TEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Riesz Frechet Representation Theorem in Hilbert Space)

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "TEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Riesz Frechet Representation Theorem in Hilbert Space)"

Transkripsi

1 Jural Barekeg Vol. 5 No. Hal. 8 (0) TEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Ries Frechet Represetatio Theorem i Hilbert Space) MOZART W TALAKUA, STENLY JONDRY NANURU Staf Jurusa Matematika Fakultas MIPA Uiversitas Pattimura Alumi Jurusa Matematika Fakultas MIPA Uiversitas Pattimura Jl. Ir. M. Putuhea, Kampus Upatti, Poka-Ambo ocat_08@ahoo.com; stel.auru@ahoo.com ABSTRACT Hilbert space is a ver importat idea of the Davids Hilbert ivetio. I 907, Ries ad Fréchet developed oe of the theorem i Hilbert space called the Ries-Fréchet represetatio theorem. This research cotais some supportig defiitios Baach space, pre-hilbert spaces, Hilbert spaces, the dualit of Baach ad Ries-Fréchet represetatio theorem. O Ries- Fréchet represetatio theorem will be show that a cotiuous liear fuctioal that eist i the Hilbert space is a ier product, i other words, there is o cotiuous liear fuctioal o a Hilbert space ecept the ier product. Kewords: Baach Spaces, Hilbert Spaces, Norm Space, Pre-Hilbert Spaces, Represetatio Ries PENDAHULUAN Ruag Hilbert diperkealka oleh David Hilbert (86-943), seorag ahli matematika ag sagat terkeal pada geerasia. Peelitia ag dilakukaa meciptaka dasar dari pekerjaaa megeai ruag dimesi tak terbatas, ag kemudia disebut dega ruag Hilbert, suatu kosep ag sagat diperluka dalam matematika aalisis. Pada tahu 907, M.R. Frechet ( ), da F. Ries ( ) membuktika bahwa suatu jawaba utuk masalah kovergesi deret Fourier klasik dapat diberika dalam kaita dega Ruag Hilbert L (, ) (Eberhard Zeidler, 995). Dalam peelitia ii aka ditujukka bahwa hal tersebut merupaka suatu kasus khusus dari suatu hasil abstrak pada sistem ortoormal legkap dalam ruag Hilbert. Selai itu juga dibahas beberapa sifat atau teorema tetag ruag pre Hilbert da ruag Hilbert serta pembuktiaa. TINJAUAN PUSTAKA Dalam perkembaga ilmu matematika (sekitar tahu 909) khususa dalam bidag aalisis tetag ruag Euclides berdimesi-, David Hilbert akhira termotivasi oleh aalog ruag tersebut kemudia diperluas mejadi ruag dimesi ag tak terbatas da bersama-sama dega Schmidt memberika otasi utuk hasil kali dalam, orma, da ortogoal. Selajuta dalam tesisa ag berjudul Learig i Hilbert Spaces, Nimit Kumar mecoba meusu suatu kosep tetag kovergesi barisa dalam ruag berorma ag mempuai kosekuesi terhadap barisa Cauch da gagasa kelegkapaa (Eberhard Zeidler, 995). Kecederuga utuk mempelajari topik topik dalam aalisis, terutama aalisis Fourier, persamaa diferesial, da persamaa itegral, secara abstrak sebagaimaa ag dilakuka oleh V. Volterra ( ), D. Hilbert (86 943), E. I. Fredholm (866 97), M. R. Frechet ( ), da F. Ries ( ) pada awal abad ke 0, telah memicu lahira sebuah aak cabag matematika ag kita keal sekarag sebagai aalisis fugsioal. Aksioma aksioma ruag berorma diperkealka pertama kali oleh Ries ketika ia mempelajari operator di ruag fugsi kotiu C[a,b] pada 98, amu abstraksia dirumuska oleh S. Baach (89 945) dalam disertasia pada 90. Perluasaa utuk ruag berorma atas lapaga bilaga kompleks C dikembagka oleh N. Wieer ( ) pada 93 (Rudi. W, 973). Dega merujuk pada Zeidler (995) da Halmos (957) ag memberika pemahama bahwa setiap ruag

2 Barekeg Vol. 5 No. Hal 8 (0) pre Hilbert atas suatu lapaga adalah juga ruag berorma atas lapaga tersebut dega atura u u, u, serta beberapa sifat lai pedukug ruag pre Hilbert da ruag Hilbert. Kemudia dega didukug oleh beberapa literatur lai maka peulis mecoba meusu sebuah peulisa dega harapa dapat mudah dipahami walaupu umuma masih bersifat abstrak. Defiisi.. (Ruag Vektor) Sistem merupaka ruag vektor atas lapaga F, terhadap operasi pejumlaha da pergadaa skalar jika memeuhi aksioma-aksioma di bawah ii :. Tertutup. v, v v v. Asosiatif. v, v, v v v v v v v Terdapat eleme etral. v v v v 4. Setiap eleme mempuai ivers. v v v v v v 5. Komutatif. v, v v v v v 6. Tertutup terhadap pergadaa skalar. v F v 7. Distributif skalar. v, F v v v 8. Distributif skalar., v v F v v v v 9. Asosiatif skalar. v, F v v 0. Perkalia dega skalar. v F v v selajuta ruag vektor atas lapaga F diotasika dega (F). Defiisi.. (Himpua Peretag/Spaig Set) Himpua { v, v,, v } disebut himpua peretag utuk jika da haa jika setiap vektor dalam dapat ditulis sebagai kombiasi liear dari v, v,, v. Defiisi.3. (Fugsi Kotiu) Misalka A, f : A, da c A. Fugsi f dikataka kotiu di titik c jika utuk setiap 0 terdapat 0 sedemikia sehigga jika sebarag titik di A sehigga c, maka f ( ) f ( c). Defiisi.4. (Batas Atas da Batas Bawah) Diberika himpua tak kosog S. a) Himpua S dikataka terbatas ke atas (bouded above) jika terdapat suatu bilaga u sedemikia higga s uutuk semua s S. Setiap bilaga u seperti ii disebut dega batas atas (upper boud) dari S. b) Himpua S dikataka terbatas ke bawah (bouded below) jika terdapat suatu bilaga w sedemikia higga w sutuk semua s S. Setiap bilaga w seperti ii disebut dega batas bawah (lower boud) dari S. c) Suatu himpua dikataka terbatas (bouded) jika terbatas ke atas da terbatas ke bawah. Jika tidak, maka dikataka tidak terbatas (ubouded). Defiisi.5. (Supremum da Ifimum) Diberika himpua tak kosog S. a) Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilaga u disebut supremum (batas atas terkecil) dari S jika memeuhi kodisi berikut: ) u merupaka batas atas S, da ) jika v adalah sebarag batas atas S, maka u v. Ditulis u = sup S. b) Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilaga w disebut ifimum (batas bawah terbesar) dari S jika memeuhi kodisi berikut: ) w merupaka batas bawah S, da ) jika t adalah sebarag batas bawah S, maka t w. Ditulis w = if S. Defiisi.6. (Barisa Cauch) Barisa bilaga real ( ) disebut barisa Cauch jika utuk setiap 0 higga utuk setiap, berlaku m. terdapat H N m N dega, m H HASIL DAN PEMBAHASAN sedemikia, Pada bagia ii aka dibahas megeai beberapa defiisi da teorema pedukug pemetaa liier, ruag berorma, ruag Baach, ruag Hilbert, da Dualitas Baach ag atia aka dipakai pada Teorema Represetasi Ries-Frechet. Sesuai ruag ligkup pembahasa maka lapaga F (field) ag diguaka adalah atau C. 3.. Pemetaa Liier. Defiisi 3... (Devito, 990). Diberika ruag vektor da Y atas lapaga F. Pemetaa f : Y dikataka liier jika utuk setiap, da skalar F berlaku : () f aditif : f f f () f homoge : f f Secara sigkat Defiisi 3.. ditulis sebagai berikut. Lemma 3... (Zaae, 997). Diberika da Y masig-masig ruag vektor atas lapaga F. Pemetaa f : Y dikataka liier jika da haa jika Talakua, Nauru

3 Barekeg Vol. 5 No. Hal 8 (0) f ( ) f ( ) f ( ) utuk setiap, da skalar, F. Diambil sebarag, da skalar, F. Karea ruag vektor, jadi, da. Sarat perlu: Karea f liier, meurut Defiisi 3.. diperoleh f f f ( f aditif ) f f ( f homoge) Sarat cukup: ) Utuk, f f f f f f ) Utuk 0, f f f 0 f f 0 f f Dega = vektor ol di dalam da = vektor ol di dalam Y. Cotoh: ) Utuk setiap ruag vektor atas lapaga F; Pemetaa Nol: O : dega O 0 utuk setiap merupaka pemetaa liier, juga Pemetaa Idetitas: I : dega I utuk setiap merupaka pemetaa liier. ) Jika = [a,b], aitu koleksi semua fugsi kotiu dari [a,b] ke, maka C[a,b] merupaka ruag vektor atas lapaga F da f : C a, b f tdt merupaka pemetaa liier dari C[a,b] ke, da f : C f C a, b dega b t u, f du t a b a merupaka pemetaa liier. 3. Ruag Berorma Dalam suatu ruag vektor, telah diketahui megeai kosep pajag dari suatu vektor atau disebut orma. Selajuta, suatu ruag dikataka ruag berorma bila defiisi berikut dipeuhi. Defiisi 3... (Rode, 989). Diberika ruag vektor atas lapaga F. b a a) Fugsi : diamaka orma bila memeuhi: N 0 utuk setiap N 0 utuk setiap N utuk setiap da skalar F N utuk setiap, b) Ruag liier ag dilegkapi orma diamaka ruag berorma da ruag berorma itu ditulis dega, atau saja jika ormaa sudah diketahui. Norma utuk koleksi semua fugsi liier kotiu disajika pada defiisi berikut ii. Defiisi 3... (Cowa, 990). Jika da Y masig-masig ruag berorma da fugsi f : Y liier da kotiu, didefiisika bilaga: f if M : f ( ) M, da ag disebut orma f. Betuk lai dari orma f tersebut di atas bisa diataka sebagai f sup f ( ) : da. Selajuta, koleksi semua fugsi liier da kotiu dari ruag berorma ke ruag berorma Y diotasika L, Y. dega c Betuk lai dari Defiisi 3.. disajika pada teorema berikut ii. Teorema (Cowa, 990). Jika da Y masig-masig ruag berorma da fugsi f : Y liier da kotiu maka f if M 0 : f M, f sup f ( ) : da. Namaka f if M 0 : f M, Cukup ditujuka f i. da f. if M 0 : f M,. Jadi utuk setiap berlaku f Jika maka 0 da f f 0 0. Jika dibetuk dega. Talakua, Nauru

4 Barekeg Vol. 5 No. Hal 8 (0) Oleh karea itu f. Jadi batas atas f : da. Hal ii berakibat f (3..) f sup f : da ii. Sebalika. Jadi utuk setiap berakibat f f. Diambil sebarag. Jika jelas berlaku f f 0 f. Jika f f. diperoleh f f f f satu M. Jadi diperoleh dega da da f salah f (3..) Berdasarka persamaa (3..) da (3..) meujuka bahwa f Ruag Baach Berdasarka bagia sebeluma setiap kosep, pegertia, serta sifat-sifat ruag metrik berlaku pula pada ruag berorma. Ruag berorma sebagai ruag metrik d ag legkap (setiap barisa Cauch di koverge ke suatu usur di ) disebut ruag Baach. Selajuta, ekuivalesi perataa suatu fugsi liier kotiu dega suatu fugsi liier terbatas disajika dalam teorema berikut. Teorema (Cowa, 990). Diketahui da Y masig-masig ruag berorma. Jika pemetaa T : Y liier, maka perataa berikut ekuivale; (I) T kotiu pada. (II) T kotiu di 0 (III) T kotiu di, merupaka vektor ol di dalam. (IV) T : da terbatas. (V) Terdapat kostata M 0 sehigga T M utuk setiap. (I) (II), cukup jelas, dimaa jika T kotiu pada titik maka T kotiu pada setiap eleme di. (II) (III), karea T liier da, maka T Y da. Harus ditujukka Karea, maka. Selajuta diambil sebarag barisa T T Karea T : 4 Y kotiu di maka T 0 T 0 atau lim T 0 T 0 Karea diketahui T liier, maka 0 lim 0 lim lim T T T Jadi lim T T 0 0. T T T. Dega kata lai T kotiu di. (III) (IV), diketahui T kotiu di. Diadaika S T( ) : da tak terbatas. Jadi utuk setiap bilaga asli terdapat, dega da T lim T sifat ; jadi (3.3.) Dibetuk utuk setiap. Jelas da (sebab utuk setiap ). Jadi lim 0 atau lim. Meurut hipotesisa diperoleh atau lim T T ag berakibat lim T lim T 0 lim T 0 (3.3.) Persamaa (3.3.) da (3.3.) merupaka suatu kotradiksi. Jadi pegadaia salah, ag bear haruslah T terbatas. (IV)(V), meurut hipotesis T : Y da terbatas. Jadi terdapat bilaga M 0 T M utuk setiap da. Selajuta diambil sebarag, diperoleh:. Jika = 0, maka 0 (jelas) jadi T T M sehigga (3.3.3). Jika, maka 0. Diambil. Meurut hipotesisa T M M da T M (sebab T liier) Talakua, Nauru

5 Barekeg Vol. 5 No. Hal 8 (0) T M (3.3.4) Berdasarka persamaa (3.3.3) da (3.3.4), terbukti terdapat bilaga 0 M sehigga T M utuk setiap. (V) (I), diketahui T : Y liier da terdapat bilaga 0 M sehigga T M utuk setiap. Dibuktika T kotiu pada. Diambil sebarag bilaga 0. Apakah dapat ditemuka bilaga 0 sehigga jika,, d berakibat, d T T T T., Dari T T T M ( M )., asalka (, ) d M. Jadi T kotiu pada. Selajuta, orma pada suatu ruag pre-hilbert atau ruag hasil kali dalam didefiisika sebagai berikut. Defiisi (Maddo, 970). Diketahui ruag pre-hilbert da. Norma vektor diotasika dega, didefiisika sebagai bilaga o egatif:, Teorema ( Kresig, 978 ). Jika suatu ruag pre-hilbert maka utuk setiap, berlaku ketaksamaa Cauch-Schwart:, Diambil sebarag dua vektor,, diperoleh: Jika = 0 maka utuk setiap C berlaku: 0,,,,,,,,,, (3.3.5) Utuk setiap C, dipilih,,,, 0,,,, sehigga, persamaa (3.3.5) mejadi,, 0,,,,,, Jadi,,, dega kata lai,,,. Utuk melegkapi pembuktia bahwa orma medefiisika orma di, tiggal meujukka ketaksamaa segitiga saja ag disajika pada teorema berikut. Teorema (Ketaksamaa segitiga) (Kresig, 978). Utuk sebarag dua vektor da di dalam ruag pre- Hilbert selalu berlaku ketaksamaa segitiga, aitu Diambil sebarag dua vektor,, diperoleh: 0,,,,,,,,,,,, Re,,,,,. Dega kata lai Selajuta, perlu diigat bahwa setiap ruag berorma merupaka ruag metrik. Hubuga atara ruag hasil kali dalam dega ruag berorma disajika pada teorema berikut ii. Teorema (Kresig, 978 ). Setiap ruag hasil kali dalam atau ruag pre-hilbert merupaka ruag berorma. Karea adalah ruag vektor, maka tiggal diperiksa bahwa memeuhi sifat-sifat orma. Diambil sebarag, da F, diperoleh: N, 0, jelas dari Defiisi 3.3. N, 0 0 meurut I N 3 4,,, Jadi N meurut Teorema Setelah didapat defiisi orma pada ruag hasil kali dalam maka dapat didefiisika metrik (fugsi jarak), aitu d(, ) utuk setiap,. oleh karea itu kekovergea da barisa Cauch mempuai tujua jelas. 4 5 Talakua, Nauru

6 Barekeg Vol. 5 No. Hal 8 (0) 3.4. Ruag Hilbert Misalka ruag vektor atas lapaga F da, merupaka ruag hasil kali dalam, dapat ditujuka pemetaa : F dimaa, utuk setiap merupaka suatu ruag berorma. Apabila ruag berorma tersebut legkap dimaa setiap barisa Cauch di koverge ke suatu usur di, maka ruag ii disebut ruag Hilbert. Sehigga dapat disimpulka bahwa pada dasara ruag Hilbert adalah ruag Baach dega orma ag ditetuka dari ruag hasil kali dalam. Defiisi (Kresig, 978). Ruag hasil kali dalam (ruag pre-hilbert) ag legkap diamaka ruag Hilbert Dualitas Baach Dual Baach/Ruag Dual dari ruag berorma diotasika dega aitu koleksi semua fugsioal liier kotiu dari ruag berorma ke lapaga FC ( / ). Jadi T : F fugsioal liier kotiu Teorema ( Cowa, 990). Ruag dual dari ruag berorma aitu ruag Baach. Karea = L c F, maka meurut Teorema 3.3. maka legkap atau ruag Baach. merupaka da lapaga F itu legkap merupaka ruag 3.6. Teorema Represetasi Ries-Frechet Pada subbab ii aka dibicaraka teorema represetasi Ries-Frechet dari suatu ruag Hilbert ag atia aka diguaka utuk mecari ruag dual Baach dari suatu ruag barisa. Diawali dega Teorema 3.6. da Lemma 3.6., aka ditujuka bahwa fugsioal liier kotiu pada ruag Hilbert H merupaka hasil kali dalam pada H, ag dikeal sebagai Teorema Represetasi Ries-Frechet. Teorema 3.6. ( Rode, 989). Jika ruag pre-hilbert maka utuk setiap meetuka dega tuggal fugsioal liier kotiu f dega rumus: f ( ), utuk setiap () Jelas f liier, sebab utuk setiap skalar, F da dua vektor, diperoleh: f,,,,, f f () Fugsi f kotiu, sebab utuk setiap, diperoleh: f f,, asalka, Lemma (Maddo, 970). Diketahui ruag Hilbert H. G H, G H sub ruag tertutup. Utuk setiap h H \ G da g G berlaku ( h g) G atau h g, 0utuk setiap G. h H \ G da g G berarti hg. Diadaika ada G sehigga h g,. Jadi (sebab jika maka ). Didefiisika h g. Jadi h G da berlaku h g h k sebab h g d( h, G). Oleh karea itu diperoleh: h k h k, h k Jadi h g, h g h g, h g h g h g, h g h g,, h g, h g, h g, h g h g h k h g atau h k h g, ag bertetaga dega h k h g, sehigga h g, 0 utuk setiap G. Jadi h g G. Selajuta aka diperlihatka Teorema Represetasi Ries-Frechet sebagai berikut. 6 Talakua, Nauru

7 Barekeg Vol. 5 No. Hal 8 (0) Teorema (Teorema Represetasi Ries-Frechet) (Rode, 989). Diberika ruag Hilbert H. f H tuggal H sehigga f ( ), H. Dalam hal ii f. terdapat dega utuk setiap Sarat cukup: Diketahui H ruag Hilbert da utuk semua H terdapat dega tuggal H sehigga f ( ),. Ditujuka skalar, F f H. Diambil sebarag, H da, diperoleh: f (i),,,,, f f dega kata lai f liier. (ii) f f,, Asalka Sarat perlu:, Diambil G ker f H f ( ) 0. G ker f merupaka subruag tertutup di H, sebab: (i) Diambil sebarag, G ker f da skalar, F, diperoleh: f f f (ii) f f Jadi G ker f. Jadi G subruag liier dari H. Jika titik limit G, maka terdapat barisa { } G sehigga lim. Karea f kotiu, maka f f lim lim 0 0. Jadi G ker f. Dega kata lai G tertutup. Selajuta, jika G H dipilih maka f, 0 utuk setiap H. Jika G H maka utuk setiap h H \ G terdapat g G sehigga h g G (meurut Lemma 4.7.). jelas sebab gh 0. Utuk tersebut didefiisika: S f ( ) f ( ) H f ( f ( ) f ( )) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0. Jadi f ( ) f ( ) G. Jadi S G. Karea G da S G maka S. Oleh karea itu utuk setiap H berlaku: f f, 0 f, f, 0 Jadi terdapat f, f, 0 f, f f,, f H sehigga f, utuk setiap H. Selajuta aka ditujuka ketuggala. Diadaika ada, H sehigga, f, utuk setiap H, maka, 0 utuk setiap H. Khususa utuk diperoleh, 0 Jadi 0 atau. Selajuta aka ditujuka f f sup f : sup, : sup : (3.6.) Di pihak lai: jadi f, f f f f (3.6.) Berdasarka persamaa (3.6.) da (3.6.) diperoleh f. KESIMPULAN Dari pembuktia megeai Teorema Represetasi Ries-Frechet pada Ruag Hilbert di atas, maka dapat dibuat beberapa kesimpula sebagai berikut :. Setiap ruag hasil kali dalam atas lapaga F juga merupaka ruag berorma atas F dega atura utuk orma, utuk setiap.. Jika, merupaka ruag hasil kali dalam atas lapaga 7 F, dapat ditujuka pemetaa : F dimaa, utuk setiap Talakua, Nauru

8 Barekeg Vol. 5 No. Hal 8 (0) 8 merupaka suatu ruag berorma. Apabila ruag berorma tersebut legkap, maka ruag ii disebut ruag Hilbert. Hal iilah ag disebut dega peempuraa sifat dari ruag vektor. 3. Ruag Hilbert adalah ruag Baach dega orma ag ditetuka dari ruag hasil kali dalam. Teorema Represetasi Ries-Frechet meujuka bahwa tidak ada fugsioal liier kotiu di ruag Hilbert kecuali berupa hasil kali dalam. Teorema ii atia aka diguaka utuk mecari ruag dual Baach dari suatu ruag barisa. DAFTAR PUSTAKA Bartle. R.G, Sherbert D.R (000), Itroductio to Real Aalsis, Third Editio. Joh Wile ad Sos, Ic, USA Cowa. J. B. A (989). Course i Fuctioal Aalsis, Secod Editio. Spriger-Verlag, New York Devito. C. L (990). Fuctioal Aalsis ad Liear Operator Theor. Addiso-Wesle publishig Compa, New York Halmos. P. R (957), Itroductio to Hilbert Space ad the Theor of Spectral Multiplicit. Secod editio, Chelsea, New York Howard. A (987). Aljabar Liear Elemeter. Erlagga, Jakarta Kresig. E (978). Itroductio Fuctioal Aalsis Aplicatios. Joh Wile& So, New York Leo, Steve. J (00). Aljabar Liear da Aplikasia. Erlagga, Jakarta Maddo. I. J (970). Elemet of Fucioal Aalsis. Cambridge Uiv. Press, Lodo Rode. H. L (989). Real Aalsis (third Editio). Macmilla Publishig Compa, New York Rudi, W (973). Fuctioal Aalsis. Secod editio. McGraw-Hill, Ic, Uited State Zaae. A. C (997). Itroductio to Operator Theor i Ries Spaces. Spriger-Verlag, New York Zeidler. E (995). Applied Fuctioal Aalsis, Spriger- Verlag, Ic, New York Talakua, Nauru

TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL

TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Jural UJMC, Volume 3, Nomor, Hal. - 6 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Guawa Uiversitas Muhammadiyah Purwokerto, gu.oge@gmail.com Abstract This paper aims at describig

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruag Vektor Defiisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol. 07, No.01, (2013), Hal. 33 44 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua Kalijaga Yogyakarta

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2.

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2. II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa kosep dasar (pegertia) yag aka diguaka dalam pembahasa peelitia 2.1 Ruag Vektor Defiisi 3.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG FUNGSI KONTINU C[a, b] Firdaus Ubaidillah 1, Soepara Darmawijaya, Ch. Rii Idrati 1 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada Yogyakarta e-mail: irdaus_u@yahoo.com

Lebih terperinci

Mariatul Kiftiah. JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak Jl. A Yani Pontianak ABSTRACT

Mariatul Kiftiah. JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak Jl. A Yani Pontianak ABSTRACT Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN TITIK TETAP DARI PEMETAAN KANNAN DI RUANG MODULAR (THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF A FIXED POINT FOR

Lebih terperinci

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013 IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 KEKONTINUAN FUNGSI PADA RUANG METRIK Oleh: Cece Kustiawa Jurusa Pedidika Matematika FPMIPA UPI, cecekustiawa@yahoo.com

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman

RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman JMP : Volume 7 Nomor 1, Jui 2015, hal 11-18 RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayai, Suroto razzaqgaesha@gmailcom Uiversitas Jederal Soedirma ABSTRACT This paper discusses a matrices

Lebih terperinci

FOURIER Juni 2014, Vol. 3, No. 1, TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI

FOURIER Juni 2014, Vol. 3, No. 1, TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI FOURIER Jui 04, Vol. 3, No., 4 6 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI Malahayati, Mutia Utami, Program Studi Matematika Fakultas Sais da tekologi

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA

KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA 055400597 Taggal Sidag: 04 Februari 0 Periode Wisuda: Februari 0 Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN KOMPLEKS

BAB I BILANGAN KOMPLEKS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Di dalam bab ii, kita aka meelidiki struktur aljabar da geometri dari sistim bilaga kompleks. Kita aggap bahwa berbagai sifat ag berhubuga dega bilaga real sudah diketahui.. PENJUMLAHAN

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 1-13 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 1-13 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D Muhaad Ahsar Kari, Dewi Sri Susati, da Nurul Huda Progra Studi Mateatika Uiversitas Labug Magkurat Jl

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL Riza Febri Yusma Sri Gemawati Asli Sirait *riza_febri@yahoo.com Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiveritas

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. , membentuk struktur ring terhadap operasi penjumlahan matriks dan operasi pergandaan matriks baku. Himpunan bagian dari

BAB I PENDAHULUAN. , membentuk struktur ring terhadap operasi penjumlahan matriks dan operasi pergandaan matriks baku. Himpunan bagian dari BB I PENDHULUN. Latar Belakag Masalah Struktur rig (gelaggag) R adalah suatu himpua R yag kepadaya didefiisika dua operasi bier yag disebut pejumlaha da pergadaa yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu, yaitu:

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL

KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL Khusul Afifa 1, Abdussakir 2 1 Mahasiswa Jurusa Matematika UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag 2 Dose Jurusa Matematika

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT DASAR MATRIKS SKEW HERMITIAN Basic Properties of Skew Hermitian Matrices

SIFAT-SIFAT DASAR MATRIKS SKEW HERMITIAN Basic Properties of Skew Hermitian Matrices Jural Barekeg Vol. 7 No. 2 Hal. 19 26 (2013) SIFAT-SIFAT DASAR MATRIKS SKEW HERMITIAN Basic Properties of Skew Hermitia Matrices LIDIA SALAKA 1, HENRY W. M. PATTY 2, MOZART WINSTON TALAKUA 3 1 Mahasiswa

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY

RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY RUANG VEKTOR MATRIKS FUZZY Siti Robiatul Adawiyah 1, Rade Sulaima 2 1 Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Negeri Surabaya, 60231 2 Jurusa Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC Muhammad Ahsar Karim 1 Faisal Yui Yulida 3 [1,,3] PS Matematika FMIPA Uiversitas

Lebih terperinci

Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS

Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 HUBUNGAN ANTARA ORDER DERIVATI- DARI UNGSI f : DENGAN DIMENSI-γ DARI HIMPUNAN RAKTAL Supriyadi

Lebih terperinci

INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS ALJABAR MAXPLUS Musthofa Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS ALJABAR MAXPLUS Musthofa Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS ALJABAR MAXPLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY musthofa@uy.ac.id Abstrak Jika A matriks atas lapaga, maka pasti terdapat dega tuggal suatu matriks B yag

Lebih terperinci

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring Semigrup Matriks dmittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIP, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com bstrak Diberika adalah rig komutatif dega eleme satua da adalah

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat

Lebih terperinci

PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2

PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2 J. Math. ad Its Appl. ISSN: 829-605X Vol. 3, No. 2, Nopember 206, -0 PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2 Suarsii, Mahmud Yuus 2, Sadjido 3, Auda Nuril Z 4,2,3,4 Jurusa Matematika,

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK

RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK RAHMAWATI YULIYANI rahmawatiyuliyai @yahoo.co.id 08561299991 Program studi Tekik Iformatika, Fakultas Tekik, Matematika,

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY JMP : Volume 3 Nomor 1, Jui 2011 SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY Ari Wardayai da Suroto Prodi Matematika, Jurusa MIPA, Fakultas Sais da Tekik Uiversitas Jederal Soedirma (email

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN

SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN Dose Pegampu : Pof. D. Si Wahyui DISUSUN OLEH: Nama : Muh. Zaki Riyato Nim : 02/156792/PA/08944 Pogam Studi : Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN

Lebih terperinci

TUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B.

TUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B. TUGAS ANALISIS REAL LANJUT NOVEMBER 207 () (a) Jika b > 0, B > 0, da a b < A, buktika ab < ba. Kemudia buktika B a b < a + A b + B < A B. (b) Buktika [ 2 (a + b)] 2 2 (a2 + b 2 ). Kemudia tujukka bahwa

Lebih terperinci

GRUP TERURUT PARSIAL PADA MATRIKS SIMETRI BERUKURAN 2 2

GRUP TERURUT PARSIAL PADA MATRIKS SIMETRI BERUKURAN 2 2 Jural LOG!K@, Jilid 7, No, 7, Hal 46-5 ISSN 978 8568 GRU ERURU ARSIAL ADA MARIKS SIMERI BERUKURAN Irmatul Hasaah Uiversitas Islam Negeri Sulta Maulaa Hasauddi Bate Email: irmatulhasaah@uibateacid Abstract:

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Ruag Vektor Dr. Irawati D PENDAHULUAN alam buku materi okok Aljabar II ii kita secara erlaha-laha mulai megubah edekata kita dari edekata secara komutasi mejadi edekata yag lebih umum. Yag dimaksud

Lebih terperinci

SUBGELANGGANG KOMUTATIF MAKSIMAL DARI GELANGGANG POLINOM MIRING

SUBGELANGGANG KOMUTATIF MAKSIMAL DARI GELANGGANG POLINOM MIRING SUBGELANGGANG KOMUTATIF MAKSIMAL DARI GELANGGANG POLINOM MIRING Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc Dra. Nur Erawaty, M.Si Filawati, S.Si Jurusa Matematika, Fakultas Matemetika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NLA NTEGRAL POSSON Novrialma *, Sri Gemawati, Agusi Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da lmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus

Lebih terperinci

SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN (FIELD)

SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN (FIELD) SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN (FIELD) Muhamad Zaki Riyato NIM: 02/156792/PA/08944 E-mail: zaki@mail.ugm.ac.id http://zaki.math.web.id Dose Pembimbig: Pof. D. Si Wahyui Pedahulua Sebelum melagkah

Lebih terperinci

Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral Admitting Struktur Ring 1

Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral Admitting Struktur Ring 1 Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Itegral Admittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com Abstrak Diberika adalah daerah

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan. Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ii aka dituliska beberapa aspek teoritis berupa defiisi, teorema da sifat-sifat yag berhubuga dega aljabar liear, struktur aljabar da teori kodig yag diguaka sebagai

Lebih terperinci

HUBUNGAN VARIETY DAN IDEAL RADIKAL SKRIPSI. Oleh : Ambar Mujiarti J2A

HUBUNGAN VARIETY DAN IDEAL RADIKAL SKRIPSI. Oleh : Ambar Mujiarti J2A HUBUNGAN VARIETY DAN IDEAL RADIKAL SKRIPSI Oleh : Ambar Mujiarti J2A 004 003 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2009

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 71-76, Agustus 2003, ISSN :

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 71-76, Agustus 2003, ISSN : JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 71-76, Agustus 2003, ISSN : 1410-8518 SYARAT CUKUP AGAR SUATU FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK MUTLAK DI DALAM RUANG METRIK KOMPAK LOKAL Mauharawati Jurusa Matematika

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,... SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,

Lebih terperinci

Aji Wiratama, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru

Aji Wiratama, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol.8 No.2 (24) Hal. 39-45 APLIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENENTUKAN FORMULA TRANSFORMASI LAPLACE Aji Wiratama, Yui Yulida, Thresye Program Studi Matematika

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA DENGAN KODE LINEAR

SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA DENGAN KODE LINEAR SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA DENGAN KODE LINEAR A- Riigsih, Idah Emilia Wijayati 2 Mahasiswa S Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada 2 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada Abstrak Skema pembagia

Lebih terperinci

RUANG BARISAN MUSIELAK-ORLICZ. Oleh: Encum Sumiaty dan Yedi Kurniadi

RUANG BARISAN MUSIELAK-ORLICZ. Oleh: Encum Sumiaty dan Yedi Kurniadi RUANG BARISAN USIELAK-ORLICZ Oleh: Ecu Suiat da Yedi Kuriadi Disapaia pada Seiar Nasioal ateatia ada taggal 8 Deseber 2008, di Jurusa edidia ateatia FIA UI JURUSAN ENDIDIKAN ATEATIKA FAKULTAS ENDIDIKAN

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No., 4-48, April 00, ISSN : 40-858 MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto Jurusa Matematika F-MIPA Uiversas Dipoegoro Semarag Abstrak Suatu matriks tak

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES)

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES) rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET ELL DAN ELL-LUCAS (ALTERNATIVE ROOF THE CONVERGENCE OF ELL AND ELL-LUCAS SERIES) Baki Swita 1

Lebih terperinci

DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT

DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawa 1 Geometri Ruag Hilbert Defiisi 1.1 Ruag vektor V atas lapaga K {R, C} disebut ruag hasilkali dalam jika ada fugsi (, : V V K sehigga utuk setiap x, y,

Lebih terperinci

Keywords: Convergen Series, Banach Space, Sequence space cs, Dual-α, Dual-

Keywords: Convergen Series, Banach Space, Sequence space cs, Dual-α, Dual- Jural MIPA FST UNDANA, Volume 2, Nomor, April 26 DUAL-, DUAL- DAN DUAL- DARI RUANG BARISAN CS Albert Kumaereg, Ariyato 2, Rapmaida 3,2,3 Jurusa Matematia, Faultas Sais da Tei Uiversitas Nusa Cedaa ABSTRACT

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Bicriteria Liear Programmig (BLP) Pesoala optimisasi dega beberapa fugsi tujua memperhitugka beberapa tujua yag koflik secara simulta, secara umum Multi objective programmig (MOP)

Lebih terperinci

BARISAN PANGKAT TERURUT MATRIKS PADA ALJABAR MAX PLUS

BARISAN PANGKAT TERURUT MATRIKS PADA ALJABAR MAX PLUS BRISN PNGKT TERURUT MTRIKS PD LJBR MX PLUS Nurwa Jurusa Matematika FMIP Uiversitas Negeri Gorotalo E-mail: urwa_mat@ug.ac.id bstrak Diberika matriks R yag memeuhi = λ. Matriks adalah k + c c k taktereduksi

Lebih terperinci

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model. BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha

Lebih terperinci

HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G

HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G J Sais MIPA Desember 7 Vol 1 No Hal: 197 - ISSN 1978-187 ABSTRACT HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G Kristiaa Wijaya Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Jember

Lebih terperinci

BAB : I SISTEM BILANGAN REAL

BAB : I SISTEM BILANGAN REAL Ruag Barisa BAB : I SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membicaraka barisa da deret aka dibicaraka lebih dahulu tetag bilaga real karea barisa da deret yag aka dibicaraka adalah barisa da deret bilaga real. Sistem

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Optimasi 2.1.1. Pegertia Optimasi Optimasi (Optimizatio) adalah aktivitas utuk medapatka hasil terbaik di bawah keadaa yag diberika. Tujua akhir dari semua aktivitas tersebut

Lebih terperinci

METODE DEKOMPOSISI LAPLACE UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINIER

METODE DEKOMPOSISI LAPLACE UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINIER Vol.1 No.1 (16) Hal. 38-45 METODE DEKOMPOSISI LAPLACE UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINIER Siar Ismaya, Yui Yulida *, Na imah Hijriati Program Studi Matematika Fakultas MIPA

Lebih terperinci

PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN

PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN S K R I P S I Disusu dalam Ragka Meyelesaika Studi Strata utuk memperoleh Gelar Sarjaa Sais Oleh Nama : Sugeg Wibowo Nim :

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

TESIS KARAKTERISASI RING-RING DENGAN SIFAT JUMLAH BASIS TETAP DAN TOPIK-TOPIK YANG TERKAIT

TESIS KARAKTERISASI RING-RING DENGAN SIFAT JUMLAH BASIS TETAP DAN TOPIK-TOPIK YANG TERKAIT TESIS KAAKTEISASI ING-ING DENGAN SIFAT JUMLAH BASIS TETAP DAN TOPIK-TOPIK YANG TEKAIT CHAACTEISATION OF INGS WITH INVAIANT BASIS NUMBE AND ELATED TOPICS SAMSUL AIFIN 09/290722/PPA/02875 POGAM STUDI S2

Lebih terperinci