Pengaruh Kenon-Unitalan Modul Terhadap Hasil Kali Tensor

Transkripsi

1 6 : Pegaruh Keo Uitala odul. Pegaruh Keo-Uitala odul Terhadap Hasil Kali Tesor Oleh : Jurusa atetika FIP UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H., Serag 5075 eil : ikkepri@yahoo.com BSTK. Pembahasa tetag teori modul oleh [5] dibagi mejadi modul uital da modul o uital. Grup bel yag memeuhi aksio utuk mejadi -modul kecuali aksio uital disebut - modul o uital. Pada keyataaya rig dega eleme satua tidak selalu mejami bahwa aksio uital modul tersebut dipeuhi. Dalam paper ii dijelaska tetag hasil kali tesor dari modul o uital atas rig dega eleme satua. Beberapa sifat khusus seperti isomorfis pada hasil kali tesor pada modul uital tidak dapat dipertahaka oleh modul o uital. Kata Kuci : aksio uital, modul o-uital, modul uital, hasil kali tesor I. PENDHULUN odul adalah struktur yag diperoleh melalui operasi pergadaa skalar (aksi) atara grup bel da rig. Pada umumya modul yag lebih bayak dikeal adalah modul uital. Defiisi aksio uital utuk -modul kiri adalah ( m )1 m= m. Pada [5] pembahasa tetag modul dibagi mejadi modul uital da modul o-uital. Berbeda dega modul uital, rig di modul o-uital tidak harus dilegkapi dega eleme satua 1. Pada keyataaya, rig dega eleme satua pu tidak mejami modul yag terbetuk pasti bersifat uital. odul o-uital atas rig dega eleme satua iilah yag mejadi latar belakag peulisa paper ii. Utuk setiap -modul kiri uital N da -modul kaa uital dapat dibetuk hasil kali tesor atara da N yaitu N. Hasil kali tesor tersebut memeuhi beberapa sifat-sifat tertetu. Persalahaya adalah apakah keuitala sebuah modul aka berpegaruh terhadap hasil kali tesor yag terbetuk. Pada tulisa ii utuk modul uital cukup ditulis dega modul saja. Peulis megaggap bahwa pembaca telah mehami kosep Teori odul uital, sehigga tidak perlu diberika pejelasa tetag hal tersebut. II. HSIL KLI TENSO Bagia ii memberika defiisi hasil kali tesor modul uital beserta sifatsifatya. Sebelumya dijelaska tetag pegertia pemetaa biliear da seimbag ( balaced ) dalam hubugaya dega pembetuka hasil kali tesor. Defiisi da sifat-sifat berikut diambil dari [5]. Defiisi.1 Diberika -modul kaa, -modul kiri N da grup bel ( G, + ). Pemetaa β : N G disebut fugsi biliear da seimbag atas jika utuk setiap m1, m, 1, N da r berlaku β m + m, = β m, + β m, (i). ( 1 1) ( 1 1) ( 1) (ii). β( m1, 1+ ) = β( m1, 1) + β( m1, ) (iii). β( mr, ) = β( m, r ) (Balace) Defiisi hasil kali tesor dari da N dijelaska dalam defiisi berikut. akalah dipresetasika dalam Semiar Nasioal atetika da Pedidika atetika dega te Peigkata Kotribusi Peelitia da Pembelajara atetika dalam Upaya Pembetuka Karakter Bagsa pada taggal 7 November 010 di Jurusa Pedidika atetika FIP UNY

2 6 : Pegaruh Keo Uitala odul. Defiisi. Diberika -modul kaa, -modul kiri N da sebarag grup bel ( G, +). Grup bel N beserta fugsi biliear da seimbag τ disebut hasil kali tesor dari da N jika utuk setiap pemetaa biliear da seimbag β : N G terdapat dega tuggal pemetaa β : N G sedemikia higga diagram berikut komutatif, yaitu β = β o τ. β N G τ β N Figure 1 : Diagram hasil kali tesor Eleme-eleme dari m m da N. i I Teore.3 Diberika -modul kaa da -modul kiri N. Hasil kali tesor dari da N tuggal. Lem.4 Jika N adalah hasil kali tesor dari -modul kaa da - modul kiri N diyataka dega { i i i i }, ka utuk setiap m, m,, N, da r berlaku N 1 1 m1+ m 1 = m1 1+ m 1 (i). (ii). m + = m + m (iii). mr = m r (iv). m 0= 0 = 0 Defiisi.5 Hasil kali tesor homomorfis f : ' da g: N N' adalah pemetaa f g: N ' N' dega defiisi ( m N) f g( m ) = f ( m) g Teore.6 Diberika homomorfis -modul kaa f : ', ' f ': '' da homomorfis -modul kiri g: N N', g': N' N''. Sifat-sifat berikut dipeuhi (i). Id Id N = Id N (ii). f on = o g =o f ' g' o f g = f ' o f g' o g (iii). Proposisi berikut ii mejelaska bahwa hasil kali tesor mempertahaka keeksaka kaa barisa modul-modul. Semiar Nasioal atetika da Pedidika atetika Yogyakarta, 7 ovember

3 6 : Pegaruh Keo Uitala odul. Proposisi.7 Diberika barisa eksak kaa dari -modul kiri f g B C 0. Utuk setiap -modul kaa D barisa I D f I D D g D B D C 0 juga eksak kaa. Berdasarka pegertia hasil kali tesor, [5] dapat meujukka eksistesi isomorfis didalam hasil kali tesor melalui tiga teore berikut: Teore.8 Utuk setiap -modul kaa da -modul kiri B, ka da B B. Bukti: Diketahui = (, )-bimodul, ka dapat dibetuk da B. Jika dibetuk pemetaa α : dega defiisi ( a r ) α ( a r) = ar da pemetaa β : dega defiisi ( a ) β ( a) a 1, = diperoleh α o β = I da β o α = I atau. alog utuk B B. Teore.9 Utuk setiap -modul kaa, ka ( B) C ( B C. S S ) Teore.10 Utuk setiap keluarga ( λ) B= ( λ ). λ Λ B λ Λ S -bimodul B da S -modul kiri C, (, ) -modul kaa { λ } λ Λ da -modul kiri B, III. ODUL NON-UNITL Pada [5] pembahasa tetag modul terbagi mejadi dua bagia yaitu modul uital da modul o-uital. Berbeda dega modul uital, pada modul o-uital struktur rigya tidak harus dilegkapi dega eleme satua. Utuk lebih jelas cotoh berikut dapat dijadika motivasi muculya defiisi modul o-uital. Cotoh 3.1 Diberika rig. Himpua = merupaka subrig dari { } yag tidak mempuyai eleme satua, yaitu 1. Pada didefiisika sebuah aksi atas diriya sediri yaitu,,m a m. Terhadap aksi tersebut, memeuhi semua aksio utuk mejadi sebuah modul kecuali aksio uital, sebab tak mempuyai eleme satua. Jadi merupaka modul o-uital atas diriya sediri. Cotoh 3.1 dapat dijadika motivasi muculya defiisi modul-o uital berikut yag diambil dari [5] da [9] sebagai berikut. Defiisi 3. (odul o-uital) Diberika rig (tidak harus mempuyai eleme satua). Grup bel terhadap sebuah aksi kiri α :, ( am, ) a amdisebut -modul kiri o-uital jika utuk setiap r1, r da m1, m aksio berikut dipeuhi: (i). r1( m1+ m) = rm 1 1+ rm 1 r + r m = rm + rm (ii) Semiar Nasioal atetika da Pedidika atetika Yogyakarta, 7 ovember 010 6

4 6 : Pegaruh Keo Uitala odul. (iii).( rr ) m = r ( rm ) Defiisi utuk -modul kaa da (, B) -bimodul o-uital diperoleh dega cara yag aalog. Homomorfis pada -modul o-uital didefiisika dega cara yag sa seperti pada Homomorfis -modul. Pada kasus rig dega eleme satua, tidak selalu mejami bahwa modul yag terbetuk aka selalu memeuhi aksio uital. Cotoh 3.3 Diberika -modul kiri da hasil kali kartesia = a, a a, a. Himpua adalah rig dega eleme satua dega {( 1 ) 1 } defiisi operasiya ( ( a1, a),( b1, b) ) 1. ( a1, a) + ( b1, b) = ( a1+ b1, a + b). ( a1, a).( b1, b) = ( ab 1 1, ab). Kemudia pada didefiisika aksi kiri ( ( a1, a) )( m ) (( a1, a), m) ( a1, a) m am 1 am α :, α = = +. Terhadap aksi kiri α, merupaka -modul kiri o-uital. Bukti: Berdasarka aksio yag dimiliki -modul kiri diperoleh (i). (, + ) grup bel, (ii). (, +, ) rig dega eleme satua ( 1,1 ) (iii). ksi kiri α tertutup, sebab utuk setiap ( 1, ) α (, ), =, = +. a1 a m a1 a m am 1 am (iv). ksi kiri α well defied. mbil sebarag ( 1, ) ( 1, ) α α a a da m, a a = b b da m 1 = m. ka ditujukka (,, ) = ((, ), ) (, ) = (, ) a a m b b m a a m b b m Karea a = b a b am + am = bm + bm, 1 1 = da m 1 = m, aksi kiri pada -modul meyebabka am 1 1 = bm 1 da am 1 = bm. Dari sifat bier operasi + di, diperoleh am + am = bm + bm Terbukti α well defied. (v). Utuk setiap ( 1, ),( 1, ) a a b b da m1, m diperoleh (, +, ) = ( +, + ) = ( + ) + ( + ) a a b b m a b a b m a b m a b m = am + bm + am + bm = am + am + bm + bm = ( a1, a) m1 + ( b1, b) m1. (, ) a1 a m1 + m = a1 m1 + m + a m1 + m = am am 1 + am 1 + am 3. (, ) (, ) = am + am + am + am = a a m + a a m (,., ) = (, ) = + a a b b m ab a b m ab m a b m a1( bm 1 1) a( bm1) ( a1, a)( bm 1 1 bm1) ( a, a ) ( b, b ) m = + = + = Semiar Nasioal atetika da Pedidika atetika Yogyakarta, 7 ovember

5 6 : Pegaruh Keo Uitala odul. m1 0, 1,1 m1 = 1m1+ 1 m1 = m1+ m1 m 1. Dari (i) (v) meskipu adalah rig dega eleme satua, tetapi merupaka -modul kiri o-uital. Secara umum berdasarka Cotoh 3.3 jika diberika -modul kiri uital, 4. jika ka ka dapat dipadag sebagai, adalah Lebih lajut jika, -bimodul o-uital. -modul kiri o-uital,. -bimodul uital, ka adalah Pada pembahasa berikutya, modul o-uital yag dibahas adalah modul o-uital atas rig dega eleme satua. Sehigga pada tulisa ii jika tidak diberika keteraga lebih lajut diasumsika sebagai rig dega eleme satua. Berikutya aka diberika cotoh-cotoh modul o-uital yag mucul akibat aksi α seperti pada Cotoh 3.3 diatas. Cotoh 3.4 Diberika rig dega eleme satua. Himpua yaitu himpua triks berukura atas merupaka modul kiri o-uital atas. Cotoh 3.5 Pada Cotoh 3.3, jika diambil rig adalah lapaga bilaga real da x T adalah ruag vektor xy =, = ( ), ka adalah -modul kiri y uital. Jadi terhadap aksi kiri seperti pada Cotoh 3.3, adalah -modul kiri ouital. Secara umum, merupaka -modul o-uital m,. m Cotoh 3.6 Pada Cotoh 3.3, jika diambil rig adalah rig triks berukura yaitu da adalah ruag vektor, ka adalah -modul kiri uital. kibatya adalah -modul kiri o-uital sebab x x 1 0 x 1 0 x x x \, = y 0 + = y 0 1 y 0 1 y y y Utuk m,, -modul kiri uital. Lebih lajut diperoleh merupaka adalah m ( ( )) -modul kiri o-uital. Cotoh 3.7 Utuk setiap ruag vektor V atas lapaga F, dapat dibetuk himpua LiF ( V, V ) = { T : V V T trasforsi liear }. LiF ( V, V ) merupaka ruag vektor atas lapaga F, ( TT, ' LiF ( VV, ))( α F) T + T ' LiF ( V, V ) da T LiF ( V, V) defiisi ( v V) T + T' ( v) = T( v) + T' ( v) da αt( v) α T( v) Selajutya dapat ditujukka bahwa sebab α dega =. Karea ruag vektor LiF ( V, V ) dapat dipadag sebagai F -modul, ka terhadap aksi seperti pada Cotoh 3.3 Li ( V, V merupaka F -modul kiri o-uital,. F ) IV. HSIL KLI TENSO DI ODUL NON-UNITL. Pada bagia sebelumya diberika pejelasa tetag hasil kali tesor utuk modul uital. Selajutya diberika pejelasa bagaia sifat uital sebuah modul berpegaruh terhadap hasil kali tesor yag terbetuk. Sifat-sifat di bawah ii ditulis berdasarka [9]. Semiar Nasioal atetika da Pedidika atetika Yogyakarta, 7 ovember

6 6 : Pegaruh Keo Uitala odul. Lem 4.1 Utuk setiap -modul kaa o-uital terdapat epimorfis 1:, m 1. Bukti : mbil sebarag m, a. 1( m+ ) = ( m+ ) 1= ( m 1) + ( 1 ) = 1( m) + 1 b. 1( rm) = rm 1= r ( m 1) = r ( 1)( m) c. Jika m a, utuk m tersebut terdapat sedemikia higga 1 = 1= m a1= m a. Dari (a) - (c) terbukti 1: merupaka epimorfis. Epimorfis 1 aka mejadi isomorfis jika da haya jika -modul kaa uital. Lem 4.1 juga berlaku utuk -modul kiri o-uital. Utuk setiap - modul kiri uital K terdapat epimorfis 1 : K K. Dari Teore.8 telah diketahui bahwa jika modul uital, ka. Berikut diberika teore tetag isomorfi pada kategori modul o uital. Peulis perlu megigatka kembali bahwa defiisi homomorfis pada modul o uital sa dega modul uital. Teore 4. Diberika Μ %. Pemetaa dega defiisi m a da Hom,, a f dega defiisi a ( r ) f ( r) = r merupaka isomorfis modul. Bukti: Bukti aalog dega Teore.8. Perbedaaya dikareaka struktur modul o-uitalya, yaitu utuk m, m 1 1. Diberika pemetaa α = Hom (, ), a f dia ( r ) f ( r) = r. (i). Pemetaa α well defied, sebab utuk setiap, b dega = b berakibat ( r ) r = br f ( r) = f ( r) f = f. b b (ii). Pemetaa α merupaka homorfis modul, sebab utuk setiap. b da r diperoleh α + b = f = f + f = α +α b da α + b b ( r) = f = f r = α r. r (iii) Ditujukka α ijektif. mbil sebarag x Ker( α ), α ( x) = f x = ο. kibatya = = karea berlaku utuk sebarag r, haruslah x = 0 atau ( r ) fx ( r) xr 0, Ker ( α ) = 0. (iv). Pemetaa α surjektif sebab utuk setiap g Hom (, ), terdapat g( 1 ) sedemikia higga ( r ) α ( g( 1 ))( r) = fg( 1 )( r) = g( 1 ) r = g( r) = g( r). Jadi terbukti g Hom (, ) g 1 α g 1 = g. 1 ( )( ) ( ) Semiar Nasioal atetika da Pedidika atetika Yogyakarta, 7 ovember

7 6 : Pegaruh Keo Uitala odul. Teore 4. da Teore.8 memberika gambara bagaia struktur modul o uital mempegaruhi sifat hasil kali tesor. Jika di Teore.8 diperoleh da Hom,, ka di Teore 4. diperoleh hal yag berbeda yaitu utuk -modul kaa o-uital, 1 da (, ). alog utuk (, ) Hom 1 1:, m 1 m 1 bimodul o-uital terdapat epimorfis a ( = m ) 1 1. V. SIPULN DN SN Defiisi da aksio odul o-uital merupaka perumu dari modul uital jika rig yag diberika adalah rig tapa eleme satua. [5] membagi defiisi modul mejadi dua bagia, dia rig pada modul uital adalah rig dega eleme satua 1, sedagaka pada modul o-uital rigya tidak harus dega eleme satua. Pada keyataaya, Grup bel yag dioperasika dega rig yag dilegkapi eleme satua tidak selalu mejadi modul uital. rtiya keuitalaya bear-bear bergatug pada aksioya. Hasil kali tesor terbetuk dari modul-modul kiri da kaa. Sifat dari hasil kali tesor atara modul uital da modul o-uital tidak sa. Pada -modul o-uital Hom, da. Sedagka utuk kaa diperoleh bahwa -modul uital kaa diperoleh Hom, da. Jadi isomorfis hasil kali tesor dipegaruhi oleh aksio uital modul. Kajia tetag modul o-uital dapat dieksplor lebih lajut. Dari modul uital da hasil kali tesor, [3] telah mejelaska sebuah struktur yag disebut korig da komodul. Selajutya dalam [6] da [9], struktur dasar pada korig digati dega modul o-uital da diperoleh sebuah struktur baru yag disebut korig leh da komodul leh. Peulis berharap, pembaca dapat melakuka peelitia lebih lajut yag sih berkaita deg modul o-uital da hasil kali tesor. DFT PUSTK [1] dkis,w.,., ad Weitroub, SH., lgebra : pproach odule Theory, Spriger- Verlag, New York, 199. [] derso, F.W. ad Fuller, K.., Graduate Texts i athetics, athetical ethod of classical echaics, d Ed., Spriger Verlag, New York, 199. [3] Brzeziński, T., ad Wisbauer,., Corig ad comodules, Gery, 003. [4] Fraleigh, J., first Course i bstract lgebra, 6th Ed., Sigapore : ddiso - Wesley Publishig Compay, [5] Hugerford, T.W., lgebra, Graduate text i athetics, Spriger-Verlag, New York, Heidelberg, Berli, [6] Puspita, N. P., Korig Leh, tesis, Uiversitas Gadjah ada, Yogyakarta, 009. [7] Schubert, H., Categories, Spriger-Verlag,Berli, Heidelberg, New York, 197. [8] Wisbauer,., Foudatio of odule ad ig Theory, Gordo ad Breach Sciece Publishers, [9] Wisbauer,., Weak Corig, i Jural of lgebra 45, pp , 001. Semiar Nasioal atetika da Pedidika atetika Yogyakarta, 7 ovember