Distribution of the Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to the Literate Population Data

Transkripsi

1 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data Atia Ahdia rogram Studi Statistia Uivrsitas Islam Idosia Jala Kaliurag Km 45 Slma Yogaarta ABSTRACT Stud about th distributio of th fuctio of a radom variabl i particular th distributio of th sum of two or mor radom variabls has b do widl. Whil studis o th distributio of th diffrc btw two radom variabls still rarl do morovr for discrt radom variabls. This wor focuss o th drivatio of th distributio of two idpdt oisso radom variabls. Th mthods usd to dtrmi th distributio ar mthod of momt gratig fuctio ad probabilit mass fuctio. Th proprtis of th distributio ar drivd through th charactristics of th th momt; th first up to fourth momts i particular. Furthrmor th distributio of th diffrc of two idpdt oisso radom variabls is compard to th oisso Diffrc (D) distributio of Alzaid ad Omair () or also ow as Sllam distributio. aramtrs of th distributio ar stimatd usig mthod of momt ad maimum lilihood stimatio. Applicatio to th litrat populatio data is carrid out to gt a bttr udrstadig about th distributio. Kwords: oisso distributio oisso Diffrc distributio momt gratig fuctio probabilit mass fuctio mthod of momt maimum lilihood stimatio. ABSTRAK Kajia mgai distribusi dari suatu fugsi pubah aca hususa mgai distribusi dari jumlah dua atau lbih pubah aca sudah baa dilaua. Sdaga ajia mgai distribusi dari slisih dua pubah aca masih jarag dilaua trlbih pada pubah aca-pubah aca disrit. litia ii brfous pada purua distribusi slisih dua pubah aca oisso ag salig bbas. Mtod ag diguaa utu mtua distribusi trsbut adalah mtod fugsi pmbagit mom da mtod fugsi massa pluag. Karatristi-aratristi dari distribusi diturua mlalui sifat-sifat dari mom - ; hususa dari mom prtama higga mom mpat. Slajuta distribusi dari slisih dua pubah aca oisso ag salig bbas ii aa dibadiga dga distribusi oisso Diffrc (D) ag diturua olh Alzaid da Omair () atau dial juga dga ama distribusi Sllam. aramtr-paramtr dari distribusi distimasi mgguaa mtod mom da masimum lilihood. Apliasi pada data pdudu ml huruf dilaua utu mdapata pmahama ag lbih bai mgai distribusi trsbut. Kata Kuci: distribusi oisso distribusi oisso Diffrc fugsi pmbagit mom fugsi massa pluag mtod mom mtod masimum lilihood. dahulua trsbut sagat ptig utu ditahui tia ssorag harus brhadapa Salah satu osp dasar ag harus dga sragaia data da mtua dipahami da brpra ptig dalam lagah ag tpat utu magai data ilmu statistia adalah distribusi pluag ag trsdia. suatu data. mahama mgai hal Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 6

2 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 Brdasara ruag sampla distribusi pluag suatu data dibagi mjadi dua aitu distribusi otiu da distribusi disrit. Ada baa ajia ag braita dga distribusi-distribusi trsbut salah satua adalah mtua btu distribusi dari suatu pubah aca bila ia diai suatu fugsi trttu. Fugsi dari pubah aca ag palig sdrhaa da palig masu aal (brmaa) tia ditrapa dalam suatu data adalah pjumlaha atau pguraga dari dua pubah aca. Scara husus ajia mgai distribusi jumlah dua atau lbih pubah aca sudah baa diplajari da mudah diturua. Sdaga distribusi slisih pubah aca masih jarag dilaua. ada umuma jadia dalam hidupa shari-hari braita dga jadia ag trhitug (disrit). Brdasara dua hal trsbut maa dalam plitia ii aa dilaua formulasi trhadap distribusi dari slisih dua pubah aca disrit hususa slisih dua pubah aca oisso ag salig bbas. Slai itu aa diturua pula aratristi-aratristi distribusi pasira paramtr srta apliasi dari distribusi trsbut pada data ral. ada plitia trdahulu J.O. Irwi (97) tlah mmbahas mgai distribusi dari slisih dua pubah aca oisso salig bbas dga paramtr ag sama. Kmudia trdapat pula pmbahasa mgai distribusi srupa ag dial dga ama distribusi oisso Diffrc (D) ag diturua olh Alzaid da Omair () atau dial juga dga ama distribusi Sllam di maa distribusi trsbut mlibata pubah aca tiga di dalama. Utu itu di dalam papr ii aa dibahas juga aita atara distribusi slisih dua pubah aca oisso ag salig bbas dga distribusi D trsbut. Trdapat bbrapa apliasi dari distribusi oisso Diffrc ii; Karlis da Ntzoufras () mgapliasia distribusi trsbut utu mmodla prbdaa baaa gol dalam prmaia spa bola Hwag t al (7) mguur prbdaa itsitas pisl dalam amra. ada papr ii aa dilaua apliasi dari distribusi slisih dua pubah aca oisso salig bbas pada prstas ml huruf di atas 5 tahu brdasara gologa umur da darah tmpat tiggal utu mlihat pluag aia srta purua prstasa tiap tahu. Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 6

3 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 Tujua litia Distribusi oisso. Mmformulasia distribusi slisih dua pubah aca oisso ag salig bbas da murua aratristi-aratristia.. Mmplajari aita distribusi trsbut dga distribusi D/ distribusi Sllam.. Mlaua stimasi paramtr distribusi slisih dua pubah aca oisso ag salig bbas mgguaa mtod mom da masimum lilihood. 4. Mgapliasia osp distribusi slisih dua pubah aca oisso ag salig bbas dalam data ral aitu data prstas ml huruf pdudu di atas 5 tahu brdasara gologa umur da darah tmpat tiggal. Ladasa Tori Kbbasa ubah Aca ubah aca mrupaa fugsi ag mmtaa aggota ruag sampl himpua bilaga riil: : S R Dua pubah aca da diataa salig bbas jia da haa jia: ubah aca diataa brdistribusi oisso jia mataa baaa hasil (suss) pada slag watu trttu (darah trttu). Sifatsifat distribusi oisso adalah:. Baaa hasil ag trjadi dalam suatu slag watu atau darah trttu tida trpgaruh (bbas dari) apa ag trjadi pada slag watu atau darah lai ag trpisah.. luag trjadia suatu hasil (tuggal) dalam slag watu ag amat pd atau dalam darah ag cil sbadig dga pajag slag watu atau bsara darah da tida brgatug pada baaa hasil ag trjadi di luar slag watu atau darah trsbut.. luag trjadia lbih dari satu hasil dalam slag watu ag pd atau darah ag smpit trsbut dapat diabaia. Suatu pubah aca brdistribusi oisso dga paramtr atau diotasia dga ~ OI jia fugsi massa pluaga adalah Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 6

4 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 Sdaga fugsi distribusi umulatifa adalah Briut adalah aratristi dari distribusi oisso:. Nilai ma da variasia samaaitu E Var. Nilai swss (miriga data) lbih bsar dari ol ag brarti bahwa data mcg aa.. Nilai urtosis (lacipa data) lbih bsar dari tiga ag brarti bahwa ilai data-dataa mgumpul di sitar maa. 4. Fugsi pmbagit pluaga adalah M t t Distribusi oisso Diffrc (D) Alzaid da Omair () mdfiisia distribusi oisso Diffrc sbagai briut Dfiisi. Misala trdapat pasaga pubah aca Y ag bisa ditulisa sbagai W W da Y dga W ~ OI salig W W bbas dga W ~ OI da W sbarag distribusi maa fugsi massa pluag dari Y dibria ( z) dga I z / I z z 4 I mrupaa fugsi Bssl jis prtama trmodifiasi. mbahasa Distribusi Slisih Dua ubah Aca oisso ag Salig Bbas ada bagia ii aa diformulasia mgai distribusi slisih dari dua pubah aca oisso ag salig bbas. Misala ~ OI salig bbas dga ~ OI. Misala maa distribusi dari pubah aca dapat dittua dga mgguaa dua ti briut: Ti Fugsi mbagit Mom Fugsi pmbagit mom dari adalah sbagai briut M t t t E E t t t t E E E t t Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 64

5 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 65 Btu fugsi pmbagit mom trsbut tida sama dga fugsi pmbagit mom dari distribusi oisso. Ti Fugsi Massa luag Fugsi massa pluag dari pubah aca diprolh dari purua briut f f Jia maa fugsi pluaga adalah: f f Slajuta trdapat sifat ag ditujua olh hasil simulasi briut: Gambar. Simulasi Numri Sifat shigga: Brdasara hubuga trsbut maa fugsi massa pluag dari distribusi slisih dua pubah aca oisso ag salig bbas dapat diturua da diprolh aitu sbagai briut:

6 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 66 I / dga ) ( I z adalah fugsi Bssl jis prtama trmodifiasi. Fugsi massa pluag trsbut sama dga fugsi massa pluag distribusi oisso Diffrc pada Dfiisi. rbdaa da aita atara distribusi slisih dua pubah aca oisso salig bbas dga distribusi oisso Diffrc ii aa dibahas pada bab slajuta. Jia dilihat dari btua fugsi pluag trsbut mmilii btu ag brbda dga fugsi pluag dari distribusi oisso. Brdasara sifat ui dari suatu distribusi da hasil prhituga mgguaa dua ti trsbut maa dapat disimpula bahwa distribusi slisih dua pubah aca oisso ag salig bbas bua mrupaa distribusi oisso. Slajuta ita aa mbut distribusi trsbut sbagai distribusi Bda oisso salig bbas dga paramtr. Briut adalah grafi sbara data fugsi massa pluag srta fugsi distribusi umulatif dari distribusi Bda oisso salig bbas. Gambar. Sbara Data Brdistribusi Bda oisso Salig Bbas

7 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 Gambar. Fugsi Massa luag Distribusi Bda oisso Salig Bbas dga da Gambar 4. Fugsi Distribusi Kumulatif Bda oisso Salig Bbas dga da Gambar mujua bahwa sbara data brdistribusi Bda oisso salig bbas brada di sitar ilai slisih paramtra aitu. Brbda dga distribusi oisso pada distribusi Bda oisso salig bbas trdapat juga da. Brdasara grafi trsbut dapat dilihat bahwa ilai pluag trbsara (modus) brada pada data dga ilai di sitar. Slai itu dari Gambar 4 dapat dilihat bahwa aia ilai pluag trbsar brada mugia data brilai gatif. pada data ag ilaia di sitar. Slajuta pada Gambar ditampila Dga dmiia dapat disimpula pola fugsi massa pluag dari distribusi bahwa distribusi Bda oisso salig Bda oisso salig bbas dga bbas brsifat uimodal. Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 67

8 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 Slajuta aa dittua aratristi-aratristi dari distribusi Bda oisso salig bbas mlalui sifatsifat mom - dari distribusi trsbut. Mom - dari distribusi Bda oisso salig bbas diprolh dga mgguaa turua - dari fugsi pmbagit mom pada saat t aitu t t d M t t t dt Dga ti trsbut diprolh mom prtama higga mom mpat sbagai briut:. Mom - E ' M. Mom - " E M. Mom - "' E M 4. Mom -4 4 E M iv Scara visual mom - dari distribusi Bda oisso salig bbas ditampila olh Gambar 5 briut. Brdasara Gambar 5 dapat dilihat bahwa utu moma aa slalu brilai positif sdaga utu mmugia ilai mom ag gatif. (a) Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 68

9 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 (b) Gambar 5. Mom - Distribusi Bda oisso Salig Bbas; (a) (b) Dari mpat mom trsbut diprolh aratristi dari distribusi Bda oisso salig bbas ag mliputi ma variasi swss srta urtosis dari aitu. Ma E E. Variasi Var Var E E Brbda dga distribusi oisso ma da variasi dari distribusi Bda oisso salig bbas tida mmilii ilai ag sama. Scara visual ma da variasi dari distribusi Bda oisso salig bbas ditujua olh Gambar 8. (a) (b) Gambar 6. Ma vs Variasi; (a) (b) Gambar 6 mrupaa plot ma da variasi distribusi Bda oisso salig bbas dga paramtr da mgguaa sampl aca sbaa. Dari plot Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 69

10 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 bisa dilihat bahwa bai ma maupu variasi sampl distribusi Bda oisso salig bbas aa smai mdati ilai paramtra utu ag smai mmbsar. Nilai maa aa slalu di bawah variasia bai maupu (udrdisprsio).. Swss E 4. Kurtosis E 4 Nilai swss da urtosis distribusi Bda oisso salig bbas atara suatu sampl dga sampl ag lai brbda-bda trgatug dga bsara da. Kaita atara Distribusi Bda oisso Salig Bbas dga Distribusi oisso Diffrc Brdasara Dfiisi trdapat pubah aca tiga pada distribusi oisso Diffrc aitu W dga sbarag distribusi shigga dalam hal ii ita tida bisa mgataa bahwa pubah aca da pubah aca Y salig bbas. Utu pubah aca oisso ag tida salig bbas misala ~ OI da Y ~ OI R. Vric (997) mataa fugsi pluag bivariata aitu Y mi( ) Sdaga fugsi pluag brsama utu dua pubah aca oisso ag salig bbas adalah Y Dari fugsi pluag bivariat oisso da fugsi pluag brsama dua pubah aca oisso ag salig bbas ita bisa mlihat praa dari orlasi di atara dua pubah aca trsbut (diotasia sbagai briut f ) aitu sbagai Y Y f f Dga dmiia ilai dari dapat diprolh aitu f mi( ) f Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 7

11 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 7 Ambil salah satu asus misala ) mi( maa fugsi f apabila dijabara aa mjadi f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mi( ada distribusi Bivariat oisso ilai orlasia adalah ) )( ( Y Jia ilai maa Y da f. Ii brarti bahwa jia orlasia ol maa fugsi Bivariat oisso mrupaa fugsi pluag brsama dari dua pubah aca oisso ag salig bbas. Brdasara hal trsbut maa distribusi Bda oisso salig bbas mrupaa asus husus dari distribusi oisso Diffrc di maa pubah aca tigaa aitu W brdistribusi sbarag dga. asira aramtr ada tulisa ii mtod ag diguaa utu mgstimasi paramtr distribusi Bda oisso salig bbas adalah mtod mom da masimum lilihood. Mtod Mom Misala adalah sampl aca dari distribusi Bda oisso salig bbas ag idti da idpd maa S Var E ) ( ) ( Dga msubstitusia dua prsamaa trsbut diprolh ilai pasir utu da aitu S S MM MM ˆ ˆ Mtod Masimum Lilihood Misala adalah sampl aca dari distribusi Bda oisso salig bbas ag idti da idpd maa fugsi lilihooda adalah i z z i i i i i I z L

12 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 Slajuta fugsi lilihood trsbut di-l-a sbagai briut ll i l Iz i i i i i li zi zi l l Kmudia fugsi l L z trsbut diturua trhadap da shigga diprolh pasira paramtr utu dua paramtr trsbut aitu Apliasi ˆ ˆ MLE MLE (a) (b) z Gambar 7. rstas da Slisih: rstas Ml Huruf (a) dudu di Atas 5 Tahu (b) Distribusi Bda oisso salig bbas ii diapliasia pada data prstas pdudu brumur 5 tahu atas ag ml huruf murut gologa umur da darah tmpat tiggal dari tahu sampai 4. Data ii diprolh dari rpositori data Bada usat Statisti (BS) Idosia. Gambar 7 briut mujua plot data prstas da slisih prstas pdudu ml huruf pada watu t da t. Slisih prstas trsbut mujua aia maupu purua prstas baaa pdudu ml huruf dari tahu tahu. Tabl. Statisti Dsriptif Slisih rstas Ml Huruf dudu di Atas 5 Tahu Darah Ma Variasi Mas Slisih % Mi Slisih % Kota Dsa Statisti dsriptif dari data slisih prstas ml huruf disajia dalam Tabl. Brdasara statisti dsriptif trsbut trlihat bahwa scara umum di pdsaa rata-rata aia prstas ml huruf dari tahu tahu lbih bsar daripada di protaa. Namu purua prstas trbsar juga Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 7

13 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 trjadi di pdsaa tpata pada tahu 6. Slajuta paramtr dari distribusi data trsbut distimasi mgguaa mtod mom da masimum lilihood dga batua softwar MATLAB da diprolh hasil Darah ˆ MM ˆ MM ˆ MLE MLE Kota Dsa Dga mgguaa stimasi paramtr trsbut mudia dihitug pluag slisih prstas ml huruf pdudu di atas 5 tahu utu darah protaa da pdsaa. ˆ Tabl. Estimasi aramtr Distribusi Slisih rstas Ml Huruf dudu di Atas 5 Tahu Gambar 8. Sbara luag Slisih rstas Ml Huruf dudu di Atas 5 Tahu di rotaa da dsaa Brdasara Gambar 8 dapat dilihat bahwa bsar pluag utu slisih prstas ml huruf pdudu di atas 5 tahu bai mgguaa mtod mom maupu masimum lilihood mmbria hasil sbara pluag ag hampir sama. luag trtiggi trjadi tia aia ataupu purua prstas ml huruf brada di sitar ilai ol artia dari tahu tahu mulai tahu sampai 4 tida trjadi aia maupu purua prstas ml huruf ag cuup brarti. Namu scara umum prstas aia ml huruf mmilii pluag ag lbih bsar dibadiga puruaa. Hal ii ditujua dga lbih tiggia pluag dari z ag brilai positif daripada z gatif. Dalam hal ii pubah aca mataa bsar slisih prstas pdudu ml huruf. Slai itu bila dibadiga atara protaa dga pdsaa trata pluag aia Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 7

14 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 prstas ml huruf di pdsaa lbih bsar daripada di protaa. Hal ii mugi saja trjadi ara saat ii pmbagua sumbr daa mausia di pdsaa lbih diprioritasa daripada di protaa. Ksimpula Brdasara pmbahasa da aalisis ag dilaua dapat disimpula bbrapa hal sbagai briut. Distribusi slisih dua pubah aca oisso ag salig bbas tidalah brdistribusi oisso amu mmilii jis distribusi lai ag dalam papr ii diamaa distribusi Bda oisso salig bbas.. Distribusi Bda oisso salig bbas mrupaa asus husus dari distribusi Diffrc oisso (D) /distribusi Sllam di maa paramtr dari pubah aca tigaa brilai ol.. Estimasi paramtr dapat dilaua dga mgguaa mtod mom da masimum lilihood da plsaiaa dapat dilaua scara umri dga batua MATLAB. 4. Distribusi Bda oisso salig bbas ii diapliasia pada data bsara ustaa prstas ml huruf pdudu di atas 5 tahu di protaa da pdsaa. Brdasara hasil stimasi diprolh simpula bahwa pasira paramtr da pluag slisih prstas ml huruf bai mgguaa mtod mom maupu masimum lilihood mmbria hasil ag sama baia. Alzaid A. Omair M.. O Th oisso Diffrc Distributio Ifrc ad Applicatios. Bull. Malas. Math. Sci. Soc. () () Bada usat Statisti (BS). subjviwtabaccordiodaftar-subj. Diass pada 5 Dsmbr 5. Irwi M. 6. Momt Gratig Fuctio. Statistics. Harvard : Summr 6. Karlis D. Ntzoufras I.. Discrt Distributio with Applicatios i Sports. Dpartmt of Statistics Atha Uivrsit of Ecoomics ad Bussiss Tchical Rport. Karlis D. Ntzoufras I. 6. Basia Aalsis of Th Diffrcs of Cout Data. Wil ItrScic. Ross S. 7. Itroductio to robabilit Modls 9 th Editio. Brl Califoria: Uivrsit of Califoria. Hal Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 74

15 Esata: Jural Imu-Ilmu MIA p. ISSN: ISSN: 5-64 Vric R O Th Bivariat Gralizd oisso Distributio. ASTIN Bullti Vol. 7 Issu Ma 997 pp -. Walpol R. Mrs R Ilmu luag da Statistia utu Isiur da Ilmuwa Edisi -4 (Trjmah). Badug: rbit ITB. Hwag Y. t al. 7. Ssor Nois Modlig Usig th Sllam Distributio: Applicatio to th Color Edg Dtctio. IEEE Cofrc o Computr Visio ad atr Rcogitio pp 8. Distributio of th Diffrc of Two Idpdt oisso Radom Variabls ad Its Applicatio to th Litrat opulatio Data (Atia Ahdia) 75