LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

Transkripsi

1 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua kemugkia hasil yag mucul. Defiisi 1 (Ruag cotoh) Ruag cotoh adalah himpua semua hasil yag mugki dari suatu percobaa acak, da diotasika dega Ω. Defiisi 2 (Kejadia) Kejadia adalah suatu himpua bagia dari ruag cotoh Ω. Defiisi 3 (Kejadia lepas) Kejadia A da B disebut salig lepas jika irisa dari keduaya adalah himpua kosog. Defiisi 4 (Meda-σ) Meda-σ adalah suatu himpua F yag aggotaya terdiri atas himpua bagia ruag cotoh Ω, yag memeuhi syarat berikut: i) F. i=1 ii) Jika A 1, A 2, F, maka A i F. iii) Jika A F, maka A c F. Defiisi 5 (Ukura peluag) Ukura peluag P pada (, F) adalah fugsi P F 0,1 yag memeuhi: i) P = 0, P Ω = 1. ii) Jika A 1, A 2, adalah himpua lepas yag merupaka aggota dari F, yaitu: A i A j =, utuk setiap i, j dega i j, maka P i=1 A i = i=1 P A i. Pasaga Ω, F, P disebut ruag peluag. Defiisi 6 (Kejadia salig bebas) Kejadia A da B dikataka salig bebas jika: P A B = P A P B. Secara umum, himpua kejadia A i ; i I dikataka salig bebas jika: P( i J A i ) = i J P(A i ) utuk setiap himpua bagia J dari I. Peubah Acak da Fugsi Sebara Defiisi 7 (Peubah acak) Misalka Ω adalah ruag cotoh dari suatu percobaa acak. Fugsi Χ yag terdefiisi pada Ω yag memetaka setiap usur ω Ω ke satu da haya satu bilaga real X ω = disebut peubah acak. Ruag dari Χ adalah himpua bagia bilaga real A = { = Χ(ω), ω Ω}. Peubah acak diotasika dega huruf kapital, misalka X, Y, Z. Sedagka ilai peubah acak diotasika dega huruf kecil seperti, y, z. Setiap peubah acak memiliki fugsi sebara. Defiisi 8 (Fugsi sebara) Misalka Χ adalah peubah acak dega ruag A. Misalka kejadia A = (, ] A, maka peluag dari kejadia A adalah P X = F X. Fugsi F X disebut fugsi sebara dari peubah acak X. Defiisi 9 (Peubah acak diskret) Peubah acak Χ dikataka diskret jika semua himpua ilai dari peubah acak tersebut merupaka himpua tercacah. Defiisi 10 (Fugsi massa peluag) Fugsi massa peluag dari peubah acak diskret X adalah fugsi p R [0,1] yag diberika oleh p X = P X =. Defiisi 11 (Peubah acak kotiu) Peubah acak X dikataka kotiu jika ada fugsi f X sehigga fugsi sebara F X dapat diyataka sebagai

2 3 F X = f X (u) du R, dega f X R 0, adalah fugsi yag teritegralka lokal. Fugsi f X disebut fugsi kepekata peluag bagi peubah acak X. Defiisi 12 (Peubah acak Poisso) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisso dega parameter λ, λ > 0 jika fugsi massa peluagya diberika oleh λk λ p X k = e utuk k = 0,1, Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisso) Misalka X da Y adalah peubah acak yag salig bebas da memiliki sebara Poisso dega parameter berturut-turut λ 1 da λ 2. Maka X + Y memiliki sebara Poisso dega parameter λ 1 + λ 2. (Taylor & Karli 1984) Bukti: lihat Taylor & Karli Mome, Nilai Harapa, da Ragam Defiisi 13 (Nilai harapa) 1. Jika X adalah peubah acak diskret dega fugsi massa peluag p X, maka ilai harapa dari X diotasika dega E X adalah E X = p X asalka jumlah di atas koverge mutlak. 2. Jika X adalah peubah acak kotiu dega fugsi kepekata peluag f X, maka ilai harapa dari X adalah E X = f X ()d asalka itegral di atas koverge mutlak. Defiisi 14 (Ragam) Misalka X adalah peubah acak diskret dega fugsi massa peluag p X () da ilai harapa E X. Ragam dari X diotasika dega Var(X) atau σ 2 X adalah σ 2 X = E(X E X ) 2 = E X 2 p X. Defiisi 15 (Fugsi pembagkit mome) Misalka X adalah peubah acak sehigga utuk > 0, ilai harapa dari e tx terdefiisi pada < t <. Fugsi pembagkit mome dari X diyataka M t = E e tx, utuk < t <. Defiisi 16 (Fugsi idikator) Misalka A adalah suatu kejadia. Fugsi idikator dari A adalah suatu fugsi I A Ω 0,1, yag diberika oleh: I A (ω) = 1, jika ω A. 0, jika ω A. Nilai harapa dari fugsi idikator adalah sebagai berikut: Ε I A = 1. P A + 0. P A c = P A. Kekovergea Peubah Acak Terdapat beberapa cara utuk megiterpretasika peryataa kekovergea barisa peubah acak, X X utuk. Defiisi 17 (Koverge dalam peluag) Misalka X 1, X 2, adalah barisa peubah acak pada suatu ruag peluag Ω, F, P. Barisa peubah acak X dikataka koverge p dalam peluag ke X, diotasika X X, jika utuk setiap ε > 0 berlaku P X X > ε 0, utuk. Lema 2 (Sifat kekovergea dalam peluag) Misalka X koverge dalam peluag ke X da Y koverge dalam peluag ke Y maka X Y koverge dalam peluag ke XY, diotasika dega p X Y XY. Bukti: lihat Hogg et al Defiisi 18 (Koverge dalam sebara) Misalka X 1, X 2,, X adalah peubah acak pada suatu ruag peluag Ω, F, P. Suatu barisa peubah acak X dikataka koverge dalam sebara ke peubah acak X, ditulis d X X, utuk, jika P(X ) P X utuk, utuk

3 4 semua titik dimaa fugsi sebara F X = P(X ) adalah kotiu. Peduga da Sifat-Sifatya Defiisi 19 (Statistik) Statistik adalah suatu fugsi dari satu atau lebih peubah acak yag tidak tergatug pada satu atau beberapa parameter yag ilaiya tidak diketahui. Defiisi 20 (Peduga) Misalka X 1, X 2,, X adalah cotoh acak. Suatu statistik U(X 1, X 2,, X ) yag diguaka utuk meduga fugsi parameter g(θ) dilambagka dega g θ, disebut peduga bagi g(θ). Bilamaa ilai X 1 = 1, X 2 = 2,, X =, maka ilai U( 1, 2,, ) disebut sebagai dugaa (estimate) bagi g(θ). Defiisi 21 (Peduga tak bias) (i) Suatu peduga yag ilai harapaya sama dega parameter g θ, yaitu E U X 1, X 2,, X = g(θ) disebut peduga tak bias bagi g(θ). (ii) Jika lim E U X 1, X 2,, X = g(θ) maka U(X 1, X 2,, X ) disebut peduga tak bias asimtotik bagi g(θ). Defiisi 22 (Peduga kosiste) Suatu peduga yag koverge dalam peluag ke parameter g(θ) disebut peduga kosiste bagi g(θ). Defiisi 23 (MSE suatu peduga) Mea Square Error (MSE) dari suatu peduga W utuk parameter θ adalah fugsi dari θ yag didefiisika oleh E θ (W θ) 2. Dega kata lai MSE adalah ilai harapa kuadrat dari selisih atara peduga W da parameter θ, yag dapat dihitug sebagai berikut: E θ W θ 2 = Var W + E θ W θ 2 = Var W + (bias(θ )) 2 dega bias U = EU g θ. (Casella & Berger 1990) Proses Stokastik Defiisi 24 (Proses stokastik) Proses stokastik X = X t, t T adalah suatu himpua dari peubah acak yag memetaka suatu ruag cotoh Ω ke suatu ruag state. Jadi utuk setiap t pada himpua ideks T, X(t) adalah suatu peubah acak. Kita serig megiterpretasika t sebagai waktu da X t sebagai state (keadaa) dari proses pada waktu t. Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dega waktu diskret jika himpua ideks T adalah himpua tercacah. Sedagka suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dega waktu kotiu jika T adalah suatu iterval. Defiisi 25 (Ikreme bebas) Suatu proses stokatik dega waktu kotiu {X t, t T disebut memiliki ikreme bebas jika utuk semua t 0 < t 1 < < t, peubah acak X t 1 X t 0, X t 2 X t 1,, X t X t 1 adalah bebas. Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme bebas jika proses berubahya ilai pada iterval waktu yag tidak tumpag tidih (tidak overlap) adalah bebas. Defiisi 26 (Ikreme stasioer) Suatu proses stokastik dega waktu kotiu X = {X t, t T} disebut memiliki ikreme stasioer jika X t + s X(t) memiliki sebara yag sama utuk semua ilai t. Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme stasioer jika sebara (distribusi) dari perubaha ilai atara sembarag dua titik haya tergatug pada jarak atara kedua titik tersebut da tidak tergatug dari lokasi titik-titik tersebut.

4 5 Proses Poisso Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso. Pada proses ii, kecuali diyataka secara khusus, diaggap bahwa himpua ideks T adalah iterval bilaga real tak egatif yaitu 0,. Defiisi 27 (Proses pecacaha) Suatu proses stokastik N t, t 0 disebut proses pecacaha jika N(t) meyataka bayakya kejadia yag telah terjadi sampai waktu t. Dari defiisi tersebut, maka suatu proses pecacaha N(t) harus memeuhi syarat-syarat berikut: i) N(t) 0 utuk semua t 0,. ii) Nilai N(t) adalah iteger. iii) Jika s < t maka N s N t, s, t 0,. iv) Utuk s < t maka N t N(s) sama dega bayakya kejadia yag terjadi pada iterval s, t. Defiisi 28 (Proses Poisso) Suatu proses pecacaha N t, t 0 disebut proses Poisso dega laju λ, λ > 0, jika dipeuhi tiga syarat berikut: i) N 0 = 0. ii) Proses tersebut memiliki ikreme bebas. iii) Bayakya kejadia pada sembarag iterval waktu dega pajag t memiliki sebara (distribusi) Poisso dega ilai harapa λt. Jadi utuk semua t, s > 0, P N t + s N s = k = e λt (λt) k, k = 0,1, Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisso memiliki ikreme stasioer. Dari syarat ii juga dapat diperoleh bahwa E N t = λt. Defiisi 29 (Itesitas lokal) Itesitas lokal dari suatu proses Poisso tak homoge X dega fugsi itesitas λ pada titik sεr adalah λ s, yaitu ilai fugsi λ di s. (Cressie 1993) Defiisi 30 (Fugsi periodik) Suatu fugsi λ disebut periodik jika berlaku λ s + kτ = λ(s) utuk semua s R da k Z. Kostata terkecil τ yag memeuhi persamaa di atas disebut periode fugsi λ tersebut. (Browder 1996) Defiisi 31 (Proses Poisso periodik) Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso tak homoge yag fugsi itesitasya adalah fugsi periodik. (Magku 2001) Defiisi 32 (Itesitas global) Misalka N 0, adalah proses Poisso pada iterval 0,. Itesitas global θ dari proses Poisso ii didefiisika sebagai lim jika limit di atas ada. EN 0, (Cressie 1993) Lema 3 (Eksistesi itesitas global) Jika N [0, ] adalah proses Poisso periodik dega fugsi itesitas λ, maka EN 0, lim pada Defiisi 32 ada da ilaiya sama dega θ = 1 τ Bukti: lihat Lampira 1. τ λ s ds. 0 Beberapa Defiisi da Lema Tekis Defiisi 33 (Fugsi teritegralka lokal) Fugsi itesitas λ disebut teritegralka lokal jika utuk sembarag himpua Borel terbatas B kita peroleh μ B = B λ(s)ds <. (Dudley 1989) Defiisi 34 (O(. ) da o(. )) Simbol-simbol O(. ) da o(. ) merupaka cara utuk membadigka besarya dua fugsi u() da v() dega meuju suatu limit L. i) Notasi u = O v, L, meyataka bahwa L. u() v() terbatas, utuk

5 6 ii) Notasi meyataka L. u = o v, L, bahwa u() v() 0, utuk (Serflig 1980) Defiisi 35 (Titik Lebesque) Kita kataka s adalah titik Lebesque dari λ jika berlaku 1 lim λ s + λ(s) d = 0. 2 (Wheede & Zygmud 1977) Lema 4 (Teorema deret Taylor) Deret Taylor dari fugsi f di a (atau di sekitar a atau berpusat di a) memeuhi persamaa ( ) f ( a) f ( ) a! 0 a (1) (2) f ( a) 1 f 2 f ( a) a a... 1! 2! (Stewart 1999) Lema 5 (Formula Youg dari Teorema Taylor) Misalka g memiliki turua ke- yag berhigga pada suatu titik, maka k g k g y g y o y, k 1 utuk y. (Serflig 1980) Bukti: lihat Serflig Lema 6 (Teorema Limit Pusat) Misalka X 1, X 2,., X adalah barisa peubah acak bebas dari suatu sebara yag masig-masig memiliki ilai harapa μ da ragam tak ol σ 2. Jika 1 X i μ Y = σ maka Y koverge ke sebara ormal baku, D diotasika Y Normal(0,1) utuk. Bukti: lihat Lampira 2.