PEMBELAJARAN KONVERGENSI BARISAN BILANGAN DAN FUNGSI REAL DENGAN MATLAB dan GEOGEBRA

Transkripsi

1 Bidag Kajia : Pdidika Matmatika PEMBELAJARAN KONVERGENSI BARISAN BILANGAN DAN FUNGSI REAL DENGAN MATLAB da GEOGEBRA H.A. Parhusip Program Studi Matmatika Fakultas Sais da Matmatika Uivrsitas Krist Satya Wacaa Abstrak Papr ii mmbrika ptujuk utuk mmulai blajar aalisa ral dga mgguaka visualisasi MATLAB da GEOGEBRA. Studi kovrgsi dapat dga mudah dilakuka jika barisa bilaga ral da barisa fugsi ral divisualisasika dalam suatu grafik. Ilustrasi dapat dilakuka scara lagsug utuk bbrapa ilai skalipu kita mghdaki utuk mmplajari kovrgsi barisa utuk muju tak higga. Bbrapa cotoh barisa ral ditujukka dga bukti formal scara lgkap mgguaka dfiisi da visualisasi dga MATLAB. Sdagka barisa fugsi ditujukka dga visualisasi grafik mgguaka GEOGEBRA. Makalah ii juga mmbatu pmbaca utuk muliska pmbuktia aalisa ral lbih mudah utuk disampaika kpada siswa/mahasiswa kara didukug dga grafik. Kata kuci: kovrgsi, divrgsi, trbatas A. Pdahulua Cara mmahami da muliska kmbali bukti dalam matmatika mrupaka masalah yag umum bagi siswa, mahasiswa maupu pgajar. Slama ii srigkali siswa diajar dga tkik brhitug sdagka cara muagka alasa scara matmatis sagat miim diajarka. Dmikia pula mgkomuikasika hasil hituga scara formal da saitifik (mgikuti kaidah matmatika) juga sagat mugki blum dialami siswa shigga ktika mjadi mahasiswa matmatika hal itu mjadi kdala yag sagat bsar. Khususya dalam mmbrika pmbuktia pada aalisa ral diprluka tata bahasa aalisis yag formal ssuai dfiisi. Kmampua mgugkapka alasa dalam aalisis sagat diprluka. Litratur aalisa ral (Royd,1988;Trch,003;Wb1) umumya sagat formal (scara matmatis) sbagaimaa pulis amati dimaa visualisasi sagat jarag dilakuka. Utuk itulah kmampua ii prlu dikaji da dikmbagka. Trlbih lagi adaya pgguaa komputr, maka aalisis sagat trbatu utuk mgugkapka foma umum dari suatu kasus yag diplajari. Tulisa ii mgispirasi bagaimaa muliska pmbuktia scara formal dalam aalisa ral khususya ttag kovrgsi atau divrgsi suatu barisa bilaga ral. Kasus yag diplajari sagat sdrhaa yaitu barisa (a). a (b). a (c). a. 1 Dari ktiga kasus yag diplajari sbagai cotoh maka diharapka mahasiswa dapat mgolah soal jawab yag trkait dga pmbuktia trsbut. Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN

2 B. Pmbuktia Kovrgsi da Divrgsi Barisa da Visualisasiya Kasus 1. a / 1 /. Utuk maka 1/ 0 da / / Olh kara itu lim a lim 3/1 3. Jlas barisa kovrg k 3. 1 / Biasaya mahasiswa mulis haya brhti sampai disii. Scara formal matmatis, maka prlu ditulis lbih lgat. Scara formal, suatu barisa bilaga ral dikataka kovrg (puya limit) dga dfiisi brikut. Dfiisi 1. (Goldbrg,1976) Suatu barisa bilaga ral a dikataka mmpuyai limit L, atau barisa trsbut kovrg k L ditulis lim L artiya utuk smbarag 0, prtidaksamaa a a L harus dipuhi utuk smua ilai N. Dga kata lai a L harus dipuhi utuk smua ilai, kcuali palig bayak pada bilaga brhigga, sbutlah pada =1,,,N-1. Utuk mmahami dfiisi trsbut kita aka mmbahas barisa 3 1 a da aka mmbuktika dga muliska scara formal bahwa 3 1/ lim a lim 3/ / Cara ii yag biasa diguaka siswa. Aka ttapi pada tigkat uivrsitas masih prlu dibuktika bahwa lim a 3. Artiya utuk smbarag 0, prtidaksamaa a 3 harus dipuhi utuk smua ilai, kcuali palig bayak pada bilaga brhigga, sbutlah pada =1,,,N-1. Sdagka pada =N brlaku da N pada umumya trgatug pada ilai. Kita dapat mmplajari hal ii dga mdaftar sbagai tahap obsrvasi. Agar mmbuat daftar dga mudah, kita dapat mgguaka MATLAB sbagai alat batu. Program ttag ii da hasil kluara ditujukka pada Tabl 1 da Gambar 1. Tabl 1a. Daftar Program utuk mggambar a / 1 /. clar clos all =[1:100]'; a=ili('(3* +1)./(+)',''); a=a(); figur(1) plot(,a,'o'); psku=3-a; Daftar=[ a psku] Tabl 1b. Daftar Program utuk mdaftar a / 1 / utuk mrupaka klipata 10 (buat sbagai klajuta Tabl 1a) =10;j=1; whil <=100 g=g(); psku=3-g; Daftar=[ g psku] Simpa(j,:)=Daftar j=j+1 =j*10; d Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN

3 Gambar 1 mmbatu ituisi kita utuk mdapatka pmahama sifat kovrg barisa trsbut yaitu 3. Yag mjadi masalah brapakah = N shigga kita dapat mjami limit barisa trsbut 3?. Jikalau hasil Gambar 1 didaftar utuk bbrapa (misalya 3 1 klipata 10) maka kita dapat mdaftar stiap da ilai a srta yag diprolh. Kita dapat mambahka pritah pada program sbagaimaa ditujukka pada Tabl 1b. Gambar 1. Visualisasi a / 1 / utuk bbrapa Tabl. Daftar, ilai barisa tiap da ilai utuk tiap Scara aalitik, umumya kita ttapka, kmudia kita dapat mdapatka ilai =N yag ssuai dga yag dipilih. Dga kata lai kita prlu mmformulasika utuk suatu =N yag umumya trgatug pada. Sdagka Tabl diprolh dga mtapka ilai trlbih dahulu shigga ilai diprolh mrupaka slisih ilai a dga 3 (yag sudah kita klaim sbagai limit barisa). Scara komputasi, maka ilai lbih mudah dittapka trlbih dahulu. Sdagka prosdur aalitik mjlaska bahwa kita ttapka trlbih dahulu. Kita dapat mtapka misalka skitar 0.1 maka brdasarka Tabl, kita dapat mmprolh =N skitar 40. Nampakya cara aalitik lbih susah ttapi hal itu diprluka utuk pross pmbuktia umum bahwa barisa trsbut kovrg pada 3. Kita coba dga pross ii. Dga pross brikut ii tryata salah. Kita aka mcari batas N dga cara mcari batas palig atas yaitu shigga a Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN

4 a 3 atau - < 3 1 3<. Dga mgguaka batas atas, sbutlah 3 1 3= atau = +. atau 5-5- = atau = N =. (*) Notasi. myataka bilaga bulat trbsar yag lbih kcil atau sama dga argum didalamya. Jlas brilai bulat gatif, padahal harus positif bulat. Jika dipilih batas bawah = -5 atau =N= (**) Dari kdua batas ii kita blum mdapatka scara ksplisit utuk ilai trkcil yag diijika shigga kita dapat mgataka bahwa dimulai dari =N maka limit barisa trsbut adalah 3. Cara mtuka =N dapat lbih praktis dga cara sbagai brikut Coba - < 3< ditulis sbagai a 3 yaitu < atau 5 <. Kara bilaga positif kcil da bilaga asli maka kita dapat mmilih < atau 5 < + atau. Jadi kita dapat mmilih N > agar barisa kovrg pada 3. Prhatika bahwa dga kodisi ii kita dapat mmilih N dga mtapka trlbih dahulu. Hal ii ditujukka pada Tabl 3. Jadi dga 5 cara ii kita dapat mmprolh bukti bahwa a 3 utuk N dga N. 5 Prhatika bahwa N bilaga asli (bulat), padahal dapat tidak bulat. Utuk itu kita 5 5 prlu muliska kodisi N mjadi N. Jadi dari tata cara mulis 5 a 3 sagat mtuka dalam mdapatka kodisi N. Hal ii ditujukka pada program pada Tabl 3 srta ilustrasi utuk a,, da a pada 5 Gambar. Sdagka utuk data tiap utuk =N.,, a a da a dga ilai dittapka trlbih dahulu ditujukka pada Tabl 4. Tabl 3. Program utuk a 3 1 clar clos all psku=[ ]; =roud((5-*psku)./psku); a=ili('(3* +1)./(+)',''); a=a(); Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN a dga mtapka trlbih dahulu.

5 amiusps=a-psku; aplusps=a+psku; figur(1) plot(,a,'o',,amiusps,'*',,aplusps,'.-'); Daftar=[psku' ' amiusps' a' aplusps'] Tabl 4. Daftar ilai brbagai 3 1 a utuk brbagai yag dittapka 5 a 3 1 N a - pada =N pada =N Gambar. Visualisasi a / 1 / utuk bbrapa dga mtapka trlbih dahulu. 4 Kasus. Plajari a. Bagaimaa lim a? 1 Jawab : Barisa trsbut brbtuk fugsi rasioal dalam dga pmbilag + 4 da pybut btuk kuadrat. Utuk yag mmbsar maka pybut aka lbih cpat mmbsar daripada pada bagia pmbilag. Olh kara itu kita dapat myimpulka ituisi trsbut bahwa lim a =0. Utuk mmbrika pjlasa yag lbih kratif kita dapat mmvisualisasika barisa trsbut utuk brbagai. Kita dapat mgubah program pada Tabl 1 dga mggatika dfiisi barisa. Aka ttapi prlu diprhatika bahwa utuk yag kcil (skitar mulai dari =10, maka barisa sudah mdkati 0 shigga kita tidak prlu mgguaka yag trlalu bsar. Hasil kluara pada Gambar 3 yag mujukka bahwa utuk mmbsar maka ilai barisa muju k 0. Tabl 5. Program utuk mgilustrasika da mdaftar Clar clos all =[1:10]'; a=ili('( +4)./(*.^+1)',''); a=a(); figur(1) plot(,a,'o'); psku=abs(0-a); Daftar=[ a psku] a 4 1 Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN

6 Scara formal, kita prlu mmbuktika bahwa utuk smbarag >0, prtidaksamaa a 0 harus dipuhi utuk smua ilai, kcuali palig bayak pada bilaga brhigga, sbutlah pada =1,,,N-1. Sdagka pada =N brlaku da N pada umumya trgatug pada ilai. Dga cara kasus 1, kita dapat mulis a 0 yaitu 4 sbagai / 1/. 4 Gambar 3. Visualisasi a utuk brbagai ilai. 1 Kita ambil batas atas shigga brlaku 1 + 4/ < + / atau 1 + (4 - )/ <. Dalam btuk ii kita blum mampu mydrhaaka (mdapatka kodisi =N yag trgatug. Kita ubah dga cara lai brikut ii. Jlas bahwa (a1) 1 Prhatika bahwa prtidaksamaa trsbut dicari sdmikia rupa shigga kita mdapatka suatu =N yag haya trgatug. Utuk mdapatka uruta prtidaksamaa yag bar kita dapat mgguaka program MATLAB utuk mmbatu kita dalam mvisualisasika. Tabl 6. Mggambar brbagai barisa pada prtidaksamaa (a1). clar clos all =lispac(1,10,0); a1=( +4)./(*.^+1); a=( +4)./(*.^); a3=4./(*.^); plot(,a1, *,,a, o,,a3,. ) Gambar 4. Visualisasi 4 (brtada.), 4 (brtada *) da 1 4 (brtada o) utuk brbagai ilai. Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN

7 4 Jadi kita dapat mgguaka batas < utuk mcari N. Dga mgguaka otasi = N pada diprolh < N atau N. Marilah kita daftar utuk brbagai ilai yag kita ttapka dga mgambil ilai N yag mmuhi N da mylidiki ilai barisa utuk stiap N yag dipilih. Kita dapat mdaftarya dga MATLAB. Prhatika bahwa tidak bulat maka kita prlu mmbulatka dga fugsi floor pada MATLAB. Program ditujukka pada Tabl 7 da hasil kluara program ditujukka dga daftar Tabl 8 agar kita dapat mlihat sbrapa bsar ilai barisa utuk tiap da N yag dipilih. Tabl 7. Program MATLAB utuk mmbuat daftar ilai da psku=[ ] batas=roud(sqrt(./psku)); Daftar=[psku batas ]; sin=batas + 1; a=(sin +4)./(*siN.^+1); Daftark=[psku batas sin a ] srta ilai barisaya. Tabl 8. Daftar yag dittapka da ilai N da barisa yag diprolh =N yag dipilih 4 1 pada N yag dipilih Bagaimaa muliska bukti formal bahwa lim a lim 0?. 1 Hal ii ditujukka brikut ii brdasarka tahap obsrvasi di atas. 4 lim a lim 0 artiya utuk stiap smbarag > 0 maka prlu ditujukka utuk N. Dga mgtahui bahwa kita dapat mmilih < utuk mcari N. Dga mgguaka otasi = N pada < diprolh < N atau N. Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN a

8 Kasus 3. Bagaimaa dga lim a lim? Sbagaimaa pada kasus 1 da, utuk mdapatka ituisi ttag sifat barisa utuk mmbsar, maka kita dapat mmbuat gambar atau mdaftar a utuk brbagai ilai. Kara pmbilag da pybut mmbsar dga cpat utuk ilai yag dibrika, kita mgguaka yag tidak trlalu bsar. Kita haya mgdit program Tabl 1 yag ditujukka pada Tabl 9 da hasil kluara ditujukka pada Gambar 5. Tabl 9. Program MATLAB utuk Tabl 10. Daftar ilai da mggambar barisa clar clos all =[1:10]'; a=ili('xp()./(.^)',''); a=a(); figur(1) plot(,a,'o'); Daftar=[ a] Gambar 5. Ilustrasi barisa Daftar ilai da barisa trkait ditujukka pada Tabl 10. Hasil grafik mujukka bahwa utuk yag mmbsar maka kita prolh yag mmbsar juga. Kita tidak dapat myimpulka : brapakah =N shigga utuk stiap >N maka ada bilaga brhigga yag dkat dga ilai barisa pada =N. Barisa dmikia kita sbut barisa divrg. Utuk itu kita prlu mmbuktika bahwa barisa trsbut divrg (tidak ada suatu ilai brhigga yag dapat dipilih). Kita muliska a utuk. Scara formal ditulis suatu barisa dikataka divrg dalam dfiisi brikut. Dfiisi (barisa divrg) (Goldbrg,1976) Suatu barisa bilaga ral a mdkati tak higga (divrg) utuk mdkati tak higga jika utuk smbarag bilaga ral M >0, trdapat suatu bilaga positif bulat N sdmikia higga brlaku a M, N. (a) Eksprsi (a) mjlaska bahwa jika kita mtapka bahwa limit barisa adalah M, maka ilai barisa aka slalu lbih bsar dari M pada suatu =N. Kita aka bahas pada kasus 3. Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN

9 > M atau M Dibrika suatu M > 0, atau l l M atau l M l M l M. Jadi dipilih l l 1 l l l M ( N). (b) 1 l l M Jadi jika dipilih N maka (b) dipuhi atau brarti barisa trsbut 1 l l M divrg. Eksprsi bisa tidak bulat sdagka N harus bulat positif (kara 1 l sbagai idks). Maka kita dapat muliska (b) dga l M, ( N) 1 l Kita dapat mlakuka obsrvasi mgguaka kodisi (c) dga mtapka M da mmilih N, srta mdaftar ilai barisa pada tiap N. Pritah utuk mlakuka hal ii ditujukka pada Tabl 11 da kluaraya ditujukka pada Tabl 1. Tabl 11. Program MATLAB dga iput M da mcari batas (c) da ilai barisa Clar clos all M=[ ]; batasn=log(m)./(1 -log()) Npilih=floor(batasN)+1; anpilih=xp(npilih)./(.^npilih); DaftarMNa=[M' batasn' Npilih' anpilih'] Tabl 1.Daftar M, M l M 1 l l 1 l M, da N srta ilai barisa N yag dipilih Prhatika bahwa pada kasus ii kita brharap bahwa ada suatu limit sbutlah M shigga utuk N yag dipilih maka hasil ilai barisa aka cukup salig brdkata atau brbda cukup kcil (kurag dari 1) utuk N yag brturuta. Mugki kita mcurigai hasil trsbut kara N masih kcil. Kita dapat mguji program dga mgguaka program Tabl 8 utuk M yag jauh lbih bsar. Brikut ii kita dapat pula mgguaka Gogbra utuk mjlaska kovrgsi barisa fugsi ral. C. Cara mgguaka GEOGEBRA utuk Barisa Fugsi Ral Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN

10 Gogbra mmpuyai fasilitas Excl yag mmugkika kita dapat mmbuat barisa fugsi scara cpat da fugsi slidr yag mmugkika kita dapat mlakuka aimasi. Cotoh 1. Prhatika f x) x x 0,1. Kita tidak prlu mgguaka sbagai paramtr dalam fugsi slidr, kara gambar aka diprolh 1 grafik saja jika mgguaka slidr utuk. Yag kita prluka adalah ilustrasi grafik utuk brbagai. Olh kara itu kita mgguaka Excl dalam Gogbra. Brbda dga Excl pada Microsoft, Excl pada Gogbra mmugkika utuk muliska fugsi f(x) scara ksplisit tapa mdfiisika titik-titik x yag diguaka. Tahapa yag dilakuka ditujukka brikut ii. Tahap 1. Klik spradsht, buat daftar pada kolom A1, ktik 1. Baris kdua ditulis =A Drag utuk baris slajutya shigga diprolh =1,,...16 (bolh lbih). Tahap. Ktik pada B1 =x^a1 maka aka mucul grafik yag dikhdaki. Tahap 3. Buat grafik lai dga mgguaka drag. Tahap 4. Atur sumbu x, dga klik sumbu->graphics-> atur jdla sumbu x da sumbu y. Diprolh Gambar 6. ( utuk Gambar 6. Ilustrasi f x utuk 0,1 x utuk bbrapa Catata : Dapat juga haya mgcopy Gambar, dga fasilitas : Fil ->Export -> Graphic Viw to Clipboard, maka aka diprolh grafik saja. Aalisis yag biasa diprluka utuk barisa f x adalah kovrgsi barisa trsbut : apakah kovrg pada suatu fugsi kotiu pada stiap x 0,1?. Scara visual pada Gambar 6 ditujukka bahwa pada prskitara x=0 da x=1 barisa trsbut kovrg pada ilai fugsi yag brbda. Hal ii mujukka prluya dfiisi kovrgsi yag trgatug pada titik yag dipilih (disbut kovrg titik) da kovrgsi yag trgatug pada itrval yag dipilih (disbut kovrg sragam). Jlas bahwa f x mjadi tidak kovrg sragam pada stiap x 0,1 kara ada titik yag mlaggar (puya limit brbda) pada itrval trsbut. Cotoh. Prhatika fugsi f pada 0, yag dibrika olh 1 f si x. Tahap 1. Klik spradsht, buat daftar pada kolom A1, ktik 1. Baris kdua ditulis =A Drag utuk baris slajutya shigga diprolh =1,,...16 (bolh lbih). Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN

11 Tahap. Ktik pada B1 =si(a1x)/a1 maka aka mucul grafik yag dikhdaki. Tahap 3. Buat grafik lai dga mgguaka drag. Tahap 4. Atur sumbu x, dga klik sumbu->graphics-> atur jdla sumbu x da sumbu y. Diprolh Gambar 7. 1 Gambar 7. Jdla Gogbra utuk f si x Slajutya kita dapat mlakuka aalisa sbagaimaa pada matri kuliah rgulr. Prhatika bahwa utuk (ditujukka utuk =1 higga 9) maka prilaku barisa fugsi brosilasi di skitar sumbu x atau sbagai fugsi y=0. Jadi dugaa limit barisa 1 utuk mmbuktika scara formal ditulis prlu dibuktika lim f( x) lim si x 0. 1 Ditulis : 0, si x 0, N (*) Jlas bahwa si x. Kara si x 1 maka si x. Kara bilaga 1 1 asli maka kita dapat mmbuag tada absolut pada ruas kaa shigga si x. 1 Jadi kita dapat mmilih N agar prsamaa (*) trpuhi. Trbukti 1 lim f( x) lim si x 0. x Cotoh 3. Dibrika f x utuk smua x 0 da 1. Visualisasi dapat dilakuka dga cara yag sama pada Cotoh 1 da Cotoh shigga dapat diprolh Gambar 8. Gambar 8. Ilustrasi f x x utuk smua 0 x da 1. Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN

12 Skalipu kurva pada skitar 0< x<0.5 brilai skitar 0.4, kurva-kurva trsbut cdrug muju k y=0 utuk bsar dimulai dari x > 0.5. Jadi klaim fugsi sbagai x limit adalah lim f lim f x 0. Cotoh 4. Dibrika Gambar 9. f x 1 x pada [0,1] utuk 1 yag ditujukka pada f x 1 x pada [0,1] utuk 1 Gambar 9. Ilustrasi Pada grafik ii kita mlihat bahwa utuk mmbsar (misal diambil =13) maka barisa fugsi brsifat muju kurva parabola pada 0<x<0.5 sdagka pada [0.5,1] maka kurva mdkati y=0. Aka ttapi jika smaki mmbsar maka trlihat kurva smaki dkat k y=0 pada sluruh itrval [0,1]. Hal ii mmprjlas bahwa kovrg sragam k y=0 pada [0,1]. Dapat ditulis 0, f 0, utuk N x 0,1. Pryataa f( x) 0 x1 x x1 x x 1 x N x kovrg. x 1 x dimaa da brlaku jika x 1. dimaa =N harus bulat positif. Jadi disimpulka Cotoh 5. Bbrapa barisa yag lai slajutya dapat dga mudah divisualisasika sbagaimaa ditujukka pada Gambar Gambar 10. Barisa f x 1 x Gambar 11. arcta f Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN

13 Gambar 1. si( x / ) f Gambar 13a. Grafik utuk =1 x f 1 x Gambar 13b. x f utuk brbagai. 1 x Gambar 14. Grafik x g 5x Gambar 15. Grafik f arcta / D. Putup Pada tulisa ii tlah ditujukka bagaimaa mggatika ituisi dalam m tuka barisa kovrg atau divrg dalam btuk grafik dga batua program Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN

14 MATLAB da Gogbra. Bbrapa kasus barisa bilaga ral diprogram dga MATLAB sdagka barisa fugsi ral dga Gogbra. Visualisasi trsbut utuk mmbatu dugaa limit yag dicari. Sdagka pmbuktia umum ttap prlu mgguaka kaidah pulisa bukti scara formal. Sagat sdikit (bahka blum ditmuka) litratur yag mjlaska pgajara aalisa ral dga visualisasi baik dalam bahasa Iggris maupu bahasa Idosia. Jadi matri ii dapat mmbatu kbutuha mahasiswa dalam mmulai blajar aalisa ral. DAFTAR PUSTAKA Goldbrg, R.R., Mthods of Ral Aalysis, Joh Wily & Sos, Ic, Scod Editio, Nw York. Royd, H.L,1988, Ral Aalysis, Prtic Hall, Ic,fourth ditio, USA. Trch,W.F.,003. ItroductioTo Ral Aalysis, Parso Educatio, Wb1. Parhusip, H.A Pmblajara Kovrgsi Barisa Bilaga Da Fugsi Ral Dga Matlab Da Gogbra, prosidig Smiar Nasioal Matmatika VII UNNES 6 Oktobr 013, ISBN