RUANG BARISAN MUSIELAK-ORLICZ. Oleh: Encum Sumiaty dan Yedi Kurniadi

Transkripsi

1 RUANG BARISAN USIELAK-ORLICZ Oleh: Ecu Suiat da Yedi Kuriadi Disapaia pada Seiar Nasioal ateatia ada taggal 8 Deseber 2008, di Jurusa edidia ateatia FIA UI JURUSAN ENDIDIKAN ATEATIKA FAKULTAS ENDIDIKAN ATEATIKA DAN ILU ENGETAHUAN ALA UNIVERSITAS ENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2008

2 RUANG BARISAN USIELAK-ORLICZ Oleh: Ecu Suiat da Yedi Kuriadi Jurusa edidia ateatia FIA UI (Disapaia pada Seiar Nasioal ateatia, 8 Deseber 2007, di Jurusa edidia ateatia FIA UI) Abstra: isala adalah suatu operator (fugsioal additive terbatas) ag eetaa field Z R e field R Secara uu tulisa ii bertujua utu ebetu ruag barisa baru, aitu ruag barisa ag dibagu oleh fugsioal additive terbatas dari suatu ruag barisa e ruag barisa real atau oples ag disebut ruag barisa usiela- Orlicz, serta elihat hubuga atara sifat-sifat ag berlau pada ruag barisa lasi dega ruag barisa usiela-orlicz Secara husus bertujua utu eujua eliera ruag barisa usiela-orlicz da eujua bahwa ruag barisa tersebut erupaa ruag Frechet Kata Kuci: Fugsioal additive terbatas, ruag barisa usiela-orlicz, ruag Frechet A ENDAHULUAN 11 Latar Belaag asalah Suatu ruag barisa bilaga real atau oples atau biasa disebut ruag barisa lasi ag terdiri dari ruag barisa ag overge (c), ruag barisa ag overge e 0 (c 0 ), ruag barisa terbatas ( ), ruag barisa l :, 1, ruag barisa bervariasi terbatas 1 1 1, 1 bv :, da ruag barisa b 0 = b c 0 Kajia egeai ruag barisa baa dijupai, hususa egeai ruag barisa lasi da fugsioal Diataraa ruag barisa erupaa ruag barisa lasi ag legap, dibahas oleh E rezig [3], da E Suiat [4] berhasil eujua bahwa ruag barisa fugsioal da ruag barisa operator pada suatu ruag Hilbert erupaa ruag barisa ag legap da opa Teua laia tetag ruag barisa ag dieuaa LYee [9], L Yee da eg-nug [10], SD Uoigsih da luciei [9], serta SD Uoigsih da L Yee [10] Beraita dega hal tersebut di atas, peulis tertari utu elaua suatu ajia egeai ruag barisa ag dibagu oleh fugsioal additive terbatas T dari suatu ruag barisa e ruag barisa real atau oples ( ag disebut ruag barisa usiela-orlicz), dega pegatar dasar operator superposisi da fugsioal additive terbatas, da diberi judul RUANG BARISAN USIELAK-ORLICZ 12 Ruusa asalah da Batasa asalah Berdasara beberapa hasil teua egeai ruag barisa, hususa pada ruag barisa lasi serta beberapa sifat ag berlau pada ruag barisa

3 lasi, aa ag ejadi asalah dala peelitia ii adalah sifat apa saja ag berlau pada ruag barisa lasi dega ruag barisa baru, hususa sifat-sifat apa saja ag berlau pada ruag barisa usiela-orlicz Secara husus, peulis ebatasi perasalah peelitia egeai ruag barisa usiela-orlicz haa utu egaji : 1 Kelieara pada ruag barisa usiela-orlicz 2 Nora ag egaibata ruag barisa usiela-orlicz erupaa ruag Frechet 3 Sifa-sifat lai ag berlau pada ruag barisa usiela-orlicz Sedaga utu fugsioal additive terbatas haa utu sifat dasar fugsioal additive terbatas B TEORI ENDUKUNG 21Ruag etri Diberia S = { ( 1, 2,), i R, i 1,2,} Hipua S erupaa ruag liear atas field R, area utu setiap, S da sebarag R eeuhi sifat tertutup, aitu: 1 S da 2 S Ruag liear S disebut juga sebagai ruag vetor S atas field R Selajuta, jia diberia X S, aa X sebagai subruag dari S Defiisi 21: Diberia hipua X, da suatu fugsi d didefiisia pada X X, sehigga utu setiap,, z X eeuhi: (1) d berilai real, berhigga, da jia d, 0 aa (2) d, 0 jia da haa jia (3) d, d, (sietri) (4) d, d, z d z, (etasaaa segitiga) d disebut etri (fugsi jara), da hipua X ag dilegapi dega atri d da diotasia dega (X, d) atau X disebut ruag atri Selajuta, utu eovergea barisa Cauch ag hubugaa dega eelegapa pada ruag etri, didefiisia sebagai beriut: Defiisi 22: Sebuah barisa utu setiap 0 ada N dala ruag etri X = (X, d) disebut barisa Cauch, jia K K sedeiia sehigga utu setiap, K berlau d, isal sebarag barisa Cauch di X Ruag etri X disebut legap jia utu setiap ada X sedeiia sehigga overge e 22 Ruag Berora Beriut ii aa dijelasa tetag peraa etri dala ruag berora da ruag Baach Defiisi 23: Diberia ruag vetor X

4 1 Sebuah ora pada ruag vetor X adalah fugsi berilai real pada X, diotasia sedeiia sehigga utu setiap, X da R eeuhi: (N1) 0, da 0 jia da haa jia 0 (N2) (N3) 2 Sebuah etri d pada X ag dibetu oleh ora pada X didefiisia oleh d, 3 Ruag berora X adalah ruag vetor ag dilegapi dega etri ag dibetu oleh ora, diotasia oleh (X, ) Sebuah ruag Baach adalah ruag berora ag legap 23 Ruag Frechet Dala hubugaa dega ruag berora ag sudah didefiisia sebelua, beriut ii aa didefiisia pula fugsi ora husus pada suatu ruag barisa Defiisi 24: Diberia ruag barisa X 1 Fugsi ora pada X disebut ora-f, jia utu setiap, X eeuhi: a 0 da = 0 jia da haa jia = b 1 jia 0 ( ), aa 0 ( ) 2 jia 0 ( ), aa 0 ( ), utu setiap R c Ruag barisa X ag dilegapi dega ora-f disebut ruag berora F 3 Ruag Frechet atau ruag F adalah ruag berora-f ag legap Defiisi 25: Sebuah ruag Frechet X dari barisa real disebut eilii sifat AK, jia X N euat seua barisa higga da 0, N Teorea 21: Jia ruag Frechet X epuai sifat erupaa ruag FK N, utu setiap X aa X Defiisi 26: isal X sebuah ruag barisa berora-f X disebut epuai GH jia utu sebarag barisa blo z dega z 0, ada subbarisa bilaga bulat positif {()} sedeiia sehigga berlau 1 z X

5 Beraita dega defiisi tersebut, utu suatu ruag berora ag legap terata epuai GH aa dibutia pada teorea beriut ii: Teorea 22: Sebarag ruag berora legap epuai GH Teorea 23:(luciei) Diberia sebarag ruag barisa X X epuai GH da setiap N Y eeuhi N, utu sup N, da : X Y operator superposisi ag N didefiisia oleh g g, Y 1, utu setiap X Jia g, terbatas pada setiap iterval terbatas (utu setiap ), aa terbatas loal pada 0 Teorea 24: Diberia sebarag ruag barisa X X epuai GH da setiap N Y eeuhi N, utu sup N, da : X Y Jia g, terbatas pada setiap N iterval terbatas (utu setiap ), aa terbatas loal Teorea 25: Diberia sebarag ruag barisa X X epuai GH da setiap N Y eeuhi N, utu sup N, da operator superposisi : X Y dega N g,0 0 utu setiap terbatas loal jia da haa jia g, terbatas pada setiap iterval terbatas (utu setiap ) 24 Hipua Koves Defiisi beriut ejelasa suatu hipua diataa oves Defiisi 27: Diberia sebarag hipua A A diataa oves jia utu setiap da sebarag scalar dega 0 1 berlau u 1 v A u,v A 25 Fugsi Koves Sarat suatu fugsi diataa oves aa disajia dala defiisi beriut Defiisi 28: isal f : R R Fugsi f diataa oves jia D f oves da utu setiap u, v D f berlau f u 1 v f u 1 f v 26 Teorea-teorea lai 1 Ketasaaa segitiga Utu setiap a, b R berlau a b a b 2 Sifat Archiedes Jia R aa terdapat N sedeiia sehigga berlau

6 C RUANG BARISAN USIELAK-ORLICZ Ruag barisa usiela-orlicz erupaa ruag barisa ag dieai fugsi, diaa fugsi tersebut eetaa dari field Z R e field R Defiisi 31: Diberia fugsi (,0) 0 (, t) (, t) : Z R R ag eeuhi odisi utu setiap : (, ) otiu pada Z R (, ) ai pada iterval [ 0, ) da (, t) utu t Ruag barisa usiela-orlicz erupaa hipua dari barisa ag didefiisia: l :, t 1 ada teorea beriut ii aa ditujua bahwa l erupaa elas oves Teorea 31: l erupaa elas oves Buti: Karea (, ) ai pada iterval [ 0, ) utu setiap aa utu, 0, 1 da, R berlau: (, ) (, ), a, a,,a,,, Karea utu setiap, (, t) (, t) aibata (, ),, Dega deiia l erupaa elas oves Teorea 32: Jia fugsi eeuhi odisi- 2 aa l liear Buti: Aa di tujua: a) Jia l aa l, utu setiap R da b) Jia, l aa l isal: 1,

7 a) Berdasara huu Archiedes, utu sebarag R ada N sedeiia sehigga berlau 2 Karea (, ) ai pada iterval [ 0, ) aa diperoleh,,2 1 c 1, 2 c 1c 1 2, 2 Sehigga diperoleh 1, Dega deiia jia b), c 2 1c 1 2 1c 1 2, c 1 2, 1 1 l aa l, utu setiap R 1 2, 2 2,2, Sehigga diperoleh 1, 1 1 2,2 Berdasara pebutia pertaa utu Aibata 1,2, 2 1 l utu l Dega ata lai, Dari a) da b) dapat disipula bahwa l liear, 1, l aa, 2 l 2 Teorea 33 Jia ora if 0, utu setiap l dega, aa ora erupaa ora-f Buti: 1 Utu ebutia bahwa ora erupaa ora-f, harus dibutia bahwa ora tersebut eeuhi: 1 0 jia da haa jia 0 0 if 0 0, , 0

8 Li Jia Li 0 aa Li 0, utu setiap l utu setiap 0, artia utu setiap 0 terdapat K N sedeiia sehigga K brrlau Karea berlau, aibata if 0 aa utu setiap 0 Jadi utu setiap 0 terdapat K N sedeiia sehigga utu setiap K brrlau Dega ata lai Li 0 2 Jia Li 0 aa Li 0, utu setiap R ada pebutia ii aa dibagi ejadi 2 asus: a Utu Li 0 0, artia utu setiap 0 terdapat K N sedeiia sehigga utu setiap K berlau Jadi utu setiap 0 terdapat K N sedeiia sehigga utu setiap K berlau Dega ata lai Li 0 b Utu 0 Jelas Li 0 3 Karea Teorea 34: dega Suatu ruag Frechet if 0 : aa isala didefiisia ora, 1 if 0, utu setiap l l dega ora ag didefiisia seperti di atas erupaa ruag

9 Buti: Utu ebutia l adalah ruag Frechet, harus ditujua bahwa l legap isal sebarag barisa di l sedeiia sehigga 0, utu, Diperoleh, utu, 1 Aibata utu setiap berlau,, utu, Karea otiu da ai pada iterval 0, aa 0, utu, Jadi utu setiap, 1 erupaa barisa Cauch pada ruag legap R sehigga utu setiap terdapat R sedeiia sehigga utu isal, aa ditujua 0 utu da l Utu setiap 0 terdapat K N sedeiia sehigga berlau 1, Aibata utu setiap berlau,, utu, K 1 Sehigga utu suatu ilai berlau 1 Dega deiia, utu, K K ag tetap da utu sebarag bilaga bulat positif,, utu, utu K Jadi utu setiap 0 terdapat K N sedeiia sehigga utu setiap K berlau Dega ata lai 0 utu Terbuti bahwa l adalah ruag Frechet

10 DAFTAR USTAKA [1] AC Zaae (1997) Itroductio to Operator Theor i Riesz Spaces New Yor: Spriger-Verlag [2] CL Devito (1990) Fuctioal Aalsis ad Liear Operator Theor New Yor: Addiso-Wesle publishig Copa [3] E Kreszig (1978) Itroductio Fuctioal Aalsis Aplicatios New Yor: Joh Wile& So [4] E Suiat (2000) Ruag Barisa Fugsioal da Operator Tesis pada ascasarjaa UG Yogaarta: Tida Diterbita [5] HLRode (1989) Real Aalsis (third Editio) New Yor: acilla ublishig Copa [6] IJ addo(1970) Eleet of Fucioal Aalsis Lodo: Cabridge Uiv ress [7] JB Cowa (1990) A Course i Fuctioal Aalsis New Yor: Spriger- Verlag [8] L Yee (1984) Cesaro Sequece Spaces Joural vol 13, 29-45, Victoria Uiversit [9] Yee(1993) Sequece Spaces ad Glidig Hup roret USA: i aufscript, NUS ad New eico State Uiversit [10] eg-nug, Ng ad L Yee (1978) Cesaro Sequece Spaces of Noabsolute Tpe Co ath Vol 20, [11] SD Uoigsih, R luciei, ad L Yee (1995) Boudedess of Superpositio Operators o Seguee Spaces Joural, vol 1 [12] SD Uoigsih ad L Yee (1993) Bouded Additive Fuctioals, Joural, 547