BAB 1 HAMPIRAN TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

Transkripsi

1 Catata Kuliah EL Aalisis Numrik BAB HAMPIRAN TAYLOR DAN ANALISIS GALAT. Pgatar Mtod Numrik Ktika kita mylsaika prsamaa-prsamaa matmatika di maa torma-tormaya masih dapat ditrapka, solusi aalitik atau solusi ksak dapat kita prolh. Sbagai cotoh, prhatika soal-soal brikut. ) Cari akar-akar prsamaa: + =! ) Ttuka ilai da y yag mmuhi sistm prsamaa brikut. ) Hitug itgral brikut: d. + y = 8 y = ) Ttuka solusi umum prsamaa dirsial brikut. dy d ky Prsoala di atas dga mudah dapat dipcahka scara aalitik. Dga mgguaka mtod pmaktora atau rumus abc, akar-akar prsamaa pada soal ) adalah = da =. Dga mtod substitusi atau mtod Cramr, solusi soal ) adalah = da y =. Torma dasar kalkulus aka mmbawa pada jawaba ksak soal ), yaki d y Asi k mrupaka salah satu solusi umum prsamaa dirsial pada soal ).. Smtara itu, Prmasalaha mucul ktika mtod aalitik tidak lagi mampu mmcahka prsoala matmatis yag lbih rumit. Sbagai cotoh, prhatika soal-soal brikut. ) Cari akar-akar prsamaa: ) Ttuka solusi dari sistm prsamaa liir brikut. ) Hitug itgral brikut: p + q r + s + t = p q + r s t = p + q r s + 7t= 6 p + q + r 6s + t = 8 p + q r s + t = 6 d. ) Ttuka solusi prsamaa dirsial brikut. y ''' y'' y' y. Aip Saripudi Bab Hampira Taylor da Aalisis Galat -

2 Catata Kuliah EL Aalisis Numrik Prsoala-prsoala ii sulit utuk dipcahka scara aalitik kara tidak ada torma-torma matmatis yag mdukug. Aka ttapi, prsoala-prsoala itu buka brarti tidak dapat dipcahka. Prsoala-prsoala di atas dapat dipcahka dga mtod umrik. Mtod umrik adalah tkik yag diguaka utuk mrumuska prsoala-prsoala matmatis shigga dapat dipcahka dga oprasi aritmtika biasa tambah, kurag, kali, da bagi). Scara hariah, mtod artiya cara, sdagka umrik artiya agka. Jadi, mtod umrik scara hariah adalah cara brhitug mgguaka agka-agka. Brbda dga mtod aalitik yag slalu mghasilka solusi ksak da dapat diyataka dga prsamaa matmatis, mtod umrik mghasilka solusi brupa agka yag mrupaka hampira atau pdkata. Solusi hampira ii jlas tidak sama dga solusi ksak. Aka ttapi, kita dapat mcari solusi hampira sdkat mugki dga solusi ksakya. Dga kata lai, slisih atara solusi hampira dga solusi ksak dibuat skcil mugki. Slisih atara solusi hampira da solusi sjati disbut galat atau ksalaha. Bbrapa prsoala yag dapat dipcahka mgguaka mtod umrik adalah mtuka solusi prsamaa oliir, sistm prsamaa liir multivariabl, dirsial, itgral, itrpolasi, rgrsi, da prsamaa dirsial.. Hampira Taylor utuk Fugsi Sbuah ugsi dapat dikspasika mjadi poliomial ord k- yag dikal sbagai drt Taylor. Drt ii didiisika sbagai brikut. Misalya adalah sbuah ugsi yag smua ord turuaya,,, ) brada dalam itrval a-r, a+r) maka ) ' ''! Drt Taylor utuk a = disbut drt Maclauri, yaki ) ) ') '')! '''! ''')! )! ) )! CONTOH Ekspasika ) si k dalam drt Maclauri! Kmudia hitug ilai si,) mgguaka drt ii dga =! Pylsaia ) si ) ' ) cos ') '' ) si '') ''' ) cos ''') iv ) ) si iv) ) v ) ) cos v) ) vi ) ) si vi) ) Aip Saripudi Bab Hampira Taylor da Aalisis Galat -

3 Catata Kuliah EL Aalisis Numrik vii ) ) cos vii) ) da strusya. Ssuai dga rumus drt Maclauri diprolh si!! 7 7! Slajutya si,),,)!,)!,98669 CONTOH Ekspasika ) k dalam drt Maclauri! Kmudia hitug dga =! Pylsaia ) ) ' ') ) '' '') ) da strusya. Ssuai dga rumus drt Maclauri diprolh Slajutya,,,,)!!!,)!!,)!,, mgguaka drt ii Brikut bbrapa drt Maclauri ptig da itrval kovrgsiya.., < <. l ), <.!!!, smua. si 7!! 7!, smua. cos 6!! 6!, smua Aip Saripudi Bab Hampira Taylor da Aalisis Galat -

4 Catata Kuliah EL Aalisis Numrik p p ) p p ) p ) 6. ) p p, < <!! Drt biomial, p bilaga riil).. Aalisis Galat Aalisis galat mrupaka hal ptig dalam aalisis umrik. Galat brkaita dga sbrapa dkat solusi hampira trhadap solusi ksakya. Smaki kcil galat, smaki dkat solusi hampira trhadap solusi ksakya, atau, dga kata lai, smaki tliti solusi umrik yag diprolh. Galat dalam mtod umrik disbabka olh dua hal, yaitu galat pmbulata roud o rror) da galat pmotoga trucatio rror). Scara matmatis, jika adalah solusi hampira da adalah solusi ksak, galat diyataka olh Galat Mutlak Galat dapat brilai positi atau gati. Jika tada galat tidak diprtimbagka, galat mutlak didiisika sbagai Ugkapa galat mgguaka rumus di atas kurag bgitu brmaka kara tidak mujukka scara lagsug sbrapa bsar galat itu dibadigka dga ilai ksakya. Sbagai cotoh, jika ilai ksakya = da ilai hampiraya =,, galat mutlakya adalah,. Galat yag sama aka diprolh jika = 8 da = 7,8. Ktika ssorag mlaporka hasil prhitugaya,, tapa mybutka ilai ksakya, kita tidak mdapatka iormasi yag lgkap. Galat Rlati Istilah galat rlati mucul utuk mghidari salah itrprtasi trhadap ilai galat. Galat rlati didiisika sbagai r % Aka ttapi, dalam mtod umrik, kita tidak mgtahui ilai sjatiya shigga sulit utuk mdapatka galat rlati ii. Utuk mgatasi hal trsbut, galat dibadigka dga ilai hampiraya disbut galat rlati hampir, yaitu Galat pada Hampira Taylor rh Formula Taylor dga sisa ditulis sbagai brikut. ) ' ''! P ) R ) % dga P ) adalah hampira Taylor utuk ugsi da ) da R )! R ) adalah galat atau sisaya, yaki ) '' P ) '!! R ) ) c) )! Aip Saripudi Bab Hampira Taylor da Aalisis Galat -

5 Catata Kuliah EL Aalisis Numrik CONTOH Cari,8 dga galat kurag dari,. Pylsaia Drt Maclauri utuk adalah!!!! da sisaya adalah R ) ) c) )! c )! maka R c )! dga < c <,8. Tujua kita adalah mmilih sbsar mugki shigga R <,. Slajutya, kara c <,8, c <,8 < < da + < ) + shigga R ) )! )! Kara galat yag diigika kurag dari, atau R <, maka )!, da dipuhi jika 6 Buktika dga mgguaka kalkulator). Olh kara itu,,8 dapat dihampiri olh drt Maclauri ord 6 sbagai brikut.,8,8!!!! 6! 6.98 SOAL-SOAL LATIHAN PR ) Guaka drt Maclauri ord utuk mdkati ilai-ilai brikut. Badigka hasilya dga hasil kalkulator..,.,. cos,). l,).,88 Aip Saripudi Bab Hampira Taylor da Aalisis Galat -