MODIFIKASI SEDERHANA DARI VARIAN METODE NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT

Transkripsi

1 MODIFIKASI SEDERHANA DARI VARIAN METODE NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN Supriadi Putra Jurusa Matmatika Fakultas Matmatika da Ilmu Pgtahua Alam Uivrsitas Riau, Pkabaru ABSTRAT This articl discusss a simpl modiicatio o th variats o Nwtos mthod or solvig oliar quatios. Jai 0 combis th us o th Scat mthod with Trapzoidal Nwtos mthod dvlopd by Wrako ad Frado 000 ad producs w combiatio Scat-Trapzoid Nwto mthod that has ourth-ordr covrgc. Usig Jais ida, th authors combi th us o th Scat mthod with two othr variats o Nwtos mthod dvlopd by Ozba 00, amly Arithmtic ad Harmoic Nwto. It turs out that both th w combiatios ar has ourth-ordr covrgc. Numrical calculatio with svral ampls o oliar quatios is usd to show that both th w combiatios mthod ar comparabl with othr ourth-ordr mthods. Kywords: Nwto s Mthod, Scat s Mthod, Variat o Nwto s Mthods, Noliar Equatio, Ordr o ovrgc. PENDAHULUAN Latar Blakag Mtuka akar dari suatu prsamaa oliar, 0, adalah sbuah topik khusus yag dibahas dalam matakuliah mtod umrik baik utuk urusa pdidika mipa, sais maupu tkik. Pmbahasa biasaya dimulai dari mtod dasar sprti : mtod Blah dua Bisctio, mtod Nwto, mtod Scat, da lai-lai lihat Atkiso,989 da Mathw,987. Utuk stiap mtod kmampua mahasiswa yag ditutut adalah miimal tiga hal, yaitu : mampu muruka ormulasi mtod itrasi, aalisis rror ksalaha mtod utuk mlihat ord kkovrgaya, da komputasi umrik utuk mmbadigka kmampua mtod satu dga yag laiya dga mgguaka bbrapa cotoh prsamaa oliar. Khusus utuk bidag sais, matri lauta dari topik mtuka akar prsamaa oliar biasaya dilakuka dalam matakuliah lai, sprti kapita slkta matmatika. Disii mahasiswa aka dibrika plasa ttag bagaimaa sorag pliti dapat mmuka sbuah ormula baru. Bbrapa artikl trbaru biasaya diguaka sbagai rrsi. Sbagai cotoh misalya modiikasi mtod Nwto. Id modiikasi mtod Nwto biasaya dilakuka utuk mmprbaiki klmahaya yaitu masih mmuat btuk turua prtama shigga mmrluka lbih bsar cost komputasi ataupu mgkombiasika pmakaiaya scara brsama-sama dga mtod lai utuk migkatka ord kkovrgaya. Sts 99 sudah mmprbaiki klmaha mtod Nwto yag mmuat turua dga mgguaka Jural Ilmiah Edu Rsarch Vol. No. Dsmbr 0

2 pdkata iit dirc. Wrakoo da Frado 000 mgguaka torma itgral Nwto da atura Trapsium utuk mg-aproksimasi itgral shigga diprolh varia mtod Nwto dga ord kkovrga kubik. Dmikia uga Frotii 00 da Ozba 00 mgguaka id yag sama dga Wrakoo da Frado yaitu mgaproksimasi itgral dga atura Midpoit titik tgah yag diaalogka dga rata-rata Aritmatik da rata-rata Harmoik shigga mghasilka mtod dga ord kkovrga kubik. Palig trkii adalah Jai 0, haya dga mgkombiasika pgguaa mtod Scat da mtod yag diusulka olh Wrako da Frado, bliau mgusulka mtod dga ord kkovrga mpat. Tuua Plitia Dga mgguaka id Jai ii, pulis aka mgkombiasika pmakaia mtod Scat masigmasig dga mtod Aritmatik Nwto da Harmoik Nwto shigga diprolh kombiasi baru yag aka dituukka mmiliki ord kkovrga mpat da sbadig dga mtod dga ord kkovrga mpat laiya. TINJAUAN PUSTAKA Dua mtod umrik dasar yag srig diguaka utuk mcari akar prsamaa oliar adalah mtod Nwto,, 0,,, yag mmiliki ord kkovrga kuadratik da mtod Scat,, yag mmiliki ord kkovrga suprliar. Kdua mtod ii sagat populr trutama mtod Nwto, shigga bayak pulis yag trtatag utuk mmodiikasiya. Wrakoo da Frado dga mgguaka torma Nwto t dt da mgaproksimasi ilai itgral dga atura Trapsium, yaitu t dt 5 Apabila prsamaa 5 ii disubstitusika k prsamaa aka diprolh varia lai dari mtod Nwto yag dikal dga ama mtod Trapsium Nwto, dimaa dihitug dga mgguaka mtod Nwto. Mtod Trapsium Nwto ii tlah dituukka Wrakoo da Frado mmiliki ord kko-vrga kubik. Apabila ilai itgral diaproksimasi dga mtod Midpoit titik tgah, yaitu t dt 7 Ozba 00 brhasil mmprolh ormula yag dikal dga ama mtod Midpoit Nwto dga btuk itrasi, 8 dimaa dihitug dga mgguaka mtod Nwto. Mtod Midpoit Nwto ii uga tlah dituukka mmiliki ord kkovrga kubik. Prkmbaga slautya Jai 0 mgkombiasika pguaa Jural Ilmiah Edu Rsarch Vol. No. Dsmbr 0

3 mtod Scat da Trapsium Nwto ii dga btuk, 9 dimaa, 0 da dihitug dga mgguaka mtod Nwto. Mtod ii adalah varia baru da tlah dituukka mmiliki ord kkovrga mpat. Dmikia uga Supriadi 0 mgkombiasika pgguaa mtod Scat da Midpoit Nwto 8 ii dga btuk, dimaa, da dihitug dga mgguaka mtod Nwto. Mtod ii uga tlah dituukka mmiliki ord kkovrga mpat. METODOLOGI PENELITIAN Plitia ii aka dilakuka mlalui kaia litratur trhadap bbrapa mtod itrasi utuk mylsaika prsamaa oliar lihat smua rrsi yag diguaka dalam tulisa ii. Slautya mtod yag diusulka aka ormulasika. Utuk myakika mtod ii dapat diguaka, maka aka dilakuka kaia toritis dga mlakuka aalisa kkovrgaya. Brikut adalah bbrapa diisi yag aka diguaka. Diisi Misalka adalah ugsi ral dga akar sdrhaa da { } adalah barisa bilaga ral yag kovrg k. Ord kkovrga dari barisa { } adalah p apabila trdapat p R sdmika shigga lim p 0. Apabila p, sdagka utuk p da p maka barisa masig-masig disbut kovrg scara kuadratik da kubik. Misalka adalah rror pada itrasi k-, maka rlasi p p disbut prsamaa rror mtod itrasi. Diisi Misalka,, da adalah tiga buah ilai itrasi brturut-turut yag dkat dga maka ord kkovrga scara komputasi O dapat diaproksimasi dga l / O l / 5. Utuk mdukug hasil yag diprolh aka dilakuka ui komputasi trhadap bbrapa cotoh prsamaa oliar yag mlibatka bbrapa mtod dga ord kkovrga mpat lai sbagai pmbadig. HASIL DAN PEMBAHASAN Mtod yag Diusulka Apabila prsamaa ditulis dalam btuk, / maka varia dari mtod Nwto dapat dipadag sbagai rata-rata aritmatik dari da. Varia ii dikal dga mtod rata-rata Aritmatik Nwto atau Jural Ilmiah Edu Rsarch Vol. No. Dsmbr 0

4 disigkat dga mtod Aritmatik Nwto. Dmikia uga apabila pada prsamaa diguaka rata-rata Harmoik sbagai pggati rata-rata Aritmatik, aka diprolh btuk, 7 maka varia ii dikal dga ama mtod Rata-rata Harmoik Nwto atau disigkat dga mtod Harmoik Nwto. Slautya dga mgguaka id Jai, apabila pgguaa mtod Trapsium Nwto 0 digati dga mtod Aritmatik Nwto da mtod Harmoik Nwto 7, aka diprolh kombiasi baru yaitu, 8 dimaa, / 9 yag diprkalka sbagai mtod Scat-Aritmatik Nwto da, 0 dimaa, yag diprkalka sbagai mtod Scat-Harmoik Nwto. Pada kdua mtod ilai dihitug dga mgguaka mtod Nwto. Aalisa Kkovrga Torma Misalka : D R R utuk itrval buka D. Asumsika mmiliki turua prtama, kdua da ktiga dalam itrval D. Jika D adalah akar sdrhaa dari ugsi da 0 cukup dkat dga maka mtod Scat- Aritmatik Nwto yag dibrika olh prsamaa 9 da 0 mmuhi prsamaa rror 5. dimaa,, da!. Bukti: Misalka da masig-masig adalah rror utuk da, yaitu da. Kara ssugguhya mtod Trapsium Nwto da Aritmatik Nwto adalah dua mtod yag sama, maka rror mtod Aritmatik Nwto sama dga rror mtod Trapsium Nwto. Akibatya rror mtod Scat-Aritmatik Nwto uga sama dga rror mtod Scat- Trapsium Nwto yag tlah dituukka olh Jai yaitu 5. Mgguaka prsamaa rror, maka mtod Scat-Aritmatik Nwto mmiliki ord kkovrga mpat Torma Misalka : D R R utuk itrval buka D. Asumsika mmiliki turua prtama, kdua da ktiga dalam itrval D. Jika D adalah akar sdrhaa dari ugsi da 0 cukup dkat dga maka mtod Scat-Harmoik Nwto yag dibrika olh prsamaa 0 da mmuhi prsamaa rror 5. Bukti: Misalka adalah rror utuk da masig-masig da, yaitu da. Tlah dituukka olh Ozba 00 rror mtod Harmoik Nwto adalah Jural Ilmiah Edu Rsarch Vol. No. Dsmbr 0

5 Jural Ilmiah Edu Rsarch Vol. No. Dsmbr 0 5. dimaa,,! da. Poliomial Taylor dari diskitar dapat dituliska dalam btuk!! Kara 0 da 0 maka stlah disdrhaaka prsamaa trakhir madi 5 Slautya dga mgguaka diprolh atau. Shigga dga mgguaka prsamaa 5 da diprolh - Prhatika bahwa. Shigga diprolh 7 Kita uga mmpuyai hubuga. Shigga dga mgguaka prsamaa diprolh. 8 Slautya dga mgguaka prsamaa - 8 diprolh. 5 atau 5 9 Akhirya diprolh. Dga msubstitusika prsamaa da 9 k dalam prsamaa trakhir ii aka diprolh 5 atau 5. Mgguaka prsamaa rror, maka mtod Scat-Aritmatik Nwto mmiliki ord kkovrga mpat Ui Komputasi Pada bagia ii, aka dilakuka ui komputasi utuk mmbadigka bayak itrasi, bayak ugsi yag divaluasi pada stiap itrasiya

6 NOFE da Ord kkovrga komputasi O utuk mtodmtod dga ord kkovrga mpat yag dibadigka. Mtod yag dimaksud adalah : Mtod STN : Scat-Trapsium Nwto olh Jai 0, Mtod SMN : Scat-Midpoit Nwto olh Supriadi 0, Mtod SAN : Scat-Aritmatik Nwto kombiasi baru da Mtod SHN : Scat-Harmoik Nwto kombiasi baru. Prsamaa oliar yag diguaka adalah sprti yag uga diguaka olh Wrako da Frado 000, yaitu :. 0, dga si, dga.0985., dga cos, dga , dga , dga si cos 5, dga cos si 8. 8 si 8, dga , dga Dalam mlakuka komputasi, kritria pmbrhtia itrasi yag diguaka adalah sama utuk smua mtod, yaitu apabila: ilai mutlak rrror tolrasi, ilai mutlak ugsi tolrasi, itrasi maksimum tlah trpuhi. Dalam hal ii tolrasi yag 5 diguaka adalah sbsar 0 da umlah itrasi maksimum adalah sbayak 00 itrasi. Hasil komputasi dari mtod yag dibadigka disaika dalam Tabl brikut. Tabl. Prbadiga Hasil Ui Komputasi utuk Bbrapa Mtod Itrasi Prsamaa No-liar Itarasi NOFE O STN SMN SAN SHN STN SMN SAN SHN STN SMN SAN SHN div 7 div Jumlah Jural Ilmiah Edu Rsarch Vol. No. Dsmbr 0

7 Pada Tabl di atas, utuk stiap mtod yag dibadigka dihitug utuk bayak itrasi, NOFE utuk bayak ugsi yag divaluasi pada stiap itrasiya, da O utuk ord kkovrga komputasi. div muukka bahwa mtod divrg atau tidak mmuka akar da brarti mtod kovrg tapi tidak k akar yag tlah dittapka. Sdagka Jumlah adalah pumlaha smua ilai itrasi, NOFE, da O yag diprolh dari hasil komputasi kcuali hasil komputasi utuk prsamaa oliar k-7 dga tbaka awal Scara umum hasil komputasi muukka bahwa smua mtod mmiliki ord kkovrga mpat. Utuk bbrapa kasus mtod uga cukup ssiti trhadap tbaka awal, artiya apabila tbaka awal cukup auh dari akar maka umlah itrasi aka brtambah atau bahka divrg. Dilihat dari bayak itrasi, mtod SMN da SHN lbih baik, aka ttapi utuk ugsi k-8 dga tbaka awal mtod SHN kovrg k akar lai. Sdagka mtod STN da SAN adalah adalah dua mtod yag sama ttapi dga pamaa brbda. KESIMPULAN Dalam artikl ii, kita tlah mdisikusika modiikasi sdrhaa dari varia mtod Nwto. Diawali dari id Wrakoo da Frado 000 yag brhasil muruka btuk varia mtod Nwto yag mmaaatka atura Trapsium utuk mgaproksimasi itgral yag mucul pada torma Nwto shigga diprolh mtod Trapsium Nwto yag mmiliki ord kkovrga kubik yag lbih baik dari mtod Nwto. Slautya scara brturut-turut Ozba 00 mgguaka atura Midpoit utuk mdapatka mtod Midpoit Nwto, rata-rata Aritmatik utuk mdapatka mtod Aritmatik Nwto da rata-rata Harmoik utuk mdapatka mtod Harmoik Nwto. Sluruh mtod ii uga mmiliki ord kkovrga kubik. Prkmbaga slautya, Jai 0 mgguaka mtod Scat da Trapsium Nwto scara brsama-sama da brhasil muukka mtod Scat-Trapsium Nwto STN ii mmiliki ord kkovrga mpat yag lbih baik dari mtod Trapsium Nwto. Mtod ii mmrluka dua kali valuasi ugsi da dua kali valuasi turua prtama ugsi. Mgguaka id Jai di atas tryata kombiasi mtod Scat da Midpoit Nwto SMN, mtod Scat da Aritmatik Nwto SAN da mtod Scat da Harmoik Nwto SHN uga mmiliki ord kkovrga mpat. Mlalui ui komputasi, uga tlah dituukka bahwa smua mtod yag dibadigka mmiliki ord kkovrga mpat. Scara umum kdua mtod itrasi yag diusulka cukup sbadig dga mtod Scat-Trapsium Nwto yag sblumya diusulka Jai. Bahka rlati lbih baik, trlihat dari hasil komputasi dimaa utuk prsamaa oliar 7 0 dga. 0 0 mtod Scat-Trapsium Nwto gagal ttapi Scat-Midpoit Nwto da Scat-Harmoik Nwto sukss mskipu dga itrasi yag cukup bsar. Kara smua mtod masih mgguaka mtod Nwto utuk Jural Ilmiah Edu Rsarch Vol. No. Dsmbr 0 7

8 prhituga awal itrasi, maka smua mtod uga cukup ssiti trhadap tbaka awal artiya apabila tbaka awal cukup auh dari akar maka umlah itrasi aka brtambah. DAFTAR PUSTAKA Atkiso. K.E A Itroductio to Numrical Aalysis, scod d. Joh Wily & Sos. Nw York. Frotii M. & Sormai E. 00. Som variats o Nwto s mthod with third-ordr covrgc, Appl. Math. omput. 0, 9. Jai, D. 0. Family o Nwtolik mthods with ourt-ordr covrgc. Itratioal o Joural omputr Mathmatics. DOI: 0.080/ Mathw, J.H Numrical Mthod or Mathmatical, Scic, ad Egir. Prtic- Hall Itrasioal. U.S.A. Ozba, A.Y. 00. Som Nw Variats o Nwto s Mthods. Applid Mathmatics Lttrs. 7, Sts, J.F. 9. Rmarks o itratio. Skad. Aktuaritidskr. : -7. Supriadi, P. 0. Mtod Scat- Midpoit Nwto utuk Mylsaika Prsamaa Noliar. Sdag pross trbit. Wrakoo, S. & Frado, T. G. I A variat o Nwto s Mthod With Acclratd Third-Ordr ovrgc. Applid Mathmatics Lttrs. : Jural Ilmiah Edu Rsarch Vol. No. Dsmbr 0