PENGEMBANGAN METODE ITERASI DUA DAN TIGA LANGKAH DENGAN ORDE KONVERGENSI OPTIMAL

Transkripsi

1 PENGEMBANGAN METODE ITEASI DUA DAN TIGA LANGKAH DENGAN ODE KONVEGENSI OPTIMAL Supriadi Putra M.Si* Dr. Sasudhuha M.S urusa Matatika FMIPA Uivrsitas iau ABSTAK Dala akalah ii disajika dua tod itrasi baru -lagkah da -lagkah ag asigasig iliki ord kkovrga pat da tujuh utuk lsaika prsaaa oliar. Cojtur Kug-Traub gataka bahwa utuk apai ord kkovrga pat diprluka tiga valuasi ugsi sdagka utuk apai ord kkovrga tujuh diprluka pat valuasi ugsi. Mlalui siulasi urik aka ditujukka bahwa kdua tod ii ukup isi da brika kirja ag saa atau bahka lbih baik apabila dibadigka dga tod Nwto Klasik. Kata kui : Cojtur Kug-Traub -lagkah -lagkah kkovrga tod itrasi ord pat ord tujuh prsaaa o-liar. PENDAHULUAN Baak prasalaha dala sait da tkik rluka plsaia dari prsaaa oliar 0 [-9]. Salah satu ara plsaia trbaik utuk lsaika prsaaa ii adalah gguaka Mtod Nwto MN dga orulasi itrasi sbagai brikut 0 K da Mtod Nwto kovrg sara kuadratik [-9]. Bbrapa usaha tlah dilakuka olh pliti sblua utuk odiikasi tod ii utuk igkatka kkovrgaa. Pgbaga lbih dilakuka kpada itrasi -lagkah da -lagkah. Pgbaga itrasi - lagkah ag tlah dilakuka olh arrat Mar iliki kkovrga ord- [] dga btuk itrasi... Disapaika dala aara Siar Brsaa da apat Tahua BKS PTN Wilaah Barat 9-0 Mi 0 di Uivrsitas Labug Magkurat Kaliata Slata Idosia.

2 diaa. Sdagka pgbaga itrasi -lagkah brika kkovrga ord- sbagaiaa ag tlah dilakuka olh Chu []. Mtod Chu MCH :... diaa. Mtod itrasi ag tlah dibuktika sprti pada prsaaa adalah tod ag optial sdagka tod pada prsaaa blu rupaka tod itrasi ag optial kara blu uhi kttua Cojtur Kug-Traub [8]. Cojtur Kug-Traub gataka bahwa tod itrasi optial tapa gigat itrasi sblua out or gguaka valuasi ugsi dapat apai ord kkovrga sbsar. Dala akalah ii aka dilakuka rviw trhadap tod ag ditawarka olh Khattri dkk []. Pada tod ii diprlihatka dua btuk odiikasi ag baru diaa asig-asig dga ord kkovrga pat da tujuh. Utuk apai ord kkovrga pat diprluka tiga valuasi ugsi sdagka utuk apai ord kkovrga tujuh diprluka pat valuasi ugsi. Id kostruksi tod baru ii adalah ataka btuk turua pada lagkah brikuta sbagai kobiasi liar dari turua lagkah sblua da kiriga. Slajuta dga gabil pbadig tod optial laia aitu Mtod Nwto da arrat aka dilakuka uji koputasi.

3 PENGEMBANGAN METODE ITEASI BAU Prhatika Mtod Nwto Gada MNG brikut... Mtod Nwto Gada ii kovrg dga ord pat. Kara Mtod Nwto Gada kovrg dga ord kkovrga pat aka sstia tod ii lakuka valuasi ugsi pada stiap itrasia. Aka ttapi tod ii lakuka valuasi ugsi. Hal ii brarti utuk goptialkaa diprluka pdkata dari salah satu valuasi ugsi diataraa. Misalka diari pdkata dala suku da. Misalka diataka sbagai kobiasi liar kiriga pada titik da / kiriga garis ag ghubugka titik da diaa. Pgguaa prsaaa ii dga Mtod Nwto Gada aka brika tod itrasi baru MB- sbagai brikut... Slajuta aka dibuktika kkovrga ord pat ag rupaka btuk khusus dari itrasi prsaaa dala tora brikut. Tora. Misalka γ akar dari ugsi D : trdirsialka pada itrval buka. D ika 0 ukup dkat dga γ ord kkovrga dari tod baru MB- adalah jika da haa jika. Prsaaa ror utuk tod ii diataka sbagai Dala hal ii! γ γ dga.

4 Bukti : Ekspasi Talor dari da skitar γ brika Apabila prsaaa dibagi dga prsaaa aka diprolh..8 Slajuta dga lakuka kpasi Talor dari skitar da gguaka lagkah k- dari tod MB- diprolh. L... 9 Dga substitusika tiga prsaaa sblua k prsaaa 9 diprolh....0 Akhira dga substitusika prsaaa da 0 pada lagkah k- dari tod MB- diprolh prsaaa rror ag diigika kkovrga ord-. Sbagai atatata tod ii juga dikal dga tod Otrowski s [9]. Slajuta dga ara ag saa tod dga ord kkovrga lbih tiggi MB- dapat dikostruksi sbagai brikut Ψ... diaa Ψ didiisika sbagai kobiasi liar dari kiriga da tiga garis ag ghubugka titik-titik da da da. Ψ

5 Tora. Misalka γ akar dari ugsi D : trdirsialka pada itrval buka. D ika 0 ukup dkat dga γ ord kkovrga dari tod baru MB- adalah jika da haa jika da. Prsaaa ror utuk tod ii diataka sbagai 8. Bukti : Substitusika prsaaa 8 da 0 k prsaaa da dga gguaka lagkah k- dari tod MB- aka diprolh. γ... Slajuta utuk ari btuk kspasi Talor dari lakuka trlbih dahulu kpasi Talor skitar sbagai brikut. L... Dga gguaka lagkah k- dari tod MB- diprolh.... Turua ord tiggi dari pada diprolh dari uruka prsaaa 0 trhadap. Akhira prsaaa rror ag diari diprolh dga ara substitusika prsaaa 0 da k lagkah k- dari tod MB- sbagai brikut [ ] [ ] [ ] 0 8 Kkovrga ord- dari tod MB- ii da brlaku jika da jika da.

6 Dari hasil ag tlah diprolh tod ag dibrika olh prsaaa ord kkovrga ag dibrika sudah optial kara valuasi ugsi ag dilakuka tpat tiga kali pada stiap itrasia. Aka ttapi tod ag dibrika olh prsaaa blu optial kara utuk valuasi ugsi pada stiap itrasia sstia brika ord kkovrga 8 aka ttapi dala hal ii haa diprolh. UI KOMPUTASI Ord kkovrga p tod itrasi didiisika sbagai li 0 p da lbih jauh hal ii dapat dilakuka dga ghitug COC oputatioal ordr o ovrg dga gguaka pdkata prhituga [89] l ρ l γ / γ γ / γ. Kritria pbrhtia itrasi ag diguaka adalah < ε da < ε. Dala hal ii ε 0 0. Fugsi ag diguaka utuk guji tod adalah γ.0. γ.0 si /00 γ.0 γ 0.0 Hasil prhituga julah valuasi ugsi COC utuk ugsi uji di atas disajika dala tabl brikut. Sigkata aa tod ag diguaka adalah MN : Mtod Nwto [-9] MNG : Mtod Nwto Gada Mar : Mtod ag dibuktika olh arrat dkk []. MCH : Mtod ag dibuktika olh Chu []. MB- da MB- : Mtod baru ag ditawarka [].

7 Tabl. ulah valuasi ugsi COC slaa itrasi brlagsug utuk ugsi uji 0 MN MNG Mar MCH MB- MB KESIMPULAN Mtod itrasi ag optial utuk lsaika prsaaa o liar haruslah iliki julah ugsi valuasi ag palig sdikit. Dala tabl di atas tod ag ilik julah valuasi ugsi palig kil dibri tada garis bawah. Brdasarka hasil prhituga dala tabl di atas tod MB- da MB- ag disajika dala akalah ii saa optiala atau bahka lbih optial dari tod laia ag diguaka sbagai pbadig. DAFTA PUSTAKA []. Ahad F. Hussai S. Mir NA. aiq A. Nw Sith Ordr arrat Mthod or Solvig Noliar Equatios. It. oural o Appl. Math. ad Mh []. Argros I. Covrg ad appliatios o Nwto-tp itratios. Nw York: Sprigr Vrlag 008. []. Atkiso K.E A Itrodutio to Nurial Aalsis. Wil. Nw York. []. Chu C. So iprovts o jarrat s thods with sith ordr ovrgs. Applid Mathathatis ad Coputatio []. arratt P. So Fourth Ordr Multipoit Itrativ Mthods or Solvig Equatios. Math. Cop []. Khattri K.S Argros I How to Dvlop Fourth ad Svth Ordr Itrativ Mthods?. Novi Sad. Math.Vol.0 No []. Ostrowski A.M. Solutio o Equatios ad Ssts o Equatios. Aadi Prss Nw York-Lodo 9. [8]. Traub.F. Itrativ Mthods or th Solutio o Equatios. Prti Hall Nw York 9. [9]. Wrakoo S. Frado T.G.I. A Variat o Nwtos Mthod with Alratd Third- Ordr Covrg. Appl. Math. Ltt