LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2.

Transkripsi

1 II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa kosep dasar (pegertia) yag aka diguaka dalam pembahasa peelitia 2.1 Ruag Vektor Defiisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi luar * atara keduaya sehigga utuk setiap x Vda α F meetuka dega tuggal α x V yag memeuhi sifat sifat : (i) α (x + y) = α x + α y, (ii) (α β) x = α x + β x, (iii) (α. β) x = α (β x), (iv) 1 x = x, utuk setiap x, y V da α, β F. 2.2 Ruag Vektor Bagia da Bebas Liear Defiisi (Darmawijaya, 2007)

2 Diketahui V ruag vektor atas lapaga F da W V. Jika himpua W terhadap operasi operasi yag sama dega operasi operasi di bagia V juga merupaka ruag vektor atas F, maka W disebut ruag vektor bagia (vector sub-space) dari V. Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui V ruag vektor atas lapaga F da W θ. Himpua W merupaka ruag vektor bagia V jika da haya jika utuk setiap x, y W da α, β F berlaku αx + βy W. Teorema (Darmawijaya, 2007) Jika V ruag vektor terhadap lapaga F da X, Y masig masig ruag vektor bagia V maka X + Y = {m + m X, Y}, Juga merupaka ruag vektor bagia V yag memuat X da Y sebagai ruag vektor bagiaya. Teorema (Darmawijaya, 2007) Jika V ruag vektor terhadap lapaga F da X, Y V masig masig ruag vektor bagia da X Y = {θ}, maka utuk setiap x X + Y terdapat dega tuggal m 1 X da 1 Y sehigga x = m Teorema (Darmawijaya, 2007) Diberika ruag vektor V atas lapaga F. Jika x, x k V da λ, α k, β k F utuk setiap k = 1,2,, maka bear bahwa, (i) α k x k + β k x k = (α k + β k )x k, (ii) λ( α k x k ) = (λα k )x k (iii) ( α k )x = α k x, da m m. (iv) ( α k )( j=1 x j ) = j=1 α k x j

3 Teorema (Darmawijaya, 2007) Diberika ruag vektor V atas lapaga F. Jika x 1, x 2, x V, maka W = [x 1, x 2,, x ] merupaka ruag vektor bagia V. Teorema (Darmawijaya, 2007 Jika V ruag vektor atas lapaga F da M V, maka [M] merupaka ruag vektor bagia V. Lebih lajut, [M] merupaka ruag vektor terkecil yag memuat M. Defiisi (Darmawijaya, 2007) Diberika ruag vektor V atas lapaga F. Vektor vektor x 1, x 2,, x V atau {x 1, x 2,, x } V dikataka bebas liier (liiearly idepedet) jika α 1, α 2,, α F da α 1 x 1 + α 2 x α x = θ berakibat α 1 = α 2 = = α = 0. Teorema (Darmawijaya, 2007) Diberika ruag vektor V atas lapaga F. Vektor vektor x 1, x 2,, x V tak bebas liier jika da haya jika terdapat k dega 1 k sehigga vektor x k merupaka kombiasi liier 1 vektor vektor laiya. Akibat (Darmawijaya, 2007) Diberika ruag vektor V atas lapaga F. Vektor vektor x 1, x 2,, x V bebas liier jika da haya jika utuk setiap k, 1 k. Vektor x k buka merupaka kombiasi liier 1 vektor vektor laiya. Teorema (Darmawijaya, 2007)

4 Diketahui V ruag vektor atas lapaga F. Vektor vektor x 1, x 2,, x bebas liier jika da haya jika setiap persamaa α k x k = β k x k berakibat α k = β k utuk setiap k. 2.3 Basis da Dimesi Defiisi (Darmawijaya, 2007) Ruag vektor V dikataka terbagkitka secara higga(fiitely geerated) jika ada vektor vektor x 1, x 2,, x V sehiggga V = [x 1, x 2,, x ]. Dalam keadaa seperti itu, {x 1, x 2,, x } disebut pembagkit (geerator) ruag vektor V. Defiisi (Darmawijaya, 2007) Diberika ruag vektor V. Himpua B V dikataka bebas liier jika setiap himpua bagia higga di dalam B bebas liier. Defiisi (Darmawijaya, 2007) Diberika ruag vektor V atas lapaga F. Himpua B V disebut basis (base) V jika B bebas liier da V = [B]. Teorema (Darmawijaya, 2007)

5 Ruag vektor V terbagkitka secara higga jika da haya jika V mempuyai basis higga. Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui V ruag vektor da B V basis. Bayakya aggota B disebut dimesi ruag vektor V,ditulis dim (V). Jika bayakya aggota B higga maka dikataka V berdimesi higga da jika bayakya aggota B tak higga maka dikataka V berdimesi tak higga. Teorema (Darmawijaya, 2007) Jika ruag vektor V berdimesi, maka setiap ( + 1) vektor di dalam V tak bebas liier. Akibat (Darmawijaya, 2007) Jika {x 1, x 2,, x } da {y 1, y 2,, y m } masig masig basis utuk ruag vektor V, maka m =. 2.4 Fugsi Liear Fugsi dari suatu ruag vektor ke ruag vektor lai yag bayak diguaka da mudah dalam memahamiya adalah fugsi liear, yaitu fugsi yag bersifat aditif da homoge. Defiisi (Darmawijaya, 2007) Diberika dua ruag vektor V da W, masig masig atas lapaga F yag sama. Fugsi f: V W disebut fugsi liear jika

6 (i) f fugsi aditif (additive) f(x + y) = f(x) + f(y) utuk setiap x, y V, da (ii) f fugsi homoge (homogeeous) f(αx) = αf(x) utuk setiap α da vektor x V. Teorema (Darmawijaya, 2007) Diberika dua ruag vektor V da W masig masig atas lapaga F yag sama (R atau C). Fugsi f: V W merupaka fugsi liear jika da haya jika utuk sebarag skalar α, β da vektor x, y V, berlaku f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui V da W, masig masig ruag vektor atas lapaga F yag sama. Jika f: V W merupaka fugsi liear maka (i) (ii) f( x) = f(x) utuk setiap x V. f(x y) = f(x) f(y) utuk setiap x, y V. (iii) f(θ) = θ, dega θ V da θ W masig masig meyataka vektor ol. (iv) f( α k x k ) = α k f(x k ) utuk setiap skalar α 1, α 2,, α da vektor vektor x 1, x 2,, x V. Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui V da W, masig masig ruag vektor. Jika f: V W merupaka fugsi liear da g: V W sehigga g(x) = f(x) utuk setiap x V, maka g liear da g = f. Teorema (Darmawijaya, 2007)

7 Diketahui V da W, masig masig ruag vektor da S Vgeerator utuk V. Jika f: V W merupaka fugsi liear da g: V W sehigga g(x) = f(x) utuk setiap x S, maka fugsi g liear da g = f; lebih lajut f(s) merupaka geerator f(v). Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui V da W, masig masig ruag vektor. Jika f: V W merupaka fugsi liear, maka Rf = f(v) merupaka ruag bagia di dalam W. Himpua Rf disebut ruag jelajah (rage space) fugsi f. Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui V da W, masig masig ruag vektor. Jika f: V W merupaka fugsi liear, maka Nf = {x V: f(x) = θ } da S = (V Nf) {θ} masig masig merupaka ruag bagia di dalam V. Selajutya, himpua Nf disebut ruag ol (ull space) fugsi f. Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui V da W, masig masig ruag vektor.jika V berdimesi da f: V W merupaka fugsi liear, maka dim(f(v)). Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui V da W, masig masig ruag vektor. Jika Jika V berdimesi da f: V W merupaka fugsi liear, maka

8 + p = 2.5 Operator Liear Defiisi (Amato, 2008) Suatu pemetaa T dega daerah asal D(T) da daerah hasil R(T)adalah suatu operator liear jika memeuhi: 1. D(T) da R(T) berada pada ruag vektor atas lapaga yag sama; 2. Utuk semua x, y D(T) da skalar α berlaku T(x + y) = T(x) + T(y) da T(αx) = αt(x). 2.6 Fugsi Liear da Matriks Teorema (Darmawijaya, 2007) Jika V merupaka ruag vektor real (kompleks) berdimesi, maka V isomorfis dega R (C ), yaitu terdapat fugsi liear da bijektif dari V ke R (C ). Akibat (Darmawijaya, 2007) Jika V da W, masig masig ruag vektor (atas lapaga yag sama), dim(v) dim (W), da fugsi f: V W liear da ijektif, maka V isomorfis dega Rf = f(v). Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui V da W, masig masig ruag vektor (atas lapaga yag sama), dim(v) = da dim(w) = m. Setiap fugsi liear f: V W meetuka matriks A berukura m :

9 β 11 β 12 β 1 α 1 β A = (β ik ) = ( 21 β 22 β 2 α 2 ) ( ) β m1 β m2 β m α sebalikya juga berlaku. Defiisi (Darmawijaya, 2007) Dua ruag vektor V da W dikataka isomorfik (isomorphic) jika ada fugsi liear bijektif f: V W. Dalam hal ii, fugsi f tersebut diamaka isomorfisma ruag vektor (vector space isomorphism) atara V da W. Teorema (Darmawijaya, 2007) Jika U, V da W masig masig adalah ruag vektor ruag vektor atas lapaga yag sama, maka peryataa peryataa di bawah ii bear : (i) Utuk setiap f L(U, V) da g L(V, W), maka g f L(U, W). (ii) L(U, V) merupaka ruag vektor. (iii) L(U) = L(U, U) merupaka aljabar assosiatif yag mempuyai eleme satua. 2.7 Ruag Berorma Defiisi (Darmawijaya, 2007) Diberika ruag liier K. Fugsi x K x R, yag mempuyai sifat-sifat: (N1) x 0, utuk setiap x K x = 0, jika da haya jika x = θ, (θ vektor ol) (N2) αx = α. x, utuk setiap skalar α da x K

10 (N3) x + y x + y, utuk setiap x, y K, Disebut orma (orm) pada K da bilaga oegatif x disebut orma vektor x. Ruag liear K yag dilegkapi dega suatu orma. disebut ruag berorma (orma space) da dituliska sigkat dega (K,. ) atau K saja asalka ormaya telah diketahui. 2.8 Ruag Baach Defiisi (Darmawijaya, 2007) Ruag Baach (Baach Space) adalah ruag berorma yag legkap (sebagai ruag metrik yag legkap) 2.9 Ruag Hilbert Defiisi (Darmawijaya, 2007) Ruag Hilbert (Hilbert Space) adalah ruag pre-hilbert yag legkap Defiisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui H ruag liier (i) Fugsi H H dega rumus yag memeuhi sifat-sifat (I1) x, y = y,, x (I2) αx, y = α x, y, (x, y) H H x, y (I3) x, y, z = x, z + y, z

11 Utuk setiap x, y, z H da skalar α, da (I4) x, x > 0 jika da haya jika x θ, disebut ier-product atau dot product, atau scalar product pada H. (ii) Ruag liier H yag dilegkapi dega suatu ier-product disebut ruag pre-hilbert (pre-hilbert space) atau ruag ier-product (ier-product space) Di bawah ii aka diberika cotoh - cotoh Ruag Hilbert : 1. Ruag liier C da R masig-masig merupaka ruag pre-hilbert terhadap ierproduct : x, y = x k y k utuk setiap x = (x 1, x 2,, x ), y = (y 1, y 2,, y ) (R ). Catata: Jika x, y R maka x, y = x k y k = x k y k Karea y k = y k (kompoe-kompoe aggota R merupaka bilaga real). 2. Cotoh yag lebih umum dari pada cotoh 1 adalah ruag liier l 2. l 2 merupaka ruag pre-hilbert terhadap ier-product: x, y = x k y k Utuk setiap x = {x k }, y = {y k } l C[a, b] merupaka ruag pre-hilbert terhadap ier-product:

12 b f, g = (R) f(x)g (x)dx a utuk setiap f, g C[a, b]. C[a, b] dapat diaggap sebagai koleksi semua fugsi kotiu berilai bilaga kompleks. Jadi, g C[a, b] jika da haya jika g = g 1 + ig 2 dega g 1 da g 2 masig-masig fugsi kotiu pada [a, b] berilai bilaga real. Mudah dipahami bahwa jika g = g 1 + ig 2 C[a, b] maka g = g 1 ig 2 C[a, b] 2.10 Basis Orthoormal Defiisi (Darmawijaya, 2007) (i) Basis ortogoal (ortogoal basis) di dalam ruag pre-hilbert adalah basis yag setiap dua vektorya salig tegak lurus. (ii) Basis ortoormal (orthoormal basis) di dalam suatu ruag pre-hilbert adalah basis ortogoal da setiap aggotaya merupaka vektor satua (ormaya sama dega 1). Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui ruag Hilbert H mempuyai basis orthoormal {x }. Diperoleh peryataa x H jika da haya jika ada {α } l 2 sehigga x = α k x k

13 2.11 Operator pada Ruag Hilbert Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui H da K masig masig ruag Hilbert. Utuk setiap T L c (K, H) terdapat T L c (K, H) tuggal sehigga utuk setiap x H da y K berakibat Tx, y = x, T y Defiisi (Darmawijaya, 2007) Diberika dua rag Hilbert Hda K. Meurut Teorema 5.1.1, utuk setiap operator T L c (K, H) terdapat T L c (K, H) sehigga Tx, y = x, T y Utuk setiap x H da y K. Operator T disebut operator adjoit atau operator pedampig terhadap operator T. Teorema (Darmawijaya, 2007) Ii adalah sifat sifat operator pedampig. Diberika dua ruag Hilbert Hda K. Jika T, S L c (H, K) da α sebarag skalar maka (i) (T + S) = T + S (ii) (αt) = α T (iii) T = (T ) = T (iv) TT = T T = T 2 = T 2 (v) TT = O T = O (O operator ol). Teorema (Darmawijaya, 2007)

14 Diketahui H, K da X masig masig ruag Hilbert. Jika T L c (H, K) da S L c (K, X) maka (ST) L c (X, H) da (ST) = T S Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui H da K masig masig ruag Hilbert. T L c (H, K), A H da B K. Jika T(A) B, maka T (B ) A. Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui M da N berturut-turut merupaka ruag bagia yag tertutup di dalam ruag Hilbert H da K. Utuk setiap T L c (H, K) diperoleh T(M) N jika da haya jika T (N ) M. Teorema (Darmawijaya, 2007) Diketahui H da K masig masig ruag Hilbert. Jika T L c (H, K) maka (i) (ii) {x: x H da Tx = θ } = {T (K)} {x: x H da Tx = θ } = T (K) (iii) {y: y K da T y = θ} = {T(H)} (iv) {y: y K da T y = θ} = T(H) Defiisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui H suatu ruag Hilbert T L c (H) disebut : 1. Operator isometrik (isometric operator) jika T T = I ; 2. Operator uiter (uitary operator) jika T T = TT = I; 3. Operator madiri (self adjoit operator) jika T = T ;

15 4. Operator proyeksi (projectio operator) jikat = T da TT = T ; 5. Operator ormal (ormal operator) jika T T = TT Ruag ukura Jika Ω adalah himpua tak kosog, koleksi semua himpuaya disebut himpua kuasa ( power set) da biasa dituliska dega P(Ω) atau 2 Ω Defiisi ( Darmawijaya, 2007) (a). Jika Ω θ, koleksi semua A 2 Ω disebut aljabar-σ himpua pada Ω jika memeuhi sifat: 1. θ A 2. A A A c A 3. {A } A =1 A A (b). jika A aljabar-σ himpua pada Ω, maka setiap aggota A disebut himpua terukur da (Ω, A) pasaga berurut Ω dega A disebut ruag ukura (c). jika (Ω, A) ruag terukur, fugsi μ : A R disebut ukura pada (Ω, A ) jika μ memeuhi sifat- sifat berikut: 1. μ(a) 0 utuk setiap A A 2. μ(ø) = 0 3. μ( =1 A )= =1 μ(a ) utuk setiap barisa {A } A yag salig asig

16 (d). Ruag terukur (Ω, A) yag dilegkapi dega suatu ukura μ padaya disebut ruag ukura da ditulis dega (Ω, A,μ) Defiisi ( Darmawijaya, 2007) Diberika Ω Ø, fugsi μ * : 2 Ω R disebut ukura luar pada Ω jika fugsi tersebut mempuyai sifat : (a). μ * (A) 0 utuk setiap A 2 Ω da μ * (Ø) = 0 (b). μ * (A) μ * (B) uuk setiap A,B 2 Ω dega A B (c). μ * ( =1 A ) =1 μ (A ) Utuk setiap { A} 2 Ω Defiisi ( Darmawijaya, 2007) Jika μ * ukura luar pada himpua Ω Ø, maka E Ω dikataka terukur μ * jika μ * (A)= μ * (A E) + μ (A E c ) utuk setiap A Ω Defiisi (Darmawijaya, 2007) Jika (Ω, A) ruag ukura da E A, maka fugsi f : Ω R dikataka terukur pada E jika salah satu peryataa (i),(ii),(iii) atau (iv) terpeuhi: (i). {x:x & f(x) < α} A E (ii). {x:x & f(x) α} A E

17 (iii). {x:x & f(x) > α} A E (iv). {x:x & f(x) α} A E Utuk setiap α R Itegral Lebesgue Pada tahu 1902 Lebesgue, seorag matematikawa Peracis mecermati adaya fugsi yag tidak teritegral Riema yaitu fugsi yag ilaiya 0 da 1. Selajutya Lebesgue meyusu teori ukura yag terkeal dega ukura Lebesgue. Lebesgue meyusu teori itegral baru yag merupaka perluasa dari itegral Riema karea jika fugsi f teritegral Riema pada [a, b] maka fugsi f juga teritegral Lebesgue pada [a, b]. Defiisi (Darmawijaya. 2007) Diketahui (Ω, A, μ) ruag ukura legkap da higga σ. jika f: Ω R (berbetuk kaoik): φ = α k χ Ek da E ЄA, bilaga E φ dμ = α k μ (E E k )

18 disebut ilai itegral μ / itegral Lebesgue umum fugsi sederhaa μ pada E. Jika bilaga E φ dμ < Maka fugsi sederhaa φ dikataka teritegral μ pada