Penyelesaian Persamaan Nonlinear Menggunakan Metode Iterasi Tiga Langkah

Transkripsi

1 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI ISSN Pritd : -1 Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN li : -0 Pkabaru, 1-1 Mi 01 Plsaia Prsamaa Noliar Mgguaka Mtod Itrasi Tiga Lagkah M N Muhaijir 1, S A Djumadila 1, Jurusa Matmatika, Fakultas Sais da Tkologi Uivrsitas Islam Ngri Sulta Sari Kasim Riau Jl HR Sobratas No 1 Pkabaru, -mail: iam_s@ahooom Abstrak Plitia ii mmbahas ttag mtod itrasi baru utuk mari akar-akar prsamaa oliar dga variabl tuggal ag mrupaka kombiasi mtod doubl-nwto dga mtod Kou t al mjadi mtod itrasi tiga lagkah Brdasarka hasil plitia ditujukka bahwa mtod itrasi baru ag diprolh mmpuai ord kovrgsi dlapa dga tiga valuasi ugsi da dua valuasi turua prtama pada stiap itrasi, shigga idks isisia adalah 1,1 Komputasi umrik utuk bbrapa otoh ag diguaka mujukka mtod itrasi baru lbih kti jika dibadigka dga mtod lai ag didiskusika Kata kui: Idks isisi, mtod doubl-nwto, mtod Nwto, ord kovrgsi, prsamaa oliar Abstrat This stud disusss th w itratio mthod to id th roots o oliar quatios with a sigl variabl that is a ombiatio o doubl-nwto mthod with th Kou t al mthod to a thr-stp itratio mthod Basd o th rsults o th stud idiatd that th w itratio mthod obtaid has ordr o ovrg o ight with thr valuatio utios ad th irst two drivativs valuatio at ah itratio, so th ii id was 11 Numrial omputatio or som o th ampls usd show th w itratio mthod is mor tiv tha th othr mthods disussd Kwords: Eii id, doubl-nwto mthod, Nwto's mthod, th ordr o ovrg, oliar quatios 1 Pdahulua Salah satu masalah praktis ag palig srig muul di baak bidag studi sprti matmatika, isika, biologi, kimia, koomi, smua tahapa tkik, rist oprasi, da sai sosial adalah mlsaika suatu prsamaa Jika prsamaa trsbut dalam btuk liar, maka mtod mtod aalitik dapat diguaka utuk mlsaikaa Aka ttapi, jika prsamaa trsbut dalam btuk oliar, maka tidak smua mtod aalitik dapat mlsaikaa Utuk itu, mtod umrik diprluka utuk mlsaika prmasalaha trsbut Prmsalaha srig muul dalam mtod umrik adalah mtuka akar dari suatu prsamaa oliar dalam btuk 0 1 Mtod ag srig diguaka utuk mlsaika prsamaa 1 adalah mtod itrasi ag mghasilka plsaia brupa ilai hampira Mtod itrasi ag sagat populr da srig diguaka utuk mlsaika prsamaa 1 adalah mtod Nwto dga btuk 1, 0, 1,, da ' 0, ' dga ord kovrgsi dua [, ] Pada prkmbagaa mtod Nwto tlah baak mgalami modiikasi dga tujua utuk migkatka ord kovrgsi da idks isisi Modiikasi mtod Nwto dga ord kovrgsi tiga dapat di lihat pada [,,, 10, 1, 1, 1], da modiikasi mtod Nwto dga ord kovrgsi mpat dapat di lihat pada [,, 1]

2 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI ISSN Pritd : -1 Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN li : -0 Pkabaru, 1-1 Mi 01 Kug da Traub [1] mgmbagka mtod Nwto mjadi mtod itrasi dua lagkah dga btuk 1, ', ' ag dikal dga mtod doubl-nwto da mmiliki ord kovrgsi mpat dga mpat valuasi ugsi pada stiap itrasi Kou t al [1] mgmbagka sbuah mtod itrasi baru ag mgkombiasika mtod Potra-Ptak da Nwto-Sts dga btuk 1 ' 1 ', dga ord kovrgsi mpat [1] Pada artikl ii dibahas kombiasi mtod itrasi pada prsama da prsamaa mjadi mtod itrasi tiga lagkah, ag kmudia dilajutka dga aalisa kovrgsi mtod trsbut, Slajuta, mtod ag diprolh dilakuka uji komputasi utuk mlihat kuggula mtod dga bbrapa mtod ag dibadigka Mtodologi da Baha Plitia Mtodologi ag diguaka dalam plitia ii adalah studi litratur dga mgumpulka data da iormasi trhadap matri-matri ag brkaita dga plitia ag brsumbr dari bbrapa buku da artikl Slajuta, bagia ii juuga mmuat bbrapa diisi da torma dasar ag dapat diguaka sbagai ladasa matmatis utuk uraia-uraia pada bagia slajuta ag disajika brikut ii Diisi 1 Akar Prsamaa [11] Misalka adalah suatu ugsi kotiu Stiap bilaga α pada domai ag mmuhi α = 0 disbut pmbuat ol ugsi, atau juga disbut akar prsamaa = 0 Torma Torma Talor [] Misalka N, dga N bilaga bulat positi Misalka suatu itrval I = [a, b] da sdmikia higga da,,, kotiu pada I da +1 ada pada a, b Jika 0 I maka utuk sbarag I trdapat suatu titik diatara da 0 shigga 0 '' 0 ' 0 0 0! ! 1! Diisi rd Kovrgsi [1] Sbuah barisa itrasi { 0} dikataka kovrg dga ord p 1 k α jika 1, 0, utuk suatu kostata > 0 Jika p = 1, maka barisa disbut kovrg liar k α p Diisi CC [1] Misalka α adalah akar prsamaa oliar, da adaika 1,, +1 adalah tiga itrasi brturut-turut ag ukup dkat k akar α Maka omputatioal ordr o ovrg CC dapat diaproksimasi mgguaka rumus

3 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI ISSN Pritd : -1 Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN li : -0 Pkabaru, 1-1 Mi 01 l CC l 1 / / 1 Diisi Idks Eisisi [] Misalka q adalah baak valuasi ugsi ag dibutuhka olh suatu mtod itrasi Eisisi dari mtod trsbut dihitug dga idks isisi ag didiisika sbagai p 1/q, dga p adalah ord kovrgsi dari mtod trsbut Hasil da Pmbahasa Utuk migkatka ord kovrgsi mtod itrasi pada prsamaa da prsamaa ag mmiliki ord kovrgsi mpat Mtod trsbut dikombiasika mjadi mtod itrasi tiga lagkah dalam btuk brikut 1, ', ' ' 1 ' Brikut ii aka ditujukka ord kovrgsi mtod itrasi sbagaimaa disajika pada Torma 1 Torma 1 Kkovrga Mtod Itrasi Misalka itrval D Slajuta asumsika bahwa α adalah akar sdrhaa dari prsamaa ugsi ag mmpuai turua pada Misalka dibrika tbaka awal 0 ukup dkat k α, maka mtod itrasi mmpuai ord kovrgsi dalapa utuk = 1 da mmuhi prsamaa rror: k k k! ' 1 dga, k 1da Bukti Misalka α akar sdrhaa dari prsamaa, maka Ekspasi Talor utuk di skitar da dga mgabaika suku ag mmuat, dga diprolh 1 ' '' k lh kara k k! ' dga k,,, da, shigga stlah pdrhaaa prsamaa dapat ditulis kmbali dalam btuk, Dga ara ag sama, da diprolh ' dapat diprolh dga mgguaka kspasi drt Talor di skitar 00

4 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI ISSN Pritd : -1 Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN li : -0 Pkabaru, 1-1 Mi ' ' 10 Brdasarka prsamaa da 10 diprolh ' 11 Prsamaa 11 disubstitusika k prsamaa diprolh 1 Kmudia, guaka kspasi drt Talor utuk mmprolh di skitar shigga ' 1 Utuk mmprolh kspasi kmbali mgguaka drt Talor di skitar shigga diprolh 11 1 ' ' 1 Brdasarka prsamaa 1 da 1 diprolh ' 1 Prsamaa 1 disubstitusika k prsamaa diprolh 1 Utuk mdapatka diguaka kspasi drt Talor di skitar shigga diprolh 1 Brdasarka prsamaa 1, 1, da 1 sara brturut-turut diprolh ' 1 da ' 1 Prsamaa 1 da 1 disubstitusika k prsamaa diprolh 1 0 Jika ilai = 1, maka prsamaa 0 mjadi 1 1 lh kara, prsamaa mjadi 1 Simulasi Numrik Pada bagia ii dilakuka simulasi umrik utuk mmbadigka bbrapa mtod itrasi sprti mtod wto m prsamaa, mtod doubl-wto mdb prsamaa, mtod kou t al mk prsamaa, mtod hbshv-lagrag ml [1], da mtod ag didiskusika ma dalam mmuka akar dari prsamaa oliar Utuk mlakuka prbadiga ii, ada bbrapa prsamaa oliar ag diguaka Komputasi dilakuka dga mgguaka batua sotwar mapl 1 dga ktlitia sampai 00

5 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI ISSN Pritd : -1 Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN li : -0 Pkabaru, 1-1 Mi 01 digit Adapu kritria pmbrhtia program komputasi adalah jika,, da jumlah itrasi mapai maksimum itrasi ag diguaka adalah sbsar Slajuta, hasil simulasi umrik utuk jumlah itrasi ag diprolh utuk bbrapa mtod ag dibadigka dapat di lihat pada tabl 1 Tabl 1: Prbadiga Jumlah Itrasi utuk Fugsi 1 Jumlah Itrasi Fugsi 0,0 1 1, 1 1 1,,0 10 Tabl : Prbadiga Jumlah Itrasi utuk Fugsi Fugsi Jumlah Itrasi 1, os,0 1,0,, ,10001 Tabl : Prbadiga Jumlah Itrasi utuk Fugsi Jumlah Itrasi Fugsi -1, 1 * -0, 0,0 0, -0,11 Tabl : Prbadiga Jumlah Itrasi utuk Fugsi Jumlah Itrasi Fugsi -1,0-0, 0, 1,0 10-0,0100 Brdasarka Tabl 1 dapat dilihat bahwa sara ksluruha jumlah itrasi ag dihasilka olh MNA lbih sdikit jika dibadigka dga MN, MDN, da MKY da mmpuai jumlah itrasi ag sama dga MCL kara ord kovrgsia sama Tabl mmprlihatka dga tada bitag * bahwa utuk ilai MKY tidak dapat mmuka akar ag digika Jika di lihat dari Tabl 1 utuk bbrapa ugsi da variasi ilai awal ag diguaka bahwa MNA lbih uggul dari mtod tiga mtod laia, aitu MN, MDN, da MKY Sdagka jika dibadigka dga MCL, maka MNA mmiliki jumlah itrasi ag sara ksluruha sama dga MCL Tabl brikut mujukka ilai CC dari bbrapa mtod ag dibadigka dga MNA utuk bbrapa variasi ilai awal ag dibrika Tabl : Prbadiga Nilai CC Fugsi Nilai CC MN MDB MKY MCL MNA 0,0,0000,0000,0000,0000,1 1,,0000,0000,0000,,,0000,0000,0000,0000,0000,0,0000,0000,0000,0000, 1,0,0000,0000,0000,0000,0000 1,,0000,0000,0000,0000,0000,0,0000,0000,0000,0000,0000 0

6 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI ISSN Pritd : -1 Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN li : -0 Pkabaru, 1-1 Mi 01,,0000,0000,0000,0000,0000-1,,0000,0000 *,0000,0000-0,,0000,0000,0000,0000,0000 0,0,0000,0000,0000,0000,0000 0,,0000,0000,0000,0000,0000-1,0,0000,0000,0000,, -0,,0000,0000,0000,0000,0000 0,,0000,0000,0000,001,0000 1,0,0000,0000,0000,0000,0000 Brdasarka Tabl dapat di lihat bahwa utuk ilai CC mtod itrasi baru ag diprolh MNA slalu kovrg muju dlapa, dga kata lai sara umrik dapat dibuktika bahwa MNA mmiliki ord kovrgsi dlapa Sdagka, utuk mtod lai sara umrik dapat dibuktika bahwa MN mmiliki ord kovrgsi dua, MDN mmiliki ord kovrgsi mpat, MKY mmiliki ord kovrgsi mpat, da MCL mmiliki ord kovrgsi ag sama dga MNA aitu dlapa Ksimpula Brdasarka hasil pmbahasa diprolh mtod itrasi baru ag mrupaka kombiasi dari mtod doubl-nwto da mtod Kou t al ag mmiliki ord kovrgsi dlapa dga lima valuasi ugsi pada stiap itrasi, shigga brdasarka Diisi diprolh idks isisi lbih bsar jika badigka dga mtod Nwto ag mmiliki idks isisi da mtod doubl-nwto ag mmiliki idks isisi Simulasi umrik juga mujukka bahwa mtod itrasi baru mmiliki jumlah itrasi ag lbih sdikit dibadigka mtod lai ag didiskusika Datar Pustaka [1] K E Atkiso, A Itrodutio to Numrial Aalsis, Sod Editio, Joh Wil & So, Nw York, 1, Hal [] R G Bartl, D R Shbrt, Itrodutio to Ral Aalsis, Fourth Editio, Jho Wil & Sos, I, Nw York, 1, Hal 1 [] C Chu, A simpl ostrutd third-ordr modiiatios o Nwto s mthod, Joural o Computatioal ad Applid Mathmatis, 1 00, 1 [] C Chu, Y M Ham, Som ourth modiiatios o Nwto s mthod, Applid Mathmatis ad Computatio, 1 00, [] C Chu, B Nta, Crtai improvmt o Nwto s mthod with ourth ordr ovrg, Applid Mathmatis ad Computatio, 1 00, 1 [] R V Dukkipati, Numrial Mthods, Nw Dlhi, Nw Ag Itratioal P Ltd, Nw Dlhi, 010 Hal [] L Fag, G H, Z Hu, A ubiall ovrgt Nwto-tp mthod udr wak oditio, Joural Computatioal ad Applid Mathmatis, 0 00, 0 1 [] M Frotii, E Sormai, Som variat o Nwto's mthod with third ordr ovrg,applid Mathmatis ad Computatio, 10 00, 1 [] W Gautshi, Numrial Aalsis, Sod Editio, Birkhausr, Nw York, 01, Hal 1 [10] V Kawar, A amil o third-ordr multipoit mthods or solvig oliar quatios, Applid Mathmatis ad Computatio, 1 00, 0 1 [11] A Kharab da R B Guthr, A Itrodutio to Numrial Mthods: A MATLAB Approah, Third Editio, CRC Prss, Nw York, 01, Hal [1] J Kou, L Yitia, W Xiuhua, Third-ordr modiiatio o Nwto s mthod, Joural Computatioal ad Applid Mathmatis, 0 00, 1 [1] J Kou, L Yitia, W Xiuhua, A omposit ourth-ordr itrativ mthod or solvig oliar quatios, Applid Mathmatis ad Computatio, 1 00, 1 [1] H T Kug, J F Traub, ptimal ordr o o-poit ad multipoit itratio, Joural o th Assoiatio or Computig, Vol 1, No, 1, 1 [1] M N Muhaijir, M Imra, M D H Gamal, Variats o Chbshv mthod with ighth-ordr ovrg or solvig oliar quatios, Applid ad Computatioal Mathmatis,, 01, 1 [1] A Y ba, Som w variats o Nwto s mthod, Applid Mathmati Lttrs 1 00, 0