BAB II LANDASAN TEORI. kesetimbangan, linearisasi, bilangan reproduksi dasar, analisa kestabilan, kriteria

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN EORI Pada bab ii aka dibahas tori tori pdukug yag aka diguaka pada bab slajutya, atara lai modl matmatika, modl pidmik SIR klasik, ilai ig, prsamaaa difrsial, sistm prsamaa difrsial, titik kstimbaga, liarisasi, bilaga rproduksi dasar, aalisa kstabila, kritria Routh Hurwitz, optimal kotrol, Prisip Miimum Potryagi. A. Modl Matmatika. Pgrtia modl matmatika Widowati da Sutimi (007: ) mjlaska modl matmatika adalah rprstasi bidag ilmu trttu k dalam pryataa matmatika yag diprolh dari salah satu bidag matmatika yaitu pmodla matmatika. Pmodla matmatika mrupaka bidag matmatika yag mrprstasika da mjlaska sistm sistm fisik atau problm pada duia yata dalam pryataa matmatika, shigga diprolh pmahama dari duia yata yag lbih tpat. Widowati da Sutimi (007: 3) juga myataka pross pmodla matmatika dalam alur diagram brikut. 8

2 Duia Nyata Duia Matmatika Problm Duia Nyata Problm Matmatika Mmbuat Asumsi Formulasi Prsamaa/ Prtidaksamaa (Modl Matmatika) Solusi Duia Nyata Itrprtasi Solusi / Sifat Solusi Modl Matmatika Pylsaia Solusi / Sifat Solusi Modl Matmatika Badigka Data Gambar. Pross Pmodla Matmatika Gambar. mggambarka suatu prmasalaha yata ilmu trttu yag dibawa k dalam btuk matmatika dga mcari asumsi - asumsi yag tpat ssuai masalah di duia yata, shigga dapat dibtuk suatu modl matmatika. Modl matmatika dibtuk olh sistm prsamaa atau prtidaksamaa ssuai asumsi yag diguaka. Sistm trsbut dapat diguaka utuk mcari pylsaia solusi / sifat solusi dari modl matmatika. Slajutya, uji klayaka dga mgitrprtasi solusi / sifat solusi modl matmatika trsbut dalam khidupa yata. Lagkah slajutya, solusi modl trsbut dibadigka dga suatu data utuk mlihat ktpata modl yag dibuat. 9

3 . Modl Epidmik SIR Klasik Modl matmatika yag aka dibahas dalam tugas akhir adalah modl pidmik SIR. Krmack W.O da McKdrick (Braur, 008: 5) myataka scara umum dalam modl pidmi SIR klasik. Populasi trbagi atas tiga klas yaitu klas suscptibl (S) myataka populasi idividu yag shat da rta trhadap pyakit, klas ifctd (I) myataka populasi idividu yag trifksi pyakit da dapat smbuh, da klas rcovr (R) myataka populasi idividu yag smbuh da kbal trhadap pyakit trsbut. Slajutya St () utuk myataka populasi klas idividu S pada saat t, It () utuk myataka populasi klas idividu I pada saat t, Rt () utuk myataka populasi klas idividu R pada saat t. Didfiisika paramtr myataka laju kotak atara populasi klas idividu S da populasi klas idividu I pr satua waktu t, da myataka laju ksmbuha pr satua waktu t. Diasumsika tidak ada klahira da kmatia, masa ikubasi sigkat, stlah smbuh dari pyakit maka tidak kmbali rta. Brikut mrupaka diagram trasfr utuk modl SIR klasik. Gambar. Diagram rasfr Modl Epidmik SIR Klasik 0

4 Gambar. mujukka laju prubaha St () proporsioal dga brkuragya rata rata stiap idividu dalam populasi trjadi kotak utuk mularka ifksi pada St () olh It () pr satua waktu t sbsar S( t) I( t). N Jadi diprolh prsamaa, ds( t) S( t) I( t). dt N (.a) Laju prubaha It () proposioal dga brtambahya laju ifksi St () sbsar S( t) I( t), N ttapi aka brkurag kara laju populasi mmprolh ksmbuha sbsar It ( ). Jadi diprolh prsamaa, di( t) S( t) I( t) It ( ). dt N Laju prubaha Rt () (.b) proposioal dga brtambahya populasi mmprolh ksmbuha sbsar It ( ). Jadi prsamaa diprolh, dr() t It ( ). dt (.c) Sistm (.) dilgkapi dga ilai awal S(0) S0 0, I(0) I0 0 R(0) R 0, dimaa N myataka total populasi. 0 B. Nilai Eig Dfiisi. (Howard, 997: 77) Dibrika matriks A brukura x. Vktor tak ol x diamaka vktor ig dari A. Jika Ax adalah klipata skalar dari x maka diprolh

5 Ax x utuk suatu skalar. Skalar disbut ilai ig dari A. Brdasarka Dfiisi., maka utuk mcari ilai ig pada matriks A yag brukura x adalah Ax x AxI x Ax I x 0 x ( A I ) 0 (.) dga I adalah matriks idtitas. Slajutya, ilai ig aka dicari mgguaka Prsamaa (.). Murut Howard (997: 78), agar mjadi ilai ig, maka haruslah ada solusi takol dari prsamaa trsbut. Prsamaa (.) mmpuyai solusi takol jika da haya jika AI 0. (.3) Prsamaa (.3) diamaka prsamaa karaktristik dari A, sdagka skalar yag diguaka disbut ilai ig. Jika diprluas, Prsamaa karaktristik (.3) mrupaka poliom yag diamaka poliom karaktristik matriks A, shigga poliom karaktristik matriks A adalah AI a a a a i (.4) 0..., i 0, 0,,...,. Dibrika cotoh utuk mcari ilai ig dari suatu matriks.

6 Cotoh. Misalka jika trdapat matriks A 3 4 dga I 0, 0 diprolh prsamaa karaktristik, , 5 0, (.5) Prsamaa karaktristik (.5), maka diprolh solusi, 5 33 ( 5) ( 5) 4( ) Akar akar Prsamaa karaktristik (.5) adalah da. Slajutya, da mrupaka ilai ig dari matriks A. C. Prsamaa Difrsial Dibrika dfiisi prsamaa difrsial biasa sbagai brikut. 3

7 Dfiisi. (Ross, 984: 4) Prsamaa difrsial biasa adalah prsamaa difrsial yag mmuat turua dari satu atau lbih variabl tak bbas trhadap satu variabl bbas. Dfiisi.3 (Ross, 984: 4) Prsamaa difrsial parsial adalah prsamaa difrsial yag mmuat turua dari satu atau lbih variabl tak bbas trhadap lbih dari satu variabl bbas. Cotoh. Prsamaa prsamaa brikut ii disbut sbagai prsamaa difrsial biasa. dx a) x dt b) dx dy y Prsamaa prsamaa brikut ii disbut sbagai prsamaa difrsial parsial. c) p r p q 0 u u d) 0 x y D. Sistm Prsamaaa Difrsial Dibrika vktor E, 3, x dga x x,x,x,...,x f : E, E adalah himpua trbuka da f C'( E) dga C'( E ) adalah himpua smua fugsi yag mmpuyai turua prtama yag kotiu di E, 4

8 dimaa f ( f, f,..., f ). Jika d x x dt myataka turua x trhadap t. Sistm prsamaa difrsial dapat dituliska sbagai brikut x f x x x (,,..., ), x f( x, x,..., x ), (.6) x f ( x, x,..., x ), atau dx dt f ( x, x,..., x ), dx dt f ( x, x,..., x ), dx dt f ( x, x,..., x ). Sistm (.6) dapat ditulis dga x f( x). (.7) Slajutya, dibrika solusi dari Sistm (.7) sbagai brikut. Dfiisi.4 (Prko, 00: 7) Dibrika f C( E), E dimaa CE ( ) adalah fugsi fugsi yag kotiu di E, dga E adalah himpua trbuka dari. Vktor x () t disbut solusi dari Sistm (.7) dga itrval ( ab, ), jika x () t dapat dituruka pada ( ab, ) da utuk stiap t ( a, b), x( t) E, brlaku 5

9 Dibrika CE x( t) f( x( t)). f yag dilgkapi ilai awal x 0 E da dibrika sistm prsamaa difrsial, x f( x ), x( t ) x. 0 0 (.8) Vktor x( t) x( x ( t)) disbut solusi Sistm (.8) jika ( t0) 0 0 x x dga t 0 ( a, b).. Sistm Prsamaa Difrsial Liar Didfiisika prsamaa yag mggambarka prsamaa difrsial liar scara umum. Dfiisi.5 (Ross, 984: 64) Prsamaa difrsial liar ord dga variabl tak bbas y da x srta variabl bbas t sbagai brikut. d y d x d y d x d y d x a0 b0 a b... a b a y b x P( t) dt dt dt dt dt dt (.9) dga a0, b0 0, a0, b0, a, b,..., a, b da Pt () kotiu pada itrval ( a, b), t ( a, b). Prsamaa (.9) diamaka btuk ohomogous jika Pt ( ) 0. Aka dibahas sistm prsamaa difrsial liar ohomogus ord satu dga variabl tak bbas prsamaa brikut. x x,..., x, da variabl bbas t sbayak buah dx dx dx c c... c b x b x... b x P ( t) dt dt dt 6

10 dx dx dx c c... c bx b x... b x P ( t) dt dt dt (.0) (sbayak kali) dx dx dx c c... c b x b x... b x P ( t) dt dt dt Sistm (.0) dapat ditulis sbagai prsamaa difrsial btuk biasa brikut. dx dt dx dt dx dt a a x x a a x x... a x p ( t)... a x p ( t) a x a x... ax p ( t) (.) Sistm (.) dapat diyataka sbagai x Ax P() t (.) dimaa x mrupaka variabl tak bbas, srta A adalah matriks ukura x. Matriks A dga a, i,,3,...,, j,,3,..., da P dga ukura matriks x ij dalam fugsi t. Jadi diprolh, a a a x p () t a a a x p() t x, a a a x p () t Jika pada Sistm (.) didfiisika Pt ( ) 0 da d x x dt dimaa vktor x, x x,x,x,...,x da x,x,x,...,x, maka diprolh 3 3 7

11 sistm prsamaa difrsial liar homog, x Ax (.3) dga A adalah matriks brukura x.. Sistm Prsamaa Difrsial Noliar Suatu prsamaa difrsial dikataka oliar, jika prsamaa difrsial mmuhi salah satu sbagai brikut (Ross, 984: 5). a. rdapat variabl tak bbas da/atau turuaya yag brpagkat slai satu. b. rdapat fugsi trasdtal dari variabl tak bbas da turua - turuaya. c. rdapat prkalia pada variabl tak bbas da/atau turua- turuaya. Cotoh.3 Prsamaa difrsial oliar sbagai brikut: dy y (5 y) xy (PD oliar ord ) (.4a) dx d y dy 3 dx dx 0 (PD oliar ord ) (.4b) 4 d y y 4 dx 0 (PD oliar ord 4) (.4c) Prsamaa (.4a) mrupaka oliar, kara trdapat trasdtal da prkalia pada variabl tak bbas y. Prsamaa (.4b) mrupaka oliar, kara trdapat variabl tak bbas da turuaya variabl bbas yag brpagkat dua. Prsamaa (.4c) mrupaka oliar, kara trdapat prkalia variabl tak bbas. 8

12 Suatu sistm prsamaa difrsial dikataka oliar, jika prsamaa difrsial yag mmbtukya mrupaka prsamaa difrsial oliar. Cotoh.4 Dibrika sistm prsamaa difrsial oliar sbagai brikut. dx x x x dt dx x x dt (.5) Sistm (.5) mrupaka sistm prsamaa difrsial oliar dga variabl bbas t da variabl tak bbas x da x. Sistm (.5) dikataka sistm prsamaa difrsial oliar kara trdapat prkalia atar variabl tak bbas. E. itik Kstimbaga Brikut aka dibrika dfiisi ttag titik kstimbaga. Dfiisi.6 (Stph Wiggis, 990: 5) itik x adalah titik kstimbaga Sistm (.7), jika dipuhi fx ( ) 0. (.6) Cotoh.5 Dibrika cotoh utuk mcari titik kstimbaga Sistm (.5) mgguaka Dfiisi (.6). Misalka x adalah titik kstimbaga dari Sistm (.5). 9

13 f x x x da Misal f x x Aka dicari titik kstimbaga x da x. sdmikia shigga f x, x 0, da f x, x 0. Utuk f 0, maka x x x 0 x x 0 x 0 x. Jika x = 0 disubstitusi k f 0, diprolh x x 0 x 0 0 x 0. Jadi, titik kstimbaga prtama diprolh da disubstitusi k f 0, maka diprolh x 0,0. Smtara, jika x x x 0 4 x 0 x 4. Jadi, titik kstimbaga kdua diprolh x,4. Disimpulka bahwa, 0,0 Sistm (.5) mmiliki dua titik kstimbaga yaitu x,4. 0

14 F. Liarisasi Liarisasi adalah pross mgubah sistm prsamaa difrsial oliar k dalam btuk sistm prsamaa difrsial liar. Brikut torma ttag matriks Jacobia. orma. (Prko, 00: 67) Jika f : difrsiabl di, f x maka difrsial parsial i, i, j,..., 0 x di x ada utuk smua 0 x da, i Df ( x ) x f ( x ) xj. 0 0 j xi Bukti: f f f ( x0 ) x ( x0 ) x ( x0 ) x x x x f f f ( x ) x ( x ) x ( x ) x ( x0) x j x x x j x i f f f f ( x0 ) x ( x0 ) x ( x0 ) x x x x f f f ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) x x x x f f f ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) x x x x x f f f ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) x x x Df( x ) x 0

15 Matriks Df ( x0 ) disbut matriks Jacobia, slajuya diotasika Jf ( x0 ). Dibrika sistm prsamaa brikut. x f( x) (.7) dimaa xe, f: E, f adalah fugsi oliar da kotiu. 3, Sistm (.7) aka diliarisasika. Dibrika x x,x,x,...,x f f, f, f 3,..., f da f C ( E). Misal x ( x, x,..., x ) adalah titik kstimbaga Sistm (.7). Drt aylor dari fugsi f diskitar titik kstimbaga x adalah sbagai brikut f f ( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x ) ( x, x,..., x ) ( x x ) x f x f ( x, x,..., x ) ( x x )... ( x, x,..., x ) ( x x ) R f x f f f ( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x ) ( x, x,..., x ) ( x x ) ( x, x,..., x ) ( x x )... x x f ( x, x,..., x) ( x x) Rf x (.8) f f f ( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x ) ( x, x,..., x ) ( x x ) ( x, x,..., x ) ( x x )... x x f ( x, x,..., x) ( x x) Rf. x dga R, R,..., R diabaika, kara ilaiya f f f R, R,..., R mdkati ol. f f f Smtara, titik kstimbaga x ( x, x,..., x ) Sistm (.8), maka f ( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x )... f ( x, x,..., x ) 0, shigga diprolh f f f x ( x, x,..., x ) ( x x ) ( x, x,..., x ) ( x x )... ( x, x,..., x ) ( x x ), x x x

16 f f f x ( x, x,..., x ) ( x x ) ( x, x,..., x ) ( x x )... ( x, x,..., x ) ( x x ), x x x (.9) f f f x ( x, x,..., x ) ( x x ) ( x, x,..., x ) ( x x )... ( x, x,..., x ) ( x x ). x x x dga variabl. Prsamaa (.9) dapat dibtuk matriks brikut f f f ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) x x x x x x f f f x ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) x x x x x.(.0) x f f f x x ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) x x x Misalka q x x, q x x,..., q x x, maka Sistm (.0) mjadi f f f ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) x x x q q f f f q ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) q x x x. (.) q f f f q ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) x x x Prsamaa (.) diprolh matriks Jacobia yaitu f f f ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) x x x f f f ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) J x x x. (.) f f f ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) x x x Matriks Jacobia (.) dapat dilihat kstabila diskitar titik kstimbaga. 3

17 Didfiisika jika J mmiliki ilai ig yag brilai bagia ralya tidak ol, shigga kstabilaya dari prsamaa aka dapat dilihat sbagai brikut. q = Jq (.3) Sistm (.3) diamaka hasil liarisasi pada Sistm (.7). Stlah liarisasi dilakuka, maka pada Sistm (.7) dilihat kstabila sistm oliar di skitar titik kstimbaga. Kstabila Sistm (.7) di skitar titik kstimbaga x dapat dilihat dari kstabila hasil liarisasi yaitu Sistm (.3), haya jika x hiprbolik. Brikut dfiisi utuk titik kstimbaga hiprbolik. Dfiisi.7 (Prko, 00: 0) itik kstimbaga x disbut titik kstimbaga hiprbolik dari Sistm (.7), jika bagia ral ilai ig Jf ( x) 0. Sdagka, jika Jf ( x) mmpuyai bagia ral ol, maka disbut titik kstimbaga ohiprbolik. Cotoh.6 Dibrika Sistm (.5) yag aka dicari matriks ( Jf x) dga x 0,0 da x,4. Sistm (.5) aka dilakuka idtifikasi titik kstimbaga brikut Jf x x x x x x x x x x x x x x x x x Utuk x 0,0 4

18 Jf 0,0 0 0 Nilai ig dari Jf 0,0 diprolh, Bagia ral ilai ig ol, maka titik kstimbaga kstimbaga ohiprbolik. Slajutya x,4 x 0,0 adalah titik Jf,4 4 4 Nilai ig dari Jf,4 diprolh, 4 0 4, shigga tidak trdapat bagia ral ilai ig ol, maka titik kstimbaga x,4 adalah titik kstimbaga hiprbolik. 5

19 G. Aalisa Kstabila Kstabila titik kstimbaga scara umum dibagi mjadi tiga jis yaitu stabil, stabil asimtotik, tidak stabil. Brikut dfiisi kstabila Dfiisi.8 (Olsdr, 004: 57) Dibrika titik kstimbaga x dari sistm x ( ) f x dikataka, a. Stabil jika utuk stiap 0 trdapat 0, sdmikia shigga jika x0 x maka x( t, x0 ) x utuk stiap t t0 b. Stabil asimtotik jika utuk stiap titik kstimbaga x trdapat 0 0 sdmikia shigga jika x0x 0 brlaku lim (, ) 0. t x t x0 x c. idak stabil jika titik kstimbaga x tidak mmuhi (a) Dfiisi (.8) disajika gambar brikut. Stabil Stabil asimtotik idak stabil 6

20 Dfiisi (.8) trlalu sulit utuk mmuka kstabila titik kstimbaga. Slajutya, torma kstabila dibrika agar mmudahka dalam mgaalisa kstabila modl di skitar titik kstimbaga dga mlihat ilai ig. orma. (Olsdr, 004: 58) Dibrika prsamaa difrsial x = A, x dga A adalah matriks brukura x, mmpuyai w ilai ig yag brbda,,..., dga w. w a. itik kstimbaga x= 0 adalah stabil asimtotik jika da haya jika ( ) 0, i,,3,..., w. i b. itik kstimbaga x= 0 adalah stabil jika da haya jika ( i ) 0, utuk smua i,,..., w da utuk stiap ilai ig imajir dga i ( i ) 0, yag multisiplisitas aljabar da multisiplisitas gomtri utuk ilai ig sama. c. itik kstimbaga x= 0 tidak stabil jika da haya jika ( i ) 0, i,,..., w atau jika ada imajir dga i ( i ) 0, maka multisiplisitas aljabar da multisiplisitas gomtri utuk ilai ig tidak sama. Bukti: a. Aka dibuktika bahwa ( ) Jika titik kstimbaga x= 0 adalah stabil asimtotik maka ( ) 0, i,,3,..., w. i 7

21 Murut Dfiisi (.8), titik kstimbaga x= 0 disbut stabil asimtotik, jika lim t x( t, x0 ) x 0. Artiya utuk t, x( t, x0 ) muju x= 0 Solusi x( t, x0 ) dari sistm prsamaa difrsial x = A, x maka x( t, x0 ) slalu mmuat ( i ) t. Artiya utuk ( i ) t yag muju x= 0 maka ( i ) 0 utuk smua i,,3,..., w. ( ) Jika ( ) 0, i,,3,..., w maka titik kstimbaga x= 0 adalah stabil asimtotik. i ( i Solusi x( t, x0 ) slalu mmuat ) t, jika ( i ) 0 maka utuk t, ( i ) t muju x= 0. Brdasarka Dfiisi (.8) titik kstimbaga x= 0 stabil asimtotik. b. Aka dibuktika bahwa ( ) Jika titik kstimbaga x= 0 adalah stabil, maka ( ) 0, i,,..., w. i Adaika jika ada ( i ) 0, maka titik kstimbaga tidak stabil. Jika ( i ) 0, maka x( t, x0 ) yag slalu mmuat ( i ) t utuk t aka muju artiya mjauhi x 0. Jadi, sistm tidak stabil. Kotradiksi dari bukti trsbut myimpulka bahwa ( i ) 0. Jadi trbukti bahwa jika titik kstimbaga x 0 stabil, maka ( ) 0, i,,..., w. ( ) i 8

22 Jika ( ) 0, i,,..., w, maka titik kstimbaga x= 0 adalah i stabil da jika ( i ) 0, maka multisiplisitas aljabar da multisiplisitas gomtri utuk ilai ig harus sama. ( i Solusi x( t, x0 ) yag slalu mmuat ) t. Jika ( i ) 0, maka ( i ) t aka muju x 0, artiya stabil asimtotik. itik kstimbaga yag stabil asimtotik pastilah stabil. Jika ( i ) 0, maka ilai ig brupa bilaga komplks muri. Murut Lubrgr (979:85), multiplisitas aljabar brhubuga dga ilai ig da multiplisitas gomtri brhubuga dga vktor ig. Aka dibuktika bahwa bayak ilai ig da vktor ig adalah sama. Misalka dibrika sbarag sistm yag mmpuyai ilai ig komplks muri. x 0 c x, y 0 y dga c0, 0. (.4) Aka dicari ilai ig sistm (.4). 0 c c 0 0, 0 0 c 0, c 0. (.5) Akar dari prsamaa (.5) adalah 9

23 4c c, i i c didapat i c da i c Vktor ig utuk i c adalah i c c v 0 i c v 0 maka c i c c 0 i c 0 i 0 R R R i c 0 i c c 0 0 i c c c i 0 0 R i cr shigga diprolh, c v i v c v i v 0, misal v c v i v c t maka v i t da diambil t diprolh Slajutya vktor ig utuk i c adalah i c c v 0 i c v 0 30

24 maka c i c c 0 i c 0 i 0 R ~ R R i c 0 i c c 0 0 i c c c i 0 0 R i cr 0 0 shigga c i v 0. v diprolh v i c v 0, misal v c v i v c t maka v i t da diambil t diprolh rbukti jumlah ilai ig sama dga jumlah vktor ig sbayak buah. c. Jika titik kstimbaga x= 0 tidak stabil, maka ( ) 0, i,,..., w i itik kstimbaga tidak stabil, utuk t, x( t, x0 ) muju haya apabila ( i ) 0. ( ) 3

25 Jika ( ) 0, i,,..., w maka titik kstimbaga x= 0 tidak stabil. i Dibrika ( i ) 0, x( t, x0) yag slalu mmuat ( i ) t aka slalu muju. Jadi titik kstimbaga x= 0 tidak stabil. Disimpulka bahwa utuk mlihat kstabila suatu ilai ig dari Sistm (.7) diguaka sistm liarisasi agar mjadi sistm liar x Ax, dimaa A Jf(x) adalah matriks Jacobia. orma kstabila sistm liar didapat sbagai brikut. orma.3: (Hal & Kocak, 99: 67) Misal f C'(E) dga E adalah himpua trbuka. Jika smua ilai ig dari matriks Jacobia mmpuyai bagia ral gatif, maka titik kstimbaga x dari Sistm (.7) stabil asimtotik. orma.4: (Hal & Kocak, 99: 7) Misal f C'(E) dga E adalah himpua trbuka. Jika trdapat ilai ig dari matriks Jacobia yag mmpuyai bagia ral positif, maka titik kstimbaga x dari Sistm (.7) tidak stabil. Slajutya, kstabila yag dimaksud yaitu kstabila lokal. H. Bilaga Rproduksi Dasar Murut Drissch da Watmough (00) bilaga rproduksi dasar adalah jumlah kasus ifksi skudr pada populasi klas idividu suscptibl olh idividu yag trifksi tuggal, shigga dari pulara trsbut diharapka adaya rata rata durasi mular da rata - rata tigkat pulara ifksi 3

26 skudr. Bilaga rproduksi dasar dilihat dari titik kstimbaga modl, dalam hal ii diotasika dga R ˆ 0. Slajutya, populasi dibagi atas dua klas yaitu populasi klas idividu yag trifksi da populasi klas idividu yag tidak trifksi. Brikut dibrika modl klas populasi trsbut. m I P I, S Q I, S, I (.6) S z I, S, S. (.7) dga I S sbagai populasi klas idividu yag trifksi pyakit, sbagai populasi klas idividu yag tidak trifksi pyakit atau rta pyakit, P sbagai matriks dari rata rata jumlah idividu baru dalam populasi klas idividu yag tifksi pyakit, Q sbagai matriks dari rata rata brkuragya jumlah idividu dalam populasi klas idividu yag tifksi pyakit. Dimisalka (0, S0) utuk myataka titik kstimbaga bbas pyakit. Smtara, bilaga ˆR 0 myataka jumlah kasus ifksi skudr pada populasi, maka mlihat ada atau brkuragya ifksi haya mgguaka Prsamaa (.6) pada titik kstimbaga bbas pyakit. Prsamaa (.6) dapat ditulis sbagai brikut M P I, S da V Q( I, S) 33

27 Hasil dari liarisasi M P I, S da V Q( I, S) di (0, S 0) brikut M B (0, S ) V D (0, S ) 0 I da 0 I dga B da D mrupaka matriks mxm. Didfiisika W BD sbagai xt gratio matrix, shigga bilaga rproduksi dasar diprolh dari ilai ig trbsar dari matriks W. I. Kritria Routh Hurwitz Aalisa kstabila titik kstimbaga x dapat mgguaka kritria Routh Hurwitz sbagai altratif mtuka tada bagia ral dari ilai ilai ig. Dibrika suatu prsamaa poliomial brikut r( ) a a... a a, a 0, i 0,,...,. 0 i (.8) Murut Olsdr (004) kritria Routh Hurwitz dipakai utuk mgck lagsug kstabila tapa mghitug akar akar dari Prsamaa (.8). Kofisi dari Prsamaa (.8) disusu sbagai brikut. a a a 4 a a a 3 5 b b b 4 6 c c c dga ilai b, b 4, c 3, c adalah, 5 34

28 b b a a a a b a b a c a b a a a a b a b a c a b,, Nilai trsbut brhti ktika hasil dari prhituga adalah ol. Jika kolom prtama pada susua trsbut smua brtada positif atau smua brtada gatif, maka bagia ral dari poliom r( ) adalah gatif. J. Optimal Kotrol Murut Naidu (00: 6) tujua utama dari optimal kotrol adalah mtuka kotrol yag aka mybabka sistm mmuhi bbrapa kostrai fisik da pada waktu yag sama dapat dittuka kstrim (maksimum/ miimum) yag ssuai dga fugsi tujua atau prformac idx yag diktahui. Brikut pross kotrol mlalui alur kotrol Gambar.3 Alur Kotrol Gambar.3 diprolh otasi kotrol yaitu u(t) shigga diotasika pula utuk optimal kotrol yaitu u *( t) yag madaka kodisi yag optimal. Slajutya, u *( t) aka dipross kdalam P dga bbrapa kostrai yag dimulai dari 35

29 kadaa awal higga kadaa akhir. Kotrol yag diguaka dga kadaa da waktu kstrim yag sama ssuai fugsi tujua. Formulasi yag dapat dibrika pada prmasalaha optimal kotrol murut Naidu (00: 6) adalah: a. Diskripsi matmatika atau modl matmatika artiya diprolh mtod matmatika dari pross trjadiya pgdalia (scara umum dalam btuk variabl kadaa), b. Spsifikasi dari fugsi tujua, c. Mtuka kodisi batas dari kostrai fisik pada kadaa (stat) da atau kotrol. ujua mcari kotrol u() t dga mmaksimumka atau mmiimumka fugsi tujua. Didfiisika fugsi tujua sbagai brikut K ( x( t ), t ) F( x( t), u( t), t) dt f f t t f 0 (.9) dga kdala x g( x( t), u( t), t) (.30) x( t ) x 0 0 Fugsi tujua (.9) dikataka btuk Lagrag jika ( x( t ), t ) 0 f f da dikataka btuk Mayr jika F( x( t), u( t), t) 0. 36

30 Saat u*( t) mjadi optimal kotrol mlalui substitusi k Sistm (.30), shigga stat aka diprolh yag optimal x*( t) da fugsi tujua (.9) juga aka optimal. (Naidu, 00: 0) K. Prisip Miimum Potryagi Prisip Miimum Potryagi adalah suatu kodisi shigga dapat diprolh pylsaia optimal kotrol yag ssuai dga fugsi tujua yaitu mmiimumka fugsi tujua. Brikut tahap tahap pylsaia optimal kotrol suatu modl aka dibahas dga Prisip Miimum Potryagi, khusus utuk fugsi tujua btuk Lagrag. Didfiisika otasi vktor kotrol kotiu yaitu u t u t u t ( ) ( ),..., ( ) m da vktor kadaa yaitu x( t) x t x t pada itrval trtutup t t ( ),..., ( ) Slajutya, murut Naidu (00: 57) diprolh fugsi tujua yag dimiimumka brikut.,. 0 ( ) mi t ( ( ), ( ), ) t0 K u F x t u t t dt (.3) dga fugsi kdala, x g( x( t), u ( t), t) (.3) 37

31 a u() t b x( t ) x. (.33) 0 0 Brikut prsamaa Lagragia dibtuk: L( x( t), u( t), t) F( x( t), u ( t), t) (.34) Slajutya, prsamaa Hamiltoia yag dibtuk yaitu pjumlaha atara Prsamaa (.34) da prkalia pgali Lagrag dga kdala : x( ), u( ), ( ), x( ), u( ), x( ), u( ), H t t l t t F t t t l g t t t (.35) dimaa l adalah variabl co- stat. Prsamaa (.3) diamaka pula sbagai sistm prsamaa stat. Pylsaia stat da co stat diyataka sbagai brikut H x( t), u( t), l( t) x( t), (.36) l H x( t), u( t), l( t) l( t). (.37) x pylsaia didapat utuk mcari kodisi stimbag mgguaka Sistm (.35) brikut. (Naidu, 00: 89) H x( t), u( t), l( t) u 0 (.38) dga kodisi batas variabl kotrol a u( t) b. 38

32 Brdasarka Prsamaa (.38) da kodisi batas variabl kotrol a u ( t) b, solusi u() t yag optimal diprolh brikut a, jika u () t a u*( t) u( t), jika a u () t b (.39) b, jika u () t b Btuk (.39) dapat ditulis sbagai brikut u*( t) maks mi u ( t), b, a. (.40) 39