa Қ(μ), artia Қ(μ) (fata 6) * Dari (fata 3) da (fata 6) diprolh * (3) mbil Қ(μ) da Қ(λ), dituua da ortogoal. Kara Қ(μ) da Қ(λ)maa μ da λ. Olh sbab,, *,,,, (μ-λ), 0 Olh sbab λ μ maa, 0, ii artia da ortogoal. Kara da dua vtor sbarag di Қ(μ) da Қ(λ), artia dua ruag ig ag salig ortogoal atau Torma 3.7. Jia oprator pada ruag hilbrt X dga μ suatu ilai ig dari da Қ(μ) total maa prataa briut uival (1) S S utu stiap oprator S pada X () S ( Қ(μ) ) Қ(μ) (Brow 1973) Buti: (1) () mbil S( Қ(μ) ) maa, trdapat Қ(μ) dga sifat S, da μ. (fata 1) Jlas X (sbab S oprator pada X), shigga μ μs (sbab fata 1, S) Sμ (sbab S brsifat liar) S (sbab fata 1 μ ) S ( ditahui SS) (sbab fata 1, S) Diprolh μ atau μ ( fata ) Dari fata, muua bahwa Қ(μ). Tlah dituua sbarag vtor (Қ(μ) ) braibat Қ(μ). rtia, S(Қ(μ) ) Қ(μ) () (1) Dituua utu stiap X, SS. Utu stiap X, S X (sbab S oprator pada X), braibat S Қ(μ) S(Қ(μ) ) Қ(μ) ). Tiau ia X da Қ(μ) ). S (sbab di-tahui Olh sbab Қ(μ) da S(Қ(μ) ) Қ(μ) maa S Қ(μ). Diprolh fata S μs (sbab vtor S di Қ(μ)) Sµ (S brsifat liar) S ( sbab Қ(μ) ) rtia S S utu stiap Қ(μ)..(fata 1) daia ada X da Қ(μ) Kara Қ(μ) mrupaa ruag bagia trtutup maa ruag X da olh sbab Қ(μ) total braibat trdomposisi sdmiia higga X Қ(μ) Қ(μ) (fata ) da Қ(μ) Қ(μ) {θ} (fata 3) θ vtor ol di X Kara X da brdasara fata, maa u+v utu suatu u Қ(μ) da v Қ(μ) Kara Қ(μ) maa bua vtor ol. Ii otradisi dga fata 3. Jadi pgadaia harus dicabut, ag bar Қ(μ). Brdasara fata 1, brlau S S simpulaa, utu stiap X brlau S S tau dga ata lai S S 88

11 Wurato / Jural MIP 37 (1): (014) Torma 3.8 Jia HomF(,W) dilgapi fugsi. : W ag didfiisia f if M 0 : f ( v) W M v, v (a) ruag brorma, da Hom F (, W ),. (b) Jia ruag baach maa W,. W ruag baach Hom F (, W ),. (Barbasch 1989) Torma 3.9 (ibat): Jia ruag liar atas R ag dilgapi suatu orma maa HomR(,R) ruag baach. (Barbasch 1989) Torma trsbut mrupaa aibat lagsug dari Torma butitr (b) mgigat ita dapat mmadag lapaga ral R sbagai ruag brorma lgap trhadap fugsi ilai mutla di R. Notasi sigat utu HomR (,R) adalah *, da utu ruag baach ag satu ii uga disbut ruag dual. Scara umum ia ita pua ruag liar atas lapaga F da ruag brorma,. (ta harus ruag baach) maa ag dimasud dga ruag dual ag dibagita olh adalah himpua * HomF (,F). Slauta dalam tulisa ia tida ada plasa apapu maa simbol * satiasa ag dimasud adalah HomR (,R). Dga dmiia ita pua *HomR (,R) ruag dual ag dibagita olh, da **HomR (*,R) ruag dual ag dibagia olh *. Pmbutia Torma 3.9 saligus mrupaa awaba prmasalaha (1) Torma 3.10: Jia ruag brorma maa pgaita * ag mmtaa suatu * ** dga sifat *(f)f() utu stiap f *, adalah suatu trasformasi liar (Barbasch 1989) Buti: Prtama dituua bahwa pgaita * suatu fugsi dari ** sbagai briut. Jia, da maa utu stiap f * ttu brlau *(f)f()f()*(f) atau dga ata lai **. Jadi, pgaita * sugguh-sugguh suatu fugsi dari *. Kdua dituua bahwa fugsi * brsifat liar sbagai briut. Jia, da, R maa utu stiap f * (olh sbab f liar) ita puai ( + )*(f)f( + ) f()+ f() * + *. Jadi fugsi * :** liar, atau lazima disbut trasformasi liar. Torma 3.11 madi bagia ptig dalam tulisa ii, ara trata umpula para ost ag dibagita olh ruag bagia trtutup di, mmuhi strutur ruag maa brorm. Torma 3.11: Jia ruag bagia trtutup dari ruag baach maa / ruag brorma lgap trhadap didfiisia fugsi. : / R / if g : g utustiap / ag / da orma pada. (Barbasch 1989) Buti: ()ia / 0 / 0 diprolh fata if g : g, aibata utu stiap >0 ttu ada g shigga haruslah 0 g g, da ia 0, / 0, ii braibat g( vtor ol di ), adi ag brarti pula. Sbalia () ia maa if g : g g / utu stiap g. / Khususa, utu g, maa ita pua 0 0 /, atau dga ata lai 0 89

12 Wurato / Jural MIP 37 (1): (014) if / / g : g if a : a i f a : a if g : g / if g : g / if t s : t, s brorm t t s s if : if : if g : g if g : g / / Klgapaa dituua dga mgguaa salah satu sifat lgapa ruag brorma ag tlah dituua olh Rod (1983) dalam Lmma briut. Ruag brorma diataa lgap ia da haa ia stiap barisa trumlah mutla didalama, adalah barisa ovrg. rtia, ruag brorma lgap ia da haa ia stiap barisa trdapat bilaga b0 dga sifat braibat trdapat dga sifat di 1 1,.. b Slauta diambil sbarag barisa ost di / dga sifat b utu suatu 1 / bilaga b (b brhigga), dituua mmpuai sifat /. Kara 1 if g : g / barisa utu suatu, ii braibat, utu stiap bilaga asli, trdapat sdmiia higga brlau t pua t /, ii braibat ita, artia bahwa barisa t b 1 1 di brsifat trumlah mutla, da ara t lgap maa brdasar- a Lmma di atas, trdapat t dga sifat t, atau lim t dga ata lai t 1 t. Sarag ita prhatia, suatu vtor dga sifat t. t Kara t 1 1 utu stiap g t 1 t / if g t t 1 : g t, ita pua rlasi, ii braibat 1 t t / 1 1 g t. Khususa, utu g t t 0 ia 1 / 1 1.atau dga ata lai lim 1 Tlah dituua bahwa, stiap barisa dga sifat /,. / di ruag. 90

13 Wurato / Jural MIP 37 (1): (014) 1 braibat / 1 utu suatu bilaga b b0 utu suatu /,,.(ovrg suatu vtor / ). Jadi, lgap /,. / PENUTUP Prmasalaha prtama tlah trawab dalam arti, pgaita * ag mmtaa vtor di ruag Hilbrt suatu vtor * di ruag dual gada **HomR(*,R), mdfiisia suatu trasformasi liar, da uraia buti trtuag dalam Torma Scara implicit dga mgguaa prisip ifrsi modus Tolls dalam logia matmatia. Olh sbab brdasara Torma Jia ruag bagia trtutup dari ruag baach maa ruag uosi / mmuhi strutur ruag brorma lgap. Da olh sbab ruag Hilbrt maa adalah ruag brorma lgap, ii braibat ruag dual gada **, (aibat Torma 3.10 ), mmuhi strutur ruag Baach, braibat **/ mmuhi strutur ruag brorma lgap, utu suatu himpua trtutup **. DFTR PUSTK mbros W Spctral Rsolutio of groups of Uitar oprators, Du Math Barbasch D Th Uitar dual for compl classical li group, Ivt, Math 96 Brow ID Dual Topolog of Nilpott li groups. Sci Ecol Norm. (sup) 6: Corwi LW & Grlaf FP Rprstatios of Nilpot li groups ad Thir pplicatios, Cambridg U. Prss Cambridg, UK. Follad GB Ral alsis, Joh Wil, Nw or. Follad GB cours i bstract Harmoic alsis, CRC PRESS Boca Rala rbar Lodo Too. Fl JMG Th dual spacs of C* algbra, Tras. Math. PRESS Too Sigapur Rod Ral alsis, Macmila Publishig Compa NwYor Waltr R Pricipls of Mathmatical alsis, Mc Graw Hill Itratioal Editio Wurato. 00. Mmbagu ruag Kuosi brbasis ruag baach. Maalah pada smiar asioal Kotribusi statistia da matmatia di ra afta. Surabaa. ITS 91