TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK- KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLIDE

Transkripsi

1 Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) TORMA KKONVRGNAN FUNGSI TRINTGRAL HNSTOCK- KURZWIL SRNTAK DAN FUNGSI BRSIFAT LOCALLY SMALL RIMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG UCLID K RUANG BARISAN Aiswita, ( < ) (Jurusa Pedidia Matematia STAIN Buit Tiggi, mail: aesamq8@gmailcom) Abstract: I this aer we discuss Hestoc qui -itegrable ad Uiormly Locally Small Riema Sums (USRS) roerties or Hestoc-Kurzweil itegrable uctios rom the uclidea saces ito the Sequeces sace,( ) Keywords: Hestoc qui -itegrable, Uiormly Locally Small Riema Sums (USRS) ad Hestoc-Kurzweil itegrable uctios rom the uclidea saces ito the Sequeces sace,( ) 45

2 Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) PNDAHULUAN Pada tahu 96, Hestoc da Kurzweil secara terisah megitlaa itegral Riema dega megubah ostata mejadi ugsi ositi da teryata itegral yag di susu euivale Oleh area itu itegral tersebut dieal dega itegral Hestoc-Kurzweil atau itegral Riema yag dierluas (Gordo, 994) Itegral ii medaat erhatia yag sagat besar dari ara eeliti, berbagai eelitia dilaua utu meggali siat-siat da aliasiya Diatara siat tersebut adalah siat Locally Small Riema Sums (LSRS) Pegertia LSRS utu ugsi berilai Real ada himua bilaga Real yag teritegral Hestoc diberia da dibuua oleh Lee (989) Idrati () megitlaaya utu ugsi berilai real ada ruag uclide berdimesi, emudia Suherma (3) megembagaya utu ugsi berilai vetor ada ruag uclide berdimesi, sedaga utu ugsi berilai barisa, ( < ) diembaga oleh Aiswita (6) Berdasara uraia diatas aa diselidii teorema eovergea ugsi teritegral Hestoc sereta dega ugsi yag bersiat Locally Small Riema Sums (LSRS) dari ruag uclide e ruag barisa, ( <) Himua semua bilaga real diotasia dega Utu bilaga asli, meyataa himua semua asaga atas bilaga real, yaitu ( actor) =,, = : da i i Utu titi, erseitara (eighborhood) titi dega jari- jari r>, diotasia dega B (, r) da dideiisia Utu ( < ), B (, r) = y : y da y r meruaa olesi semua barisa = W sehigga atau ditulis, (Kreyszig,, 978) = W, 46

3 Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) Perlu dierhatia bahwa ugsi : meruaa barisa ugsi dega :, utu setia (,,3,) sehigga utu setia = () Selajutya jia, g ugsi dari e dideiisia ilai ugsi da + g sebagai beriut (i) ( ) ( ) = ( ), utu setia da suatu salar (ii) ( (i) + g ) ( g ) = ( ) + g ( ), utu setia Utu setia da g setia N (ii) < g setia N (iii) jia da haya jia g setia N jia da haya jia jia da haya jia g g g, utu setia N dideiisia, yaitu g, utu setia, yaitu g da, utu setia da g, yaitu ( ) g ( ), utu setia da Beriut ii diberia deiisi eovergea barisa ugsi Diberia ugsi, : utu setia N i) Barisa ugsi = atau lim ( ) = diataa overge e ugsi ( ), jia utu setia ada, ditulis dega barisa lim () overge e ( ), yaitu utu setia bilaga > da terdaat bilaga asli m = m(, ) sehigga jia m beraibat ( ) ( ) ii) Barisa ugsi diataa overge seragam e ugsi ada jia utu setia bilaga > terdaat bilaga asli m = m( ) sehigga jia m beraibat ( ) ( ), utu setia Selajutya area sel tertutu da terbatas maa sel meruaa himua oma sehigga utu setia barisa ugsi yag overge ada sel meruaa barisa ugsi yag overge seragam ada sel yag sama 47

4 Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) Beriut diberia deiisi, siat dasar da siat lajut dari itegral Hestoc dari ruag uclide e ruag barisa, ( < ) Deiisi Diberia ugsi volume ada da sel Fugsi : diataa teritegral Hestoc ada, ditulis dega R,, jia terdaat terdaat ugsi ositi D D, i D, i : i,,, r ada berlau a dega siat utu setia bilaga a ada sehigga utu setia artisi Perro D ( ) ( a ( i ) ( D ) a r i Selajutya ilai a i -ie a yag dimasud di atas disebut ilai itegral- Hestoc ugsi ada di tulis dega a ( R) d Deiisi Diberia ugsi volume ada, sel, da ugsi : utu setia, (=,, ) Barisa ugsi {} diataa teritegral- Hestoc sereta (Hestoc qui -itegrable) ada dega F sebagai rimitiya jia utu setia bilaga terdaat ugsi ositi ada sehigga utu setia artisi Perro D F - ie D, D ada berlau D,utu setia Teorema 3 (Kriteria Cauchy) Diberia ugsi volume ada da sel jia da haya jia utu setia bilaga terdaat Fugsi R,, ugsi ositi ada sehigga utu setia dua artisi D, D D, ada berlau ) ( D ) D ( ) ( D ) D ( D da Teorema 4 (Lemma Hestoc) Diberia ugsi volume ada Jia R,, da sel dega F sebagai rimitiya, yaitu utu setia 48

5 Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) bilaga -ie D, D terdaat ugsi ositi D ada berlau ( ) ( F( ) ada sehigga utu setia artisi Perro D, maa utu setia jumlah bagia D berlau ( ) ( F( ) dari Teorema 5 (Peluasa Harac) Diberia ugsi volume ada, sel, da ugsi : Himua X meruaa himua tertutu di dalam da {i} meruaa barisa himua tertutu sederhaa yag tida salig tumagtidih dega i setia i dega \ X Jia R X,, i ( R ) maa d i i da R,, R,, da ( R ) d ( R ) d ( R ) X i i i d, utu Aibat 6 (Siat Cauchy) Diberia ugsi volume ada, sel, da ugsi : Barisa {i} meruaa barisa himua sederhaa yag tida salig tumag-tidih dega i i, dega titi-dalam (iterior oit) sel Jia R,, i meyataa himua, utu setia i dega R ( ) maa R,, d i i da ( R ) d ( R ) i i d HASIL DAN PMBAHASAN Pada bagia ii aa dibahas tetag beberaa teorema eovergea diataraya yaitu eovergea teritegral sereta da teorema eovergea ugsi yag memilii siat Uiomly Locally Small Riema Sums (ULSRS) 49

6 Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) Deiisi Diberia ugsi volume ada, sel : utu setia, (=,, ) Barisa ugsi, da ugsi diataa teritegral- sereta (Hestoc qui -itegrable) ada sel jia utu setia bilaga terdaat ugsi ositi ada sehigga utu setia artisi Perro ie D, D ada berlau D D R d, utu setia Deiisi Diberia ugsi volume ada, sel da ugsi : utu setia, (=,, 3, ) Barisa ugsi teruur bersiat LSRS seragam atau Uiomly Locally Small Riema Sums (ULSRS) ada sel jia utu setia bilaga terdaat ugsi ositi ada sehigga utu setia -ie D D, ada sel C By, ( y) utu setia D D, Lemma 3 Jia Barisa ugsi teruur da y C berlau y da utu setia artisi Perro bersiat LSRS seragam ada sel da hd ada sel maa ugsi bersiat LSRS Buti: Tama meguragi arti daat diagga bahwa ada sel, area jia ugsi teritegral Hestoc ada sel da g = hd ada sel maa g teritegral Hestoc, lebih lajut g meruaa ugsi bersiat LSRS ada sel Jadi berarti utu setia bilaga da utu setia terdaat bilaga ositi, dega siat utu setia, berlau 5

7 Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) Barisa ugsi teruur bersiat LSRS seragam ada sel terdaat ugsi ositi ada sehigga utu setia D D utu setia artisi Perro y berlau -ie D D, ada sel C By, ( y) -ie D, utu setia Lebih lajut utu setia artisi Perro da y C D ada sel, cacah titi terait adalah higga Dega demiia meurut lemma Hestoc, utu setia artisi Perro -ie D D, ada sel C By, ( y) da y C D D D D D D D 3 Dega mas : D, berlau Teorema 4 Jia Barisa ugsi teruur adalah barisa ugsi teritegral Hestoc sereta ada sel da hd ada sel utu maa teritegral Hestoc ada sel da R d R Buti: lim d Tama meguragi arti diagga ada sel Berarti utu setia bilaga da utu setia terdaat bilaga ositi dega siat utu setia berlau Barisa ugsi teruur adalah barisa ugsi teritegral Hestoc sereta ada sel sehigga terdaat ugsi ositi Perro -ie D, D ada berlau ada sel dega siat utu setia artisi 5

8 Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) D ( ) ( R d Cacah titi terait utu setia artisi Perro maa daat diambil K mas D :, utu setia -ie D, D ada adalah higga Dega demiia utu, m N dieroleh R d R m ( ) ( R D d + D ) ( D D ( + m D m ( ) ( R m d Jadi D D m + D 3 meruaa barisa Cauchy, aibatya overge, ataa e a terdaat bilaga ositi R d a dega siat utu setia berlau Utu setia artisi Perro -ie D, K mas, : D maa utu setia artisi Perro -ie D, berlau ( ) ( a Berarti D ada diambil D ( ) + D ) ( D D D D ada D ( ) ( R d + R a 3 Dega ata lai terbuti teritegral Hestoc ada sel da R d R lim d 5

9 Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) Teorema 5 maa Buti Jia Barisa ugsi teruur teritegral Hestoc sereta ada sel Dietahui Barisa ugsi teruur bersiat LSRS seragam ada sel bersiat LSRS seragam ada sel, berarti utu setia bilaga terdaat ugsi ositi ada dega siat utu setia y y C da utu setia artisi Perro berlau utu setia D D, Barisa ugsi teruur D D, ada sel C By, ( y) -ie goro terdaat himua terbua O dega O seragam ada da overge hd ada sel sehigga meurut Teorema dega siat overge \ O Jadi terdaat bilaga ositi K dega siat utu setia K berlau, utu setia \ O 7 D Utu setia, R,, siat utu setia dua artisi sehigga terdaat ugsi ositi -ie D, D ada berlau D ( ) ( ) D D D 7 ada sel dega Diambil ugi ositi ada sel dega mi mi,,, K, utu,,,, d, O, K setia \ O utu setia Maa utu setia dua artisi -ie D, D ada O Jia K dieroleh D ( ) ( D D 7 53

10 Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) Jia K D ( ) ( D D 7 D ( ) ( D D + K D ( ) ( D D + K K D ( ) ( D K D D D D K \ O 7 D D + D D O O K D D D \ O K D D + D D O O K Jadi terbuti jia barisa ugsi teruur bersiat LSRS seragam ada sel maa teritegral Hestoc sereta ada sel Teorema 6 Jia Barisa ugsi teruur bersiat LSRS seragam ada sel da hd ada sel utu maa ugsi teritegral Hestoc ada sel da R d R Buti: lim d Lemma 3 megaibata ugsi bersiat LSRS ada sel da sesuai dega Teorema 5 dieroleh ugsi teritegral Hestoc ada sel da dega megguaa Teorema 4 da Teorema 5 dieroleh R d R lim d 54

11 Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) KSIMPULAN Berdasara embahasa di atas daat disimula bahwa ugsi yag teritegral Hestoc dari ruag uclide e ruag barisa, ( < ) Permasalaha-ermasalaha lai yag erlu diembaga atara lai ajia megeai teorema eovergea Globally Small Riema Sums ugsi yag teritegral Hestoc dari ruag uclide aliasiya ada disili ilmu lai e ruag Barisa,( <) serta DAFTAR PUSTAKA Gordo, R A, 994, The Itegral o Lebesque, Dejoy, Perro ad Hestoc, America Mathematical Society, USA Idrati, Ch R,, Itegral Hestoc-Kurzweil di Dalam Ruag uclide Berdimesi, Disertasi, Uiversitas Gadjah Mada, Idoesia Kreyszig,, 978, Itroductio Fuctioal Aalysis with Alicatio, Joh Wiley ad Sos Lee, P Y, 989, Lazhou Lectures o Hestoc Itegratio, Word Scietiic, Sigaore Peer, W F, 993, The Riema Aroach to Itegratio, Cambridge Uiversity Press, New Yor, USA Royde, H L, 989, Real Aalysis, third editio, Macmilla Publishig Comay, New Yor, USA 55