BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 A II LANDASAN TEORI. Distribusi Pluag Diisi. (Walpol da M rs 995) Jika X adalah suatu variabl radom kotiu maka ugsi dsitas pluaga adalah suatu ugsi ag mmuhi kodisi: i. ; utuk x (- ) ii. = iii. = (.) Diisi. (Walpol & Mrs 989) Fugsi distribusi kumulati variabl diotasika sbagai da didiisika sbagai = utuk sluruh ag riil. Jika adalah kotiu maka : = ( ) (.). Fugsi Quatil Diisi.3: Misalka F ugsi distribusi dari suatu distribusi probabilitas pada himpua bilaga ral R jika () maka trdapat dga tuggal shigga = maka disbut kuatil- dari F.Kuatil- dari F diguaka otasi. Fugsi kuatil dari F didiisika sbagai: = i { ( ) } dga () artia adalah ilai trkcil dari dga ( ). Misalka x mmpuai distribusi F da ugsi distribusi dari = + maka dapat diataka sbagai: = > Shigga ugsi quatil itu srig dikal dga istilah ivrs dari kumulati. II-

2 .3 Diskrit iomial Prcobaa biomial adalah prcobaa ag mmiliki ciri-ciri brikut: a. Prcobaaa trdiri atas ulaga. b. Dalam stiap ulaga hasila dapat digologka sbagai brhasil atau gagal. c. Pluag brhasil ag dilambagka dga utuk stiap ulaga adalah sama tidak brubah-ubah. d. Ulaga-ulaga itu brsiat bbas. Diisi.4 (Ari Pai Dsvia M.Sc ) Jika suatu ulaga biomial mmpuai pluag kbrhasila da pluag gagal = maka sbara pluag bagi pubah acak biomial aitu baaka kbrhasila dalam ulaga ag bbas adalah: ; = =.4 Distribusi Pluag Kotiu.4. Distribusi Wibull Distribusi Wibull diambil dari ama sorag isikawa ag brasal dari Swdia brama Waloddi Wibull pada Tahu 939. Distribusi Wibull mrupaka distribusi ag srig diguaka kara mggambarka ksluruha data scara jlas trutama dalam pgujia da mmodlka data shigga distribusi Wibull srig diaplikasika utuk pmodla atara lai pmodla dibidag tkologi kcpata agi usur-usur kimia da juga dibidag hidrologi. Karaktristik dari distribusi Wibull aitu dicirika olh dua paramtr aitu da dimaa > da > (Ri 9). Distribusi Wibull trmasuk distribusi acak kotiu ag juga mmpuai ugsi dsitas pluag sbagai brikut : = (.3) sdagka ugsi distribusi kumulatia adalah : = ( ) (.4) II-

3 .4. Distribusi Pluag gamma Diiisi.5 (Rado Ydra M.Sc 8) Variabl acak Y dikataka mmiliki distribusi gamma dga paramtr da jika da haa jika ugsi dsitas dari Y adalah utuk ag laia DimaaГ = Kuatitas Г dikal dga ugsi gamma. Itgral scara lagsug aka mghasilka bahwaг =. Da scara trus-mrus itgral aka mghasilka bahwa Г = Г > Г = da juga ag dihasilka jika adalah bilaga bulat. Hal di atas dapat ditujukka sprti brikut: Г = = + = = Г Cotoh. : Ttuka Г 6 = 6 = 5 x 4 x 3 x x =. Slajuta aka dibuktika bahwa ugsi dsitas pluag distribusi gamma aka ditujukka mmuhi siat distribusi pluag kotiu sprti brikut : = Г = Г = Г = Г Г = II-3

4 Graik ugsi dsitas gamma utuk da 4 srta dibrika pada gambar brikut: () 4 Gambar. GraikFugsiDsitas Gamma Gambar. mujukka btuk dari dsitas gamma brbda utuk ilai ag brbda. Utuk alasa ii kadag-kadag alpa disbut dga paramtr btuk ag dihubugaka dga distribusi gamma. Paramtr scara umum disbut dga paramtr skala kara mgalika sbuah variabl acak ag didistribusika dga gamma dga bilaga positi ( dga dmikia mgubah skala pada pgukura dibuat) mghasilka variabl acak ag juga mmpuai distribusi gamma dga ilai ag sama ttapi ilai paramtr brubah. Pada kasus trttu ktika adalah bilaga bulat distribusi ugsi dari variabl acak ag didistribusika scara gamma dapat digambarka sbagai jumlah dari pluag poisso trttu. Jika tidak bilaga bulat da c d tidak mmugkika utuk mmbrika gambara ag tpat utuk Г Torma. (RadoYdra M.Sc 8) Jika Y mmpuai distribusi gamma dga paramtr da maka E Y da V Y II-4

5 II-5 ukti : Sprti ag diktahui bahwa d d Y E Dari siat ag tlah dibuktika sbluma diktahui bahwa d Kara itu d Shigga d d Y E Slajuta utuk mtuka variasi distribusi gamma ttuka trlbih dahulu ilai harapa brikut: d d E Y Shigga variasi distribusi gamma dapat dittuka sbagai Y E E Y Y V

6 .4.3 DistribusiPluag ta Fugsi dsitas bta ugsi dsitas brparamtr dua didiisika pada itrval tutup. Ii srig diguaka sbagai modl utuk proporsi sprti proporsi ktakmuria produk kimia atau proporsi waktu sbuah msi diwaktu prbaika. Diisi.6 (RadoYdra M.Sc 8) Variabl acak Y dikataka mmpuai distribusi pluag bta dga paramtr da jika da haa jika ugsi dsitas dari Y adalah Dimaa utuk laia d Graik ugsi dsitas bta mgasumsika prbdaa ag lbar dari btuk utuk brbagai ilai dari dua paramtr digambarka sprti pada gambar dibawah. da. brapa diataraa aka Sbagai catata mdiisika pada itrval tidak mmbatasi pgguaa distribusi bta. Jika c d maka c d c mdiisika variabl baru shigga. Jadi ugsi dsitas bta dapat dipakai utuk variabl acak ag didiisika pada itrval traslasi da prtukara skala. c d dga Fugsi distribusi kumulati utuk variabl acak bta lazim disbut ugsi bta taklgkap da diotasika dga F t t dt I II-6

7 () Gambar. Graik Fugsi Dsitas ta Jika da kdua-duaa bilaga bulat positi I dihubugka dga ugsi pluag biomial. Itgral dga mmpartisi dapat diguaka utuk mujukka bahwa utuk F t t i dt i i da kdua-duaa bilaga bulat Dimaa. Catat bahwa jumlah sisi sblah kaa dari gambara di atas haa mjumlahka pluag ag dihubugka dga variabl acak biomial dga da p i Torma. (RadoYdra M.Sc 8) Jika Y adalah variabl acak ag da maka EY didistribusika dga paramtr da V Y II-7

8 II-8 ukti : Dga diisi d d E Y Utuk mtuka variasi dari distribusi bta prtama skali ttuka ilai harapa dari btuk brikut d d E Y Shigga variasi dari distribusi bta adalah Y E E Y Y V

9 .5 Statistikrurut Scara ormal misal Y Y... Y variabl acak kotiu ag salig bbas dga ugsi distribusi komulati F() da ugsi dsitas (). Notasi variabl acak ag trurut Y i aitu Y () Y ()...Y () dimaa Y () Y ()... Y () Y () = mi (Y Y... Y ) Adalah variabl acak miimum dari Yi Y () = max (Y Y... Y ) Adalah variabl acak maksimum dari Y i Fugsi dsitas pluag utuk Y i da Y dapat dittuka dga mgguaka mtoda ugsi distribusi kumulati. Prtama skali kita aka mtuka ugsi dsitas dari Y. Kara Y adalah maksimum dari Y Y...Y Maka pristiwa (Y () ) aka trjadi jika da haa jika (Y i ) trjadi utuk stiap i =... aki P Y PY Y Y Kara Y i adalah salig bbas da PY i F utuk i mataka bahwa ugsi distribusi kumulati dari Y () dibrika olh FY PY PY PY PY F hal ii Misal g () otasi ugsi dsitas dariy () dga muruka ugsi distribusi kumulati di atas aka dittuka g F Dga cara ag sama kita dapat mtuka ugsi dsitas utuk Y () sbagai brikut: F Y PY P Y Kara Y () adalah miimum dari Y Y Y hal ii mataka bahwa pristiwa (Y () > ) trjadi jika da haa jika pristiwa (Y i > ) trjadi utuk i =. Kara Y i salig bbas da P (Y i > ) = F() utuk i = 3... kita lihat bahwa II-9

10 F Y P Y PY PY Y Y PY PY PY F Misalg () () adalah ugsi dsitas dari Y () dga muruka ugsi distribusi kumulati aka diprolh g F Cotoh.. Kompo-kompo lktroik dari tip trttu mmpuai pajag hidup Y dga dsitas pluag dibrika olh utuk ag laia Adaika bahwa dua kompo dioprasika scara bbas da sstm diragkai scara sri (kara sstm gagal ktika kompo lai gagal). Ttuka ugsi dsitas utuk X. Plsaia: Kara sstm gagal pada kompo utama gagal X = mi (Y Y ) dimaa Y da Y adalah variabl acak dga dibrika ugsi dsitas. Kara F utuk X g F utuk ag laia Da itu mataka scara sdrhaa bahwa X 5 5 utuk ag laia II-

11 Cotoh.3. Adaika kompo di ragkai scara paralll (kara sstm tidak aka gagal sampai kdua kompo gagal). Ttuka ugsi dsitas utuk X. Plsaia : Skarag X = max (Y Y ) da g F da olh sbab itu X X 5 utuk 5 ag laia utuk ag laia.6 Pluag Momt rbobot (PM) Diisi.7 (Grwood da Kawa-kawa 979) Pluag momt brbobot di disika sbagai: = = (.5) Dimaa = ugsi kuatil atau ivrs distribusi = distribusi ugsi kumulati = bilaga ral. Utukilai = = da adalah bilaga bulat tidak gatimaka brdasarka disi. dapat ditulis sbagai: = = Atau dikalsbagai momt k suatu distribusi da jika = maka btuk diatas adalah momt k - atau rata-rata suatu distribusi ugsi dga btuk sprti: = = II-

12 Utuk statistik brurut diktahui distribusi ugsi kumulati utuk k dga sampl brukura. (.6) tuk ag mucul stlah tada adalah btuk ugsi pluag biomial tpat k utuk. David (97) tlah mghasilka hubuga diatara pjumlaha biomial da ugsi bta taklgkap. = + (.7) Dimaa = adalah ugsi bta taklgkap sdagka Olh sbabitu: = adalah ugsi bta utuk > > Maka = = (.8) Kara = Г Г Г = Strusa ambil turua dari prsamaa (.3) ag mrupaka ugsi dsitas pluag dari : = =. (.9) rikuta ilai kspktasi dari dapatditulis: = =. (.) II-

13 Dimaa = Dga mgguaka btuk ii maka momt k utuk uruta k dari sampl brukura dapat dihitug = (.) Olh sbab itu momt k utuk uruta k - + dari ukura sampl + + dapat dihitug: = (.) Dari btuk diatas maka btuk pluag momt brbobot utuk statistik brurut dapat dibtuk sprti: = (.3) Dua btuk pluag momt brbobot ag sagat prlu diprhatika adalah utuk = = 3 da =. Dua btuk ii dapat dittuka sprti: = = (.4) = = (.5).7 Ptua Prkiraa Utuk Adaika data utuk statistik brurut dari kcil kbsar dimaa adalah data ag trbsar. Total jumlah pmiliha sampl bagia uruta + dari adalah: = + (.6) Jumlah sampl bagia brukura + dipilih dari ag mmuat sbagai data trbsar maksuda adalah aggota dari subsampl da aggota lai harus dipilih dari data ag lbih kcil. Olh sbab itu jumlah subsampl ag mmuat sbagai aggota trbsar adalah: II-3

14 = (.7) Strusa dapat dibtuk = (.8) Maka dapat dihasilka rumus momt k utuk statistik brurut k + dari subsampl brukura + ag dipilih dari adalah = (.9) rdasarka btuk diatas dapat dihasilka btuk umum pluag momt brbobot utuk sampl adalah: = dimaa =. (.) Slajuta utuk mmbuktika ilaia mjadi: dari prsamaa. shigga II-4

15 Kmudia dari prsamaa (.). Jika = dashigga = + + : =. II-5