APLIKASI RESIDU KOMPLEKS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN CAUCHY- EULER ORDE DUA SKRIPSI. Oleh: YUDIA ISMAIL SYAFITRI NIM:

Transkripsi

1 APLIKASI RESIDU KOMPLEKS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN CAUCHY- EULER ORDE DUA SKRIPSI Olh: YUDIA ISMAIL SYAFITRI NIM: 4547 UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI JURUSAN MATEMATIKA 9

2 APLIKASI RESIDU KOMPLEKS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN CAUCHY- EULER ORDE DUA SKRIPSI Diajuka Kpada: Uivrsitas Islam Ngri Malag Utuk Mmuhi Salah Satu Prsarata Dalam Mmprolh Glar Sarjaa Sais (S.Si) Olh: YUDIA ISMAIL SYAFITRI NIM : 4547 UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI JURUSAN MATEMATIKA 9

3 APLIKASI RESIDU KOMPLEKS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN CAUCHY- EULER ORDE DUA SKRIPSI Olh: YUDIA ISMAIL SYAFITRI NIM : 4547 Tlah Distujui utuk Diuji Malag, 5 Juli 9 Dos Pmbimbig I, Dos Pmbimbig II, Drs. H. Turmudi, M. Si Abdul Ai, M. Si NIP NIP Mgtahui, Ktua Jurusa Matmatika Sri Harii, M. Si NIP

4 APLIKASI RESIDU KOMPLEKS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN CAUCHY- EULER ORDE DUA SKRIPSI Olh: YUDIA ISMAIL SYAFITRI NIM : 4547 Tlah Diprtahaka di Dpa Dwa Pguji Skripsi da Diataka Ditrima Sbagai Salah Satu Prsarata Utuk Mmprolh Glar Sarjaa Sais (S.Si) Taggal, 5 Juli 9 Susua Dwa Pguji: Tada Taga. Pguji Utama : Drs. Usma Pagala, M.Si ( ) NIP Ktua : Wahu H. Irawa, M.Pd ( ) NIP Skrtaris : Drs. H. Turmudi, M.Si ( ) NIP Aggota : Abdul Ai, M. Si ( ) NIP Mgtahui da Mgsahka Kajur Matmatika Fakultas Sais da Tkologi Sri Harii, M.Si. NIP

5 PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saa ag brtada taga di bawah ii: Nama : YUDIA ISMAIL SYAFITRI NIM : 4547 Jurusa Fakultas : Matmatika : Sais da Tkologi Mataka dga sbara bahwa skripsi ag saa tulis ii bar-bar mrupaka hasil kara saa sdiri, buka mrupaka tulisa atau pikira orag lai ag saa akui sbagai hasil tulisa atau pikira saa. Apabila dikmudia hari trbukti atau dibuktika skripsi ii hasil jiplaka, maka saa brsdia mrima saksi atas prbuata trsbut. Malag, 5 Juli 9 Yag mmbuat prataa YUDIA ISMAIL SYAFITRI NIM: 4547

6 MOTTO Kita dapat mjadi brpgtahua dga pgtahua orag lai, ttapi kita dapat mjadi bijaksaa dga mgguaka karia orag lai Kdrmawaa bukalah mmbrika kpada saa apa ag lbih saa butuhka dari padamu, ttapi mmbrika kpada saa apa ag lbih ada butuhka pada ag saa prluka

7 Halama Prsmbaha Dga Latua do'a da utaia kata trimakasih ag tidak aka prah putus higga kara kcil ii aada prsmbahka kpada: "Kdua orag tua Bapak Moch. Zaiol achiri da Ibu Siti Aisah M, Dga ihlas aada dibsarka dga tapa mgharap imbala, aada dididik higga sampai saat ii aada dapat mgrti arti hidup. Utuk Aah Ibuda trcita sugguh cita, pgorbaa, kasihsaag, prhatia da jasa-jasamu tidak aka prah aada lupaka da aka slalu trukir idah dalam kalbu. Saudaraku trcita Mas Yaak, Mbak Yati da Adik Tia, Motivasi, cita, da kasih saag-mu, dapat magka hati-ku. Tma-tma agkata 4 ag mjadi kluarga slama Dimas di Malag, Kalia mmbrika kcriaa ag aka slalu ku kag.

8 KATA PENGANTAR Alhamdulillah, puji sukur khadirat Illahi Robbi, ag tlah mmbrika da mlimpahka Rahmat, Tauiq da Hidaah srta Iaah-Na tiada hti da tiada brbatas kpada pulis, tapa itu smua pulis tidak dapat mlsaika skripsi ii dga baik da lacar. Sholawat ma a salam smoga satiasa mgalu idah da tulus trucap kpada Nabi Muhammad SAW, ag tlah mmbimbig da mutu mausia dari jala ag ag puh dga oma-oma duiawi ag puh dga kglapa muju jala ag lurus da puh cahaa kidaha ag di ridhoi Allah SWT aitu jala muju surga-na ag puh dga rahmat da barokah. Skripsi trsbut dapat disusu da dislsaika dga baik kara dukuga, motivasi srta bimbiga dari brbagai pihak. Tiada kata da prbuata ag patut trucap da trlihat utuk mgutai sdikit maka kbahagia diri. Olh kara itu, iikalah pulis mgukirka da mgucapka baak trimakasih kpada:. Bapak Pro. Dr. H. Imam Supraogo, slaku Rktor UIN Malag.. Bapak Pro. Drs. Sutima Bambag Sumitro, SU.,D.Sc slaku Dka Fakultas Sais da Tkologi UIN Malag. 3. Ibu Sri Harii, M.Si, slaku Ktua Jurusa Matmatika. 4. Bapak Drs. H.Turmudi, M.Si. slaku Dos Pmbimbig ag tlah mmbrika bimbiga, araha da motivasi, shigga pulis smagat dalam mlsaika skripsi ii. Suatu khormata kami dapat dibimbig Bliau.

9 5. Bapak Abdul Ai, M.Si. slaku pmbimbig agama ag tlah mluagka waktua, malurka ilmua srta bimbigaa. 6. Bapak Harirur Rohma, M.Pd ag baak mmbri masuka da motivasi dalam pulisa skripsi ii da sgap Bapak/Ibu Dos Fakultas Sais da Tkologi, khususa dos jurusa Matmatika ag prah mdidik da mmbrika ilmua ag tak trilai hargaa. 7. Kdua orag tua, da smua kluarga bsar pulis, ag tlah mcurahka da mmbrika kasih saag, prhatia, motivasi da kprcaaa puh kpada pulis. Ucapa trimakasih srasa tidak cukup utuk mggambarka da mlukiska smuaa. 8. Tm-tm matmatika sprjuaga agkata 4, baak kaga idah ag tlah trukir. Kita sudah brjuag brsama dari smstr, makasih baak buat smuaa. Smoga ksukssa mrtai kita. 9. Ibu da bapak kos da juga tma-tma kotraka GAJAYANA Gg.5 (okta, irwa, kritig, aas, aso, muis, da tma ag laia), makasih ah buat kbrsamaaa. Tiada kata ag patut diucapka slai ucapa trimakasih ag sbsar-bsara da do a smoga amal baik mrka mdapat Ridho dari Allah SWT. Amii. Malag, 7 Juli 9 Pulis

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iv ABSTRAK... v

11 BAB I PENDAHULUAN. Latar Blakag.... Rumusa Masalah Batasa Masalah Tujua Plitia Maaat Plitia Mtodologi Pmbahasa Sistmatika Pmbahasa... 8 BAB II KAJIAN TEORI. Sistm Bilaga Komplks Fugsi Komplks....3 Itgral Komplks Rsidu Prsamaa Dirsial Prsamaa Dirsial Liar homog dga Koisi Kostata Prsamaa Dirsial Cauch-Eulr BAB III PEMBAHASAN 3. Prsamaa Dirsial Homog Cauch-Eulr Ord Solusi Umum dari Prsamaa Dirsial Homog Cauch-Eulr Ord- dga Torma Rsidu...57 BAB IV PENUTUP 4. Ksimpula Sara DAFTAR PUSTAKA ABSTRAK Ismail Saitri, Yudia. 8. Aplikasi Rsidu Komplks pada Prsamaa Dirsial Homog Cauch-Eulr Ord Dua. Skripsi, Fakultas Sais da Tkologi, Jurusa Matmatika, Uivrsitas Islam Ngri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag. Pmbimbig: Drs. H. Turmudi, M.Si. da Abdul Ai, M. Si. Kata Kuci: Prsamaa Dirsial Liir Homog Cauch-Eulr ord-, Torma Rsidu, Fugsi Komplks Prsamaa dirsial mrupaka sbuah prsamaa ag mmpuai drivati dari satu variabl trikat da satu atau lbih vaiabl bbas. Utuk mlsaika prsamaa dirsial kita prlu mgtahui trlbih dahulu klasiikasia.tidak smua

12 prsoala prsamaa dirsial dapat dislsaika dga mudah, ada bbrapa ksulita dalam mcari plsaiaa. Utuk mlsaika prsamaa dirsial ag prlu kita prhatika adalah btuk umum dari prsamaa dirsial trsbut. Dalam skripsi ii pulis brtujua utuk mdskripsika cara mlsaika prsamaa dirsial homog Cauch-Eulr ord- dga mgguaka torma rsidu. Brdasarka latar blakag trsbut maka pmbahasa dalam skripsi ii brtujua utuk mdskripsika cara mlsaika Prsamaa Dirsial Homog Cauch- Eulr ord- dga Torma Rsidu. Mtod ag diguaka dalam skripsi ii adalah studi litratur (kpustakaa). Mtod kpustakaa brarti mgumpulka data da iormasi dga batua brmacam-macam matrial ag trdapat di ruaga prpustakaa: buku-buku, majalah, dokum, catata, kisah-kisah sjarah da lai-lai Dari hasil pmbahasa diprolh bahwa cara utuk mlsaika prsamaa dirsial homog Cauch-Eulr ord- dga mgguaka Torma Rsidu, prsamaa dirsial trsbut harus brbtuk prsamaa dirsial dga koisi kostata, shigga dapat ditulis dalam btuk: + a + a mmpuai plsaia brbtuk: R s g ( ) dga g + a + a disbut prsamaa polomial karaktristik da adalah ugsi rgular. Apabila dijumpai prsamaa dirsial dga koisi variabl, maka prsamaa trsbut harus dirubah k prsamaa dirsial dga koisi kostata. Cara mcari solusi prsamaa Cauch-Eulr dga mgguaka subsitusi (a + b) t. Dari pmisala (a + b) t dapat diktahui bahwa t l(a + b). Cara pmisala sprti ii aka mggati Prsamaa dirsial dari : d d d d k da k d d Shigga diprolh prsamaa dirsial homog ord dua dga koisi kostata dalam da t. Cara mcari solusi prsamaa Cauch-Eulr dga subsitusi (a + b) r. Pmisala (a + b) r aka mgubah btuk prsamaa dirsial k prsamaa karaktristik dalam r dga cara mdirsialka (a + b) r kmudia subsitusika d + d d d d d ' ( a b) r r da " ( a + b)

13 BAB I PENDAHULUAN. Latar Blakag Matmatika mrupaka salah satu cabag ilmu pgtahua ag baak skali maaata. Yaitu salah satu ilmu batu ag sagat ptig da brgua dalam khidupa shari-hari maupu dalam mujag prkmbaga ilmu pgtahua da tkologi. Matmatika mrupaka saraa brikir utuk mumbuhkmbagka pola pikir logis, sistmatis, obkti, kritis, da rasioal. Olh sbab itu, matmatika harus mampu mjadi salah satu saraa utuk migkatka daa alar da dapat migkatka kmampua dalam mgaplikasika matmatika utuk mghadapi tataga hidup dalam mmcahka masalah. Matmatika juga diguaka utuk mmcahka masalah pada tori matmatika sdiri. Salah satua adalah plsaia prsamaa dirsial homog Cauch-Eulr ord- ag mgguaka rsidu. Matmatika mrupaka salah satu ilmu ag baak maaata dalam khidupa shari-hari. Prsamaa dirsial mrupaka salah satu cabag dari matmatika ag baak diguaka utuk mmcahka masalah-masalah ag dihadapi dalam bidag sais da tkologi. Dalam sais da tkologi srig ditmuka masalah-masalah ag plsaiaa tidak dapat dicari dga haa mgguaka rumus atau kosp ag sudah ada. Dga brkmbaga ama prapa prsamaa dirsial smaki mluas kara adaa prmasalaha

14 mgai kuatitas bahwa prubaha trus mrus ag brkaita dga waktu dapat digambarka dga suatu prsamaa dirsial. Dalam kaitaa dga kaduga al-qur a, dapat dilihat dalam usaha mausia utuk mdkatka diri kpada Allah SWT aitu dga cara mlakuka prubaha ag trus mrus dalam waktu tak ttu pada diri mausia itu sdiri supaa ati trgolog orag ag mdapat kbrutuga dari Allah SWT aitu dga cara brtaubat. Ssuai dga irma Allah. SWT dalam al-qur a surat al-maidah aat 35, sbagai brikut : Artia: Hai orag-orag ag brima, brtakwalah kpada Allah da brsugguh-sugguhlah mcari jala ag mdkatka diri kpada-na da brjihadlah pada jala-na supaa kamu mdapat kbrutuga (Q.S. Al- Maidah: 35). Aat ii mgajak mausia utuk slalu mdkatka diri kpada Allah mskipu dalam hati mrka baru ada scrcah ima. Murut Shihab (: 87), kata wasilah mirip makaa dga washilah aki ssuatu ag mambug ssuatu dga ag lai. Wasilah adalah ssuatu ag mambug da mdkatka ssuatu dga ag lai atas dasar kigia ag kuat utuk mdkat. Ttu saja trdapat baak cara ag dapat diguaka utuk mdkatka diri kpada ridha Allah, amu ksmuaa haruslah ag dibarka olh-na. Hal ii brmula dari rasa kbutuha kpada-na.

15 Lbih lajut Shihab (: 88) mgmukaka bahwa aat ii dijadika olh smtara ulama sbagai dalil ag mmbarka apa ag diistilahka dga tawassul aitu mdkatka diri kpada Allah dga mbut ama Nabi saw da para wali (orag-orag ag dkat kpada-na) aitu brdoa kpada Allah gua mraih harapa dmi abi da atau para wali ag dicitai Allah swt. Prsamaa Dirsial adalah sbuah prsamaa ag mmpuai drivati dari satu variabl trikat da satu atau lbih variabl bbas. Jika haa satu variabl bbasa, maka disbut prsamaa dirsial liar. Sdagka jika variabl bbasa lbih dari satu, maka prsamaa trsbut adalah prsamaa dirsial parsial. ( Baiduri, : ) Diprsamaa dirsial dikal juga istilah ord (tigkat) da drajat (dgr). Ord (tigkat) dari suatu prsamaa dirsial mrupaka turua trtiggi ag trdapat pada prsamaa dirsial trsbut da drajat (dgr) mrupaka pagkat dari suatu prsamaa dirsial. Prsamaa dirsial biasa ord- dga variabl trikat da variabl bbas dapat diataka sbagai brikut : a d d d d d... (.) d d d ( ) a ( ) + + a ( ) + a ( ) + a ( ) b( ) + Dari (.) prsamaa dirsial biasa ord- dikataka liar jika mmpuai ciri-ciri sbagai brikut :. Variabl trikat da drivatia haa brdrajat satu.

16 . Tidak ada prkalia atara da drivatia srta atara drivatia. 3. Variabl trikat buka ugsi trasd. Jika prsamaa dirsial ord- buka dalam btuk (.), maka disbut prsamaa dirsial biasa ord- tak liar. Jika b ( ) prsamaa dirsial liar homog. Jika a ( ) a (,,,... ), maka (.) mrupaka, maka (.) disbut prsamaa dirsial liar dga koisi kostata. Jika a ( ) brupa variabl, maka prsamaa (.) mrupaka prsamaa dirsial dga koisi variabl. Btuk umum prsamaa dirsial Cauch Eulr adalah ( a + b) " + ( a + b) ' + c h( ) (.) dga a, b, da c bilaga ral, d " da d d ' srta a + b >. d Jika h(), maka (.) disbut Prsamaa Cauch-Eulr Homog. Salah satu ilmu matmatika ag saat ii juga mgalami prkmbaga ag cukup psat adalah bilaga komplks. Bilaga komplks mrupaka bilaga ag brbtuk + i, dga da bilaga ral. Torma Rsidu mrupaka salah satu itm dalam bilaga komplks ag saat ii mdapat prhatia cukup baak dari para pliti. Torma Rsidu adalah salah satu mtod sagat ptig utuk mlsaika prsamaa dirsial liar da prsamaa dirsial parsial. Prsamaa dirsial homog Cauch-Eulr ord- mrupaka prluasa dari prsamaa dirsial homog Cauch-Eulr ord-. Olh kara itu atura-

17 atura ag brlaku pada prsama dirsial homog Cauch-Eulr ord- juga brlaku pada prsamaa dirsial homog Cauch-Eulr ord-. Pada prsamaa dirsial liar ord- ii kita dapat mgkostruksi atura-atura torma Rsidu. Dga dmikia kita dapat mmuka solusi prsamaa dirsial homog Cauch-Eulr ord- dga torma Rsidu. Brtolak dari uraia diatas maka pulis trtarik utuk mlakuka kajia pustaka. Kajia ag dilakuka trsbut, dituliska dalam btuk kara ilmiah ag brjudul : Aplikasi Rsidu Komplks pada Prsamaa Dirsial Homog Cauch-Eulr Ord-.. Rumusa Masalah Brdasarka latar blakag ag tlah diuraika di atas, maka dapat dibuat suatu prumusa masalah aitu; Bagaimaa cara mlsaika Prsamaa Dirsial Homog Cauch-Eulr ord- dga Torma Rsidu?.3 Batasa Masalah Utuk lbih mmprsmpit da mmprmudah pada pmbahasa da mmprolh pdalama matri ag lbih rlva dga kotks prmasalaha, maka dalam pusua tugas akhir ii pulis mmbatasi prmasalaha pada plsaia Prsamaa Dirsial Homog Cauch-Eulr ord- dga koisi kostata

18 .4 Tujua pmbahasa Brdasarka latar blakag srta rumusa masalah trsbut, maka plitia ii brtujua mdskripsika cara mlsaika Prsamaa Dirsial Homog Cauch-Eulr ord- dga Torma Rsidu..5 Maaat Plitia Sgala upaa ag dilakuka dalam plitia ii diharapka dapat brmaaat bagi : Adapu maaat dari pulisa skripsi ii adalah:. Jurusa Matmatika Hasil pmbahasa ii dapat diguaka sbagai tambaha baha dalam pgmbaga ilmu matmatika khususa di kalaga mahasiswa jurusa matmatika.. Pliti Mlalui plitia ii dapat mambah pguasaa matri, sbagai pgalama dalam mlakuka plitia da musu kara ilmiah dalam btuk skripsi, srta mdia utuk mgaplikasika ilmu matmatika ag tlah ditrima dalam bidag kilmuaa. 3. Pgmbaga ilmu pgtahua Mambah khasaah da mmprtgas kilmua matmatika dalam praaa trhadap prkmbaga tkologi da disipli ilmu lai.

19 .6 Mtod Plitia Mtod plitia ag diguaka dalam pulisa ii adalah mtod plitia kajia kpustakaa atau litratur stud. Pmbahasa dilakuka dga mmplajari buku-buku ag brkaita dga masalah plitia ii. Dalam plitia ii, lagkah-lagkah umum ag dilakuka pulis adalah sbagai brikut :. Mgumpulka da mmplajari litratur ag brupa buku-buku makalah, dokumtasi, otul, catata haria, da lai-lai ag brkaita dga masalah plitia ag aka diguaka dalam mlsaika prsamaa dirsial.. Mtuka pokok prmasalaha dari litratur utama brupa cara mcari solusi da karaktristik dari rsidu komplks pada prsamaa dirsial homog cauch-ulr ord dua. 3. Mmbrika dskripsi da pmbahasa lbih lajut ttag prsamaa dirsial Homog Chauc-Eulr 4. Mtuka prsamaa karaktristik 5. Msubsitusika hasil prsamaa brupa solusi umum rsidu pada prsamaa dirsial homog Chauc-Eulr 6. Mtuka solusi umum prsamaa dirsial homog Chauc-Eulr 7. Mmbrika ksimpula akhir dari hasil pmbahasa.

20 .7 Sistmatika Pmbahasa Agar dalam pulisa da pmbahasa skripsi ii sistmatis da mudah utuk dipahami, maka pmbahasaa disusu mjadi mpat bab sbagai brikut: BAB I : Pdahulua, mmbahas ttag latar blakag masalah, rumusa masalah, batasa masalah, tujua plitia, maaat plitia, mtodologi plitia, da sistmatika pmbahasa. BAB II : Kajia Tori, ag brisi prsamaa dirsial liir, prsamaa dirsial homog Chauc-Eulr, ugsi komplks, rsidu. BAB III : Pmbahasa, solusi da karastristik pada aplikasi rsidu komplks pada prsamaa dirsial homog Cauch-Eulr ord-. BAB IV : Putup, mliputi ksimpula da sara.

21 BAB II KAJIAN TEORI. Sistm Bilaga Komplks Bilaga Komplks didiisika olh a + bi, dga a da b adalah bilaga ral da i adalah satua imajir ag mmpuai ilai, dimaa a diamaka bagia ral da b mrupaka bagia imajir. Diprkalkaa bilaga komplks kara tidak ada bilaga ral ag mmuhi prsamaa polomial + atau prsamaa ag srupa dga prsamaa trsbut. Dga adaa bilaga komplks, maka smua prsamaa kuadrat aka mmpuai plsaia. Dua bilaga komplks a + bi da c + di dikataka sama jika da haa jika a c da b d. Nilai absolut dari suatu bilaga komplks a + bi didiisika sbagai a + + bi a b. Komplks skawaa dari suatu bilaga komplks a + bi adalah bilaga a bi diataka dga * atau. Dalam mgoprasika bilaga komplks dilakuka sprti oprasi dalam aljabar bilaga ral dga mggatika i dga. Sistm bilaga komplks diprkalka dga mgguaka kosp pasaga trurut bilaga ata ( a, b). Jadi sistm bilaga komplks didiisika sbagai himpua smua pasaga dga oprasi trttu ag ssuai (Murra R. Spigl, 965:36). Oprasi-oprasi dasar dalam bilaga komplks:. Pjumlaha ( a + bi) + ( c + di) a + bi + c + di ( a + c) + ( b + d )i

22 . Pguraga ( a + bi) ( c + di) a + bi c + di ( a c) + ( b d )i 3. Prkalia ( a + bi)( c + di) ac + adi + bci + bdi ( ac bd ) + ( ad + bc)i ( a + bi) ( ma mbi) m + a + bi a + bi c di ac adi + bci bdi 4. Pmbagia c + di c + di c di c d i ac + bd + c + d ( bc ad ) i ac + bd c + d bc ad + i c + d Pgrtia bilaga komplks sudah dikalka, supaa dapat mmcahka bbrapa prsamaa scara aljabar. Skarag aka blajar mdiisika ugsi pada variabl komplks.. Fugsi Komplks Jika ag brilaika bilaga komplks maka disbut ugsi komplks. Sbuah ugsi adalah suatu atura padaa ag mghubugka tiap objk dalam suatu himpua ag disbut darah asal atau darah domai dga sbuah ilai uik ( ) dari himpua kdua. Jika C D maka : D C jika utuk stiap D maka diprolh C. Jika stiap himpua bilaga komplks ag dapat mataka ilai sbuah variabl trdapat satu atau lbih variabl w, maka w diamaka ugsi dari variabl komplks ag ditulis sbagai w. Suatu ugsi brilai tuggal jika utuk stiap ilai trdapat haa satu ilai w da jika lbih dari satu ilai w utuk stiap ilai, maka diamaka suatu ugsi brilai baak. Jika w u + iv (di maa u da v ral) adalah suatu ugsi

23 brilai tuggal dari + i (di maa da ral), maka dapat ditulis ( i) u + iv +. Dga mamaka bagia ral da imajir, maka ii dapat dilihat stara dga u u(, ), v v(, ) Dga dmikia diprolh prataa brikut: Jika dibrika ugsi brilai komplks dari variabl komplks maka u(, ) + iv( ) w, dga u da v ugsi ral dari dua variabl ral da. Fugsi u (, ) da ( ) imajir ugsi. (R.Somatri,994: 4) Cotoh. v, brturut-turut diamaka bagia ral da bagia Jika + i w maka ( ) ( + i) + i w ( ) i u iv w u, dga ( ) (, ) v Dibrika ugsi komplks dga domai diisi darah D. Dalam hal ii dibahas pgrtia limit ugsi utuk variabl mdkati titik. Diisi... Dibrika ugsi dga domai D da titik limit D. Bilaga L disbut limit utuk mdkati, da ditulis lim L

24 Jika utuk stiap ε > ag dibrika, trdapat δ >, shigga utuk smua D da < δ < brlaku L < ε. Cotoh. Jika. Buktika bahwa lim Plsaia: Kita harus mujukka bahwa jika dibrika ε > kita dapat mtuka δ (ag scara umum brgatug pada ε ) shigga < ε bilamaa < < δ Jika δ maka < δ mgakibatka < { + } < δ ( ) + < δ + < δ + Ambil δ ag trkcil diatara da ε /( + ) < ε bilamaa < δ, maka kita mmpuai Stlah kita bahas pgrtia limit ugsi diatas, maka dalam hal ii aka kita bahas pgrtia kkotiua suatu ugsi. Diisi... Dibrika ugsi dga domai diisi suatu darah D da titik Fugsi dikataka kotiu di jika D. lim ( ) Dga kata lai, jika kotiu pada, maka harus mmiliki sbuah ilai limit pada da ilai limit trsbut sharusa ( )

25 Sbuah ugsi dikataka kotiu pada sbuah himpua S jika ugsi trsbut kotiu pada tiap-tiap titik S (Sa Sidr, 993: 47-48). Cotoh.3 Buktika bahwa ( ) kotiu di Murut cotoh.. ( ) ( ) lim shigga kotiu di. Cara lai Kita harus mujukka bahwa jika ε >, dibrika maka trdapat δ > (brgatug pada ε ) shigga ( ) ( ) ε < bilamaa < δ Kotiuitas tlah dibicaraka scara sigkat pada hal di atas, sbagia bsar sbagai bagia dari latar blakag ag diprluka utuk mmbicaraka turua (drivativ) ugsi komplks. Dibrika ugsi ag didiisika pada darah D da suatu titik di dalam D. Jika diktahui bahwa ilai limit: lim ( ) Jika limita ada, maka ilai limit ii diamaka turua atau drivativ ugsi di titik, da dibrika cara tulis ( ). Jika ilai limit ( ) ' ' ii ada,

26 ugsi dikataka trdirsial di. Krap kali ilai ( ) diataka dga da dga shigga + da ' ( ) lim lim ( + ) ( ) ( ) lim Jika trdirsial di smua titik di dalam D maka dikataka trdirsial pada D (R.Somatri,994: 6). Cotoh.4 dititik Ttuka turua dari w Plsaia: ' ( ) ( + ) ( ) lim lim lim ( + ) ( + ) { } + + ( ) + ( ) ( ) lim + + Disampig kkotiua, sarat ag diprluka agar ugsi trdirsial di + i adalah apa ag di amaka sarat Cauch-Rima. Jika ugsi u(, ) + iv(, ) a. Misal (, ) + trdirsial di + i, maka:

27 ( ) ( ) ( ) + lim ' ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] iv u iv u ,,,, lim ( ) ( ) ( ) ( ) v v i u u,,,, lim ( ) ( ),, v i u + b. Sdagka utuk ( ) i,, maka ( ) ( ) ( ) + lim ' ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] i iv u iv u ,,,, lim ( ) ( ) ( ) ( ) i v v i i u u,,,, lim ( ) ( ) ( ) ( ) + + u u i v v,,,, lim ( ) ( ),, u i v Dari dua hasil purua ugsi ( ) ( ) ( ) iv u,, + di i + utuk ( ), da ( ) i,, maka didapatka prsamaa: v u v u, (.) Btuk prsamaa diatas diamaka Prsamaa Cauch Rima (Prsamaa C-R). Jadi dapat disimpulka, ugsi ( ) ( ) ( ) iv u,, + aka

28 dirsial di + i bila da haa bila bagia ral da bagia imajir dari, u da v brlaku Prsamaa C-R (Daag Mursita, 5: 5-53). Sarat agar aalitik disuatu darah, slai dirsiabl, prsamaa Cauch-Rima harus brlaku di darah itu. brhigga da Jika turua ' ada dismua titik dari suatu darah R, maka dikataka aalitik dalam R da ditaaka sbagai ugsi aalitik dalam R. Suatu ugsi dikataka aalitik disuatu titik jika trdapat suatu ligkuga < δ shigga ' ada distiap titik pada ligkuga trsbut. Cotoh.5 dimaa + i da i ( + i)( i) i + i u + da v u u, v v, u v u v Jadi tidak aalitik di Jika aalitik dismua titik pada suatu darah R da C suatu kurva ag trltak dalam R, maka ttua dapat diitgralka spajag C. Dibawah ii aka dibahas ttag Itgral Komplks..3 Itgral Komplks

29 Diisi itgral komplks adalah sama dga diisi itgral ugsi ata dga mggati itrval itgrasi dga suatu litasa. Itgral ugsi komplks spajag C didisika dga itgrasi. Diisi.3.. C d, dga C adalah litasa Jika brharga tuggal da kotiu di dalam sbuah R maka itgral dari spajag litasa C dalam R dari titik k titik da + i adalah ( ), d ( u + iv)( d id) + C Cotoh.6 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) ud + i vd + i vd + (, ) (, ) (, ) (, ) ud vd + i vd + ud ud (Murra R Spigl, 964:4) dimaa + i ( 4i) + Hituglah ( + i ) d spajag garis lurus + i da + 4i Plsaia: ( + 4i ) ( + i ) (,4) (,) ( + i) ( d id) d + (,4) (,) ( + i)( d id) + (,4) (,) ( ) d d + i (,4) (,) d + Garis ag mghubugks (,) da (,4) mmpuai prsamaa ( ) d

30 4 ( ) atau 3 Maka kita mdapatka {[ ( 3 ) ] d ( 3 ) 3d} + { ( 3 ) d + [ ( 3 ) 3d] } ( 4i) + adi ( + i ) 86 d 6i i j 3 Dalam sub bab. tlah disbutka bahwa plidika ttag ugsi komplks sagat trgatug pada turua komplks. Dibawah ii aka disajika ilai ugsi aalitik disuatu titik k dalam btuk itgral litasa trtutup tuggal. Rumus Itgral Cauch Jika ugsi didiisika da aalitik di dalam da pada litasa trtutup tuggal C da smbarag titik di dalam C maka: ( ) πi C Turua k dari d di dibrika ( ) ( )! ( ) C + πi d atau ( ) d + C πi ( )! (Murra R Spigl, 965:4) Cotoh.7 Hituglah C Plsaia d i

31 i, ( ) C d i Titik, [ ( )] i πi π dikataka titik sigular jika tidak brsiat aalitik di. Ksigularitasa dari suatu ugsi komplks dapat dilihat dari drt Laurta. Torma.3. (Torma Laurt) Jika aalitik dalam domai D { : r < < r } smbarag di dalam domai ii, maka: + ( ) a ( ) da titik a (.) Dga ( ) a d,,,... C i + π ( ) a d, C i,... + π (.3) (.4) Da C smbarag litasa trtutup tuggal di dalam domai trsbut ag mgliligi da brarah positi. Pulisa drt Laurt dapat disdrhaaka mjadi: ( ) ( ) a (.5) Dimaa a ( ),, ±, ±, ± 3,... d + i C π (.6)

32 Drt ruas kaa (.) diamaka drt Laurt utuk ugsi da juga dikataka kspasi Laurt dari dalam pagkat ( ). Drt (.) diamaka drt Laurt dga a ( ) diamaka bagia utama da bagia a ( ) Cotoh.8. Utuk diamaka bagia aalitik., ttuka drt Laurta utuk < <. Fugsi ( )( ) dapat dipisahka mjadi Plsaia: Utuk < < maka / < da / <, jadi ( ) da + / / + dg a dmikia: ( < < ) +. Ttuka drt Laurt dari ugsi ( ) 3 Plsaia: ( ), misalka u, maka + u 3 ( ) 3 u 3 u u 3 + u + 3 ( u) ( u) ( u)! + 3! + 4!

33 ( ) ( ) ( ) +... Dga drt Laurt ii, maka ksigulara dari suatu ugsi dapat dittuka dga jis-jisa. Suatu titik diamaka sigularitas atau titik sigular bagi ugsi jika da haa jika tidak aalitik pada da stiap ligkuga mmuat palig sdikit satu titik ag mmbuat trsbut aalitik. Jis-jis Sigularitas:. Sigularitas Kutub Jika bagia utama aitu a a dga ( ) ( ) a a da adalah bilaga bulat positi, maka diamaka suatu kutub brtigkat. Cotoh.9 mmiliki kutub brtigkat 3 di 3. Titik Cabag Suatu titik diamaka titik cabag dari ugsi brilai baak. Jika cabag () brtukar bilamaa mggambarka suatu litasa trtutup diskitar. Jika adalah titik cabag, maka smbarag ligkara dga pusat

34 da brjari-jari cukup kcil ag dapat kita lukis mulai dari suatu titik pada satu cabag ugsi brilai gada aka brakhir pada suatu titik pada cabag ag lai. Cotoh. w ( + ) / {( i)( + i) } / Titik ± i mrupaka titik cabag dari, bilamaa suatu titik brgrak mgliligi C Dari diisi sigularitas di atas, suatu titik mrupaka sigularitas ugsi (), bila gagal mjadi aalitik di smtara stiap ligkuga mmuat palig sdikit satu titik dimaa aalitik. Titik diamaka titik sigular trasig dari ugsi, jika titik sigular trasig dari ugsi, maka trdapat r >, shigga () dapat dituliska kdalam drt Laurt dga domai < r. < Cotoh. Ttuka titik sigularitas dari / Plsaia: da ataka dalam drt Laurt Titik adalah titik sigularitas trasig dari ugsi () /, sbab utuk r r >, jika diuraika k dalam drt Laurt maka brbtuk ( ) + ( ) +... dalam domai < <..4 Rsidu

35 Diisi.4. ( ) Rsidu dapat didiisika sbagai brikut : Rsidu suatu ugsi di titik sigular trasig, adalah ilai koisi suku dalam kspasi Laurt ugsi itu pada kitar titik sigular trasig. Diisi.4. Jika titik sigular trasig ugsi, da c suatu litasa trtutup tuggal brarah positi ag mligkugi da aalitik di dalam da pada c kcuali di, da jika dapat mghitug ilai itgral.(r.somatri, 994:) Dga mlihat koisi dari drt Laurt utuk pada prsamaa (.6) aitu a ag dibrika rumus: a πi C () d Dga C smbarag jalur trtutup sdrhaa, ag mgliligi broritasi positi da sluruha trltak di dalam skitar trsbut. Slajuta ilai a ag mrupaka koisi pada drt Laurt dari diamaka rsidu di titik sigularitas trasig. R s Rsidu ugsi di titik sigularitas trasig dibrika dga otasi [, ], dari diisi trsbut diprolh: a [ ] R s, πi [, ] () R s C d Maka () d πi R s[, ] C

36 Cotoh. Hitug d, dimaa C adalah ligkara satua, dga oritasi C positi. Dari !! 3! Didapatka bahwa R s,. Maka, d πi R s, πi C Utuk sigularitas ag baaka brhigga, maka rsidu dapat dicari dga mgguaka torma dibawah ii. Torma.4.. Jika ugsi aalitik di dalam da pada litasa trtutup tuggal ag broritasi positi C kcuali di titik-titik sigular ag brhigga baaka di dalam C maka: C d π i R s (R.somatri, 994: 9) Dga R s mrupaka jumlah rsidu ugsi di titik sigular di dalam C. Jika sigular dari ugsi mrupaka kutub brord maka rsidu dapat dicari dga mgguaka torma dibawah ii:

37 Torma.4.3 Jika ugsi aalitik di smua titik dalam da pada kurva trtutup sdrhaa kcuali di ag mrupaka kutub brord, shigga a + a ( ) a a ( ) ( ) k ak k Maka a R s[ ],... d lim! d ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) (J.D.Poliouras, 975: 59) Cotoh.3 Utuk brturut-turut,, 3 dari rumus trsbut didapat: R s R s R s [, ] lim[ ( ) ] d d [ ] d 3 [ ] [, ] lim ( ) [, ] lim ( ) ( ) d Hitug C + ( )( 4) d, dimaa C dibrika dga 5 Plsaia: Sigularitas kutub dari ( )( ) di ord adalah da 4 utuk kutub + 4

38 R s[,] lim lim ( )( ) ( ) + 4 ( + 4) 36 Utuk kutub di 4 ord d R s[, 4] lim d d lim 4 d ( )( ) ( ) d + 4 ( ) d lim 4 ( ) 7 ( ) 36 4 Jadi diprolh C ( )( + 4) Torma.4.4 d π i ( R s[,] + R s[, 4] ) 7 π i Jika titik a adalah titik rgulr, maka R s 4 (D.S Mitiovi ad J.D Kki,983:7).5 Prsamaa Dirsial Diisi.5. Prsamaa dirsial adalah sbuah prsamaa ag mgadug drivati atau drsial dari suatu atau lbih variabl trikat satu atau lbih variabl bbas. a

39 Jika haa satu variabl bbasa, maka prsamaaa disbut prsamaa dirsial biasa. Sdagka jika variabl bbasa lbih dari satu maka prsamaaa disbut prsamaa dirsial parsial (Baiduri, : ). Murut Viiio prsamaa dirsial adalah prsamaa ag mmuat turua satu atau bbrapa ugsi ag tidak diktahui (998: ). Cotoh.4. d d cos 3 prsamaa dirsial ord-. d + d prsamaa dirsial ord- u u u t prsamaa parsial ord- Ord dari prsamaa dirsial adalah drivati/turua trtiggi ag trdapat/trmuat dalam prsamaa dirsial trsbut. Sdagka drajat dari prsamaa dirsial dittuka olh pagkat trtiggi dari turua ag trtiggi ag ada dalam prsamaa dirsial trsbut (Baiduri, : 4). Cotoh.5 d. prsamaa dirsial ord- brdrajat d d d d d prsamaa dirsial ord- brdrajat Prsamaa dirsial biasa dapat digologka sbagai prsamaa liar maupu tak liar, sbagai cotoh : d d d d prsamaa dirsial liar

40 . '' + 5' + 6 prsamaa dirsial tak liar 3. '' 3' + prsamaa dirsial tak liar Suatu prsamaa dirsial biasa brord aka mmpuai btuk sbagai brikut : dga ( ) ( ) () ( F, ( ), ( ),..., ) ( ) (.7) () ( ),,..., ilaia dittuka olh. Plsaia umum dari prsamaa (.7) biasaa aka mgadug ttapa sbarag. Ord dapat diartika juga dga tigkata, hubugaa dga kaduga al-qur a dapat dilihat dalam tigkata puasa ag trcatum dalam irma Allah surat Al-Isiqaaq aat 9, aitu: Artia: Ssugguha kamu mlalui tigkat dmi tigkat. (QS Al-Isiqaaq 9) Imam Al-Ghaali dalam kitab Iha' Ulumuddi mmbagi puasa dalam tiga tigkata, aitu:. Puasaa Orag Awam Puasaa orag awam adalah puasa ag haa maha prut (dari maka da mium) da kmalua dari mmprturutka sahwat. Rasulullah Saw brsabda: آ م من ص ا ي م ل ي س ل ه م ن ص و م ه إ لا ال ج و ع و ال ع ط ش

41 Artia: "Brapa baak orag ag brpuasa, amu tidak didapatka dari puasaa itu kcuali haus da lapar." Imam Al-Ghaali brkata : "Brapa baak orag ag brpuasa, amu ia tidak mdapatka dari puasaa itu slai lapar da haus. Sbab, hakikat puasa itu adalah maha hawa asu, bukalah skdar maha lapar da haus. Bolh jadi orag trsbut mmadag ag haram, mggujig da brdusta. Maka ag dmikia itu mmbatalka hakikat puasa." Para Ulama brkata: "Btapa baak orag ag brpuasa padahal ia brbuka (tidak brpuasa) da btapa baak orag ag brbuka padahal ia brpuasa." Yag dimaksud dga orag ag brbuka ttapi brpuasa ialah mjaga aggota tubuha dari prbuata dosa smtara ia ttap maka da mium. Sdagka ag dimaksud dga brpuasa tapi brbuka ialah ag mlaparka pruta smtara ia mlpaska kdali bagi aggota tubuh ag lai.. Puasaa Orag Khusus Yaitu puasaa orag-orag sholh, ag slai maha prut da kmalua juga maha smua aggota bada dari brbagai dosa, ksmpuraaa ada 7 prkara, aitu: a. Mudukka padaga da mahaa dari mmadag hal ag dicla da dibci, kstiap hal ag dapat mibukka diri dari mgigat Allah Swt.

42 b. Mjaga lisa dari mmbual, dusta, ghibah, prkataa kasar, prtgkara, prdbata da mgdalikaa dga diam, mibukka dga dikrullah da mmbaca Al-qur'a. c. Maha pdgara dari mdgarka stiap hal ag dibci (makruh) kara stiap hal ag diharamka prkataaa diharamka pula mdgara. d. Maha brbagai aggota bada laia dari brbagai dosa sprti taga, kaki dari hal-hal ag dibci, maha prut dari mmaka makaa ag subhat (mraguka) pada saat tidak puasa (brbuka).. Tidak mmprbaak makaa ag halal pada saat brbuka sampai puh pruta, kara tidak ada wadah ag dibci olh Allah kcuali prut ag puh dga makaa halal. Bagaimaa puasaa bisa brmaaat utuk mudukka musuha (sta) da mgalahka sahwata jika orag ag brpuasa pada saat brbuka mlahap brbagi makaa sbagai pggati makaa ag tidak dibolhka mmakaa pada siag hari. Bahka mjadi tradisi mimpa da mgumpulka makaa sbagai prsiapa pada saat brbuka padahal makaa ag trsimpa itu mlbihi kapasitas prut kita bahka mugki bisa utuk makaa satu miggu.. Mguragi Tidur. Baak orag ag trmaka olh hadist dhai (lmah) "Bahwa tidura orag brpuasa adalah ibadah", padahal tlah mjadi kbiasaa Rasulullah Saw,

43 "Apabila bula Ramadha tiba, bliau mlipat alas tidura (mguragi tidur), mgtatka saruga (aki brsugguh-sugguh dalam ibadah), srta mgajak kluargaa brbuat sprti itu pula". g. Cmas da harap. Hdaklah hatia dalam kadaa "trgatug" da "trgucag" atara cmas da harap kara tidak tahu apakah puasaa ditrima da trmasuk gologa ag Muqorrobi atau ditolak shigga trmasuk orag ag dimurkai olh Allah Swt. Hdaklah hatia slalu dalam kadaa dmikia stiap slsai mlakuka kbaika. Hadist-hadist Rasulullah Saw, "Puasa adalah prisai (tabir pghalag dari prbuata dosa). Maka apabila ssorag dari kamu sdag brpuasa, jagalah ia mgucapka ssuatu ag kji da jagalah ia brbuat jahil." (HR Bukhari-Muslim). Lima hal ag dapat mmbatalka puasa: brkata dusta, ghibah (mggujig orag), mmitah, sumpah dusta da mmadag dga sahwat. "Barag siapa ag tidak dapat miggalka prkataa kotor da dusta slama brpuasa, maka Allah Swt tidak brhajat kpada puasaa." (HR Bukhari) "Orag ag mggujig da mdgarka gujiga, kduaa brskutu dalam prbuata dosa." (HR Ath-Thabrai). 3. Puasaa Orag Khusus Lbih dari Khusus Yaitu puasa hati dari brbagai kigia ag rdah da pikira-pikira ag tidak brharga, juga mjaga hati dari slai Allah scara total. Puasa ii aka

44 a mjadi "batal" kara pikira slai Allah (pikira ttag duia). Ii adalah puasaa para Nabi da Rasul Allah Swt. Tlah diktahui bahwa dalam puasa trdapat bbrapa tigkata. Dalam prsamaa dirsial Cauch-Eulr juga trdapat bbrapa tigkata brdasarka orda. Uruta tigkat ord trsbut di mulai dari ord trtiggi k trdah. Puasa mrupaka suatu kwajiba bagi umat muslim diwaktu Ramadha, da tlah dijlaska sbluma bahwa dalam puasa trsbut ada bbrapa tigkata, walaupu trksa bahwa pada tigkata ag prtama trsbut kurag baik da trmasuk rdah, aka ttapi kita ttap mdapat pahala kara kita sudah mlaksaaka kwajiba kita, aitu mjalaka puasa pada waktu bula Ramadha. Jadi, dalam hal tigkata puasa trsbut trmasuk tigkata ag positi walaupu blum ttu diktahui brapa baak pahala ag aka kita dapatka, bgitu juga dga ord, brapapu ilai dari ord ttapi hasila ttap mrupaka kostata ral positi. Scara umum prsamaa dirsial mmpuai btuk sbagai brikut : d d d d d... (.8) d d d ( ) a ( ) + + a ( ) + a ( ) + a ( ) b( ) + Suatu prsamaa dirsial biasa ord liar mmpuai ciri-ciri sbagai brikut :. variabl trikat da drivatia haa brdrajat satu.. tidak ada prkalia atara da drivatia srta atara drivatia. 3. variabl trikat buka ugsi trasd.

45 Jika prsamaa dirsial ord buka dalam btuk (.8), maka disbut prsamaa dirsial biasa ord tak liar. Jika b ( ) prsamaa dirsial homog. Jika a ( ) a (,,,... ), maka (.8) mrupaka, maka (.8) disbut prsamaa dirsial dga koisi kostata. Jika a ( ) brupa variabl, maka prsamaa (.8) mrupaka prsamaa dirsial dga koisi variabl (Baiduri, :5). Diisi.5.. Misalka,,..., mrupaka plsaia-plsaia prsamaa dirsial, Wroski (W) didisika sbagai rmia matrik dga lmlm matrik brupa,,..., ag dirsiabl sampai da kotiu pada slag [ a, b]. Wroski (W) ditulis sbagai brikut : W (, ),..., () () () M ( ) ( ) ( ) M L L M M M M M M L L L M L M Prsamaa dirsial liar mmpuai siat ptiga aitu,...,, mrupaka plsaia dari (.5..), maka c. + c c juga mrupaka plsaia dga ttapa c i sbarag. Torma.5.3. Jika,,..., mrupaka plsaia ag bbas liar satu sama lai dari prsamaa dirsial homog.

46 a d d d d... d d ( ) a ( ) + + a ( ) + a ( ) + maka utuk stiap piliha-piliha kostata c, c,..., c kombiasi liar c + c c suatu plsaia juga (Fiiio,98: 67-68). Cotoh.6 Ttuka solusi umum homog jika diktahui solusi basis dari '' + 4' 4 adalah {, cos } Jawab: '' + 4' 4 Solusi basis: Y Y, cos Maka Solusi umum homog: Torma.5.4. Y C + C cos Jika,,..., mrupaka prsamaa dirsial ord a d d d d... d d ( ) a ( ) + + a ( ) + a ( ) + ag didisika pada slag [ a, b], dikataka bbas liar jika W (,,..., ) utuk stiap dalam slag ( ) (Fiiio: 98: 69). Cotoh.7 a dimaa W adalah Wroski

47 Tujukka bahwa Y C + C adalah solusi umum homog dari '' ' Jawab: Y, Y (, Y ) ( ) ( ) W Y 3 Kara Y da Y bbas liar maka Y C + C solusi umum homog '' '.6 Prsamaa Dirsial Liar Homog dga Koisi Kostata Prsamaa dirsial liir homog ord dua scara umum dapat diataka dalam btuk : d d a ( ) a( ) a ( ), a (.9) d d Dimaa a ( ), a( ) da ( ) dirsial liir homog ord dua. Jika a ( ), a( ) da ( ) a adalah koisi-koisi dari prsamaa a adalah bilaga, maka prsamaa dirsial liir homog (.9) disbut prsamaa dirsial liir homog dga koisi kostata. Da jika a ( ), a( ) da ( ) a adalah variabl, maka prsamaa dirsial liir homog (.9) disbut prsamaa dirsial liir homog dga koisi pubah (variabl).

48 Plsaia dari prsamaa dirsial liir homog ord dua dga koisi kostata dapat diataka dalam btuk : d d a a a, a d d Dga mgambil a a a da, a b shigga (.9) stara (kuival) dga a prsamaa : d d a b d d (.) Dari prsamaa (.) trlihat bahwa ugsi plsaia harus brsiat bahwa turua kduaa ditambah dga kostata kali turua prtamaa da kostata kali ugsi itu mghasilka ol utuk R. Supaa ii mugki, turua-turua haruslah kostata kali. diktahui bahwa r mmuhi siat itu. Dga dmikia diguaka r sbagai calo plsaia. d r d r r, da d r r dari prsamaa ii disubsitusika k prsamaa d dirsial liir homog (.), shigga diprolh : d d a b d d r r + ar r + b r r ( r + ar + b) Kara r slalu positi, maka haruslah :. ( r + ar + b) Prsamaa diatas disbut dga prsamaa karaktristik prsamaa dirsial liir d d homog a b. d d

49 Brdasarka siat prsamaa kuadrat brlaku juga prsamaa karaktristik dalam mcari akar prsamaa karaktristik. Kasus : D a - 4b > Prsamaa karaktristik mmpuai dua akar brlaia a a r + a 4b da r a 4b (.) Plsaia r r da r r W r ( ) ( ) r W, r r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r W ( ) ( ) ( r ) +r r r Hal ii brarti r r da r r bbas liir, maka plsaia umum dari prsamaa dirsial liir homog adalah r ( ) r c c + Cotoh: Ttuka slsaia dari prsamaa Plsaia Prsamaa karaktristik dari prsamaa trsbut λ 6λ + 8 Akar-akar karaktristik adalah 4 da 4 da

50 Shigga diprolh : C 4 + C Kasus : D a - 4b Prsamaa karaktristik mmpuai akar ral brgada Dari prsamaa (.) diprolh a r Baru diprolh satu plsaia Cotoh. r r ( c c ) + Ttuka slsaia dari prsamaa r da mmpuai solusi umum ag brbtuk Plsaia Prsamaa karaktristik dari prsamaa diatas adalah λ + 4λ + 4 Akar-akar karaktristik mrupaka akar ag sama - da Shigga diprolh : c + c Kasus 3. D a - 4b < Prsamaa karaktristik mmpuai dua akar komplks

51 a i r + 4 a i r 4 b a b a α + βi α βi Plsaia ( α + βi) α iβ α ( cos β + isi β) Diambil bagia ral da bagia imajira W ( ) α α cos β si β α ( α cos β β si β) ( α si β + β cos β) α W β kara β 4b a α ( ), α Plsaia umum ( c β c si β) cos + Cotoh: 4 Ttuka slsaia dari prsamaa plsaia Prsamaa karaktristik dari prsamaa trsbut λ 6λ + Akar-akar karaktristik mrupaka akar komplks ag kojugata 3 ± i ( 3+ i) da ( 3 i)

52 Shigga diprolh : Dga 3 ( Acos + Bsi ) Misalka prsamaa dirsial liar homog ord k adalah L ( ) ( ) [ ] a + a a ' + a (.) a, a,..., a adalah kostata ral. Ii adalah wajar utuk mmprkiraka dari pgtahua ttag prsamaa dirsial liar ord dga koisi kostata da bahwa brssuaia. Bukti: jika Maka r r ' r ' ' r ' '' r M 3 r r ( ) r r Substitusi kprsamaa (.) r adalah slsaia prsamaa (.) utuk ilai r ag r r r r r [ ] a r + ar a r a r r [ a r + a r + + a r + a ] Z( r) L + Utuk smua r... (.3) Utuk ilai-ilai r shigga ( r) r Z, slajuta [ ] L da r adalah slsaia prsamaa (.). Polomial Z (r) disbut polomial karaktristik dari prsamaa dirsial (.). Brdasarka suatu polomial brdrajat mmpuai buah akar, misalka karaktristika dapat ditulis : Z () r a ( r r )( r r )(... r ) r, r,..., r dga dmikia polomial r (.4) Brdasarka jis akar-akar dari prsamaa karaktristik ada 3 kasus ag prlu diprhatika didalam mtuka solusi umum:

53 . Akar-akara ral da brbda Maka solusi basis: r r r3..., r r i,,..., ri i, Da solusi umuma : Cotoh Jawab: i c i i, c i kostata Ttuka solusi umum '' + ' Prsamaa karaktristika: r + r ( r 4)( r + 3) r 4, r Solusi basisa: 4, 3 3 Solusi umuma: c 4 + c. Akar-akara ral da sama Solusi basisa: 3 r r r... Solusi umuma: Cotoh 3 r i,,3,..., i r i i c i i Ttuka solusi umum '' ' + Jawab: Prsamaa karaktristika;

54 r r + ( r ) r r Solusi basisa: Solusi umuma: 3. Akar komplks Jika r i, c + c α ± βi (komplks), maka salah satu solusi basisa Jika α cos β da α si β r α ± βi sbaak m, maka solusi basisa α α cos β, si β, α α cos β, si β, cos β,..., α si β,..., α α α cos β si β.7 Prsamaa Dirsial Cauch-Eulr Prsamaa Cauch-Eulr ord dua mrupaka prsamaa btuk khusus dari prsamaa dirsial liir ord dua dga koisi variabl ag dapat diubah k dalam btuk prsamaa dirsial liir dga koisi kostata. Diisi.7. Sbuah prsamaa dirsial ord dua dapat diataka dalam btuk d d a + a + a ( ) (.5) d d dga a,a da a sbagai kostata, maka prsamaa trsbut diamaka prsamaa Cauch-Eulr. Cotoh.8

55 a) Prsamaa dirsial d + d d d cos + trmasuk prsamaa Cauch-Eulr b) Prsamaa dirsial 3 d d + + d d buka mrupaka prsamaa Cauch-Eulr, sbab suku kduaa btuka d, mgadug btuk kuadrat dari. padahal sharusa d kostata kali d. d Plsaia Prsamaa Cauch-Eulr dilakuka dga jala mcari dua slsaia ag bbas liir bagi prsamaa dirsial homog brkorspodsi dga prsamaa ag dibrika. Lagkah slajuta adalah dga msubsitusika t,shigga prsamaa dirsial (.5) brubah mjadi prsamaa dirsial dga koisi kostata. Misalka t, maka dga atura ratai diprolh : d d d d d d t d d shigga, d d (.6) d Dga mdirsialka prsamaa (.6) trhadap variabl t, diprolh:

56 d d d d d d d. + d d d d d + d d d d d d d ) t +.( kara shigga dapat disimpulka bahwa : d d d d (.7) slajuta dga mgguaka prsamaa (.6) da (.7) ag disubsitusika k prsamaa (.5) diprolh: d d d a + a + a t ( ) t ( ) d d a ( a a ) + a (.8) d dga a,a da a sbagai kostata. Jadi prsamaa (.8) adalah prsamaa dirsial liir dga koisi kostata.

57 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ii aka dibahas ttag bagaimaa cara mlsaika prsamaa dirsial homog Cauch-Eulr ord- dga mgguaka Torma Rsidu. Dalam mcari plsaia prsamaa dirsial homog Cauch-Eulr ord-, trlbih dahulu harus mgtahui btuk-btuk prsamaaa shigga dapat mtuka plsaiaa. Apabila prsamaaa dirsiala brbtuk prsamaa dirsial liir dga koisi variabl, maka prsamaa trsbut harus diubah k dalam btuk prsamaa dirsial liir ord- dga koisi kostata. Plsaia dari prsamaa dirsial liir homog ord dua dga koisi kostata dapat diataka dalam btuk : d d a + a + a, a (3.) d d dimaa a,a sbagai kostata shigga (3.) stara (kuival) dga prsamaa : d d + a + b d d Dari prsamaa di atas trlihat bahwa a a a da, (3.) a b ugsi plsaia harus a brsiat bahwa turua-turua haruslah kostata kali. diktahui bahwa r mmuhi siat itu. Dga dmikia diguaka r sbagai calo plsaia. d d r r, r da d r r dari prsamaa ii disubsitusika k prsamaa d dirsial liir homog (.), shigga diprolh :

58 d d + a + b d d r r + ar r + b r r ( r + ar + b) Kara r slalu positi, maka haruslah : ( r + ar + b) Prsamaa diatas disbut dga prsamaa karaktristik prsamaa dirsial liir d d homog + a + b. d d Brdasarka siat prsamaa kuadrat brlaku juga prsamaa karaktristik dalam mcari akar prsamaa karaktristik. Kasus : D a - 4b > Prsamaa karaktristik mmpuai dua akar brlaia a a r + a 4b da r a 4b Plsaia r r da r r W r ( ) ( ) r W, r r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r W ( ) ( ) ( r ) +r r r Hal ii brarti r r da r r bbas liir, maka plsaia umum dari prsamaa dirsial liir homog adalah r ( ) r c c +

59 Kasus : D a - 4b Prsamaa karaktristik mmpuai akar ral brgada Dari prsamaa (.) diprolh a r Baru diprolh satu plsaia r r ( c c ) + r da mmpuai solusi umum ag brbtuk Kasus 3. D a - 4b < Prsamaa karaktristik mmpuai dua akar komplks a i r + 4 a i r 4 b a b a α + βi α βi Plsaia ( α + βi) α iβ α ( cos β + isi β) Diambil bagia ral da bagia imajira W ( ) α α cos β si β α ( α cos β β si β) ( α si β + β cos β) α W β kara β 4b a α ( ), α Plsaia umum ( c β c si β) cos + 3. Prsamaa Dirsial Homog Cauch-Eulr Ord-

60 Diisi 3.. (Frak Ars, 995: 8) Btuk umum Prsamaa Cauch-Eulr ord dua: d d P + P + P (3.3) d d dimaa P, P, P adalah kostata- kostata. Cotoh Prsamaa dirsial Cauch-Eulr ord- homog da tak homog. d d d d Trmasuk prsamaa dirsial Cauch-Eulr ord- ag homog. d d si d d Trmasuk prsamaa dirsial Cauch-Eulr ord- ag tak homog. Plsaia prsamaa Cauch-Eulr ord- ag homog dilakuka dga jala mcari dua slsaia ag bbas liir bagi prsamaa dirsial homog ag brkorspodsi dga prsamaa ag dibrika. Utuk mcari solusi dari prsamaa Cauch-Eulr ord- ag homog dapat dilakuka dga cara, aitu :. Dga cara mgubah koisi ugsi k koisi kostata dga mgguaka subsitusi (a+b) t Lagkah-lagkah ag diguaka dalam mgubah koisi ugsi k koisi kostata pada garis bsara dapat dilakuka sbagai brikut : a. Misalka (a + b) t dapat diktahui bahwa t l(a + b)

61 d (Cara pmisala sprti ii aka mggati prsamaa dirsial dari k d d d da d d k ) d d d d d d b. Ttuka shigga diprolh. t. d d d c. Ttuka turua kdua dari ugsi trhadap t, shigga diprolh d d d d d d +. d d d d d d d +.. d d d + d d d d d d Jika + da d d d d d. Subsitusika d d da k prsamaa dirsial shigga diprolh prsamaa dirsial Cauch-Eulr ord- ag homog. Cotoh 3. d d Ttuka solusi prsamaa d d Jawab: Prsamaa dirsial di atas dapat juga ditulis dalam btuk : d 3 d 3 + d d

62 3 3 Shigga diprolh : p( ) ; q( ) maka : p ( ) +. q( ). Dga dmikia didapat slsaia ag mmuhi prsamaa dirsial di atas aitu ( ) Slajuta prsamaa dirsial di atas aka diubah k dalam btuk prsamaa dirsial homog ord dga koisi kostata dga cara sbagai brikut: a. Misalka t maka t l. d t b. Ttuka turua prtama dari ugsi trhadap t shigga diprolh : d d d. d d d t d. d c. Sdagka turua kdua dari ugsi trhadap t diprolh : d d d d d d +. d d d d d d d +.. d d d + d d d d d d Jika + da d d d d

63 d d. Slajuta, subsitusika shigga diprolh : d da k prsamaa dirsial di atas d d d " + ' 3 (prsamaa homog dga koisi kostata) Brdasarka siat prsamaa kuadrat brlaku juga prsamaa karaktristik dalam mcari akar-akar prsamaa dirsial. Prsamaa karaktristik dari prsamaa dirsial " + ' 3 diprolh dari : misalka r, maka r ' r da ' ' r shigga prsamaa " + ' 3 mjadi: r r r r r + r 3 r + r 3 Akar-akar dari prsamaa karaktristik trsbut adalah: r ( r + 3)( ) + r 3 r r 3 atau r. Solusi basisa 3t 3 l 3 t l Jadi solusi umum prsamaa dirsial di atas 3 Y c + c c + c. Dga cara mgubah btuk prsamaa dirsial k prsamaa karaktristik dalam r dga msubsitusika (a + b) r

64 Lagkah-lagkah ag diguaka dalam mgubah btuk prsamaa dirsial k prsamaa karaktristik dalam r dapat dilakuka sbagai brikut : a. Misalka (a + b) r b. Ttuka ' da ", shigga diprolh : d + d d d d d ' ( a b) r r da " ( a + b) c. Slajuta subsitusika ' da " k prsamaa dirsial diatas shigga diprolh prsamaa karaktristik d. Ttuka akar-akar dari prsamaa prsamaa dirsial shigga diprolh solusi umuma. Cotoh 3. d d Ttuka solusi + 4, > d d Jawab : a. Misalka (a + b) r kara a, b maka pmisala r b. Mtuka turua prtama da kdua dari ugsi shigga diprolh: d r d d, r d Jika r r r maka ( ) Maka diprolh btuk r r r r ( r( r ) ) ( r ) + 4 r + r + r ( r r) r + 4 subsitusika k soal

65 Kara >, maka r r r r ( r r) r + 4 3r + 4 ( r 6)( r 7) r 6 atau r 7 r ( r r r + 4) Solusi basis r 6 da r 7 Da solusi umuma c + c atau c c 3. Solusi umum dari Prsamaa Dirsial Homog Cauch-Eulr ord- dga Torma Rsidu Torma 3.. Prsamaa dirsial dga koisi kostata ( ) ( ) + a a (3.4) Misalka sbarag ugsi rgular dga variabl komplks, dimaa tidak brtpata dga dalam polomial tidak sama dga shigga brlaku g + a a Maka solusi umum dari prsamaa (3.4) brdasarka torma rsidu dibrika olh g R s (3.5) dimaa pjumlaha itu diambil atas smua ugsi sigularitas dari a g

66 aitu atas smua ilai dari polomial g.(cauch A.L, 887: 5-55) Bukti : Jika ' '' M R s R s R s g g g maka ( k ) ( ) R s ( ) k ( k,...,) g olh kara itu kara ugsi ( ) ( ) + a R s a g ( + a a ) R s a diasumsika sbagai ugsi rgular, maka murut s. torma.4.4 R s shigga R Jadi prsamaa (3.5) adalah solusi dari prsamaa (3.4). Utuk mmbuktika bahwa prsamaa (3.5) mrupaka solusi umum, maka trlbih dahulu mcari akarakar dari prsamaa dirsial trsbut. Yaitu mcari akar r ag mrupaka suatu akar sdrhaa dari prsamaa g dari ugsi a g maka ( ), ag mrupaka suatu kutub sdrhaa

67 r g r ( r) g r g' R s lim lim Ktika suatu ugsi sbarag, shigga ( r) g' () r g' ( r) () r r adalah suatu kostata ag sbarag ag maa akar sdrhaa dari prsamaa karaktristik g ssuai dga suku kasus aitu: r C (C adalah kostata ag sbarag). Shigga ada tiga. Jika r adalah akar ragkap, brordr s dari prsamaa g torma.4.4 maka diprolh prsamaa brikut : s r g ( s ) Dimaa ( r) s g g s R lim (3.6) r s! Utuk s R s r Utuk s R s r lim g ( s )! r lim r g r () r g() r C s s s lim ( ) ( ) r s g s! d lim r d g lim r g r () r C g() r Utuk s s M r r g g, murut

68 R s r g ( s ) lim! r d lim ( s )! r d s d lim r s d lim r g r () r g() r r s s s s s g s C s g g s ( s Ktika ugsi ag sbarag, ( r), '( r),..., ) ( r) jadi prsamaa (3.4) mjadi Dimaa ( s C C + + C ) r... s r kostata sbarag, + (3.7) C,...,Cs adalah kostata ag sbarag Cotoh 3.3 Guaka rsidu umtuk mcari solusi umum dari prsamaa dirsial brikut: d d d d + Jawab: a. Misalka t maka t l. d t b. Carilah turua prtama ugsi trhadap t, diprolh: d d d. d d d t d. d c. Sdagka Turua kdua dari ugsi trhadap t diprolh d d d d

69 d d +. d d d d d d d +.. d d d + d d d d d d Jika + da d d d d d d d. Subsitusika da k cotoh soal maka diprolh d d d + " ' + (prsamaa homog dga koisi kostata). Slajuta mcari Prsamaa karaktristik dari prsamaa dirsial di atas adalah : '' ' + r r + ( r )( r ). Dari prsamaa karaktristik trsbut diprolh akar ragkap aitu ( r ). Akarakar trsbut aka diprguaka utuk mcari solusi umum. Dimaa r mrupaka akar sdrhaa dari g ( ) g, shigga diprolh : Maka solusi umum dari prsamaa dirsial diatas dga mgguaka torma rsidu diprolh :

70 R s ' R s '' R s ( ) ( ) ( ) Utuk mmbuktika bahwa rsidu mrupaka akar-akar dari prsamaa dirsial diatas, maka subsitusika, da k prsamaa (3.5). R s g R s R s + R s ( ) ( ) ( ) d d d lim lim lim ( ) + d ( ) d d d ( ) lim + d ( ) ( ' ( ) + )( ) ( ) lim 4 ( ) ( ) ( ' + )( ) ( ) lim 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ' + ) lim 3 ( ) ( ) ' ( ) () + () 3 ( ) ( ) Kara g prsamaa dirsial liir ord. ( ) R s, maka trbukti bahwa rsidu mrupaka akar dari

71 R s g R s ( ) d lim ( ) d lim( ' + ) lim( ' + ) ( '() + () ) ( C + C ) r C (C adalah kostata ag sbarag). Jika r adalah akar brbda, maka g ( s ) g s R s lim (3.8) r r s! Dimaa ( r )( r )...( rs ) g Utuk r R s r lim g ( s )! r lim r g r ( r ) g( r ) s s C r g Utuk r R s r Utuk rs lim g ( s )! r lim r g r ( r ) g( r ) M C s s r g

72 lim g ( s )! rs lim rs g rs ( rs ) g( r ) s R s r s s s C s r s g Ktika ugsi ag sbarag, ( r C ) ( r C ),..., ( ) kostata sbarag, jadi prsamaa (3.6) mjadi Dimaa Cotoh 3.4 ( ) r r r 3 r s C + C + C... + C, 3 s (3.9) C,...,Cs adalah kostata ag sbarag r s C s Guaka rsidu umtuk mcari solusi umum dari prsamaa dirsial brikut: d d d d + Jawab: a. Misalka t maka t l. d t b. Mcari turua prtama dari ugsi trhadap t shigga diprolh : d d d. d d d t d. d c. Turua kdua dari ugsi trhadap t diprolh d d d d d d +. d d d d

73 d d d +.. d d d + d d d d d d Jika + da d d d d d d d. Subsitusika da k cotoh soal maka diprolh d d d + " 3' + (prsamaa homog dga koisi kostata) '' 3' +.*). Slajuta mcari akar-akar dari prsamaa dirsial diatas dga cara: '' 3' + r 3r + ( r )( r ). Dari prsamaa karaktristik trsbut diprolh akar brbda aitu ( r ) ( ) r. Akar-akar trsbut aka diprguaka utuk mcari solusi umum. Dimaa r mrupaka akar sdrhaa dari g ( ) ( ) g, shigga diprolh : Maka solusi umum dari prsamaa dirsial diatas, brdasarka torma rsidu diprolh: R R s s g ( ) + R s ( )

74 ' R s " R s ( ) ( ) + R s + R ( ) s ( ) Slajuta aka dibuktika bahwa rsidu mrupaka akar-akar dari prsamaa dirsial diatas, aitu dga cara msubsitusika, da k prsamaa *) R s g R s R s ( ) ( ) + R s s ( ) ( ) + R 3 R s ( ) + R s ( ) + lim ( ) 3 + ( ) 3() R ( ) ( ) + lim + R s g s + R s ( ) ( ) + lim ( ) + ( ) lim C + C ( ) 3 + ( ) 3() + r C (C adalah kostata ag sbarag) ( ) ( ) 3. Jika r adalah akar komplks, maka

75 g ( s ) g s R s lim (3.) r r s! Dimaa ( ri ) g r i α + βi, i,,..., s Y i ( α ± βi) α α α ± iβ iβ ( cos β ± i si β) Solusi umuma ag brkaita dga akar komplks ii adalah: Y C Y α α α α ( cos β + i si β) + C ( cos β i si β) (( C + C ) cos β + i( C C ) si β) ( Acos β + Bsi β) Dimaa A C + C B i( C ) Utuk α + iβ R s r Utuk α iβ C maka α Utuk α + iβ, C s lim g ( s ) r s! lim r g ( i) ( α + βi α + β ) g( α + βi) g C ( cos β i si β) α (( C + C ) cos β + ( C C ) i si β) α ( Acos β + Bsi β) ( α + βi) α C ( cos β + i si β)

76 R s r s lim g ( s ) r s! d lim r d g lim r g ( i) ( α + βi α + β ) g( α + βi) g C ( α + βi) α C ( cos β + isi β) Utuk α iβ C 3 maka α ( cos β i si β) α (( C + C3 ) cos β + ( C C3 ) i si β) α ( Acos β + Bsi β) Utuk α + iβ R s r Utuk α iβ C s s maka M s lim g ( s ) r s! g s d lim ( s ) r s! d g s d lim r s d g s lim r g ( i) ( α + βi ) α + β s Cs g( α + βi) s α C ( cos β + i si β) α s s ( α + βi) ( cos β i si β) s α (( Cs + Cs ) cos β + ( Cs Cs ) i si β) s α ( Acos β + Bsi β) Shigga solusi prsamaa (3.8) mjadi: α cos β, α cos β, cos β,..., α s α cos β

77 α si β, α si β, si β,..., α s α si β Dga kata lai utuk akar r ag brordr s dari prsamaa karaktristik g ssuai dga suku pada prsamaa (3.7) Dga dmikia prsamaa (3.5) adalah solusi dari prsamaa (3.4) mgadug kostata ag sbarag, ag mgakibatka prsamaa (3.5) adalah solusi umum dari prsamaa (3.4). Cotoh 3.5 Guaka rsidu umtuk mcari solusi umum dari prsamaa dirsial brikut: d 5 d d d + Jawab: a. Misalka t maka t l. d t b. Mcari turua prtama dari ugsi trhadap t shigga diprolh: d d d. d d d t d. d c. Turua kdua dari ugsi trhadap t diprolh d d d d d d +. d d d d d d d +.. d d

78 d + d d d d d d Jika + da d d d d d d d. Subsitusika da k cotoh soal maka diprolh d d d 5 + " 6' + (prsamaa homog dga koisi kostata). Slajuta mcari Prsamaa karaktristik dari prsamaa dirsial di atas adalah : '' 6' +.*). Sdagka akar karaktristika ag mrupaka akar komplks ag maka kojugata Y Y ( 3+ i) ( 3 i) 3 ± i Dimaa ( ri ) g r i α + βi, i,,..., s α 3 da β r i 3 + i Y i ( 3± i) ± i i ( cos ± isi ) Solusi umuma ag brkaita dga akar komplks ii adalah:

79 Y C Y ( cos + isi ) + C ( cos isi ) (( C + C ) cos + i( C C ) si ) ( Acos + Bsi ) Dimaa A C + C B i( C ), C Utuk α + iβ, α 3 da β R s r s lim g ( s )! r lim r g ( i) ( 3+ i 3 + ) g( 3 + i) Utuk α iβ, α 3 da β C 3 maka s C g ( cos isi ) 3 (( C + C ) cos + ( C C ) isi ) 3 ( Acos + Bsi ) Utuk α + iβ, α 3 da β R s r s lim g ( s )! r d lim r d g lim r g ( i) ( 3+ i 3 + ) g( 3 + i) Utuk α iβ, α 3 da β C 3 maka 3 s ( 3+ i ) 3 C ( cos + isi ) g C ( cos isi ) 3 (( C + C3 ) cos + ( C C3 ) isi ) 3 ( Acos + Bsi ) Utuk α + iβ, α 3 da β M ( 3+ i) 3 C ( cos + isi )

80 R s r s lim g ( s ) r s! g s d lim ( s ) r s! d g s d lim r s d g s lim r g ( i) ( 3+ i ) 3 + s Cs g( 3 + i) s 3 C ( cos + isi ) s s ( 3+ i) Utuk α iβ, α 3 da β C s s 3 maka ( cos isi ) s 3 (( Cs + Cs ) cos + ( Cs Cs ) isi ) s 3 ( Acos + Bsi ) Shigga solusi prsamaa (3.) mjadi: cos, cos, cos,..., s si, si, si,..., s 3 3 cos si

81 BAB IV PENUTUP 4. Ksimpula Dari pmbahasa ttag prsamaa dirsial Cauch-Eulr ag homog dga koisi kostata dga mgguaka Torma Rsidu pada bab III, maka dapat disimpulka bahwa cara mlsaika prsamaa dirsial Cauch Eulr ag homog dapat diguaka lagkah-lagkah sbagai brikut: Apabila prsamaa dirsial Cauch-Eulr brkoisi variabl, maka prsamaa trsbut harus dirubah trlbih dahulu k dalam btuk prsamaa dirsial dga koisi kostata. Utuk mcari solusi dari prsamaa Cauch- Eulr maka mgguaka subsitusi (a+b) t (aka mgubah koisi ugsi k koisi kostata) atau mgguaka subsitusi (a + b) r (aka mgubah variabl prsamaa k btuk karaktristik dalam r). a. Cara mcari solusi prsamaa Cauch-Eulr dga mgguaka subsitusi (a + b) t. Dari pmisala (a + b) t dapat diktahui bahwa t l(a + b). Cara pmisala sprti ii aka mggati d d d Prsamaa dirsial dari k da d d d k Shigga diprolh prsamaa dirsial homog ord dua dga koisi kostata dalam da t. b. Cara mcari solusi prsamaa Cauch-Eulr dga subsitusi (a + b) r. Pmisala (a + b) r aka mgubah btuk prsamaa dirsial k

82 prsamaa karaktristik dalam r dga cara mdirsialka (a + b) r kmudia subsitusika d + d d d d d ' ( a b) r r da " ( a + b) Jika dibrika prsamaa dirsial liar homog Ord- dga koisi kostata ag mmpuai btuk umum: ( ) ( ) + a a (4.) mmpuai plsaia: g R s (4.) dga g + a a da adalah ugsi rgular. Dimaa pjumlaha itu diambil atas smua ugsi sigularitas dari a g aitu atas smua ilai dari polomial g Dalam mmuka solusi prsamaa dirsial liar ord- dga mgguaka Torma Rsidu mmpuai 3 jis plsaia sbagai brikut: a. Jika r adalah akar ragkap, brordr s dari prsamaa g g ( s ) g, maka s R s lim (4.5) r r s! Dimaa ( r) s g ( s Ktika ugsi ag sbarag, ( r), '( r),..., ) ( r) kostata sbarag, jadi prsamaa (4.5) mjadi

83 Dimaa ( s C + C + + C ) r... C,...,Cs adalah kostata ag sbarag b. Jika r adalah akar brbda, maka g ( s ) s g s R s lim (4.6) r r s! Dimaa ( r )( r )...( rs ) g Ktika ugsi ag sbarag, ( r C ) ( r C ),..., ( ) kostata sbarag, jadi prsamaa (4.6) mjadi Dimaa ( ) r r r 3 r s C + C + C... + C C,...,Cs adalah kostata ag sbarag c. Jika r adalah akar komplks, maka 3 s, r s C s R s r g ( s ) s lim! r s g Dimaa ( ri ) g Y i r i α + βi, i,,..., s ( α + βi) α α α + iβ iβ ( cos β + i si β) Solusi umuma ag brkaita dga akar komplks ii adalah: Y C Y α α α α ( cos β + i si β) + C ( cos β i si β) (( C + C ) cos β + i( C C ) si β) ( Acos β + Bsi β)

84 Dimaa A C + C B i( C ), C Shigga solusi prsamaa mjadi: α α cos β, si β, α α cos β, si β, cos β,..., α s si β,..., α s α α cos β si β 4. Sara Masalah ag dibahas dalam skripsi ii masih brbtuk sdrhaa kara haa trbatas pada pmbahasa prsamaa dirsial Cauch-Eulr ag homog dga mgguaka Torma Rsidu saja. Utuk itu prlu adaa pmbahasa lbih lajut, misala ttag aplikasi Torma Rsidu pada masalah laia sprti pada prsamaa dirsial parsial da pada prsamaa dirsial Cauch-Eulr ord-.

85 Datar Pustaka A. L. Cauch Applicatio du calcul ds rsidus a I itgratio ds quatio dirtialls liairs t a coicits costats. Paris: Erciss d mathmatiqus Ars, Frak Prsamaa Dirsial Dalam Satua SI Mtric. Jakarta: Erlagga Baiduri.. Prsamaa Dirsial da Matmatika Modl. Malag: UMM Prss Brad, Louis Dirtial ad Dirc Equatio. Nw York: Joh Wil ad Sos,Ic Nagl, R Kt ad Sa Edwart B Fudamtal o Dirtial Equatios ad Boudar Valu Problms. Florida: Addiso. Wsl Publishig Compa, Ic. Pliouras, Joh D Pubah Komplks utuk Ilmuwa da Isiur. Jakarta: Erlagga Somatri, R Fugsi Variabl Komplks. Yogakarta: - Triatmodjo, Bambag.. Mtod Numrik.Yogakarta: Bta Ost

86 DEPARTEMEN AGAMA RI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jl. Gajaaa No. 5 Dioo Malag (34)55345 Fa. (34)57533 BUKTI KONSULTASI SKRIPSI Nama : YUDIA ISMAIL SYAFITRI Nim : 4547 Fakultas/ Jurusa : Sais Da Tkologi/ Matmatika Judul Skripsi : Aplikasi Rsidu Komplks pada Prsamaa Dirsial Homog Cauch-Eulr Ord Dua Pmbimbig I : Drs. H. Turmudi, M. Si Pmbimbig II : Abdul Ai, M. Si No Taggal Ktraga Tada Taga. 6 Jauari 9 Kosultasi Masalah.. 6 Fbruari 9 Kosultasi judul. 3. Fbruari 9 ACC Judul + Kosultasi Bab I Fbruari 9 Rvisi Bab I Fbruari 9 ACC Bab I + Kosultasi Bab II Mart 9 Rvisi Bab II Mart 9 Rvisi Bab II Mart 9 ACC Bab II + Kosultasi Bab III Juli 9 Rvisi Bab III Juli 9 Kosultasi Kajia Kagamaa.. Juli 9 ACC Kajia Kagamaa.. 5 Juli 9 ACC Bab III + Bab IV Juli 9 Kosultasi Ksluruha Juli 9 ACC Ksluruha 4. Malag, 5 Juli 9 Mgtahui, Ktua Jurusa Matmatika Sri Harii, M.Si NIP