Kalkulus 2. Persamaan Differensial Biasa (Ordinary Differential Equations (ODE))

Transkripsi

1 Kalkulus Prsamaa Diffrsial Biasa Ordiar Diffrtial Equatios ODE Dhoi Hartato S.T. M.T. M.Sc. Prodi Tkik Kimia Fakultas Tkik Uivrsitas Ngri Smarag

2 Prsamaa Diffrsial Biasa Prsamaa Diffrsial adalah Prsamaa ag mgadug bbrapa turua dari suatu fugsi Prsamaa Diffrsial Biasa adalah Prsamaa ag mmpuai fugsi satu variabl bbas Prsamaa Diffrsial Parsial adalah Prsamaa ag mmpuai fugsi dga jumlah variabl bbas lbih dari satu

3 Prsamaa Diffrsial Biasa Prsamaa Diffrsial Biasa adalah Prsamaa ag mmpuai fugsi satu variabl bbas d d d d si d d 8 d d

4 Prsamaa Diffrsial Biasa u u u t t u Prsamaa Diffrsial Parsial adalah Prsamaa ag mmpuai fugsi dga jumlah variabl bbas lbih dari satu Fugsi ut diguaka utuk mrprstasika tmpratur pada waktu t pada bda scara fisik dga koordiat = thrmal diffusivit. Hat quatio

5 Prsamaa Diffrsial Biasa Pgguaa : abag-cabag ilmu tkik Ekoomi Biologi da kdoktra Kimia Fisika dsb. ODE diguaka utuk mdapatka formulasi suatu foma ag mgalami prubaha trhadap waktu atau tmpat

6 oolig This is a modl of how th tmpratur of a objct chags as it loss hat to th surroudig atmosphr: Tmpratur of th objct: TObj Room Tmpratur: TRoom Nwto s laws stats: Th rat of chag i th tmpratur of a objct is proportioal to th diffrc i tmpratur btw th objct ad th room tmpratur Form ODE Solv ODE T Obj dt dt Whr objct. Obj Room T iit TObj TRoom T T T iit Room t is th iitial tmpratur of th

7 Nwto s d law for a rotatig objct: Momt of irtia agular acclratio = Nt tral torqu q l ml d q dt mglsiq rarrag ad divid through b ml mg d q dt siq whr g l This quatio is vr difficult to solv.

8 Ordr tigkat Ordr suatu prsamaa diffrsial adalah tigkat turua trtiggi prsamaa diffrsial trsbut. d dt d dt d ordr d dt d dt rd ordr

9 Drajat Dgr Drajat suatu prsamaa diffrsial PD adalah pagkat dari turua ag trtiggi di dalam PD tsb. d d si d d 8 d d d dgr Btuk Umum : a... a k Prsamaa difrsial PD Liar drajat

10 Plsaia Prsamaa Difrsial Artia mcari suatu fugsi =f ag mmuhi PD trsbut Fugsi =f ag mmuhi sbuah PD baak skali kumpula fugsi-fugsi ag mmuhi sbuah PD disbut Plsaia Umum Prsamaa Difrsial PUPD Salah satu fugsi di dalam kumpula fugsi-fugsi ag mmuhi sbuah PD disbut Plsaia Khusus PD tsb. Plsaia khusus sbuah PD tsb. juga harus mmuhi bbrapa kodisi batas

11 Prsamaa Difrsial Biasa Ord Tip-tip PD biasa ord : PD dga variabl dapat dipisah PD homog PD btuk a+b+c d + p+q+r d = PD ksak PD liar PD Broulli

12 . PD dga variabl dapat dipisah Prisip plsaia : P d Q d diubah mjadi btuk prsamaa M d N d M d N d

13 . PD dga variabl dapat dipisah otoh : ari plsaia umum PD brikut d d Plsaia d l l l d l l l l

14 Suatu fugsi dikataka homog drajat bila ada suatu kostata shigga utuk stiap paramtr λ brlaku :. PD Homog f f Misal : f a Homog drajat f f

15 . PD Homog Misal : b f f ta ta Homog drajat λ salig mghilagka shigga homog brdrajat PD ord satu brikut : P d Q d Dikataka homog bila P da Q kduaa homog brdrajat sama aitu

16 . PD Homog ara Plsaia : PD Homog dapat dislsaika dga subtitusi ; ; d d d otoh : ari plsaia umum PD brikut d d Plsaia : Substitusi ; ; d d d PD mjadi : d d d d d d

17 . PD Homog Lajuta otoh : / / l l l l l l l l d d d d d d d d d d d / l l /

18 . PD Btuk a b c d p q r d Bbrapa kmugkia : a c = r = ; shigga PD mjadi a b d p q d b p + q = k a + b shigga PD mjadi a b c d k a b r d ara plsaia : Subst. : d d a a d b b d d a d b ara plsaia sama dga PD homog

19 . PD Btuk a b c d p q r d Lajuta b PD mjadi d a d c d k r b a k r k r c d b b d ara plsaia sama dga PD variabl dapat dipisah

20 . PD Btuk a b c d p q r d c a/p b/q c r ; cara plsaia : Subst. : u a b c ; du a d b d v p q r ; dv p d q d du b d dv a p q b q q du b dv a q b p a du d p a p dv b q a dv a q p du b p

21 . PD Btuk a b c d p q r d Lajuta c a/p b/q c r ; cara plsaia : Substitusi k PD smula q du b dv a dv u v a q b p a q u q du b dv v a dv u q v p du v a u b dv p du b p p du ara plsaia sama dga PD homog

22 . PD Btuk a b c d p q r d otoh : cari PUPD brikut d d Plsaia : Brdasarka aalisis kostata kmugkia prsamaa tsb. Dapat dislsaika dga o.b Subst. ; d d d ; d d d

23 . PD Btuk a b c d p q r d Lajuta cotoh : PD mjadi d d d d d d d d d d d l c Substitusi = + k prsamaa ii Shigga PUPD : l c

24 4. PD Eksak Btuk N M Bisa diataka dalam btuk turua smpura dari suatu fugsi F Sarat PD ksak : d N d M F df d N d M df Prmasalaha ag mucul adalah bagaimaa mcari F?

25 4. PD Eksak Agar trpuhi : Maka : d N d M df d F d F df N F N F M F M F * *

26 4. PD Eksak ara mcari F : ' N M b maka N F kara M F a M F M F prsamaa ptig dalam plsaia PD ksak Shigga ilai bisa diprolh

27 4. PD Eksak otoh 4 : ari plsaia umum PD brikut : Plsaia : d d d d M N N M Sarat PD ksak N M Ssuai sarat PD ksak

28 4. PD Eksak Lajuta otoh 4 : Prsamaa Umum PD ksak a F M F N N M ' ' ' Prsamaa Umum PD ksak b

29 4. PD Eksak Lajuta otoh 4 : Prsamaa Umum PD ksak a shigga d d d d d d F F

30 5. PD Liar d d Btuk : P Q ara Plsaia : - Kalika dga suatu faktor itgrasi sdmikia agar PD Liar brubah mjadi PD dga variabl ag dapat dipisah - Kmudia mlsaika btuk PD variabl ag dapat dipisah Faktor itgrasi : U P d PD dikalika U shigga mjadi: d d P d P P d Q P d

31 5. PD Liar d P d P d P Q P d d d P d P Q d d Pmbuktia : : P d d ot P d d d du d d u u d d d P d P d P d P

32 5. PD Liar Shigga brdasarka : d P d d d Q P d P d Q P d d P d Q P d d otoh 5 : ari plsaia umum PD brikut : d d Plsaia : Btuk trsbut mrupaka btuk PD liar shigga P Q

33 5. PD Liar Lajuta otoh 5 : U d U l U l U PUPD brdasarka P d Q P d d l d l l d

34 6. PD Broulli d d Btuk : P Q Bila maka PD Broulli mjadi PD Liar ara plsaia : Subtitusi : Shigga mjadi PD mjadi Liar: otoh 6 : ari plsaia umum PD brikut : d d

35 6. PD Broulli Plsaia otoh 6 : Substitusi d d d d brdasarka * d d d d d d Shigga PD mjadi : d d maka d d

36 6. PD Broulli Lajuta otoh 6 : d d Dikalika dga - Shigga PD mjadi : d d PD Liar Plsaia brdasarka PDliar : l l U U U U d d d u d Q u l l l

37 Prsamaa Difrsial Biasa Ord > Btuk : d d d a a... a a f d d d a a a a kosta Bila f = PD Liar ordr homog Bila f PD Liar ordr tidak homog

38 Prsamaa Difrsial Biasa Ord > Torma :. Bila = f mrupaka plsaia PD liar homog maka = f juga mrupaka plsaia. Bila = f = f : = f adalah plsaia-plsaia ag brlaia dari PD liar homog maka = f + f +.+ f juga mrupaka plsaia

39 Prsamaa Difrsial Biasa Ord > ara I : Plsaia Umum PD liar homog tigkat dapat m diprolh dga subtitusi Eulr : d d d a a... a d d Shigga a a m m m a m a m a m a m m d d m d : d d m m Prsamaa karaktristik m m Diprolh akar-akar prsamaa karaktristik m m m.. m

40 Prsamaa Difrsial Biasa Ord > Lajuta ara I : Jadi : m m m Mrupaka plsaia brdasarka torma Shigga m m... m PUPD liar homog tigkat

41 Prsamaa Difrsial Biasa Ord > ara II : Mgguaka oprator : PD mjadi a a a D D D a a a D D D D... a... a... a d d Prsamaa karaktristik... D D... D Akar-akar : Shigga : D D... D

42 Lajuta ara II : Ditijau salah satu akar : k k k k k k k k k d d d d d d D k l l l l l k k k k k k k k k PUPD l l Prsamaa Difrsial Biasa Ord >

43 Prsamaa Difrsial Biasa Ord > otoh 7 : Slsaika prsamaa difrsial brikut : ''' ' ot: 4; ' 54; Plsaia : Substitusi Eulr '' m 6 m m m m m m m m m m m m m m

44 Lajuta otoh 7 : Brdasarka prsamaa maka Prsamaa Difrsial Biasa Ord > m m m... '' '

45 Prsamaa Difrsial Biasa Ord > Lajuta otoh 7 : * * ' * '' 6 6 Brdasarka substitusi diprolh masig-masig ilai : 4; ; PD : 4 4 4

46 Prsamaa Difrsial Biasa dalam kasus Tkik Kimia Pmbuata sabu disbut sapoifikasi dalam pross trsbut lmak ag brasal dari hwa atau tumbuha diraksika dga KOH atau NaOH utuk mmproduksi gilcrol da fattacid salt sabu. Sabu dipisahka dari glisrol mlalui prsipitasi dga pambaha atrium klorida. Lapisa air bagia atas ag mgadug atrium klorida dipisahka dari campura sbagai limbah. Kmtria Ligkuga Hidup KLH mgharuska kostrasi maksimum atrium klorida pada limbah ag dibuag k ligkuga tidak lbih dari. gram / litr. Natrium klorida ii mrupaka limbah utama dalam pross produksi sabu.

47 Prsamaa Difrsial Biasa dalam kasus Tkik Kimia lajuta Sbuah pabrik sabu trsbut haa mmiliki tagki dga kapasitas 5 litr utuk pampuga limbah. Dalam pross pgisia tagki limbah trsbut sbaak 5 litr air da 75 gram atrium klorida dimasukka. Utuk pross kotiuitas pross produksi pabrik da mjaga agar limbah ag trbuag k ligkuga kostrasia tidak mlbihi atura KLH maka diprluka pompa ag dioprasika utuk mmompa air k tagki dga laju litr stiap mit dimaa limbah garam ag mgadug 45 gram garam pr litr ditambahka dga laju 5 litr pr mit.

48 Prsamaa Difrsial Biasa dalam kasus Tkik Kimia lajuta Utuk mjaga volum laruta dalam tagki ttap pada lvl 5 litr maka limbah ag trdapat di dalam tagki dikluarka discharg sbaak 5 litr pr mit Misalka A mrupaka alira limbah dari pross B mrupaka alira air frsh watr da adalah alira kluar limbah dari tagki k ligkuga. Diasumka saat alira A da B masuk k dalam tagki maka scara cpat trjadi prubaha kostrasi klorida k arah kostrasi kluar tagki da di dalam tagki tidak trjadi raksi kimia a Brapa lama waktu ag dibutuhka utuk mmprolh kostrasi ssuai dga stadar dari KLH utuk limbah klorid di ligkuga apakah pabrik trsbut bisa mmuhi stadard dari KLH? b Pada waktu dtik brapa kostrasi limbah ag kluar dari tagki c Dalam kodisi stad stat brapa kostrasi garam ag dikluarka olh pabrik trsbut

49 Prsamaa Difrsial Biasa dalam kasus Tkik Kimia lajuta Alira A 5 Litr / mit 45 gram / litr Alira B Litr / mit gram / litr Alira 5 Litr / mit gram / litr

50 Prsamaa Difrsial Biasa dalam kasus Tkik Kimia lajuta Nraca massa utuk atrium klorida pada sistm tagki : Akumulasi = iput output + grasi pmbuaga kara raksi d dt d dt t 45 g.5 / L.5 L / mi g 5 L 5 g / g L / LL / mi g / L.5 L / mi

51 Plsaia dga mgguaka PD Liar d dt U.5 dt P.5 ; t 67.5 Q 67.5 t t P d 67.5 t 67.5 t t Q t 67.5 t 67.5 P d d

52 Plsaia dga mgguaka PD Liar 75 g t 5 g / 5 L 67.5 t Shigga prsamaa mjadi : t L a -74 miuts artia pabrik tidak bisa mmuhi stadar KLH kara waktu ag dibutuhka brsifat mius shigga tidak dapat mmuhi prsamaa b g/l c Stad stat brarti d dt g / L

53 Lt s pla Fid th solutio PUPD from th problms blow : d d ' ' d d d d '' ' '' ' 4 d d cos d 4 d d d

54 THANK YOU FOR YOUR ATTENTION IN THIS LASS