Metode Iterasi Orde Konvergensi Enam Untuk Penyelesaian Persamaan Nonlinear

Transkripsi

1 Smiar asioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri STIKI 9 ISS Pritd : 9- Fakultas Sais da Tkologi UI Sulta Sari Kasim Riau ISS li : 9-6 Pkabaru 8-9 Mi Mtod Itrasi rd Kovrgsi Eam Utuk Plsaia Prsamaa oliar M Muhaiir M Ari Jurusa Matmatika Fakultas Sais da Tkologi Uivrsitas Islam gri Sulta Sari Kasim Riau Jl HR Sobratas o Pkabaru 89 -mail: iam_s86@ahooom Abstrak Plitia ii mmbahas ttag mtod itrasi baru utuk mari akar-akar prsamaa oliar dga variabl tuggal ag mrupaka kombiasi mtod doubl-wto da mtod Potra-Ptak madi mtod itrasi tiga lagkah Slauta turua ag muul pada mtod itrasi trsbut ditaksir mgguaka ptara dua buah mtod brord mpat da bda mau shigga diprolh mtod itrasi bbas turua Sara aalitik dituukka bahwa mtod itrasi ag dihasilka mmpuai ord kovrgsi am dga mpat valuasi ugsi pada stiap itrasi shigga idks isisia adalah 6 Komputasi umrik utuk bbrapa otoh ag diguaka muukka mtod itrasi baru lbih kti ika dibadigka dga mtod lai ag didiskusika Kata kui: Idks isisi mtod doubl-wto mtod Potra-Ptak ord kovrgsi prsamaa oliar Abstrat This stud disusss th w itratio mthod to id th roots o oliar quatios with a sigl variabl that is a ombiatio o doubl-wto mthod ad Potra-Ptak mthod ito a thr-stp itratio mthod Furthrmor drivativs appar o th itratio mthod is stimatd usig th qualiatio o two mthods ourth ordr ad orward dirt Aaltiall show that th itratio mthod is gratd i th ordr o ovrg o si with our valuatio utios at ah itratio so th ii id was 6 umrial omputatio or som o th ampls usd show th w itratio mthod is mor tiv tha othr mthods disussd Kwords: Eii id doubl-wto mthod Potra-Ptak mthod th ordr o ovrg oliar quatios Pdahulua Matmatika mrupaka salah satu ilmu ag srig dimiati kara di dalam matmatika baak prmasalaha ag bisa dislsaika salah satua adalah mlsaika prmasalaha prsamaa oliar ag brbtuk dga : D adalah ugsi skalar di slag trbuka D Utuk mlsaika prsamaa kadagkala mtod aalitik tidak dapat diguaka shigga diprluka mtod lai Mtod ag srig diguaka utuk mlsaika prsamaa adalah mtod umrik dalam btuk mtod itrasi ag mghasilka plsaia brupa ilai hampira Mtod itrasi ag sagat populr da srig diguaka utuk mlsaika prsamaa adalah mtod wto dga btuk da ' ' 6

2 Smiar asioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri STIKI 9 ISS Pritd : 9- Fakultas Sais da Tkologi UI Sulta Sari Kasim Riau ISS li : 9-6 Pkabaru 8-9 Mi dga ord kovrgsi dua [] Pada prkmbagaa mtod wto tlah baak mgalami modiikasi dga tuua utuk migkatka ord kovrgsi da idks isisi Kug da Traub [8] mgmbagka mtod wto madi mtod itrasi dua lagkah dga btuk ' ' ag dikal dga mtod dobl wto da mmiliki ord kovrgsi mpat dga mpat valuasi ugsi pada stiap itrasi Slauta Potra da Ptak [9] uga mgmbagka mtod wto madi mtod dua lagkah shigga diprolh sbuah mtod itrasi baru dga btuk ' ' dga ord kovrgsi tiga [9] Pada artikl ii dibahas kombiasi mtod itrasi pada prsama da prsamaa madi mtod itrasi tiga lagkah bbas turua ag kmudia dilautka dga aalisa kovrgsi mtod trsbut Slauta mtod itrasi ag diprolh dilakuka ui komputasi dga bbrapa kasus ag diplih utuk mlihat kuggula mtod dga bbrapa mtod ag dibadigka Mtodologi da Baha Plitia Mtodologi ag diguaka dalam plitia ii adalah studi litratur dga mgumpulka data da iormasi trhadap matri-matri ag brkaita dga plitia ag brsumbr dari bbrapa buku da artikl dga lagkah-lagkah sbagai brikut: Mdisika kmbali mtod doubl wto pada prsamaa da mtod Potra-Ptak prsamaa ag dikombiasika madi mtod itrasi tiga lagkah Slauta ' ag ada pada mtod trsbut ditaksir mggguaka bda mau Sdagka utuk ' pada mtod trsbut ditaksir mgguaka mtod ptaraa sprti ag dilakuka olh Chu dalam [] shigga diprolh mtod itrasi baru tiga lagkah Mtuka ord kovrgsi da idks isisi dari mtod itrasi ag diprolh srta mlakuka simulasi umrik mgguaka program Mapl Slauta bagia ii uga mmuat bbrapa diisi da torma dasar ag dapat diguaka sbagai ladasa matmatis utuk uraia-uraia pada bagia slauta ag disaika brikut ii Diisi Akar Prsamaa [] Misalka adalah suatu ugsi kotiu Stiap bilaga α pada domai ag mmuhi α = disbut pmbuat ol ugsi atau uga disbut akar prsamaa = Torma Torma Talor [] Misalka dga bilaga bulat positi Misalka suatu itrval I = [a b] da sdmikia higga da kotiu pada I da + ada pada a b Jika I maka utuk sbarag I trdapat suatu titik diatara da shigga 66

3 Smiar asioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri STIKI 9 ISS Pritd : 9- Fakultas Sais da Tkologi UI Sulta Sari Kasim Riau ISS li : 9-6 Pkabaru 8-9 Mi 6!!! '' ' Diisi rd Kovrgsi [] Sbuah barisa itrasi { } dikataka kovrg dga ord p k α ika p utuk suatu kostata > Jika p = maka barisa disbut kovrg liar k α Diisi CC [] Misalka α adalah akar prsamaa oliar da adaika + adalah tiga itrasi brturut-turut ag ukup dkat k akar α Maka omputatioal ordr o ovrg CC dapat diaproksimasi mgguaka rumus / l / l CC Diisi Idks Eisisi [6] Misalka q adalah baak valuasi ugsi ag dibutuhka olh suatu mtod itrasi Eisisi dari mtod trsbut dihitug dga idks isisi ag didiisika sbagai p /q dga p adalah ord kovrgsi dari mtod trsbut Hasil da Pmbahasa Utuk migkatka ord kovrgsi mtod itrasi pada prsamaa da prsamaa ag masig-masig mmiliki ord kovrgsi mpat da tiga Mtod trsbut dikombiasika madi mtod itrasi tiga lagkah dalam btuk brikut ' ' 6 ' Slauta btuk ' ag ada pada prsamaa 6 diaproksimasi mgguaka bda mau brikut ' 8 Utuk ' pada prsamaa 6 da diaproksimasi mgguaka pataraa mtod itrasi brod mpat sprti ag dilakuka olh Chu dalam [] aitu ' ' 9 Jika prsamaa 8 disubstitusika k prsamaa 9 maka diprolh

4 Smiar asioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri STIKI 9 ISS Pritd : 9- Fakultas Sais da Tkologi UI Sulta Sari Kasim Riau ISS li : 9-6 Pkabaru 8-9 Mi 68 ' Kmudia ika prsamaa 8 disubstitusika k prsamaa da prsamaa disubstitusika k prsamaa 6 da maka diprolh mtod itrasi brikut Brikut ii aka dituukka ord kovrgsi mtod itrasi sbagaimaa disaika pada Torma Torma Kkovrga Mtod Itrasi Misalka ugsi ag mmpuai turua pada itrval D Slauta asumsika bahwa α adalah akar sdrhaa dari prsamaa Misalka dibrika tbaka awal ukup dkat k α maka mtod itrasi mmpuai ord kovrgsi am da mmuhi prsamaa rror: 9 6 dga '! da Bukti Misalka α akar sdrhaa dari prsamaa maka Ekspasi Talor utuk di skitar da dga mgabaika suku ag mmuat dga diprolh '' ' lh kara '! dga 6 da shigga stlah pdrhaaa prsamaa 8 dapat ditulis kmbali dalam btuk ' Dga ara ag sama dapat diprolh dga mgguaka kspasi drt Talor di skitar da diprolh ' 6 Brdasarka prsamaa da 6 diprolh Prsamaa disubstitusika k prsamaa diprolh

5 Smiar asioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri STIKI 9 ISS Pritd : 9- Fakultas Sais da Tkologi UI Sulta Sari Kasim Riau ISS li : 9-6 Pkabaru 8-9 Mi 69 8 Kmudia guaka kspasi drt Talor utuk mmprolh di skitar shigga ' 9 Brdasarka prsamaa da 9 diprolh 8 Prsamaa disubstitusika k prsamaa diprolh Utuk mdapatka diguaka kspasi drt Talor di skitar shigga diprolh ' Brdasarka prsamaa 9 da diprolh Prsamaa disubstitusika k prsamaa diprolh 9 6 lh kara prsamaa madi 9 6 Simulasi umrik Pada bagia ii dilakuka simulasi umrik utuk mmbadigka bbrapa mtod itrasi sprti mtod wto M prsamaa mtod doubl-wto MDB prsamaa mtod Potra-Ptak MPP prsamaa da mtod ag didiskusika MBT dalam mmuka akar dari prsamaa oliar Utuk mlakuka prbadiga ii ada bbrapa prsamaa oliar ag diguaka Komputasi dilakuka dga mgguaka batua sotwar Mapl dga ktlitia sampai 8 digit Adapu kritria pmbrhtia program komputasi adalah ika da umlah itrasi mapai maksimum itrasi ag diguaka adalah sbsar - Dalam mlakuka prbadiga ii ada bbrapa prsamaa oliar ag diguaka aitu sbagai brikut:

6 Smiar asioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri STIKI 9 ISS Pritd : 9- Fakultas Sais da Tkologi UI Sulta Sari Kasim Riau ISS li : 9-6 Pkabaru 8-9 Mi Hasil ui komputasi utuk k mpat prsamaa oliar di atas dibrika pada Tabl brikut: Tabl Prbadiga Komputasi Bbrapa Mtod utuk Fugsi Mtod CC 8 6 M MD MPP MBT M MD MPP MBT M MD MPP MBT Tabl Prbadiga Komputasi Bbrapa Mtod utuk Fugsi Mtod CC 9 M MD MPP MBT M MD MPP MBT M MD MPP MBT Tabl Prbadiga Komputasi Bbrapa Mtod utuk Fugsi Mtod CC 8 9 M MD MPP - 9- MBT M MD MPP MBT M MD MPP MBT Tabl Prbadiga Komputasi Bbrapa Mtod utuk Fugsi 6

7 Smiar asioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri STIKI 9 ISS Pritd : 9- Fakultas Sais da Tkologi UI Sulta Sari Kasim Riau ISS li : 9-6 Pkabaru 8-9 Mi Mtod CC - M MD MPP MBT M MD MPP MBT M MD MPP MBT Brdasarka Tabl dapat dilihat bahwa kmpat mtod mmbrika hasil umlah ag sbadig tidak trdapat prbda umlah itrasi ag sigiika Pada Tabl kolom prtama mrupaka variasi ilai awal kolom kdua mrupaka umlah itrasi kolom ktiga mrupaka mtod ag dibadigka kolom kmpat mrupaka ord kovrgsi sara umrik kolom klima mrupaka ilai ugsi ag dihasilka da kolom am mrupaka rror Brdasarka ilai ugsi ag ada pada Tabl trlihat bahwa MTL dibbrapa ilai awal ag dipilih mmiliki ilai ugsi ag lbih kil dibadigka dga mtod laia Ksimpula Brdasarka pmbahasa ag tlah dilakuka maka mtod itrasi baru MTL ag didiskusika mmiliki ord kovrgsi am dga mlibatka mpat valuasi Dga dmikia brdasarka diisi idks isisi mtod ii mmiliki idks isisi 6 lbih baik ika dibadiga mtod wto mtod doubl-wto da mtod Potra- Ptak Hal ii muukka bahwa mtod itrasi baru lbih kti dalam mlsaika prsamaa oliar 6 Datar Pustaka [] K E Atkiso A Itrodutio to umrial Aalsis Sod Editio Joh Wil & So w York 989 Hal 6 [] R G Bartl D R Shbrt Itrodutio to Ral Aalsis st Ed Jho Wil & Sos I w York 999 Hal 8 [] C Chu Som ourth-ordr itrativ mthods or solvig oliar quatios Applid Mathmatis ad Computatio [] C Chu Y M Ham Som ourth modiiatios o wto s mthod Applid Mathmatis ad Computatio [] R V Dukkipati umrial Mthods w Dlhi w Ag Itratioal P Ltd w Dlhi Hal 86 [6] W Gautshi umrial Aalsis Sod Editio Birkhausr w York Hal 6 [] A Kharab da R B Guthr A Itrodutio to umrial Mthods: A MATLAB Approah Third Editio CRC Prss w York Hal 9 [8] H T Kug J F Traub ptimal ordr o o-poit ad multipoit itratio Joural o th Assoiatio or Computig Vol o [9] F A Potra V Ptak odisrt itrodutio ad itrativ prosss Rsarh ots i Mathmatis Vol 98 [] S Wrako T G I Frado A variat o wto s mthods with alaratd third ordr ovrg Applid Mathmatis Lttrs 8 9 6