PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati

Transkripsi

1 Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol. 07, No.01, (2013), Hal PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua Kalijaga Yogyakarta malahayati 01@yahoo.co.id Abstrak. Di dalam paper ii dipelajari himpua semua fugsi Baire kelas 1/4 yag terbatas pada ruag metrik separabel K yag diotasika dega B 1/4 (K). Haydo,dkk [5] membuktika bahwa B 1/4 (K) merupaka ruag Baach dega megguaka kriteria deret utuk kelegkapa. Di dalam paper ii hal tersebut dibuktika dega cara yag berbeda. Kata Kuci : Ruag Baach, ruag metrik separabel,fugsi Baire. Abstract. I this paper we study class of bouded Baire-1/4 fuctios o a separable metric space K deoted by B 1/4 (K). Haydo, et all [5] proved that B 1/4 (K) is a Baach space by usig the series criterio for completeess. I this paper we prove the statemet i a differet way. Keywords : Baach Space, separable metric space, Baire fuctio 1. Pedahulua Himpua semua fugsi Baire kelas satu yag terbatas pada K ditulis B 1 (K), dega K sembarag ruag metrik separabel. Salah satu kelas bagia terpetig dari B 1 (K) adalah D(K), yag meotasika kelas semua fugsi pada K yag merupaka selisih fugsi-fugsi semikotiu terbatas pada K. Kelas D(K) pertama kali dikealka oleh A.S Kechris da Louveau pada tahu Sejala dega kemajua sais da tekologi, kajia tetag D(K) juga megalami perkembaga sehigga mucul beberapa pegertia tetag D(K) da orma pada D(K), seperti yag ditulis oleh Haydo, dkk [5] da Rosethal [8] serta Farmaki [3]. Kelas bagia terpetig dari B 1 (K) yag lai adalah B 1/4 (K), yag 33

2 34 Jural Matematika Muri da Terapa, Vol. VII, No.01 (2013) Hal meotasika himpua semua fugsi Baire kelas 1/4 yag terbatas pada K. Kelas fugsi B 1/4 (K) pertama kali dikealka oleh Haydo, dkk [5] yag didefiisika dega megguaka pegertia D(K). Kelas fugsi B 1/4 (K) memiliki peraa petig dalam cabag matematika diataraya aalisis fugsioal, khususya dalam pegaplikasia teori ruag Baach. Hasil temua Haydo, Rosethal da Farmaki tersebut memberika iisiatif utuk mempelajari lebih dalam tetag kelas fugsi B 1/4 (K). Lebih lajut, karea belum ada pembuktia secara detail tetag sifat ruag Baach pada B 1/4 (K) maka dalam paper ii aka diberika pembuktia sifat tersebut. Sebelumya diberika terlebih dahulu defiisi fugsi semikotiu da kelas fugsi D(K) yag aka diguaka dalam pembahasa megeai B 1/4 (K). Fugsi-fugsi yag dibicaraka berilai real da didefiisika pada E, dega E himpua bagia dari sebarag ruag metrik. Sebelumya disepakati terlebih dahulu bahwa setiap pegambila ifimum da remum dari suatu himpua berikut ii, himpua yag dimaksud merupaka himpua bagia dari R, dega R = R,. Defiisi 1.1. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E 1. Limit atas (upper limit) fugsi f utuk x medekati x 0 ditulis dega lim x x0 f(x) da didefiisika lim x x 0 f(x) := if M ε (f, x 0 ) : ε > 0 dega M ε (f, x 0 ) = f(x) : x N ε (x 0 ) E. 2. Lmit bawah (lower limit) fugsi f utuk x medekati x 0 ditulis dega lim x x 0 f(x) da didefiisika lim x x 0 f(x) := m ε (f, x 0 ) : ε > 0 dega m ε (f, x 0 ) = iff(x) : x N ε (x 0 ) E. Defiisi 1.2. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E 1. Fugsi f dikataka semikotiu atas (upper semicotiuous) di x 0 apabila f(x 0 ) = lim x x0 f(x) Selajutya, fugsi f dikataka semikotiu atas pada E apabila fugsi f semikotiu atas di setiap x E. 2. Fugsi f dikataka semikotiu bawah (lower semicotiuous) di x 0 apabila f(x 0 ) = lim x x0 f(x) Selajutya, fugsi f dikataka semikotiu atas pada E apabila fugsi f semikotiu bawah di setiap x E. 3. Fugsi yag semikotiu atas atau semikotiu bawah diamaka fugsi semikotiu. Sifat fugsi semikotiu berikut ii aka bayak diguaka dalam membuktika sifat selajutya.

3 Malahayati Pembuktia Sifat Ruag Baach Pada B 1/4 (K) 35 Teorema 1.3. Diberika fugsi f yag terbatas pada ruag metrik (E, d). Fugsi f semikotiu bawah pada E jika da haya jika terdapat barisa aik mooto fugsifugsi kotiu f pada E sehigga f koverge titik demi titik ke f pada E. Bukti. (Syarat perlu). Utuk setiap N, didefiisika f : E R, dega f (x) = iff(t) + d(x, t) : t E Aka ditujukka f aik mooto. Utuk setiap N, berlaku f(t) + d(x, t) f(t) + ( + 1) d(x, t), utuk setiap x, t E. Oleh karea itu, diperoleh f (x) f +1 (x), utuk setiap N. Dega kata lai barisa f aik mooto. Selajutya aka dibuktika utuk setiap N, f kotiu pada E. Diambil sembarag x, y E, diperoleh f (x) = iff(t) + d(x, t) : t E iff(t) + d(y, t) + d(x, y) : t E = iff(t) + d(y, t) : t E + d(x, y) = f (y) + d(x, y) Dega kata lai, diperoleh f (x) f (y) d(x, y). Dega cara yag sama, diperoleh f (y) f (x) d(x, y). Oleh karea itu, diperoleh f (x) f (y) d(x, y) Selajutya, diberika ε > 0 sebarag, dipilih δ = ε sehigga utuk setiap x, y E +1 dega d(x, y) < δ, berlaku f (y) f (x) d(x, y) < δ < ε. Dega kata lai, terbukti f kotiu pada E. Selajutya aka dibuktika lim f (x) = f(x), utuk setiap x E. Karea fugsi f terbatas pada E maka f terbatas kebawah pada E. Oleh karea itu terdapat bilaga M, sehigga M f(x) utuk setiap x E. Diambil sembarag x 0 E, maka utuk setiap N berlaku f (x 0 ) = if f(t) + d(x 0, t) : t E Oleh karea itu, diperoleh f (x 0 ) f(x 0 ) + d(x 0, x 0 ) = f(x 0 ). Akibatya lim f (x 0 ) f(x 0 ) Sebalikya, diambil sembarag bilaga h, dega h < f(x 0 ), terdapat bilaga ε > 0 sehigga f(x) > h, utuk setiap x N ε (x 0 ) E. Karea h, M, ε R maka h M R, ε meurut Archimedes terdapat 0 N sehigga 0 > h M. Dega kata lai, terdapat ε

4 36 Jural Matematika Muri da Terapa, Vol. VII, No.01 (2013) Hal N sehigga M + ε 0 > h. Utuk setiap bilaga > 0, apabila t N ε (x 0 ) E, maka berlaku f (x 0 ) = if f(t) + d(x 0, t) : t N ε (x 0 ) E Sedagka utuk ilai-ilai t yag lai, if f(t) : t N ε (x 0 ) E h f (x 0 ) = if f(t) + d(x 0, t) : t E\N ɛ (x 0 ) if M + ε : t E\N ε (x 0 ) = M + ε > M + ε 0 > h. Dega demikia, utuk setiap > 0, karea f (x 0 ) h utuk setiap h < f(x 0 ) maka diperoleh f (x 0 ) f(x 0 ). Oleh karea itu, diperoleh lim f (x 0 ) f(x 0 ). Jadi, diperoleh lim f (x 0 ) = f(x 0 ). (Syarat Cukup). Diambil sembarag α R. Aka dibuktika bahwa himpua x E : f(x) > α terbuka. Aka ditujukka terlebih dahulu bahwa x E : f(x) > α = x E : f (x) > α =1 Diambil sebarag x x E : f(x) > α, maka berlaku f(x) > α. Adaika f (x) α utuk setiap N, maka berlaku, f (x) α < f(x). Karea f(x) > α maka f(x) α > 0. Oleh karea itu, diambil ε = 1 (f(x) α) > 0. Utuk setiap N, 2 diperoleh f (x) f(x) f(x) α = f(x) α > 1 (f(x) α) = ε. 2 Kotradiksi dega f koverge titik demi titik ke f. Jadi f (x) > α, utuk suatu N. Dega kata lai, terbukti x =1 x E : f (x) > α. Sebalikya, diambil sembarag x =1 x E : f (x) > α, maka terdapat N N sehigga f N (x) > α. Adaika f(x) α, maka diperoleh f N (x) > α f(x) Karea barisa f aik mooto, maka f m f N, utuk setiap m > N. Diambil ε = 1 2 (f N(x) f(x)) > 0. Karea f(x) < f N (x) f m (x), utuk setiap m > N, maka diperoleh f m (x) f(x) f N (x) f(x) ε. Kotradiksi dega f koverge titik demi titik ke f. Jadi f(x) > α. Oleh karea itu diperoleh x E : f(x) > α = =1 x E : f (x) > α. Karea himpua x E : f (x) > α terbuka, maka =1 x E : f (x) > α terbuka. Akibatya himpua x E : f(x) > α terbuka. Terbukti fugsi f semikotiu bawah pada E.

5 Malahayati Pembuktia Sifat Ruag Baach Pada B 1/4 (K) 37 Fugsi-fugsi yag dibicaraka selajutya berilai real da didefiisika pada K, dega K sebarag ruag metrik separabel kecuali disebutka lai. Selai itu, himpua semua fugsi-fugsi kotiu pada K diotasika dega C(K). Fugsi f dikataka aggota D(K) jika terdapat fugsi-fugsi semikotiu terbatas u da v pada K sehigga f = u v. Pemakaia defiisi D(K) secara lagsug cukup meyulitka, oleh karea itu diperluka suatu hasil yag lebih memudahka. Hal ii telah ditulis oleh Farmaki [3] yag tertuag dalam lemma-lemma berikut ii. Lemma 1.4. Fugsi f D(K) jika da haya jika terdapat fugsi-fugsi semikotiu bawah terbatas u da v pada K, sehigga f = u v. Bukti. (Syarat cukup). Diketahui fugsi-fugsi semikotiu bawah terbatas u da v pada K, sehigga f = u v. Meurut defiisi D(K), jelas f D(K). (Syarat perlu). Diketahui f D(K), berarti terdapat fugsi-fugsi semikotiu terbatas u da v pada K, sehigga f = u v. Dalam hal ii ada beberapa kemugkia, yaitu Kemugkia pertama : Jika u da v fugsi-fugsi semikotiu atas terbatas pada K, maka diperoleh f = u v = ( v) ( u). Karea u da v fugsi-fugsi semikotiu atas, maka u da v fugsi-fugsi semikotiu bawah. Oleh karea itu, apabila u = v da v = u maka diperoleh u, v fugsi-fugsi semikotiu bawah terbatas pada K da f = u v. Kemugkia kedua : Jika u fugsi semikotiu bawah terbatas pada K da v fugsi semikotiu atas terbatas pada K, maka f = u v = (u v) 0. Karea v fugsi semikotiu atas, maka v fugsi semikotiu bawah sehigga u v fugsi semikotiu bawah. Oleh karea itu, apabila u = u v da v = 0 maka diperoleh u, v fugsi-fugsi semikotiu bawah terbatas pada K da f = u v. Kemugkia ketiga : Jika u fugsi semikotiu atas terbatas pada K da v fugsi semikotiu bawah terbatas pada K, maka f = u v = 0 (v u). Karea u fugsi semikotiu atas, maka u fugsi semikotiu bawah sehigga v u fugsi semikotiu bawah. Oleh karea itu, jika u = 0, da v = v u maka diperoleh u, v fugsi-fugsi semikotiu bawah terbatas pada K da f = u v. Utuk selajutya, apabila f sebarag fugsi yag didefiisika pada K, otasi f 0 dimaksudka f(x) 0 utuk semua x K. Lemma 1.5. Fugsi f D(K) jika da haya jika terdapat fugsi-fugsi semikotiu bawah terbatas u, v 0 pada K, sehigga f = u v. Bukti. (Syarat cukup). Diketahui fugsi-fugsi semikotiu bawah terbatas u, v 0 pada K sehigga f = u v. Oleh karea itu, meurut Lemma 1.4, jelas f D(K). (Syarat perlu). Diketahui f D(K), maka meurut Lemma 1.4 terdapat fugsifugsi semikotiu bawah terbatas g da h pada K sehigga f = g h. Karea g fugsi semikotiu bawah terbatas pada K, maka terdapat barisa ϕ di C(K) sehigga ϕ 0 ϕ 1 ϕ 2..., ϕ, ϕ +1,... dega ϕ 0 = 0 da ϕ koverge titik demi titik ke

6 38 Jural Matematika Muri da Terapa, Vol. VII, No.01 (2013) Hal g. Oleh karea itu, diperoleh g(x) = lim ϕ (x) = lim = (ϕ j ϕ j 1 )(x) j=1 (ϕ j ϕ j 1 )(x) utuk setiap x K. Selajutya, karea h juga fugsi semikotiu bawah terbatas pada K, maka terdapat barisa ψ C(K) sehigga ψ 0 ψ 1 ψ 2... dega ψ 0 = 0 da ψ koverge titik demi titik ke h. Oleh karea itu, diperoleh h(x) = lim ψ (x) = lim = (ψ j ψ j 1 )(x) j=1 j=1 (ψ j ψ j 1 )(x) utuk setiap x K. Akibatya, utuk sebarag x K diperoleh f(x) = g(x) h(x) = (ϕ j ϕ j 1 )(x) j=1 j=1 (ψ j ψ j 1 )(x) Selajutya, amaka u = j=1 (ϕ j ϕ j 1 )(x) da v = j=1 (ψ j ψ j 1 )(x). Karea ϕ j ϕ j 1 0 da ψ j ψ j 1 0 utuk setiap j = 1, 2,..., maka diperoleh u, v 0. Jadi terdapat fugsi-fugsi semikotiu bawah terbatas u, v 0 pada K sehigga f = u v. j=1 2. Hasil da Pembahasa Pada bagia ii aka dibahas kelas fugsi B 1/4 (K), yaitu meotasika himpua semua fugsi Baire kelas 1/4 yag terbatas pada K. Sebelumya, diberika pegertia B 1/4 (K), dilajutka dega membahas beberapa sifat-sifatya yag aka diguaka dalam membuktika sifat ruag Baach pada B 1/4 (K). Defiisi 2.1. Diberika ruag metrik separable K. Kelas fugsi B 1/4 (K) didefiisika B 1/4 (K) = f : K R : terdapat f D(K) sehigga f f 0 da f D <. Selajutya, aka ditujukka bahwa kelas fugsi B 1/4 (K) merupaka ruag liier.

7 Malahayati Pembuktia Sifat Ruag Baach Pada B 1/4 (K) 39 Lemma 2.2. Diberika ruag metrik separabel K, kelas fugsi B 1/4 (K) merupaka ruag liier. Bukti. 1. Diambil sembarag f, g B 1/4 (K), maka terdapat barisa-barisa f, g di D(K) sehigga f f 0, g g 0 da f D <, g D <. Karea f, g D(K) utuk setiap N, maka diperoleh f + g D(K), utuk setiap N. Selajutya, utuk setiap N dibetuk h = f + g, sehigga diperoleh barisa h di D(K). Oleh karea itu, diperoleh h (f + g) = (f + g ) (f + g) f f + g g. Apabila maka diperoleh h (f +g) 0. Selajutya, utuk setiap N, diperoleh h D = f + g D f D + g D. Karea f D < da g D <, akibatya diperoleh h D <. Dega demikia terdapat barisa h di D(K) sehigga h (f + g) 0 da h D <. Dega kata lai, terbukti bahwa f + g B 1/4 (K). 2. Diambil sebarag f B 1/4 (K) da α R, maka terdapat barisa f di D(K) sehigga f f 0 da f D <. Utuk setiap N, dibetuk g = αf, sehigga diperoleh barisa g di D(K). Oleh karea itu, diperoleh g αf = αf αf = α f f. Karea f f 0, akibatya diperoleh g αf 0. Selajutya, utuk setiap N, diperoleh g D = αf D = α f D. Karea f D <, akibatya diperoleh g D <. Dega demikia terdapat barisa g di D(K) sehigga g αf 0 da g D <. Dega kata lai, terbukti bahwa αf B 1/4 (K). Jadi terbukti B 1/4 (K) merupaka ruag liier. Defiisi 2.3. Utuk setiap f B 1/4 (K) didefiisika fugsi 1/4 : B 1/4 (K) R dega f 1/4 = if f D : f D(K), f D < da f f 0. Selajutya aka dibuktika bahwa kelas fugsi B 1/4 (K) merupaka ruag berorma terhadap. 1/4. Terlebih dahulu dibuktika beberapa lemma yag aka diguaka dalam pembuktia. Lemma 2.4. Jika f B 1/4 (K) maka f f 1/4. Bukti. Diambil sebarag f B 1/4 (K), da barisa f D(K) dega f D < da f f 0. Utuk sebarag N, diperoleh f f f + f f f + f D f f + f D

8 40 Jural Matematika Muri da Terapa, Vol. VII, No.01 (2013) Hal Selajutya, karea f f 0, maka diperoleh f f D. Oleh karea itu, f merupaka batas bawah dari himpua f D : f D(K), f D < da f f 0. Akibatya, diperoleh f if f D : f D(K), f D < da f f 0. Dega kata lai, terbukti bahwa f f 1/4. Lemma 2.5. Jika f B 1/4 da α R maka berlaku αf D : αf D(K), αf D < da αf αf 0 g D : g D(K), g D < da g αf 0 Bukti. Diambil sebarag f B 1/4 da α R. Utuk kemudaha pembuktia, amaka A = αf D : αf D(K), αf D < da αf αf 0 B = g D : g D(K), g D < da g αf 0 Aka dibuktika A = B. Diambil sebarag a A, maka terdapat barisa αf D(K) dega αf D < da αf αf 0 sehigga a = αf D. Selajutya utuk sebarag α da utuk setiap N, dibetuk g = αf, maka diperoleh g D(K) da g D <. Akibatya, g αf 0 da a = g D. Oleh karea itu, a B. Dega kata lai, diperoleh A B. Sebalikya, diambil sembarag b B maka terdapat barisa g di D(K) dega g D < da g αf 0, sehigga diperoleh b = g D. Selajutya, utuk sebarag a 0 da utuk setiap N, amaka f = g, maka diperoleh α barisa αf D(K) da αf D <. Akibatya, diperoleh αf αf 0 da b = αf D. Oleh karea itu diperoleh b A, dega kata lai B A. Jadi terbukti bahwa A = B. Seperti yag telah disebutka sebelumya, dega megguaka Lemma 2.4 da Lemma 2.5, dapat dibuktika bahwa fugsi 1/4 adalah orma pada B 1/4 (K). Teorema 2.6. Fugsi 1/4 adalah orma pada B 1/4 (K) =

9 Malahayati Pembuktia Sifat Ruag Baach Pada B 1/4 (K) 41 Bukti. (N1). Diambil sebarag f B 1/4 (K). Karea f 1/4 = if f D : f D(K), f D < da f f 0 maka diperoleh f 1/4 0. Selajutya, jika f 1/4 = 0 maka berdasarka Lemma 2.4 diperoleh f = 0. Oleh karea itu, f(x) = 0 utuk setiap x K, dega kata lai f = 0. Sebalikya, jika f = 0 maka terdapat barisa f D(K) dega f = 0 utuk setiap N sehigga f D < da f f 0, akibatya diperoleh f 1/4 = if f D : f D(K), f D < da f f 0 Dega kata lai, bear bahwa f 1/4 = 0 jika da haya jika f = 0. (N2). Diambil sembarag f B 1/4 (K) da α R. Berdasarka Lemma 2.4, diperoleh α f 1/4 = α if = if α = if αf αf 0 = if = αf 1/4 f D : f D(K), = 0 f D < da f f 0 f D : f D(K), f D < da f f 0 αf D : αf D(K), αf D < da g D : g D(K), g D < da g f 0 (N3). Diambil f, g B 1/4 (K) da ε >0 sebarag, maka terdapat barisa-barisa f, g D(K) dega f f 0, g g 0 da f D <, g D <, sehigga berlaku Oleh karea itu, diperoleh f D < f 1/4 + ε 2 f 1/4 + g 1/4 > da g D < g 1/4 + ε 2. f D + g D f + g D f + g 1/4 Karea berlaku utuk ε > 0 sembarag, maka diperoleh f 1/4 + g 1/4 f + g 1/4 Berdasarka (N1), (N2), da (N3), terbukti bahwa fugsi 1/4 adalah orma pada B 1/4 (K).

10 42 Jural Matematika Muri da Terapa, Vol. VII, No.01 (2013) Hal Selajutya aka ditujukka bahwa kelas fugsi B 1/4 (K) merupaka ruag Baach. Teorema 2.7. Diberika ruag metrik separabel K, kelas fugsi B 1/4 (K) merupaka ruag Baach. Bukti. Berdasarka Teorema 2.6, ( ) B1/4 (K), 1/4 merupaka ruag berorma, selajutya aka dibuktika B 1/4 (K) legkap. Diambil sebarag barisa Cauchy f B 1/4 (K). Oleh karea itu, dapat diasumsika bahwa f +1 f 1/4 < 1, 2 utuk setiap N. Karea f +1 f B 1/4 (K), maka utuk setiap N terdapat barisa ϕ m m=1 di D(K), sehigga diperoleh ϕ m (f +1 f ) 0 da m ϕ m D 1. 2 Karea f barisa Cauchy di (B 1/4 (K, maka berdasarka Lemma 2.4, diperoleh f m f 0, utuk, m. Oleh karea itu, utuk setiap x K diperoleh f (x) barisa Cauchy di R. Karea R legkap, maka utuk setiap x K terdapat f(x) R sehigga barisa f (x) koverge ke f(x). Akibatya diperoleh f f 0. Diambil sembarag 0 N. Dibetuk g = f +1 f, utuk setiap N da ψ = ϕ ϕ, utuk setiap 0. Oleh karea itu diperoleh barisa ψ D(K) da berlaku = 0 g = lim k g k = 0 k = lim (f +1 f ) k = 0 = lim (f k+1 f 0 ) = f f 0. k Selajutya, aka dibuktika f f 0 0?l <, diperoleh B 1/4 (K). Utuk setiap l, N dega ψ (ϕ ϕ l ) = ϕ l ϕ ϕ l ϕ ϕ l+1 D + + ϕ D = i=l i < 1 2 l

11 Malahayati Pembuktia Sifat Ruag Baach Pada B 1/4 (K) 43 Oleh karea itu, apabila maka berlaku lim ψ (ϕ ϕ l ) < 1 2 ( l ) lim ψ lim ϕ lim ϕ l < 1 2 l lim ψ ((f 0 +1 f 0 ) + + (f l+1 f l )) < 1 2 l lim ψ (f l+1 f 0 ) < 1 2 l Apabila l maka diperoleh lim ψ (f f 0 ) = 0 Dega kata lai, diperoleh ψ (f f 0 ) 0. Disisi lai, utuk setiap N diperoleh ψ D = (ϕ ϕ ) D ϕ 0 D + + ϕ D 1 2 < 1 i 2. i= 0 Karea berlaku utuk setiap N maka diperoleh ψ D 1 2 Dega demikia, ada barisa ψ D(K) sehigga ψ (f f 0 ) 0 da ψ D 1. Dega kata lai, bear bahwa f f 2 0 B 1/4 (K). Karea B 1/4 (K) ruag liier, maka diperoleh f B 1/4 (K). Selajutya, berdasarka asumsi diawal pembuktia, maka diperoleh f f 0 1/4 = g = 0 1/4 = f +1 f = 0 1/4 f +1 f 1/4 = 0 1 2, utuk setiap 0 N. = 0 Karea berlaku utuk sembarag 0 N, maka diperoleh barisa f koverge ke f. Jadi, terbukti B 1/4 (K) ruag Baach.

12 44 Jural Matematika Muri da Terapa, Vol. VII, No.01 (2013) Hal Kesimpula Berdasarka hasil pembahasa dapat disimpulka bahwa sifat ruag Baach berlaku pada B 1/4 (K). Sifat tersebut dapat ditujukka dega megguaka defiisi kelegkapa biasa yag melibatka barisa Cauchy. Daftar Pustaka [1] Ash, R.B Real Variables with Basic Metric Space Topology. Departmet of Mathematics Uiversity of Illiois at Urbaa-Champaig. [2] Dugudji, J Topology. Ally ad Baco Ic. Bosto. [3] Farmaki, V O Baire-1/4 Fuctios. Tras. Amer. Math. Soc, 348, 10. [4] Gordo, R.A The Itegral of Lebesgue, Dejoy, Perro ad Hestock. America Mathematical Society USA. [5] Haydo, R., Odell, E. da Rosethal, H.P O Certai Classes of Baire- 1 Fuctios with Applicatios to Baach Space Theory. Lecture Notes i Math Spriger New York. [6] Kreyszig, E Itroductory Fuctioal Aalysis with Applicatios. Joh Wiley ad Sos Ic. Caada. [7] McShae, E.J Itegratio. Priceto Uiversity Press. Priceto. [8] Rosethal, H.P A Characterizatio of Baach Spaces Cotaiig C0. J. Amer. Math. Soc, 7, 3, [9] Rosethal, H.P Differeces of Bouded Semi-Cotiuous Fuctios I.