KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG

Transkripsi

1 KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG FUNGSI KONTINU C[a, b] Firdaus Ubaidillah 1, Soepara Darmawijaya, Ch. Rii Idrati 1 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada Yogyakarta irdaus_u@yahoo.com ABSTRAK Diberika C[a,b] merupaka koleksi semua ugsi kotiu berilai real pada selag tertutup [a,b]. C[a,b] merupaka ruag liear atas lapaga real. Dalam tulisa ii dibahas pegertia-pegertia orma, barisa koverge, terbatas da mooto, iimum da supremum da lai-lai yag semuaya disajika dalam bahasa ugsi kotiu. Selai itu aka ditujukka bahwa barisa yag terbatas da mooto di dalam ruag ugsi kotiu C[a,b] belum tetu koverge. Satu siat yag mejami sebuah barisa memiliki supremum atau iimum aka dibahas. Kata kuci: Barisa koverge, Fugsi kotiu berilai real, Ruag ugsi kotiu ABSTRACT Let C[a,b] be a collectio o all real-valued cotiuous uctios o a closed iterval [a, b]. The C[a,b] is a liear space over the real ield. I this paper, we discussed some otios o orm, mootoe, bouded ad coverget sequece, iimum ad supremum ad others o which are preseted i the laguage o cotiuous uctios. They will also be show that bouded ad mootoe sequece i the cotiuous uctios space C[a,b] is ot ecessarily coverget. A property that esures a sequece has a supremum or iimum will be discussed. Keywords: Coverget sequece, Cotiuous real-valued uctio, Cotiuous uctio space PENDAHULUAN Telah bayak dibahas siat-siat ugsi kotiu berilai real pada selag tertutup [a, b] oleh Bartle da Sherbert (2000), diataraya siat terbatas, mecapai ilai maksimum da miimum, dapat didekati dega ugsi tagga, merupaka ugsi kotiu seragam, teritegral Riema da lai sebagaiya. Dalam tulisa ii, C[a, b] meyataka koleksi semua ugsi kotiu berilai real pada selag tertutup [a, b] R, yaki : [a, b] R kotiu. Pembahasa beberapa siat dasar C[a, b] bayak dijumpai dalam ruag Baach klasik diataraya oleh Lidestrauss da Tsariri (1977), Diestel (1984), Meyer-Nieberg (1991), Albiac da Kalto (2006), da lai-lai. Jika dideiisika pejumlaha da perkalia skalar di C[a, b] berturut-turut ( + g)(x) = (x) + g(x) utuk setiap, g C[a, b], x [a, b], da (α)(x) = α(x) utuk setiap C[a, b], α R, x [a, b], maka α, ( + g) C[a, b]. Oleh karea itu C[a, b] merupaka ruag liear atas lapaga R (Yeh, 2006). Lebih jauh, jika diberika orma pada C[a, b] yag dideiisika = sup (x) a x b utuk setiap C[a, b], maka (C[a, b], ) merupaka ruag Baach (Dales, 2003). Dua aggota da g di dalam C[a, b] dikataka i. = g jika (x) = g(x) utuk setiap x [a, b]; ii. < g jika (x) < g(x) utuk setiap x [a, b]; iii. g jika (x) g(x) utuk setiap x [a, b]. Berdasarka pegertia di atas, mudah dipahami bahwa C[a, b] merupaka himpua terurut parsial (partially ordered set) terhadap relasi. Dua aggota da g di dalam C[a, b] dikataka dapat dibadigka (comparable) jika g atau g da dikataka tidak dapat dibadigka (icomparable) jika tidak g da g. Selajutya jika diaggap petig, peulisa < g da g berturutturut dapat digatika dega g > da g.

2 Kekovergea Barisa di Dalam Ruag Fugsi Kotiu C[a,b] Selajutya dideiisika ugsi ol (ull uctio) θ da ugsi satua (uit uctio) e di dalam C[a, b] berturut-turut dega θ(x) = 0 da e(x) = 1 utuk setiap x [a, b]. Karea setiap, g, h C[a, b] da g i. + h g + h ii. γ < γg utuk setiap bilaga γ > 0, maka disimpulka bahwa C[a, b] merupaka ruag Riesz. Lebih jauh, jika dideiisika perkalia di dalam C[a, b], yaki (g)(x) = (x)g(x) utuk setiap, g C[a, b] da setiap x [a, b] maka g C[a, b]. Oleh karea itu C[a, b] merupaka aljabar Baach dega usur satua e (Dales, 2003 ). Dalam tulisa ii, aka diperkealka pegertia orma dalam bahasa ugsi kotiu. Utuk membedaka pegertia orma pada umumya dega orma dalam bahasa ugsi kotiu, utuk itu diguaka otasi orma*. Deiisi 1. (Darmawijaya, 2012) Sebuah ugsi : C[a, b] C[a, b] dikataka orma* (orm*) pada C[a, b] jika memeuhi siat-siat i. θ, utuk setiap C[a, b]; = θ jika da haya jika = θ; ii. α = α, utuk setiap C[a, b] α R; iii. + g + g, utuk setiap, g C[a, b]. Sekarag dideiisika ilai mutlak di dalam C[a, b] dega (x) = (x), utuk setiap x [a, b]. Karea memeuhi semua siat dalam Deiisi 1, maka merupaka sebuah orma* pada C[a, b]. Berkaita dega hal-hal tersebut di atas, tujua dalam tulisa ii adalah membahas kekovergea barisa di dalam C[a, b] dega orma* yag dijelaska di atas dalam bahasa ugsi kotiu, yag mempuyai arti cukup bekerja di dalam C[a, b]. Namu begitu, utuk memudahka pembuktia teorema da perhituga, dalam beberapa kasus aka dibawa ke ugsi real. HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bagia ii aka dibahas beberapa deiisi da teorema yag aka diguaka utuk membahas kekovergea barisa di dalam C[a, b]. Di akhir bagia ii dibahas syarat suatu barisa memiliki supremum atau iimum. Utuk setiap, g C[a, b] da α R, yag dimaksud dega ugsi i. g adalah ugsi yag dideiisika g (x) = (x) g(x) asalka g(x) 0, ii. g adalah ugsi yag dideiisika dega ( g)(x) = sup {(x), g(x)}, iii. g adalah ugsi yag dideiisika dega ( g)(x) = i {(x), g(x)}, iv. adalah ugsi yag dideiisika dega (x) = (x) dega (x) 0, v. 1 = e jika > θ atau < θ, utuk setiap x [a, b]. Telah ditujukka oleh Bartle da Sherbert (2000), bahwa jika, g C[a, b], maka g, g, ((x) 0) da (g(x) 0) di dalam g C[a, b]. Oleh karea itu C[a, b] merupaka sebuah aljabar (algebra), lebih jauh C[a, b] sebuah aljabar Baach (Baach algebra) (Dales, 2003). Berikut diberika pegertia himpua terbatas ke atas, himpua terbatas ke bawah da himpua terbatas di dalam C[a, b]. Deiisi 2. Sebuah himpua A C[a, b] tidak kosog dikataka i. terbatas ke atas (bouded above) jika terdapat q C[a, b] sehigga h q utuk setiap h A; selajutya q disebut batas atas (upper boud) himpua A; ii. terbatas ke bawah (bouded below) jika terdapat p C[a, b] sehigga p h utuk setiap h A; selajutya p disebut batas bawah (lower boud) himpua A; iii. terbatas (bouded) jika A terbatas ke atas da terbatas ke bawah atau himpua A dikataka terbatas jika terdapat t C[a, b] da t > θ sehigga h t utuk setiap h A. Selajutya diperkealka pegertia batas atas terkecil da batas bawah terbesar dari suatu himpua. Jural CAUCHY ISSN:

3 Firdaus Ubaidillah, Soepara Darmawijaya, Ch. Rii Idrati Deiisi 3. Diberika himpua A C[a, b] tidak kosog. i. Himpua A terbatas ke atas. Titik s C[a, b] disebut batas atas terkecil (least upper boud) atau supremum A jika s adalah batas atas A da utuk setiap v batas atas A s v. Dalam kasus ii ditulis s = sup(a). ii. Himpua A terbatas ke bawah. Titik r C[a, b] disebut batas bawah terbesar (greates lower boud) atau iimum A jika r adalah batas bawah A da utuk setiap u batas bawah A r u. Dalam kasus ii ditulis r = i(a). Dari pegertia ii, belum tetu bear bahwa setiap himpua terbatas ke atas (bawah) memiliki supremum (iimum), lihat Cotoh 10 da Cotoh 11. Dalam kasus himpua A C[a, b] higga, maka A memiliki supremum da iimum, da sup(a) = h A h da i(a) = h A h. Dalam Deiisi 4 berikut ii diberika pegertia dari barisa koverge da barisa Cauchy di dalam C[a, b] da dilajutka dega sebuah cotoh barisa koverge (Cotoh 5). Deiisi 4. Sebuah barisa { } C[a, b] dikataka i. koverge (coverges) jika ada C[a, b] sehigga utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat bilaga asli K sehigga utuk setiap K < εe. Jika demikia halya, barisa { } dikataka koverge (coverget) ke atau barisa { } mempuyai limit utuk da dituliska dega lim =. ii. barisa Cauchy (Cauchy sequece) jika setiap bilaga ε > 0 terdapat bilaga asli K sehigga utuk setiap m, K m < εe. Cotoh 5. Diberika barisa { } C[0,1] yag dideiisika (x) = x, utuk setiap x [0,1]. Barisa { } merupaka barisa koverge ke θ, sebab jika diberika bilaga ε > 0 sebarag maka dipilih bilaga asli K > 1/ε, sehigga jika utuk setiap K diperoleh (x) θ(x) = x 0 = x 1 1 K < ε. Jadi lim = θ. Selajutya dibahas beberapa siat dasar barisa koverge diataraya ketuggala limit barisa da keterbatasa barisa yag koverge berturut-turut disajika dalam Teorema 6 da Teorema 7. Teorema 6. Jika barisa { } C[a, b] koverge, maka limit barisa { } tuggal. Bukti: Aggap, g C[a, b] sehigga barisa { } koverge ke da g. Jadi utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat dua bilaga asli 0 da m 0 sehigga da < ε 2 e jika 0 g < ε 2 e jika m 0. Oleh karea itu utuk setiap bilaga asli maks{ 0, m 0 } diperoleh g + g < ε 2 e + ε e = εe. 2 Jadi = g. Teorema 7. Jika barisa { } C[a, b] koverge, maka { } terbatas. Bukti: Diberika barisa { } koverge ke C[a, b] da sebarag bilaga ε > 0. Terdapat bilaga asli K sehigga utuk setiap K dipuyai < εe. Utuk setiap K diperoleh = + + < εe +. Selajutya diambil K 1 p = ( ) (εe + ). =1 Jadi diperoleh p utuk setiap bilaga asli, atau dega kata lai { } terbatas. Berikutya dibahas pegembaga lebih lajut siat-siat kekovergea barisa yag disajika dalam Teorema 8 da Teorema 9. Teorema 8. Diberika sebarag bilaga γ R da barisa-barisa { }, {g } C[a, b] koverge berturut-turut ke da g. Maka barisa {γ }, { + g } da { g } koverge berturutturut ke γ, + g da g. Lebih jauh, barisa { : g g > θ atau g < θ utuk setiap } koverge ke bilamaa g > θ atau g < θ. g 186 Volume 2 No. 4 Mei 2013

4 Kekovergea Barisa di Dalam Ruag Fugsi Kotiu C[a,b] Bukti: Di sii haya aka dibuktika utuk barisa { g } koverge ke g saja. Diberika barisa { }, {g } C[a, b] koverge berturut-turut ke da g. Berdasarka Teorema 7, terdapat p > θ sehigga p utuk setiap N. Dideiisika t = p g. Diberika sebarag bilaga ε > 0. Karea { } koverge ke da {g } koverge ke g, maka terdapat bilaga K 1, K 2 N sehigga jika K 1 < εe 2t da jika K 2 g g < εe 2t. Dipilih K = sup {K 1, K 2 }. Oleh karea itu jika K maka diperoleh g g g g + g g = g g + g < t εe 2t + εe t = εe. 2t Jadi { g } koverge ke g. Teorema 9. Barisa { } C[a, b] koverge jika da haya jika { } barisa Cauchy. Bukti: Syarat perlu. Diketahui { } koverge, maka terdapat C[a, b] sehigga utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat bilaga asli K sehigga jika K < ε 2 e. Jadi utuk setiap bilaga asli, m K diperoleh m + m < ε 2 e + ε e = εe. 2 Syarat cukup: Diketahui { } barisa Cauchy. Artiya, utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat bilaga asli N sehigga jika m, N bear bahwa m < εe. Jadi utuk setiap m, N (x) m (x) < ε utuk setiap x [a, b]. Ii berarti utuk setiap x [a, b], { (x)} merupaka barisa Cauchy di R. Oleh karea itu setiap x [a, b], barisa { (x)} koverge di R. Selajutya dideiisika (x) = lim (x) utuk setiap x [a, b]. Jadi utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat bilaga asli N sehigga jika N (x) (x) < ε utuk setiap x [a, b]. (1) Karea N C[a, b], maka N kotiu seragam pada [a, b]. Artiya, utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat bilaga δ > 0 sehigga utuk setiap x, y [a, b] dega x y < δ maka N (x) N (y) < ε 3. (2) Berdasarka ketaksamaa (1) da (2), utuk setiap x, y [a, b] dega x y < δ, diperoleh (x) (y) (x) N (x) + N (x) N (y) + N (x) (y) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Jadi terbukti C[a, b]. Selajutya, berdasarka ketaksamaa (1) karea utuk setiap N da utuk setiap x [a, b], (x) (x) ε/3 maka utuk setiap N diperoleh ε e < εe. 3 Jadi { } barisa koverge. Barisa { } C[a, b] dikataka aik mooto (odecreasig) jika setiap bilaga asli dipuyai +1. Barisa { } C[a, b] dikataka turu mooto (oicreasig) jika setiap bilaga asli dipuyai +1. Sebuah barisa { } C[a, b] dikataka mooto (mootoe) jika { } aik mooto atau turu mooto. Sebuah barisa yag turu (aik) mooto da terbatas ke bawah (ke atas) belum tetu mempuyai iimum (supremum), seperti diberika dalam dua cotoh berikut. Cotoh 10. Diberika barisa { } C[0,1] yag dideiisika (x) = x utuk setiap N da setiap x [0,1]. Aka ditujukka bahwa barisa { } turu (aik) mooto da terbatas tetapi tidak mempuyai iimum. Cukup jelas bahwa barisa { } terbatas sebab θ e da turu mooto sebab +1 utuk setiap. Barisa { (x)} koverge titik demi titik ke (x) = 0 utuk x [0,1) da (1) = 1, tetapi C[0,1]. Cotoh 11. Diberika barisa {g } C[0,1] yag dideiisika g (x) = x utuk 0 x < 1 da g (x) = 1 utuk 1 x 1 utuk setiap N da setiap x [0,1]. Aka ditujukka bahwa barisa {g } aik mooto da terbatas tetapi tidak mempuyai supremum. Cukup jelas bahwa barisa {g } terbatas sebab θ g e da aik mooto sebab g g +1 utuk setiap. Barisa {g (x)} koverge titik demi titik ke g(x) = 1 utuk x (0,1] da g(0) = 0, tetapi g C[0,1]. Teorema 12. Jika barisa { } C[a, b] aik (turu) mooto da mempuyai supremum (iimum) maka barisa { } koverge ke supremumya (iimumya). Jural CAUCHY ISSN:

5 Firdaus Ubaidillah, Soepara Darmawijaya, Ch. Rii Idrati Bukti: Diberika s = sup { : N} C[a, b]. Utuk setiap bilaga ε > 0, terdapat bilaga asli K sehigga s εe < K. Nyataya bahwa barisa { } aik mooto, hal ii megakibatka K utuk setiap K, sehigga diperoleh s εe < K s < s + εe utuk setiap K. Oleh karea itu diperoleh s < εe utuk setiap K. Jadi lim = s. Bukti utuk iimum serupa. Barisa { } C[a, b] dikataka aik seragam (uiormly odecreasig) jika setiap bilaga ε > 0 terdapat bilaga asli N sehigga utuk setiap N dipuyai θ +1 < εe. Barisa { } C[a, b] dikataka turu seragam (uiormly oicreasig) jika setiap bilaga ε > 0 terdapat bilaga asli K sehigga utuk setiap K dipuyai θ +1 < εe. Di akhir bagia ii diberika Teorema 13 yag mejami suatu barisa memiliki supremum atau iimum. Teorema 13. Diberika barisa { } C[a, b] terbatas. (i). Jika { } aik seragam maka { } memiliki supremum. Lebih jauh, barisa { } koverge ke supremumya. (ii). Jika { } turu seragam maka { } memiliki iimum. Lebih jauh, barisa { } koverge ke iimumya. Bukti: (i). Diberika barisa { } terbatas da aik seragam. Maka, utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat bilaga asli N 1 sehigga utuk setiap N 1 dipuyai θ +1 < εe 0 +1 (x) (x) < ε utuk setiap x [a, b]. Karea { } terbatas maka utuk setiap x [a, b] barisa { (x)} terbatas di R. Oleh karea itu, terdapat bilaga (x) = sup { (x)} utuk setiap x [a, b]. Utuk sebarag bilaga ε > 0 terdapat bilaga asli N 2 sehigga jika N 2 maka Akibatya, berdasarka ketaksamaa (3) da (4) disimpulka bahwa jika setiap x, y [a, b] dega x y < δ diperoleh (x) (y) (x) N (x) + N (x) N (y) + N (y) (y) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Jadi C[a, b]. Bukti utuk iimum serupa. REFERENSI [1] Albiac, F., da Kalto, NJ., (2006), Topics i Baach Space Theory, Spriger-Verlag, New York. [2] Bartle, R.G. da Sherbert, D.R., (2000), Itroductio to Real Aalysis, 3rd editio, JohWiley, New York. [3] Dales, H.G., (2003), Itroductio Baach Algebras, Operators, ad Harmoic Aalysis, Cambridge Uiversity Press, Cambridge. [4] Darmawijaya, S., (2012), Calculus o the Family o Cotiuous Fuctios, Semiar Nasioal KNM XVI, Uiversitas Padjadjara Sumedag. [5] Diestel, J., (1984), Sequeces ad Series i Baach Spaces, Spriger-Verlag, New York. [6] Lidestrauss, J. da Tsariri, L., (1977), Classical Baach Spaces II, Spriger-Verlag, Berli. [7] Meyer-Nieberg, P., (1991), Baach Lattices, Spriger-Verlag, Berli. [8] Yeh, J., (2006), Real Aalysis: Theory o Measure ad Itegratio, 2d editio, World Scietiic Publishig, Sigapore atau (x) ε 3 < (x) (x) < (x) + ε 3 (x) (x) < ε 3. (3) Jelas bahwa ugsi berilai real yag terdeiisi pada [a, b]. Selajutya diambil bilaga asli N = sup {N 1, N 2 }. Karea N C[a, b] maka terdapat bilaga δ > 0 sehigga utuk setiap x, y [a, b] dega x y < δ dipuyai N (x) N (y) < ε 3. (4) 188 Volume 2 No. 4 Mei 2013