BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan mngnai tori dan trminologi graph, yaitu bntuk-bntuk khusus suatu graph. Di sini uga akan dilaskan mngnai minimum spanning tr, pmrograman 0-, dan aplikasi QM for Windows.. Dfinisi Graph Sbuah graph G didfinisikan sbagai pasangan himpunan (V,E) di mana V mrupakan himpunan vrtks v, v,..., v dan E mrupakan himpunan dg yang n mnghubungkan spasang vrtks,,..., atau dapat ditulis dngan notasi n G=(V,E). Brdasarkan ada tidaknya loop atau multi gd pada suatu graph, scara umum graph dapat digolongkan mnadi dua nis, yaitu simpl graph dan unsimpl graph. Dfinisi. Simpl graph Sbuah graph G dikatakan simpl graph ika apabila graph trsbut tidak trdapat multipl dg maupun loop. Dikatakan multipl dg karna trdapat lbih dari dua dg yang mnghubungkan pasangan vrtks yang sama, sdangkan loop adalah dg yang mnghubungkan vrtks yang sama v, v. Gambar. ( a ) mrupakan simpl graph. i i Dfinisi. Unsimpl graph Sbuah graph G dikatakan unsimpl graph apabila pada graph trdapat multipl dg, maupun loop. Apabila graph trsbut mngandung multipl dg, graph trsbut disbut dngan graph ganda (multi graph), sprti pada Gambar. ( b ). Untuk graph yang mngandung loop disbut dngan graph smu

2 7 (psudograph). Pada Gambar. ( c ) mrupakan psudograph karna trdapat loop pada v, v. v v v v 3 v v v ( a) v v v ( b ) ( c) Gambar. Contoh graph ( a ) simpl graph, ( b ) multi graph, ( c ) psudograph Brdasarkan orintasi arah pada stiap dg, scara umum graph dibdakan mnadi graph tak-brarah (undirctd graph) dan graph brarah (dirctd graph atau digraph). Dfinisi.3 Graph tak-brarah (undirctd graph) Graph yang stiap dg-nya tidak mmpunyai orintasi arah disbut dngan graph tak-brarah. Pada graph tak-brarah urutan pasangan vrtks tidak diprhatikan shingga u, v v, u. Gambar. ( a ), ( b ), dan ( c ) disbut uga dngan undirctd graph. Dfinisi.4 Graph brarah (dirctd graph) Untuk graph yang stiap dg-nya mmpunyai orintasi arah disbut dngan graph brarah. Pada graph brarah urutan pasangan vrtks diprhatikan shingga u, v v, u. Gambar. mrupakan contoh dari dirctd graph. v 4 v 3 v v Gambar. Dirctd graph

3 8. Trminologi Dasar Graph Dfinisi.5 Adancnt Dua buah vrtks pada undirctd graph, u adancnt dngan v dngan ( uv, ) adalah dg pada graph trsbut. Dfinisi.6 Incidnt Sbuah smbarang dg u, v dikatakan incidnt dngan vrtks u dan v. Dfinisi.7 Path Sbuah path adalah sbuah barisan dari himpunan vrtks v, v,..., v n dngan v, v E untuk smua n,..., n. v n v n n n Dfinisi.8 Cycl Sbuah cycl adalah sbuah path v, v,..., v dngan dg n v, v, v, v,..., v, v skaligus dngan dg, 3 n n n v v. Dfinisi.9 Connctd Sbuah graph tak-brarah G disbut connctd graph untuk stiap pasang vrtks u dan v di dalam himpunan V trdapat path dari u k v. Dfinisi.0 Cut-st Cut-st dari connctd graph G adalah himpunan dg. Jika salah satu dg trsbut tidak trdapat di G akan mnybabkan G tidak trhubung. Jadi, cut-st slalu mnghasilkan dua buah komponn trhubung..3 Trs Tr adalah bntuk khusus dari graph. Adapun dfinisi dari tr adalah sbagai brikut:

4 9 Dfinisi. Tr bawah ini: Sbuah graph T V, E disbut sbuah tr apabila mmnuhi kondisi di. T mrupakan connctd graph. T tidak mngandung cycl Sbuah graph T V, E yang mrupakan tr dicontohkan pada Gambar.3 di bawah ini: v v v v8 v v v v 3 4 Gambar.3 Sbuah graph yang mrupakan tr Untuk slanutnya akan dilaskan bbrapa sifat-sifat (proprtis) pada tr. Torma. Misalkan T V, E adalah sbuah tr dngan paling sdikit (dua) vrtks, untuk stiap pasangan vrtks yang brbda x, y V, trdapat uniqu path (lintasan khusus) di T dari x k y. Bukti Slama T connctd, trdapat sbuah path dari x k y, misalkan mnadi v ( x), v,..., v ( y ) () 0 r Kmudian anggap ktrbalikan dari kondisi ini shingga trdapat path yang brbda u ( x), u,..., u ( y ) () 0 s Di sini akan diprlihatkan T akan mmpunyai cycl. Path () dan () mrupakan path yang brbda, untuk i N sdmikian hingga v u, v u,..., v u ttapi v u 0 0 i i i i

5 0 Prhatikan himpunan vrtks v, v,..., v. Slama kdua path i i r () dan () brakhir di y, maka kdua path trsbut akan brtmu kmbali di y, shingga untuk stiap i, i,..., r sdmikian hingga v u untuk stiap l l i, i,..., s. Maka kdua path trsbut akan mmbntuk cycl. Hal ini kontradiktif dngan syarat T adalah sbuah tr. Torma. Misalkan T V, E adalah sbuah tr dngan paling sdikit (dua) vrtks. Kmudian graph yang diprolh dari T dngan mnghapus sbuah dg shingga mnadi dua komponn, masing-masing komponn trsbut adalah tr. Bukti Dibrikan u, v E, di mana T V, E. Kmudian dg ini dihapus, shingga trdapat G V, E, di mana E E \ u, v. Didfinisikan rlasi R pada V sbagai brikut. Dua vrtks x, y V mmnuhi xry ika dan hanya ika x y atau mrupakan uniqu path di T dari x k y dan tidak trmasuk dg u, v. Di sini diprlihatkan R adalah rlasi yang kuivaln pada V, dngan dua golongan kuivaln u dan v. Di sini uga diprlihatkan u dan v mrupakan dua komponn dari G, uga slama T tidak mmpunyai cycl, akan trbntuk dua komponn. Torma.3 Jika T V, E adalah sbuah tr, maka E V. Bukti Pmbuktian akan dilakukan dngan mnginduksi umlah vrtks dari T V, E. Jlas hasil adalah bnar untuk V. Misalkan hasil adalah bnar untuk V k. Misalkan T V, E dngan V k. Jika dihapus smbarang dg dari T, maka akan dihasilkan dua komponn graph. Akan didfinisikan k dua komponn trsbut olh

6 T V, E dan T V, E Dari sini las V k dan V k. Dari induksi trsbut diktahui bahwa E V dan E V Shingga V V V dan E E E, shingga E V Dfinisi. Spanning tr G V, E mrupakan sbuah connctd graph, maka sbuah subst T dari E disbut sbuah spanning tr dari G apabila T mmnuhi dua kondisi brikut:. Stiap vrtks di V trhubung olh tpat satu dg di T.. Edg di T mmnuhi kondisi tr. Contoh. Dibrikan sbuah graph sprti gambar di bawah ini: v 4 v 5 v 6 v v Gambar.4 Graph G dngan 6 vrtks dan 7 dg v 3 Dari graph Gambar.4 bisa dibntuk bbrapa spanning tr sbagai brikut: v 4 v 5 v 6 v 4 v 5 v 6 v 4 v 5 v 6 v v v 3 v v v 3 v v v 3 Gambar.5 Spanning tr yang dibntuk dari graph pada Gambar.4

7 .4 Minimum Spanning Tr Dfinisi.3 Graph brarak (distanc graph) Misalkan G V, E kmudian trdapat sbuah fungsi d : E N yang disbut fungsi arak. Graph G brsama dngan fungsi arak d : E N, disbut dngan graph brarak (distanc graph). Contoh. Dibrikan sbuah graph sprti gambar di bawah ini: v 4 v 5 v 6 v v v 3 Gambar.6 Graph G dngan 6 vrtks dan 7 dg distanc dari graph: v 4 3 v 5 5 v v v Gambar.7 Distanc graph v 3 mmpunyai fungsi arak d : E N, di mana dngan E v, v, v, v, v, v, v, v, v, v, v, v, v, v d v, v 3 d v, v d v, v 5 d v, v d v, v 4 d v, v 6 d v, v

8 3 Dfinisi.4 Jarak spanning tr (distanc of spanning tr) Misalkan sbuah graph G V, E, brsama dngan fungsi arak d : E N. Untuk slanutnya G mrupakan connctd, dan T mrupakan spanning tr dari G, maka nilai: d ( T ) d mrupakan pnumlahan sluruh arak pada smua dg di T, disbut dngan arak spanning tr. T Untuk stiap graph G adalah sbuah graph brarak (distanc graph). Jlas, untuk stiap spanning tr T dari G akan mmpunyai total arak d( T ). Dari smua spanning tr T dari G, trdapat spanning tr yang mmpuyai arak d( T ) minimum. Dfinisi.5 Minimum spanning tr Sbuah graph G V, E, brsama dngan fungsi arak d : E N, mmbntuk sbuah distanc graph. Slanutnya G connctd, sbuah spanning tr dngan arak d( T ) minimum dari smua spanning tr di G disbut dngan minimum spanning tr. Prmasalahan minimum spanning tr bisa dirumuskan sprti di bawah ini: min T d T S T G dngan ktntuan S T G adalah himpunan spanning tr dari graph. Untuk prsoalan minimum spanning tr akan diformulasikan dua kondisi optimal pada prsoalan minimum spanning tr. Torma.4 Kondisi optimal cut (cut optimality condition) Sbuah spanning tr stiap dg T adalah minimum spanning tr ika dan hanya ika untuk T, d d f untuk stiap f X, V \ X.

9 4 Bukti Asumsikan trdapat sbuah minimum spanning tr T yang tidak mmnuhi kondisi ini, maka akan diprolh sbuah dg T dan sbuah dg f X, V \ X dngan d d. Slanutnya dg digantikan dngan dg f, f shingga diprolh sbuah spanning tr dngan d T \ f d T d d d T. Hal ini kontradiktif dngan nilai optimal f dari T. Pada bagian ini akan diprlihatkan bahwa untuk stiap spanning tr T yang mmnuhi kondisi di atas adalah optimal. Asumsikan T adalah minimum spanning tr dan T T. Kmudian trdapat paling sdikit satu dg T shingga T. Jika dg ini dimasukkan k dalam T, maka T akan mmbntuk cycl C T, dngan sbuah dg f di mana f mmpunyai satu titik di X dan V X. Slama T optimal, maka d d. Untuk slanutnya dg dihapus f \ kmudian mmasukkan dg f pada T, shingga diprolh T \ f, dngan total arak: Spanning tr \ f d T d T d d d T f T \ f mmpunyai sbuah tambahan dg yang sama dngan T dan mmnuhi kondisi optimal cut. Hal ini diulangi sampai akhirnya didapatkan T T dngan d ( T ) d ( T ) shingga T uga minimum spanning tr. Dari Torma.4 disimpulkan bahwa sbuah spanning tr mmpunyai arak minimum ika dan hanya ika tidak trdapat prtukaran dg dan dg f (yang tidak mmbntuk cycl) shingga d d f adalah ngatif.

10 5 Torma.5 Kondisi optimal path (path optimality condition) Sbuah spanning tr T adalah minimum spanning tr ika dan hanya ika untuk stiap dg f k, l yang tidak trmasuk dalam spanning tr di mana d d f untuk stiap dg yang mrupakan bagian path di T yang mnghubungkan k dan l. Bukti Dibrikan sbuah minimum spanning tr T dan dg i, bagian dari path di T yang mnghubungkan k dan l. Edg f k, l dan d d, slanutnya f dilakukan prtukaran dg dan f. Dari prtukaran ini dihasilkan sbuah spanning tr baru dngan arak lbih pndk dari T. Hal ini kontradiktif dngan optimal T. Dibrikan sbuah dg i, dan misalkan X dan V \ X mrupakan himpunan vrtks yang dihasilkan dngan mnghapus dg. Slanutnya dibrikan dg k, l dngan k X dan l V \ X. Sak T mmuat sbuah lintasan khusus (uniqu path) dari k k l dan adalah dg yang mnghubungkan himpunan vrtks X dan V \ X, adalah bagian dari path yang mnghubungkan k dan l. Dari Kondisi optimal path diktahui bahwa d d f di mana f k, l. Kondisi ini brlaku untuk stiap dg f k, l brada dalam cut { X, V \ X } untuk stiap T. Jadi T mmnuhi kondisi optimal cut dan dari torma.4 tr. T adalah minimum spanning Scara umum ada bbrapa mtod pnylsaian pada prmasalahan minimum spanning tr. Votch Jarnik (tahun 930) dan Robrt C.Prim (975) scara trpisah mnmukan sbuah algoritma untuk mnylsaikan prsoalan minimum spanning tr. Algoritma ini kmudian disbut dngan dngan algoritma prim. Slain algoritma prim, prmasalahan minimum spanning tr uga bisa dislsaikan dngan algoritma Kruskal, algoritma Boruvka, algoritma Sollin yang mrupakan algoritma yang diturunkan dari algoritma Boruvka.

11 6.5 Intgr programming Intgr programming mrupakan bntuk khusus atau variasi dari linir programming, di mana salah satu atau lbih pubah-pubahnya dalam vktor pnylsaiannya mmiliki nilai intgr. Dalam linir programming, salah satu asumsi yang mlandasinya adalah divisibilitas dari pubah dan kndalanya. Dngan dmikian, pada linir programming prmasalahan dihadapkan pada kgiatan-kgiatan dan variabl yang brsifat kontinyu, sdangkan pada intgr programming stiap variabl akan brsifat diskrit. Contoh.3 Prmasalahan intgr programming dngan (dua) variabl basis M axim iz Z x 5 x Subct to x 0x 0 x x, x 0, int x x Pmbulatan k atas Intgr Optimal Z=0 (0, ) (,.8) LP Optimal x 0 x 0 Pmbulatan bawah x Gambar.8 Pnylsaian intgr programming dngan mtod grafik Solusi untuk linir programming pada prmasalahan di atas adalah Z di mana x dan x, 8. Hal prtama yang dilakukan untuk mndapatkan solusi intgr adalah dngan mlakukan pmbulatan nilai dari variabl yang tidak intgr, misalkan akan dilakukan pmbulatan pada x shingga (, ) namun pmbulatan ini

12 7 mlanggar kndala prtama. Kmudian coba dilakukan pmbulatan k bawah pada x shingga (,) dngan Z 7, ttapi nilai Z 7 bukanlah solusi intgr optimal dari prmasalahan ini karna solusi intgr optimal dari prmasalahan ini adalah (0, ) dngan 0 Z. Nilai intgr optimal trltak bgitu auh dari solusi LP optimal dan tidak mmungkinkan hasil intgr optimal ini didapat dngan cara mlakukan pmbulatan dari LP optimal. Hal yang dilakukan dalam mnmukan solusi intgr optimal adalah dngan cara mngnumrasikan smua solusi yang mungkin dan mmilih satu solusi trbaik. Cara ini tntu mudah apabila prmasalahan yang dihadapi tidak trlalu rumit, di mana tidak banyak variabl yang trlibat namun hal ini akan brbda ika prmasalahan yang dihadapi mlibatkan variabl yang banyak. Misalkan trdapat sbuah prmasalahan yang brbntuk pmrograman 0- yang mlibatkan 0 variabl, maka banyaknya numrasi yang mungkin di bntuk adalah dan ini masih mmungkinkan apabila mnggunakan bantuan komputr. Jika dihadapkan pada 00 variabl, maka x 0 yang mana hampir tidak mmungkinkan apabila dikrakan pada komputr trcpat skalipun..6 Mtod Balas (Balas Additiv Algorithm) Branch and bound mrupakan salah mtod dalam mnylsaikan prmasalahan intgr programming. Dasar dari mtod ini adalah dngan cara mngnumrasi smua solusi intgr yang mungkin dalam bntuk struktur tr. Misalkan sbuah numrasi scara lngkap dari sbuah prmasalahan di mana trdapat 3 (tiga) variabl x, x, x yang mana 3 x 3, 0 x. x dan 3 Gambar.9 akan mmprlihatkan numrasi scara lngkap dari dari stiap variabl.

13 8 x 3 x 0 x 0 Z Gambar.9 Tr numrasi scara lngkap Id utama dari mtod branch and bound adalah mnghindari pmbntukan sluruh cabang tr yang mungkin karna hal ini akan sangat rumit ika brhadapan dngan prmasalahan dngan variabl yang banyak. Dalam mtod branch and bound pmbntukan cabang pada stiap tingkatan hanya akan dilakukan pada nod yang mmbri harapan dan mmungkinkan mndapatkan solusi optimal. Dalam pnntuan nod yang lbih mnanikan untuk mndapatkan solusi optimal adalah dngan mlakukan pndkatan trhadap batas pada nilai trbaik dari fungsi obktif. Mtod ini disbut dngan prcabangan. Prcabangan (branching) adalah mmbangun nod trpilih untuk slanutnya akan cabangkan lagi k tingkat slanutnya yang mrupakan anak dari nod yang tlah dibntuk shingga diharapkan pada pnylsaian akhir hanya sdikit bagian dari numrasi scara lngkap yang dibntuk. Hal trpnting dalam mtod branch and bound adalah pnghntian prcabangan, yang mana akan dilakukan pmotongan scara prmann dan tidak dilakukan prcabangan lagi pada nod yang sudah ditntukan. Pnghntian prcabangan ini dilakukan ika bisa dipastikan bahwa untuk prcabangan pada tingkat slanutnya tidak akan mmprolh hasil yang fisibl maupun optimal. Pnghntian prcabangan ini mrupakan bagian yang paling pnting guna mnghindari prcabangan yang trlalu banyak pada tr.

14 9 Dalam pndskripsian mtod branch and bound scara dtil akan dilakukan pndfinisian trhadap bbrapa trminologi: Nod: Solusi sbagian atau solusi lngkap. Sbagai contoh, sbuah nod pada tingkatan k dua dari prmasalahan yang mlibatkan 5 variabl akan di prsntasikan sbagai solusi sbagian (3,7, x, x, x ) yang mana variabl prtama brnilai 3 dan variabl k dua brnilai 7, sdangkan nilai untuk tiga variabl blum dibrikan dan dianggap sbagai variabl bbas. Laf (Laf Nod): Sbuah solusi lngkap yang mana smua variabl tlah di ktahui nilainya. Bud (bud nod): Sbuah solusi sbagian baik itu fisibl maupun tidak yang slanutnya masih akan dilakukan prcabangan lagi. Bounding function (fungsi pmbatas): Mtod dalam pndkatan nilai trbaik dari fungsi obktif yang dihasilkan pada saat bud nod dicabangkan. Hanya bud nod yang mmpunyai nilai fungsi pmbatas. Branching (prcabangan): pross pmbntukan anak dari nod untuk stiap bud nod. Sbuah anak dari nod dibntuk untuk stiap variabl slanutnya yang mungkin. Incumbnt: Pnylsaian trbaik yang tlah didapatkan sauh prcabangan yang sudah dibntuk. Pada saat prtama dimulai pross pncarian solusi blum ditntukan nilai incumbnt. Dalam kasus ini solusi fisibl prtama akan mnadi incumbnt sampai ditmukan solusi fisibl yang lbih baik dari nilai incumbnt yang ada dan mnggantikan posisi incumbnt itu. Sampai tidak ada lagi nod yang bisa dicabangkan, nilai incumbnt ini mnilai nilai solusi optimal. Ada bbrapa aturan dalam pmilihan nod untuk mmilih bud nod slanutnya dalam prcabangan slanutnya: Bst-first or global bud nod slction: Pmilihan bud nod dilakukan dngan mmilih bud nod yang mmiliki nilai trbaik bagi fungsi obktif. Pada kasus minimiz ini brarti akan dipilih bud nod yang mmpunyai nilai fungsi obktif minimum, sbaliknya pada masalah maximiz.

15 0 Dpth-first: Pmilihan akan hanya dilanutkan pada bud nod yang tlah di bntuk kmudian mmilih bud nod yang mmpunyai nilai trbaik dari bud nod yang lain pada tingkatan yang sama. Pmilihan scara dpth-first trarah pada pnlusuran trhadap satu bud nod shingga hal ini mmungkinan lbih cpat mndapatkan pnylsaian scara lngkap (laf). Stlah didapatkan laf prcabangan akan dilanut kan pada bud nod di tingkatan atas yang blum dicabangkan. Bradth-first: Prcabangan bud nod dilakukan pada tingkatan yang sama di mana bud nod itu dibntuk prtama kali. Salah satu variasi dari mtod Branch and Bound adalah mtod Balas. Egon Balas mngmbangkan suatu cara atau algoritma untuk mnylsaikan prsoalan pmrograman 0-. Pndkatan yang dilakukan adalah pndkatan numrasi, baik scara total maupun scara implicit trhadap stiap kombinasi variabl yang diatur sama dngan 0 dan. Pada dasar nya algoritma Balas bkra adalah sbagai brikut:. Bntuk umum dari algoritma Balas adalah: M inim iz n c x Subct to a x b i i i,,..., m,,..., n 0 c c... c Kondisi yang tidak mngikuti bntuk umum dari algoritma Balas akan dilakukan bbrapa prubahan, antara lain: Fungsi obktif yang stiap variabl n x mmpunyai nilai kofisin ngatif, untuk variabl x diganti mnadi ( ) x ( x ) x.

16 Kndala i dngan prtidaksamaan kdalam bntuk ( )., prtidaksamaan ini akan diubah dngan cara mngalikan ruas kiri dan kanan dngan a x b a x b i i i i Kndala yang mrupakan bntuk prsamaan, diubah k dalam bntuk prtidaksamaan. a x b i i a x b i i a x b i i. Fungsi obktif brbntuk minimalisasi, dan smua kofisin pada fungsi obktif harus brnilai nonngativ. Untuk mndapatkan nilai trkcil dari Z hal yang dilakukan adalah dngan mmbrikan nilai 0 pada smua variabl x. 3. Pmbrian nilai 0 pada smua variabl x trnyata mlanggar salah satu atau lbih dari kndala yang tlah ditntukan, akan dilakukan prcabangan dngan mmbrikan nilai 0 dan pada stiap cabang yang dibntuk. 4. Pnntuan nilai fungsi pmbatas dari prcabangan yang tlah dibntuk: x, N x 0, N Ktrangan: N Z c x N Z c x c N x = variabl yang dibrikan nilai pada lvl prcabangan trtntu, dan N Z = nilai fungsi pmbatas 5. Untuk mnntukan apakah solusi yang dibrikan olh fungsi pmbatas fisibl atau tidak dilakukan dngan mngambil smua variabl x (ktika N x ) atau x (ktika x 0 ) dan variabl bbas yang akan dibrikan nilai 0 N N kmudian diui trhadap kndala yang ada. Jika smua kndala trpnuhi pada solusi yang dibrikan olh fungsi pmbatas, maka nod trsbut trukur (fathomd) slama tidak mmungkinkan lagi akan didapatkan solusi yang N

17 lbih baik pada nod trsbut apabila nod trsbut dicabangkan lagi. Dngan adanya solusi fisibl yang dibrikan olh fungsi pmbatas yang mmnuhi kndala maka nilai fungsi pmbatas ini disbut dngan solusi smntara (incumbnt). Untuk solusi fisibl slanutnya yang didapatkan akan di bandingkan dngan solusi smntara yang ada. Jika solusi baru yang dihasilkan lbih baik dari solusi smntara yang ada, maka nilai incumbnt akan digantikan olh solusi yang baru, bgitu strusnya sampai didapatkan solusi yang optimal. 6. Sbuah bud nod dikatakan trukur (fathomd) infisibl ika prcabangan yang dilakukan pada bud nod trsbut tidak akan mnghasilkan solusi yang fisibl. Hal ini bisa dilakukan dngan mngui stiap kndala dngan mmbrikan nilai pada smua variabl bbas yang mmiliki kofisin positif dan nilai 0 pada varibl bbas yang kosifin brnilai ngatif. Apabila nilai sisi kiri dari prtidaksamaan kndala trnyata masih lbih kcil dari nilai sisi kanan, kndala trsbut tidak akan bisa mmnuhi, shingga nod trsbut bisa dilminasi sbagai imposibl. 7. Algoritma Balas mnggunakan stratgi dpth-first nod slction untuk pmilihan nod dalam prcabangan..7 Program QM for Windows Softwar POM/QM for Windows adalah sbuah softwar yang dirancang untuk mlakukan prhitungan yang diprlukan pihak manamn untuk mngambil kputusan di bidang produksi dan pmasaran. Softwar ini dirancang olh Howard J. Wiss tahun 996 untuk mmbantu mnr produksi khususnya dalam mnyusun prakiraan dan anggaran untuk produksi bahan baku mnadi produk adi atau stngah adi dalam pross pabrikasi. Untuk mngoprasikan QM for Windows dibutuhkan syarat-syarat komputr yang brbasiskan sistm oprasi Windows. Spsifikasi minimal untuk komputr adalah sbagai brikut:

18 3 Gambar.0 Tampilan awal program QM for Windows. Pntium I (minimal 00 MHz). Trsdia ruang kosong di Hardisk minimal 0 MB (Mga Byt) 3. Mmori 6 MB (Mga Byt) 4. Printr Sistm oprasi minimal yang digunakan adalah Windows 3.. Disarankan minimal mnggunakan Windows 95 k atas. Program ini mampu mnylsaikan bbrapa prsoalan yang brhubungan dngan pngambilan kputusan sprti prmasalahan assignmnt, gam thory, goal programming, invntory, linir programming, intgr programming, dan lain-lain. Dalam hal ini pnulis mnggunakan program QM for Windows vrsi. (build 67).