INTEGRAL FOURIER. DISUSUN OLEH : Kelompok III (Tiga)

Transkripsi

1 INTEGRA FOURIER DISUSUN OEH : Klompok III (Tiga). Maruah (7 6). Yusi Oktavia (7 45 ) 3. Widya Elvi AS (7 45) 4. Azar Saarudi (7 454) 5. Irmaati (7 455) Mata Kuliah Dos Pgasuh Klas : Matmatika ajuta : Fadli, S.Si : 6

2 INTEGRA FOURIER Misalka ugsi priodik brpriod yag dibrika olh x jika < x < da ( x + ). Jika skali lagi kita mmprolh suatu ugsi (x) yag tidak lagi priodik, x lim. Fugsi priodik yag brpriod yag dapat diprstasika olh drt ourir. Jika kita guaka otasi sigkat sbagai, ao + ( a maka rprstasi drt ourir itu dapat kita tuliska cos x + b si x) Kita aka mlihat apa yag aka trjadi jika. sbagai tlah dikmukaka di atas, kita lakuka ii kara alasa motivasi maupu utuk mmbuatya jlas baha utuk suatu igsi opriodik, kita aka mmprolh suatu itgral (alih-alih suatu drt) yag mlibatka cos x da si x dga mgambil smua ilai (alih-alih dibatasi pada klipata bulat) /. Kita sisipka a da b murut rumus Eulr () pasal.3, dga mlambagka v sbagai pubah itgrasi. Maka drt Fourir bagi l mjadi ( ) ( v) dv + cos x ( v) cos vdv + si x ( v) x Skarag kita diisika + ( + ) si vdv Dga dmikia, / /, shigga kita dapat muliska drt Fourir itu dalam btuk () ( v) dv + (cos x) ( v) cos vdv + (si x) ( v) si vdv Prstasi ii brlaku utuk smbarag trttu,btapapu bsarya asalka shigga. Skarag kita buat da kita asumsika baha ugsi opriodik yag dihasilka, yaki

3 lim Mgitgralka scara absolut (absolutly itgrabl) pada sumbu x, artiya itgral brikut ii ada: () Kara dx, maka / da ilai suku prtama di ruas kaa () mdkati ol. Slai itu, / da tapak jlas baha drt tak higga di dalam () mjadi suatu itgral dari sampai, yag mrprstasika : (3) cos x cos vdv + si x ( v) Kalau kita prkalka otasi (4) A( ) ( v) cos vdv, B( ) ( v) si vdv Maka (3) dapat kita tuliska dalam btuk (5) [ A( ) cos x + B si ] d Rprstasi ii diamaka itgral Fourir. si vdv d Kiraya jlas baha pdkata kita ii cuma mujukka rprstasi (5), sama skali buka mmbuktikaya; da mmag, limit drt didalam () utuk mdkati ol bukaya diisi itgral (3). Kodisi cukup (suicit coditios) bagi ksalaha (5) adalah sbagai brikut. Torma (Itgral Fourir) Jika kotiu spotog-spotog (lihat pasal 5.) pada stiap slag trhigga da jika itgral() ada, maka dapat di rprstasikaolh suatu itgral Fourir. Padatitik dimaa tidak kotiu,ilai itgral Fourir itu sama dga rata-ratalimit kirida limit kaa ugsi itu di titik trsbut (lihat pasal.). bukti didalam acua [C]; lihat apdiks. Kguaa utama itgral Fourir adalah utuk mmcahka prsamaa dirsial, sbagai kita aka lihat didalam pada pasal.4. aka ttapi, kita juga dapat mgguaka

4 itgral Fourir didalam pgitgrala da pmbahasa ugsi yag didiisika dga itgral, sbagai di ilustrasika sbagai brikut; Ttuka rprstasi itgral Fourir bagi ugsi. jika x <. jika x > Jaab: Dari (4) kita mmprolh ( ) ( v) A B ( ) cosv si v dv Shigga (5) mghasilka jaab siv cosvdv si, (6) cos x si d Rata-rata limit kiri da limit kaa di x adalah (+)/ ½. bih jauh, dari (6) da torma kita mmprolh jika cos x si d jika 4 jika x <, x x > Itgral ii diamai aktor ktidakkotiua diriklt. Marilah kita simak kasus x yag cukup marik. bila x, maka (7) si d Kita lihat baha itgral ii mrupaka limit dari apa yag diamaka itgral sius Si z ( z) Jika z (z bilaga yata). si d

5 Pada drt Fourir, graik jumlah parsial mrupaka kurva hampira bagi kurva ugsi priodik yag dirprstasika olh drt trsbut. Bgitu pula, pada Itgral Fourir (5), hampira diprolh mlalui pggatia dga bilaga a. jadi itgral a (9) cos x si d Mghampiri itgral di dalam (6), yag brarti juga mghampiri. da ( + x) si ( x) a a a cos x si si d d + Jika pada itgral prtama di ruas kaa kita mgambil + x t, maka d/ dt/t, a mjadi t ( x + )a. Jika pada itgral trakhir kita mgambil x t, maka d / dt /, da slag a mjadi t ( x )a. Kara si (-t) - si (t), maka kita mmprolh a cos x si ( x ) ( x ) + a a si t t d dt si t dt t Brdasarka ii da (8), kita lihat baha itgral kita ii sama dga Si( a[ x + ] ) Si( a[ x ] ),. A. Itgral Kosius Fourir da Itgral Sius Fourir Sagat marik utuk dicatat baha jika suatu ugsi brsiat gap atau gajil ϖ da dapat dirprstasika dga suatu itgral ourir, maka rprstasi ii lbih sdrhaa dibadigka pada kasus ugsi yag brsmbarag. Ii mrupaka akibat lagsug dari rumusrumus sblum ii, sbagai aka kita lihat skarag. Jika (x) suatu ugsi gap, maka di dalam (4) kita mmprolh B() da () A( ) ( v) cos v dv, Shigga itgral ourir (5) trduksi mjadi apa yag diamaka itgral kosius ourir d () x) A( ) ( cos x d ( gap),

6 Bgitu pula, jika (x) gajil, maka di dalam (4) kita mmprolh A() da () B( ) ( v)si v dv, Shigga itgral ourir (5) trduksi mjadi apa yag diamaka itgral sius ourir. (3) B( ) si x d ( gajil) Pydrhaaa ii sagat mirip dga pydrhaaa pada drt ourir. B. Prhituga Itgral Rprstasi Itgral ourir dapat juga diguaka utuk mghitug itgral. Marilah kita ilustrasika ii dga sbuah Itgral aplac. Cotoh : Ttuka itgral kosius ourir da itgral sius ourir bagi x ( ) ( x >, k > ) Jaab: (a) dari () kita mmprolh A( ) kx cos v dv Skarag, mulai pgitgrala bagia dmi bagia k cos v dv si cos. v + v k + k Bila v maka ksprsi di ruas kaa sama dga k / ( k + ); bila v mdkati tak higga, maka itu mdkati ol kara ada aktor ksposial. Jadi, k / (4) A( ) k + Dga msubtitusika ii kdalam () maka kita mmprolh rprstasi itgral kosius ourir k cos x d k + Dari rprstasi ii kita lihat baha ( x >, k > ) (5) cos x d k + k ( x >, k > )

7 (b) bgitu pula, dari () kita mmprolh B ( ) k si v dv. Mlalui pgitgrala bagia dmi bgia, k k si v dv si cos. v + v k + k + bila v, mdkati bila v. Jadi, Ii sama dga /( ) / k + (6) B( ) Dga dmikia dari (3) kta mmprolh rprstasi itgral sius Fourir si x d k + Dari sii kita mlihat baha (7) si x d k + ( x >, k > ) Itgral-itgral (5) da (7) diamaka itgral laplac. Di dalam pasal brikut, kita aka mlihat baha rumus-rumus ()-(3) dapat diguaka utuk mdiisika dua trasormasi itgral yag dikal sbagai trasormasi kosius ourir da traormasi sius ourir. Ii sagat mudah yag sdikit lbih sulit.