Aplikasi Sistem Orthonormal Di Ruang Hilbert Pada Deret Fourier

Transkripsi

1 Apliasi Sistem Orthoormal Di Ruag Hilbert Pada Deret Fourier A 7 Fitriaa Yuli S. FMIPA UNY Abstra Ruag hilbert aa dibahas pada papper ii. Apliasi system orthoormal aa diaji da aa diapliasia pada ruahg Hilbert. Dapat dietahui bahwa himpua { u, u, u,...} deret lasi fourier adalah betu 66ystem orthoormal legap di ruag Hilbert L (-,.). Sebagai aibatya himpua τ dari polyomial trygoometri adalah padat di L (, ) Kata uci: Sistem Orthoormal, Ruag Hilbert, Deret Fourier A. Pedahulua Aalisis Fourier lasi pada mulaya berembag dalam upaya mempelajari deret da itegral Fourier. Deret trigoometri yag ita eal searag sebagai deret Fourier pertama ali dipereala oleh D. Beroulli pada tahu 75 a, etia ia megaji persamaa diferesial parsial utu sebuah dawai bergetar. Beroulli meemua bahwa utu si / maa fugsi, si / cos / merupaa solusi utu setiap bilaga positip. Deret fourier lasi u(x,t) aa diapliasia sebagai system orthoormal di ruag Hilbert. B. Pembahasa Ier Product Di Ruag Hilbert L (-,) didefiisia bahwa utu sembarag ( u v) = u( x) v( x), x [, ] Sistem Orthoormal di ruag Hilbert L (-,) didefiisia Utu sembarag X Ruag Hilbert atas R, da {u,u, } adalah system orthoormal yag dapat dihitug dalam X, yaitu ( u / um ) = δ m utu semua, m Barisa u(x) dalam deret fourier didefiisia sebagai : Maalah dipresetasia dalam Semiar Nasioal Matematia da Pedidia Matematia dega tema Matematia da Pedidia Karater dalam Pembelajara pada taggal 3 Desember di Jurusa Pedidia Matematia FMIPA UNY

2 ux ( ): ( ) / =. u x x / m ( ): = cos u x = x, utu m=,,3, / m ( ): si Preposisi. Himpua { u, u, u,...} membetu suatu sistem orthoormal legap di ruag Hilbert L (-,.). Pembutia Lagah Aa ditujua bahwa u merupaa sistem orthoormal yaitu memeuhi i ( u u ) = u ( x) u ( x) = δ Dalam deret fourier dietahui u. / : si = x; Beberapa emugia ilai U ) yaitu u / : = cos A. Kemugia ier product e- yaitu i / U ) = Cos x. / Si x Ada dua emugia utu ilai da yaitu. Nilai = i / U ) = Cos x. / Si x x = / [si ( x x) + si ( x + x)] = / [si + si x ] Semiar Nasioal Matematia da Pedidia Matematia Yogyaarta, 3 Desember MA 67

3 = / [ + si x ] Batas dibagi mejadi yaitu dari x da x area ilai itegralya sama maa haya dihitug salah satu emudia dialia = x ( / (si x) ) = x ( / [/ ( cos x) ] = x ( / (/ ( cos ( cos ) ) ) = x ( / (/ ( ( ) ) = x = = δ. Nilai i / U ) = Cos x. / Si x = = = / si ( ) x + / si ( + ) x / [si / [si ( x x) + si ( x + x)] ( ) x + si ( + ) x] = x./. [/( ) cos ( ) x] + x./.[/( + ) cos ( + ) x] cos ( ) cos ( ) cos ( + ) cos ( + ) = x./.[ ( )] + x./.[ ( )] ( ) ( + ) + = x ( / (/ ( ( ) ) + x ( / (/ ( ( ) ) Semiar Nasioal Matematia da Pedidia Matematia Yogyaarta, 3 Desember MA 68

4 = x + x = = δ Nilai U ) = i / Cos x. / Si x =, =, B. Kemugia ier product e- yaitu i / U ) = cos x. i / U ) = cos x. / / Kemugia ilai da yaitu cos x cos x i si si = x./ [ ] + x./ [ ] / / U ) = cos x. cos x si x = x./ [ x] + x./ [ ] = / [cos ( x x) + cos ( x + x)]. Nilai = = / [cos + cos x] = = Batas dibagi mejadi yaitu dari x da x area ilai itegralya sama maa haya dihitug salah satu emudia dialia = + = δ. Nilai / /. cos + cos x + cos x i / U ) = cos x. / cos x Semiar Nasioal Matematia da Pedidia Matematia Yogyaarta, 3 Desember MA 69

5 U i / ) = cos x. = / [cos / cos x ( x x) + cos ( x + x)] = / [cos ( ) x + cos ( + ) x] = / cos ( ) x + / cos ( + ) x Batas dibagi mejadi yaitu dari x da x area ilai itegralya sama maa haya dihitug salah satu emudia dialia = x./ [ ] + x./ [ ] = x + x = = δ si( ) x si ( + ) x + Nilai U ) = i / cos x. / cos x =, =, / C. Kemugia ier product e-3 yaitu U ) = si x. / si x Kemugia ilai da. Nilai = i U i / ) = si x. = / [cos / si x ( x x) cos ( x + x)] = / [cos cos x] Semiar Nasioal Matematia da Pedidia Matematia Yogyaarta, 3 Desember MA 7

6 = = / cos cos x /. cos x Batas dibagi mejadi yaitu dari x da x area ilai itegralya sama maa haya dihitug salah satu emudia dialia = x = x six si si./ [ ]./[ x] x./[ ]./ [ ] x = = = δ. Nilai U i / ) = si x. = / [cos / si x ( x x) cos ( x + x)] = / [cos ( ) x cos ( + ) x] = / cos ( ) x / cos ( + ) x Batas dibagi mejadi yaitu dari x da x area ilai itegralya sama maa haya dihitug salah satu emudia dialia = x si( ) x./ [ ] x./ [ ] = x - x = = δ si ( + ) x + Nilai U ) = i / si x. / si x =, =, Semiar Nasioal Matematia da Pedidia Matematia Yogyaarta, 3 Desember MA 7

7 Terbuti ) = δ yaitu U Terbuti bahwa u merupaa Sistem Orthoormal Lagah Dega megguaa Corollary 4 yaitu bahwa r = spa u, u,...}, barisa polyomial trygoometri adalah padat di L (-,). { Jelas bahwa deret fourier merupaa polyomial trygoometri maa u padat di L (-,). Lagah 3 Dega megguaa Teorema 3.A yaitu barisa yag merupaa Sistem Orthoormal di ruag Hilbert X atas K apabila padat di X maa Legap di X da berlau sebaliya. Terbuti bahwa himpua { u, u, u,...} deret lasi fourier adalah betu sistem orthoormal legap di ruag Hilbert L (-,.). Corollary. u L (, ) deret fourier lasi overge di L (-,) yaitu m = lim ( u( x) a a cosx + b si x) = m Buti m = lim ( u( x) a a cosx + b si x) = m u(x) disubstitusi oleh ( ) = cos + si = ux a a x b xdiperoleh m + + = = lim (( a a cos x b six) a a cos x b si x) m Semiar Nasioal Matematia da Pedidia Matematia Yogyaarta, 3 Desember MA 7

8 + + = = (( a a cos x b si x) a a cos x b si x) () = Terbuti m = lim ( u( x) a a cosx + b si x) = m Lemma 3 Utu setiap fugsi f C[, ] dega f ( ) = f ( ), ε, fugsi p τ sehigga f p c[, ] < ε BUKTI Lagah Misal f fugsi geap yaitu f ( x) = f( x). Fugsi ii dipeuhi oleh φ ( x): = cos x yag merupaa fugsi yag meuru tajam pada iterval [,], y f y ( φ ( )) otiyu pada iterval [-,], berdasar teorema Aprosimasi Weirstrass yaitu utu fugsi otiyu terdapat polyomial py ( ) = c + cy c y sehigga max f( φ ( y) p( y)) y < ε, Oleh area itu terdapat p( y) = c + cy c y da berlau max f( φ ( y) p( y)) y < ε, misal y =cos x, max f( φ (cos x) p(cos x)) y < ε, q(x):=p(cosx) maa diperoleh max f( x) q( x) < ε, x Terbuti utu f fugsi geap terdapat polyomial q sehigga berlau Semiar Nasioal Matematia da Pedidia Matematia Yogyaarta, 3 Desember MA 73

9 max f( x) q( x) < ε < x< Lagah Misal f fugsi gajil yaitu f ( x) = f( x) utu setiap x [, ], ilai f() = f( ) =. Dipilh δ > da dibetu ( x δ) f ( ) jia < δ x δ δ gx ( ): = jia x δ atau δ x Dietahui g(x):=-g(-x) jia x. Saat f otiyu seragam di iterval [, ] berdasar teorema Waitress diperoleh max f( x) g( x) < ε / utu ilai δ > yag cuup ecil. x Saat gx ( ) x di[, ] otiyu di [, ] area g(x) otiyu sehigga ada si( x) q τ berlau gx ( ) max qx ( ) < ε /, misala rx ( ): = qx ( )sixdiperoleh x si( x) gx ( ) qx ( ) max < ε / x si( x) si( x) max. gx ( ) qx ( ) < ε / x si x max gx ( ) qx ( ) < max si x ε / x x max gx ( ) rx ( ) < xε / x max gx ( ) rx ( ) < ε / maa x max f ( x) r( x) = max f ( x) g( x) + g( x) r( x) x max f ( x) g( x) + max g( x) r( x) x x Semiar Nasioal Matematia da Pedidia Matematia Yogyaarta, 3 Desember MA 74

10 ε / + ε / ε Terbuti utu f fugsi gajil terdapat rxsehigga ( ) berlau max f( x) r( x) < ε x Lagah 3 Dalam asus yag umum, diguaa deomposisi fugsi yaitu f ( x) = ( f( x) + f( x)) + ( f( x) f( x)) emudia diterapa lagah utu fugsi geap da lagah utu fugsi gajil dega meerapa Teorema ilai rata-rata Waitress da etasamaa segitiga sehigga diperoleh f ( x) f ( x) = utu x = [, ] Corollary 4 Himpua τ dari polyomial trygoometri adalah padat di L (, ) Buti Misal u L (, ) da misal diberia ε >. Dega preposisi 7 yaitu X : = C[ a, b] dega < a < b <, himpua Polyomial p + ( x) = a + ax +... a x dega a i bilaga real adalah padat di X sehigga utu u eleme polyomial p(x) dapat diperoleh fugsi otiyu C[, ] yag padat di L (, ) artiya terdapat fugsi otiyu f : = [, ] R sehigga / < u f ( ( u( x) f( x)) ) ε Dega meggati fugsi otiyu f dideat titi x= dapat diasumsia bahwa f(-)=fi) dega lemma 3 maa terdapat fugsi q r sehigga f q ε Sehigga dapat diperoleh Semiar Nasioal Matematia da Pedidia Matematia Yogyaarta, 3 Desember MA 75

11 u q = u f + f q uq u f + f q u q ε + ε u q ε Terbuti τ padat di L (, ) C. Peutup Berdasara uraia di atas dapat dietahui bahwa himpua { u, u, u,...} deret lasi fourier adalah betu sistem orthoormal legap di ruag Hilbert L (-,.). Sebagai aibatya himpua τ dari polyomial trygoometri adalah padat di L (, ) DAFTAR PUSTAKA Coway,Joh B.,99, A Course i Fuctioal Aalysis, ed, Spriger-Verlag,New Yor Hedra Guawa, 7, asah pidato guru besar ITB, FMIPA ITB Badug Semiar Nasioal Matematia da Pedidia Matematia Yogyaarta, 3 Desember MA 76