Bab 16 Integral di Ruang-n

Transkripsi

1 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Oi Neswa,Ph.D., Departeme Matematia-ITB Bab 6 Itegral di uag- Itegral Gada atas persegi pajag Itegral Berulag Itegral Gada atas Daerah sebarag Itegral Gada Koordiat Polar Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Pedahulua Masalah-masalah yag dipecaha oleh itegral dega dua variabel atau lebih serupa dega yag dipecaha oleh itegral satu variabel, haya lebih umum. Seperti halya pada turua fugsi variabel, itegral iipu dibagu berdasara pegalama ita pada itegral satu variabel. Hubuga atara itegral da turua utu fugsi multivariabel juga sagat erat seperti halya fugsi satu variabel. Di sii ita dapat meredusi itegral mejadi beberapa itegral fugsi satu variabel sehigga Teorema Dasar Kalulus dapat embali berpera dalam otes yag lebih umum ii.

2 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II. Itegral Gada atas Persegi Pajag Igat embali pada fugsi satu variabel f (x), ita membagi iterval [a,b] mejadi iterval-iterval dega pajag x, =,,,, berdasara partisi P : x < x < < x, memilih titi sampel dari iterval e, emudia x b a lim P ( ) f x dx = f x x Diberia fugsi f (x,y) otiu pada himpua berbetu persegi pajag: = {(x,y) : a x b da c y d}. Kita aa membagu itegral dega cara serupa seperti pada itegral fugsi satu variabel. = 3 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Daerah berbetu persegi pajag dibagi oleh garis-garis yag sejajar dega edua sumbu oordiat, mejadi beberapa persegi pajag ecil dega luas A= x y. Tiap persegi pajag tersebut diberi ides, A, A,, A. (, ) = Pilih sebarag titi x, y dari tiap A. Betulah jumlah iema S = f x y A 4

3 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Defiisi Misala f dua variabel otiu terdefiisi pada persegi pajag. Jia P = lim f x, y A ada, maa f teritegral atas, da ilai limit ii disebut itegral gada dari f atas. P = ( ) = lim f x, y A f x, y da. ( x, y ) Jia f otiu, partisi diperhalus dega membuat x da y medeati ol, maa jumlah iema aa overge meuju limit yag disebut itegral gada (itegral lipat) dari f pada daerah. 5 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Catata : Limit pada defiisi di atas berbeda dega limit yag telah ita pelajari, walaupu ide dasarya tetap sama.. Utu tiap partisi P, P adalah pajag diagoal terpajag dari persegi pajag bagia yag dibetu oleh P. Ii adalah uura halus-asarya pembagia oleh partisi P.. Nilai limit tida bergatug pada piliha titi sampel ( x, y). 3. Utu tiap ε >, terdapat δ > sehigga: utu setiap partisi dega P < δ, berlau f x, y A f x, y da < ε. = ( ) 6 3

4 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Hampira Volume Bila f oegatif, maa jumlah iema di atas memberia jumlah dari volume ota atau balo dega alas A da tiggi f ( x, y ) 7 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Jia f x, y, f x, y da meyataa volume beda pada dibawah permuaa z = f x, y da di atas persegi pajag. Volume = lim S = f x, y da dega A etia. 8 4

5 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Esistesi Tida semua fugsi dua variabel teritegral atas sebuah persegi pajag. Khususya fugsi-fugsi yag ta terbatas tida teritegral. Teorema Esistesi Jia f ( x, y) terbatas da otiu pada persegi pajag, ecuali pada berhigga buah urva mulus, maa f teritegral pada. Khususya, jia f otiu pada, maa f teritegral pada. 9 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Teorema Sifat - sifat Itegral Gada. Itegral Gada Bersifat Liear. = a. f x, y da f x, y da + = + b. f x, y g x, y da f x, y da g x, y da (, ) (, ). Sifat Domiasi. Jia f x, y g x, y utu tiap x, y, maa f x y da g x y da 3. Sifat Additif pada persegi pajag (, ) = (, ) + (, ) f x y da f x y da f x y da 5

6 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II. Itegral Berulag Masalah itegral erat aitaya dega volume. Maa ita coba medeati masalah meghitug itegral dega masalah meghitug volume. Misala ita igi meetua volume beda pejal dibawah bidag z=f(x,y) di atas persegi pajag : a x b, c y d, dega megirisya seperti pada bab 6. Misalya beda tersebut diiris tega lurus terhadap sb-x. selebar x. Misala luas peampag irisa beda pejal dega bidag x adalah A(x). Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II [ ] Misala iterval ab, dibagi oleh partisi P: a= x x x = b. Bidag-bidag x = xi membagi beda mejadi buah epig yag tebalya xi = xi+ xi da volumeya Vi. Hampiraya Vi A( xi) xi, xi sebarag titi pada selag [ xi, xi]. A( xi) adalah luas daerah dibawah grafi z = f ( x, y) pada bidag x = xi. Kita dapat memilih xi = xi, sehigga d Vi A( xi) xi = f ( xi, y) dy c Jadi, volume beda adalah i i i i= i= Apabila orm dari partisi meuju ol, maa V = V A x x x= b x= b d ( i, ) x= a x= a c V = A x dx = f x y dy dx Kembali ita baru saja melaua proses/strategi yag serig diguaa dalam itegral: slice - approximate - itegrate. 6

7 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Tetu saja volume juga dapat dihitug dega membagi selag [ cd, ]. Dega cara uruta pegitegrala dibali mejadi d d x= b (, ) c c x= a V = A y dy = f x y dx dy Teorema Teorema Itegral Berulag Fubii Jia f x, y otiu pada persegi pajag : a x b, c y d, maa ( ) = = Cotoh x= b d d x= b f x, y da f x, y dy dx f x, y dx dy x= a c c x= a = Hituglah f x, y da jia f x, y 6 x y atas persegi pajag : x, y. 3 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Cotoh Tetua volume beda pejal dibawah bidag z = 4 x y, di atas persegi pajag : x, y. Laua dega itegral terhadap y emudia terhadap x. Kemudia dega uruta dibali. Peyelesaia Maa volume adalah x= x= A x dx di maa A x adalah luas peampag di x. Utu tiap x, luas peampag adalah = ( ) A x 4 x y dy, yaitu luas daerah dibawah urva z = 4 x y pada bidag irisa x. Jadi, pada A( x), x diaggap osta. 4 7

8 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Dega demiia, x= x= Volume = A x dx = 4 x y dy dx x= x= x= x= y = 4y xy dx = ( 7 x) dx = 5 x= x= 5 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II 3. Itegral Gada (umum) Di sii ita aa membicaraa itegral gada atas daerah atau himpua yag lebih umum. Lihat gambar beriut. Utu membagu defiisiya, embali himpua tersebut dipartisi mejadi persegi-persegi pajag bagia dega luas A = x y (setelah diberi ides). Pilih persegi pajag yag termuat dalam. ( x y ) Pilih sebarag titi sampel, dari tiap persegi pajag. Maa diperoleh jumlah iema Jadi (, ) S = f x y A i i i i= (, ) lim (, P ) f x y da= f x y A i= i i i i i i i i 6 8

9 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Iterpretasi sebagai Volume Jia f(x,y), maa itegral gada dari f memberia volume dari beda pejal dibawah permuaa di atas daerah. Sifat-sifat (a) liear, (b) domiasi, da (c) aditif juga berlau. 7 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Teorema Sifat - sifat Itegral Gada Diberia f x, y, g x, y otiu da bilaga real.. Itegral Gada Bersifat Liear. = a. f x, y da f x, y da + = + b. f x, y g x, y da f x, y da g x, y da (, ) (, ). Sifat Domiasi. Jia f x, y g x, y utu tiap x, y, maa f x y da g x y da 3. Sifat Additif: jia da tida bertumpag tidih (irisaya masimal berupa urva, lihat gambar), maa (, ) = (, ) + (, ) f x y da f x y da f x y da 8 9

10 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Meghitug Itegral Gada Itegral Gada yag aa dibicaraa adalah itegral gada dari fugsi f ( x y) = =, atas daerah yag dibatasi oleh dua urva, yaitu di bawah oleh y g x da di atas oleh y g x. Pada Bab 6 telah ita pelajari bahwa volume beda pejal yag terleta atara x = a da x = b, dega luas peampag A x adalah itegral Utu tiap ilai x, luas peampag yag diperoleh jia beda diiris tega lurus sb- x utu tiap ilai x dietahui, misal sebagai g x fugsi A x = f x, y dy. g ( x) b a V = A x dx 9 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Maa, volume adalah itegral (disebut itegral berulag) V x= b A ( x ) dx x= b g x = f ( x, y ) dy = dx. x= a x= a g ( x)

11 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II d x= h ( y) (, ) V = f x y dx dy c h= h ( y) x= h y = Bila daerah dibatasi oleh urva-urva x = h y da x = h y, maa dega cara serupa, volume dihitug dega itegral berulag dimaa itegral A y f x, y dx. adalah h= h ( y) luas dari peampag bila beda diiris sepajag bidag tega lurus sb- y. Kedua itegral di atas adalah oseuesi dari Teorema Fubii utu Itegral Berulag sebagai beriut. Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II

12 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Teorema Teorema Itegral Berulag Fubii (versi ) f ( x y) = { } [ ab] Diberia, otiu pada daerah.. Jia x, y : a x b, g x y g x, g da g otiu pada,, maa x= b g x (, ) = x= a g ( x) (, ) = { } [ cd] f x y da f x y dy dx. Jia x, y : c y d, h y x h y, h da h otiu pada,, maa d x= h y (, ) = (, ) c h= h y f x y da f x y dx dy 3 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Meetua Batas Pegitegrala Dua macam daerah pegitegrala yag dibicaraa di sii adalah : I: a x b, g (x) y g (x). II: c y d, h (y) x h (y). Apabila daerah pegitegrala sudah diberia secara esplisit maa itegral dapat dilaua dega batas sesuai dega defiisiya (lihat Teorema Fubii). Catata: suatu daerah pegitegrala bisa saja tipe I maupu tipe II. 4

13 g( x) g ( x) f ( x, y) dy dx Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Peetua batas itegral mejadi masalah bila yag diberia adalah grafi daerah pegitegralaya. Bila daerah dipadag sebagai tipe I, maa peetua batas, dibatu dega membuat garis vertial. x= b g ( x) f ( xydydx, ) x= a g( x) Batas y: garis vertial memasui daerah melalui grafi g (x) da eluar melalui grafi y = g (x). Batas x: ilai terecil da ilai terbesar x yag membatasi daerah masig-masig adalah a da b. x= b g ( x) x= a g ( x) f (, ) xydydx 5 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Bila daerah dipadag sebagai tipe II, maa peetua batas, dibatu dega membuat garis horizotal: d x= h ( y) c x= h ( y) f (, ) xydxdy Batas x : garis ligara memasui daerah melalui grafi x = h (y) da eluar melalui grafi x = h (y). Batas y: ilai terecil da ilai terbesar y yag membatasi daerah masig-masig adalah c da d. x= y x= y f (, ) xydxdy 6 3

14 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Cotoh Meetua Volume Beda Hituglah volume prisma yag dasarya adalah segitiga pada bidag- xy dibatasi oleh sumbu x da garis-garis y = x da x=. Sedaga atapya adalah bidag z = f x, y = 3 x y. 7 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Peyelesaia Utu tiap x atara da, jagaua ilai y adalah dari y = sampai y = x. Oleh area itu, x= x x= x 3 3 x= x= V = x y dydx= y xy y dx x= x x dx x x x= = 3 = = Apabila uruta pegitegrala dibali maa itegral volume adalah x= x= 3 3 x= y x= y V = x y dxdy = x x xy dy (( 3 ) ( 3 )) = y y y y dy y y dy y y y y = = 4 + = + = 8 4

15 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Cotoh ( x y z ) Hituglah volume beda pejal pada ota I,,, yag dibatasi oleh paraboloida sirular z = x + y, silider x + y = 4, da bidag-bidag oordiat. 9 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Cotoh x x ( x + ) Gambarlah daerah pegitegrala dari itegral 4 dy dx. ( dx dy) Kemudia tulislah itegral yag sama dega uruta dibali. 3 5

16 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II 4. Itegral Gada: Polar Baya itegral yag lebih mudah dihitug bila dega megguaa oordiat polar. Pada bagia aa dipelajari megubah itegral mejadi oordiat polar dalam oordiat polar da meghitugya. Misala f(r, ) terdefiisi pada himpua yag dibatasi oleh siar = α da = β, urva-urva otiu r=g ( ) da r=g ( ) dega g ( ) g ( ) a. Jadi termuat dalam persegi pajag polar Q: α β, r a. berbetu ipas. Himpua Q dapat dibagi mejadi beberapa persegi pajag polar bagia (lihat Gambar) 3 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II a β α r =, θ =. m m' Diperoleh buah persegi pajag polar dega luas A, A,, A. ( r θ ) Pilih titi pusat masig-masig persegi pajag polar:,. Maa jumlah iema ya adalah ( θ ) S = f r, A. = Jia f otiu pada maa jumlah iema tersebut aa overge meuju sebuah limit, etia r da θ. Limit ii disebut itegral gada dari f atas. ( θ ) lim S f r, da. = 3 6

17 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Bagaimaa meetua A? adius luar da radius dalam yag membatasi persegi pajag polar adalah r + r da r r. Semetara itu, sudut yag megapit adalah θ. Maa r luas setor luar = r + θ r luas seor dalam = r θ (, θ ) = θ r r Maa diperoleh A = r + r = r r θ. Aibatya S = f r r r θ 33 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Teorema Fubii meyimpula bahwa limit dari jumlah iema ii adalah itegral berulag terhadap r da θ : θ= β r= g θ lim S = f r, θ da= f r, θ rdrdθ θ= α r= g ( θ) Teorema Luas dalam Koordiat Polar Luas daerah tertutup da terbatas dalam oordiat bidag polar adalah A= da= rdrdθ Cotoh Tetua volume beda pejal di atas persegi pajag polar x + y : r 3, θ π 4 da di bawah permuaa z = e. 34 7

18 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Meetua batas-batas Itegral Dua macam daerah pegitegrala yag dibicaraa di sii adalah : I: α β, g ( ) r g ( ). II: a r b, h (r) h (r). Apabila daerah pegitegrala sudah diberia secara θ= β r= g esplisit maa itegral dapat ( θ) I: f ( r, θ ) rdrdθ θ= αr= g( θ) dilaua dega batas sesuai r= b θ= h ( θ) II: f dega defiisiya: ( r, θ) rdθ dr r= aθ= h ( θ) 35 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Catata: suatu daerah pegitegrala bisa saja tipe I maupu tipe II. (cotoh: adalah himpua yag dibatasi oleh ligara r=, garis, sumbu-y.) Peetua batas itegral mejadi masalah bila yag diberia adalah grafi daerah pegitegralaya. Bila daerah dipadag sebagai yxtipe I, maa peetua batas, dibatu dega membuat siar L dari titi asal. Batas r: siar L memasui daerah melalui grafi r=g ( ) da eluar melalui grafi r = g ( ). Batas : ilai terecil da ilai terbesar yag membatasi daerah masig-masig adalah α da β. 36 8

19 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Bila daerah dipadag sebagai tipe II, maa peetua batas, dibatu dega membuat ligara. Batas : ligara memasui daerah melalui grafi =h (r) da eluar melalui grafi = h (r). Cotoh Batas r: ilai terecil da ilai terbesar r yag membatasi daerah masig-masig adalah a da b. ( θ ) Tetua batas pegitegrala fugsi f r, atas daerah pada gambar beriut π r=+ cosθ π r= (, θ ) f r rdrdθ 37 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Cotoh Hituglah luas daerah yag dibatasi oleh lemiscate r = 4cos θ. Peyelesaia Luas total adalah 4 ali luas pada uadra I. Jadi, 4cosθ π 4 4cosθ π 4 π 4 r Luas = 4 rdr dθ = 4 dθ = 4 cos θdθ ] π 4 = 4siθ =

20 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Latiha Hituglah itegral yda dega S adalah daerah pada uadra I di luar S ligara r = da di dalam ardioda r = + cos θ. 39 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Cotoh Carilah volume beda pejal di bawah permuaa bidag- xy da di dalam silider x + y = y. z = x + y, di atas π/ siθ V = x + y rdrdθ = π/ siθ rrdrdθ 4

21 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Cotoh Carilah volume beda pejal yag dibatasi di atas oleh permuaa x + y + z = 8, di bawah oleh bidag z = da dieliligi oleh silider x + y = 4. π V = 8 r rdrd θ 4 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Perubaha Cartesia->Polar Prosedur perubaha itegral Cartesius f(x,y)dxdy mejadi itegral polar memilii dua lagah: Substitusi x = r cos da r si, gati dx dy mejadi rdrd. Sesuaia batas pegitegrala dega meulisa batas daerah dalam oordiat polar. f(x,y)dxdy mejadi G f(rcos, rsi ) rdrd G adalah daerah pegitegrala dalam oordiat polar. 4

22 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Cotoh Tulisa itegral x ( + ) oordiat polar, da hituglah. x y dydx dalam Cotoh Hituglah itegral polar. e x + y dydx dalam oordiat 43 Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Soal-soal P Bab 6 6.:, 4, 5. 6.: 3, 4, -4, 9-, : 3, 4,, 6, 7,, 4, 8, 34, :, 6, 9,,, 6,, 6. 44