PELABELAN PRIME CORDIAL UNTUK GRAF BUKU DAN GRAF MATAHARI YANG DIPERUMUM

Transkripsi

1 JIMT Vol. 4 No. Juni 07 (Hal 56-69) ISSN : X PELABELAN PRIME CORDIAL UNTUK GRAF BUKU DAN GRAF MATAHARI YANG DIPERUMUM S.Pranata, I. W. Sudarsana dan S.Musdalifah 3,,3 Program Studi Matmatika Jurusan Matmatika FMIPA Univrsitas Tadulako Jalan Sokarno-Hatta Km. 09 Tondo, Palu 948, Indonsia. supitpranata@gmail.com, sudarsanaiwayan@yahoo.co.id, 3 slvymusdalifah@yahoo.com ABSTRACT A prim cordial labling of a graph G with th vrtx st V(G) is a bijction f: V(G) {,,3,, p}, whr p is th numbr of vrtx in th graph G and th inducd f : E(G) {0,} is dfind by f ; if gcd (f(u), f(v)) =, ( = uv) = { 0; othrwis. satisfis th condition f (0) f (), whr f (i) is th numbr of dgs having labl i = 0 and. A graph that contains prim cordial labling is calld prim cordial graph. Th rsults of th study showd that book graph K,n P m for m {3,4,5,6,7} and sun graph C n K m for m {,3,5} satisfy prim cordial labling. Kywords : Book Graph, Prim Cordial Labling, Sun Graph ABSTRAK Plablan prim cordial dari suatu graf G dngan himpunan titik V(G) adalah bijksi f: V(G) {,,3,, p}, dimana p adalah banyaknya titik di graf G dan fungsi induksi f : E(G) {0,} yang didfinisikan olh f ; jika gcd (f(u), f(v)) =, ( = uv) = { 0; lainnya. dan mmnuhi syarat f (0) f (), dimana f (i) adalah banyaknya sisi yang mmpunyai labll i = 0 dan. Sbuah graf yang mmuat plablan prim cordial disbut graf prim cordial. Hasil pnlitian mnunjukkan bahwa graf buku K,n P m untuk m {3,4,5,6,7} dan graf matahari C n K m untuk m {,3,5} mmnuhi plablan prim cordial. Kata Kunci: Graf Buku, Graf Matahari, Plablan Prim Cordial 56

2 I. PENDAHULUAN. Latar Blakang Lahirnya tori graf prtama kali diprknalkan olh Lonhard Eulr sorang matmatikawan brkbangsaan Swiss pada tahun 736 mlalui tulisan Eulr yang brisi tntang upaya pmcahan masalah jmbatan Konigsbrg yang sangat trknal di Eropa. Banyak yang dapat diplajari dari suatu graf, salah satu di antaranya adalah mngnai plablan graf. Plablan graf adalah suatu pmbrian nilai (dngan bilangan bulat positif) pada titik atau sisi dari graf atau kduanya shingga mmnuhi kondisi trtntu. Bilangan-bilangan trsbut disbut labl. Jika yang dibri labl hanya titik (vrtx) saja, maka plablannya disbut plablan titik (vrtx). Jika yang dibri labl hanya sisi (dg) saja, maka plablannya disbut plablan sisi (dg). Sdangkan jika kduanya, titik dan sisi dibri labl, maka plablannya disbut plablan total (Cahayani,dkk., 03). Plablan prim cordial mrupakan suatu bntuk plablan pada titik yang labl sisinya mngikuti (inducd) labl titiknya, yang didfinisikan sbagai f: V(G) {,,3,, p}, dimana p adalah banyaknya titik di graf G dngan sifat f ( = uv) = jika gcd(f(u), f(v)) = dan f ( = uv) = 0 untuk yang lainnya, dan mmnuhi f (0) f (). Kajian graf trkait plablan prim cordial antara lain Sundaram, dkk (005) yang mngkaji graf siklus C n (untuk n 6), graf lintasan P n (untuk n 3 atau 5), graf naga, graf mahkota dan graf tangga, Babuj dan Shobana (009) yang mngkaji graf matahari C n K, Vaidya dan Vihol (00) yang mngkaji graf total lintasan T(P n ) (untuk n 5), graf total siklus T(C n ) (untuk n 5), dan komposisi P (P m ) (untuk m 5), srta Rohman (0) yang mngkaji graf buku K,n P.. Rumusan Masalah Prmasalahan yang akan dibahas dalam pnlitian ini adalah bagaimana formula plablan prim cordial untuk graf buku dan graf matahari yang diprumum..3 Tujuan Pnlitian Tujuan dari pnlitian ini adalah untuk mndapatkan formula plablan prim cordial pada graf buku dan graf matahari yang diprumum. 57

3 .4 Batasan Masalah Pnlitian ini trbatas pada dua graf brikut :. Graf buku diprumum (K,n P m ) untuk m {3,4,5,6,7}, dimana : ) untuk m = 3,4 maka n 3; ) untuk m = 5, maka n 6; 3) untuk m = 6, maka n 0; 4) untuk m = 7, maka n 8;. Graf matahari diprumum (C n K ) m untuk n 3 dan m {,3,5}..5 Manfaat Pnlitian Manfaat dari pnlitian ini adalah. Sbagai rfrnsi dan tambahan ilmu pngtahuan dalam mngmbangkan pnlitianpnlitian di bidang tori graf, khususnya tntang plablan prim cordial.. Untuk mngaplikasikan dan mngmbangkan ilmu yang slama ini mnjadi bidang minat II. yang diplajari. METODE PENELITIAN Adapun prosdur yang dilakukan pada pnlitian ini adalah. Mmulai pnlitian. Mlakukan studi litratur 3. Mnotasikan titik dan sisi pada graf buku dan graf matahari yang diprumum 4. Mlabli titik dan sisi pada graf ssuai dngan syarat plablan prim cordial 5. Mnganalisa pola untuk mrumuskan plablan prim cordial 6. Mmbuat formula plablan prim cordial 7. Mmbuktikan formula plablan untuk stiap titik. Jika trbukti maka diprolh hasil pnlitian. Jika tidak trbukti maka kmbali k langkah 4 yaitu mlabli titik dan sisi pada graf ssuai dngan syarat plablan prim cordial 8. Mmprolh hasil 9. Ksimpulan 0. Slsai III. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas mngnai plablan prim cordial pada graf buku (K,n P 3, K,n P 4, K,n P 5, K,n P 6 dan K,n P 7 ) dan graf matahari (C n K, C n K 3 dan C n K ) 5 dngan n bilangan asli. Untuk mnunjukkan plablan prim cordial pada graf buku dan graf matahari yang diprumum, maka langkah-langkah yang akan dilakukan yaitu mnotasikan titik dan sisi pada graf, mlabli graf dan mmbuat formula dngan mnganalisa pola plablan. 58

4 Dfinisi : Graf buku diprumum adalah graf yang diprolh dari hasil prkalian graf bintang K,n dan graf lintasan P m, atau dapat ditulis sbagai K,n P m. Pnotasian graf buku K,n P m trsaji dalam Gambar. v 0, v,, v 3, 3, 5, v 7, n-, 0 5, 3 v 7, 5 v n-, v 0, v,, v 3, 3, 7 n- v 5, 7, n-, 0 5, v 7, 3 5 v n-, v 0,3 v,3,3 v 3,3 3,3 7 n- m- v 5,3 7,3 n-,3 0 m- 5,3 m- v 7,3 3 m- 5 v n-,3 v 0,m- v,m-,m- m- m- v 3,m- 3,m- 7 n- m- 5,m- 7,m- n-,m- 0 m- v 5,m- m- v 7,m- 3 m- 5 vn-,m-,m m- 3,m 7 m- 9 5,m 7,m n-,m n, 8, 6, 4, v n, v n, v 8, v 8, v 8,3 v 6, v 6,,, n, 8, 4, 6, 6 8 n,3 n,3 8,3 4,3 6,3 6 8 n v n,3 m- n,4 8,4 4,4 6,4 m- 8 n v 4, v 4, 4 v, v, v,3 v 4,3 v 6,3 m- m- 4,4 m- v,m- 6 v 4,m- v 6,m- m- m- 4,m m- v 0,m v,m 4,m v,m v 3,m n,m 8,m 6,m m- 6 m- 8 v 4,m v n 5,m v 6,m v 7,m v 8,m v n-,m v n,m- v n,m v 8,m- 4 Gambar : Pnotasian titik dan sisi pada graf buku K,n P m Brdasarkan Gambar, maka graf buku K,n P m dapat dinotasikan Himpunan titik V(K,n P m ) = {v i,j i = 0,,, n; j =,,, m}...() Himpunan sisi E(K,n P m ) = { t i = v i,t v i,t+ i = 0,,, n t =,,, m } { i,j = v 0,j v i,j i =,,, n; j =,,, m}...() Graf buku K,n P m mmpunyai m(n + ) titik dan (m )n + (m ) sisi...(3) Slanjutnya pada pnlitian ini akan dibahas graf buku K,n P m untuk m {3,4,5,6,7}. Dfinisi : Graf matahari diprumum adalah graf yang dibntuk dari graf siklus C n korona komplmn graf lngkap K, m atau dapat ditulis sbagai C n K m. Drajat titik pada graf siklus C n akan mnjadi m +, sdangkan drajat titik lainnya adalah. Pnotasian graf matahari C n K m trsaji dalam Gambar. 59

5 v, v, v,3 v,m- v,m vn,m,,,3,m-,m,m v, vn,m- v, n,m n,m- v, vn,3, v,3 n,3 n n,,3 vn, n, vn v,m- v,m- vn,,m v,m n- vn-,m v3, 3, vn-,m- n-,m n-,m- vn- v3 3, v3, vn-,3 n-, ,3 3,m- v3,3 n-, n-, v4 3,m vn-, v3,m- vn-, 4,m 4,m- 4,3 4, 4, v3,m v4,m v4,m- v4,3 v4, v4, Gambar : Pnotasian titik dan sisi pada graf matahari C n K m Brdasarkan Gambar, maka graf matahari C n K m dapat dinotasikan Himpunan titik V(C n K ) m = {v i i =,,, n} {v i,j i =,,, n; j =,,, m}...(4) Himpunan sisi E(C n K ) m = { i = v i v i+, n = v v n i =,,, n } { i,j = v i v i,j i =,,, n; j =,,, m}...(5) Graf matahari C n K m mmpunyai n(m + ) titik dan sisi...(6) Slanjutnya pada pnlitian ini akan dibahas graf matahari C n K m untuk m {,3,5}. Torma : Graf buku K,n P m adalah prim cordial untuk m {3,4,5,6,7}, dimana : ) untuk m = 3, 4 maka n 3; ) untuk m = 5, maka n 6; 3) untuk m = 6, maka n 0; 4) untuk m = 7, maka n 8; 60

6 Bukti : Kasus K,n P 3 : Subkasus : n ganjil Akan ditunjukkan bahwa graf buku K,n P 3 untuk n 3 adalah prim cordial dalam bntuk fungsi i f (v i, ) = { 3i + ; 3 i n (i ganjil)...(7) 3i ; 4 i n (i gnap) 6 3i + f (v i, ) = 3i + 3 ; 3 i n (i ganjil)...(8) 3i + { 3i + 3 i + 5 ; 4 i n (i gnap) f (v i,3 ) = 3i + 5 ; 3 i n (i ganjil)...(9) 3i + 3 { 3i + 3 ; 4 i n (i gnap) Subkasus : n gnap Akan ditunjukkan bahwa graf buku K,n P 3 untuk n 4 adalah prim cordial dalam bntuk fungsi i f (v i, ) = { 3i + ; 3 i n (i ganjil)...(0) 3i ; 4 i n (i gnap) 6 3i + f (v i, ) = { 3i + 3 ; 3 i n (i ganjil)...() 3i + ; 4 i n (i gnap) 3 i + 5 f (v i,3 ) = { 3i + 5 ; 3 i n (i ganjil)...() 3i + 3 ; 4 i n (i gnap) Kasus K,n P 4 : Subkasus : n ganjil Akan ditunjukkan bahwa graf buku K,n P 4 untuk n 3 adalah prim cordial dalam bntuk fungsi i, i + 3 f (v i, ) = { 4i + ; 4 i n (i gnap)...(3) 4i ; 5 i n (i ganjil) 4 i, 3i + f (v i, ) = { 4i + 3 ; 4 i n (i gnap)...(4) 4i ; 5 i n (i ganjil) 6

7 i + 8, i + 9 f (v i,3 ) = { 4i + 5 ; 4 i n (i gnap)...(5) 4i + ; 5 i n (i ganjil) 6 i, i + f (v i,4 ) = { 4i + 7 ; 4 i n (i gnap)...(6) 4i + 4 ; 5 i n (i ganjil) Subkasus : n gnap Akan ditunjukkan bahwa graf buku K,n P 4 untuk n 4 adalah prim cordial dalam bntuk fungsi i, i + 3 f (v i, ) = { 4i + ; 4 i n (i gnap)...(7) 4i ; 5 i n (i ganjil) 4 i, 3i + f (v i, ) = { 4i + 3 ; 4 i n (i gnap)...(8) 4i ; 5 i n (i ganjil) i + 8, f (v i,3 ) = i + 9 4i + 5 ; 4 i n (i gnap)...(9) 4i + { 4i i ; 5 i n (i ganjil), f (v i,4 ) = i + 4i + 7 ; 4 i n (i gnap)...(0) 4i + 4 { 4i + ; 5 i n (i ganjil) Kasus K,n P 5 : Subkasus : n gnap Akan ditunjukkan bahwa graf buku K,n P 5 untuk n 6 adalah prim cordial dalam bntuk fungsi i + 5i 9 4i + f (v i, ) = 5(i ) 5i + { 5i 3 5i + 4 5(i ) f (v i, ) = 3i + 7 5i + 3 { 5i 7i + 8 5i 3 f (v i,3 ) = i + 9 5(i + ) { 5i +, ; i = 4 ; i = 5,7...() ; 6 i n (i gnap) ; 9 i n (i ganjil), ; i = 4,5...() ; 6 i n (i gnap) ; 7 i n (i ganjil), ; i = 4,5...(3) ; 6 i n (i gnap) ; 7 i n (i ganjil) 6

8 5i + 6 3i + 5, f (v i,4 ) = i + ; i = 4,5 5i + 7 ; 6 i n (i gnap)...(4) 5i + 3 ; 7 i n (i ganjil) { 5i i, f (v i,5 ) = 5i + 3 5i + 9,5 ; 4 i n (i gnap)...(5) 5(i + ) ; 7 i n (i ganjil) { 5i + Subkasus : n ganjil Akan ditunjukkan bahwa graf buku K,n P 5 untuk n 7 adalah prim cordial dalam bntuk fungsi i i + 3 5i f (v i, ) = 5(i ) 5i + { 5i 3, ; i = 4 ; i = 5,7...(6) ; 6 i n (i gnap) ; 9 i n (i ganjil) 4 i 3i + f (v i, ) = 5i + 3 5i 3 { 5i, ; i =.3 ; 4 i n (i gnap) ; i = 5 ; 7 i n (i ganjil)...(7) i + 8 i + 9 f (v i,3 ) = 5(i + ) 5i { 5i +, ; 4 i n (i gnap)...(8) ; i = 5 ; 7 i n (i ganjil) 6 i i + f (v i,4 ) = 5i + 7 5i + { 5i + 3, ; 4 i n (i gnap)...(9) ; i = 5 ; 7 i n (i ganjil) 3 i i + 5 f (v i,5 ) = 5i + 9 5i + 3 { 5(i + ), ; 4 i n (i gnap)...(30) ; i = 5 ; 7 i n (i ganjil) Kasus K,n P 6 : Subkasus : n gnap Akan ditunjukkan bahwa graf buku K,n P 6 untuk n 0 adalah prim cordial dalam bntuk fungsi 63

9 6i 5 8i 8 f (v i, ) = 6i + 6(i ) { 6i 4 ; i = 3,5 ; 4 i n (i gnap)...(3) ; 7 i (i ganjil) ; 3 i n (i ganjil) f (v i, ) = { 4 6i 7i 6i + 3 6i 4 6i ; 4 i n (i gnap) ; i = 9, ; 3 i n (i ganjil)...(3) f (v i,3 ) = 8 0i 7 7i 9 6i + 5 6i { 6i ; 4 i n (i gnap) ; i = 9 ; i n (i ganjil)...(33) 6 8i + 7(i ) f (v i,4 ) = 6i + 7 ; 4 i n (i gnap)...(34) 6i 6i + ; i = 9 ; i n (i ganjil) { 6(i + ) 3 4i + 6i f (v i,5 ) = 6i + 9 6i + 6i + 4 { 6i + 4 ; i = 3,5 ; 4 i n (i gnap) ; i = 7,9 ; i n (i ganjil)...(35) i ; i =,3 f (v i,6 ) = 6i + ; i n (i gnap) 6i + 4 ; 5 i 9 (i ganjil)...(36) 6(i + ) ; i n (i gnap) { 6i + Subkasus : n ganjil Akan ditunjukkan bahwa graf buku K,n P 6 untuk n adalah prim cordial dalam bntuk fungsi 64

10 6i 5 8i 8 f (v i, ) = 6i + 6(i ) { 6i 4 ; i = 3,5 ; 4 i n (i gnap)...(37) ; 7 i (i ganjil) ; 3 i n (i ganjil) 4 6i 7i f (v i, ) = 6i + 3 6i 4 { 6i ; 4 i n (i gnap) ; i = 9, ; 3 i n (i ganjil)...(38) 8 0i 7 7i 9 f (v i,3 ) = 6i + 5 6i { 6i f (v i,4 ) = 6 8i + 7(i ) 6i + 7 6i { 6i + 3 4i + 6i f (v i,5 ) = 6i + 9 6i + { 6i + 4 ; 4 i n (i gnap) ; i = 9 ; i n (i ganjil) ; 4 i n (i gnap) ; i = 9 ; i n (i ganjil) ; i = 3,5 ; 4 i n (i gnap) ; i = 7,9 ; i n (i ganjil)...(39)...(40)...(4) i ; i =,3 f (v i,6 ) = 6i + ; i n (i gnap)...(4) 6i + 4 ; 5 i 9 (i ganjil) { 6(i + ) ; i n (i ganjil) Kasus K,n P 7 : Subkasus : n gnap Akan ditunjukkan bahwa graf buku K,n P 7 untuk n 8 adalah prim cordial dalam bntuk fungsi i i i f (v i, ) = 7i + 7i 9 7(i ) { 7i 5, ; i = 4,5 ; 6 i n (i gnap)...(43) ; i = 7,9 ; i 9 (i ganjil) ; i n (i ganjil) 65

11 f (v i, ) = f (v i,3 ) = f (v i,4 ) = 4 4i 8i 4 7i + 7i + 3 6i + 7i 5 { 7i 3 8 i + 7 8i 7i + 3 7i + 5 6i + 4 7i 3 { 7i 6 7 i 8i 0 7(i + ) 6(i + ) 7i { 7i i 8i 6 7i + 9 f (v i,5 ) = 7i 7i + 7i + 3 { 7i i 8i 4 7i + f (v i,6 ) = 7i + 7i + 3 7i + 5 { 7i i 8i 7i + 3 f (v i,7 ) = { 7i + 3 7i + 5 7(i + ) 7i + Subkasus : n ganjil ; i = 4 ; 6 i n (i gnap) ; i = 9 ; i 7 (i ganjil)...(44) ; 9 i n (i ganjil) ; i = 4 ; 6 i n (i gnap)...(45) ; i = 9 ; i 7 (i ganjil) ; 9 i n (i ganjil) ; 4 i n (i gnap)...(46) ; i = 9 ; i 7 (i ganjil) ; 9 i n (i ganjil) ; i = 3,5 ; 4 i n (i gnap) ; i = 7,9 ; i 7 (i ganjil) ; 9 i n (i ganjil) ; i = 3,5 ; 4 i n (i gnap) ; i = 7 ; 9 i 7 (i ganjil) ; 9 i n (i ganjil) ; i = 3,5 ; 4 i n (i gnap) ; i = 7 ; 9 i 7 (i ganjil) ; 9 i n (i ganjil)...(47)...(48)...(49) Akan ditunjukkan bahwa graf buku K,n P 7 untuk n 9 adalah prim cordial dalam bntuk fungsi 66

12 f (v i, ) = f (v i, ) = f (v i,3 ) = f (v i,6 ) = i 9 i 7i + 8(i ) 8i 8 7(i ) { 7i 5 4 6i 8i 4 7i + 3 8(i ) 7i 5 { 7i 3 8 0i 7 8i 7i + 5 8i 4 7i 3 { 7i, ; 4 i n (i gnap) ; i = 5,7 ; i = 9, ; 3 i 9 (i ganjil)...(50) ; i n(i ganjil) ; 4 i n (i gnap)...(5) ; i = 9, ; 9 i n(i ganjil) ; 4 i n (i gnap) ; i = 9,...(5) ; 9 i n(i ganjil) 6 8i + 8i 0 f (v i,4 ) = 7(i + ) ; 4 i n (i gnap)...(53) 8i ; i = 9, 7i { 7i + ; 9 i n(i ganjil) 3 7i, i f (v i,5 ) = 7i + 9 ; 4 i n (i gnap) 7i ; 5 i 9 (i ganjil)...(54) 7i + ; i 7 (i ganjil) { 7i + 3 ; 9 i n (i ganjil) 64 i + 9 8i 4 ; i = 3,5 7i + 8i 6 7i + 3 { 7i + 5 ; 4 i n (i gnap) ; i = 7,9 ; i 7 (i ganjil)...(55) ; 9 i n(i ganjil) 8 9 i 8i ; i = 3,5 f (v i,7 ) = 7i + 3 ; 4 i n (i gnap)...(56) 8i 4 ; i = 7,9 7i + 5 ; i 7 (i ganjil) { 7(i + ) ; 9 i n(i ganjil) Torma : Graf matahari C n K m adalah prim cordial untuk n 3 dan m {,3,5}. 67

13 Bukti : Kasus C n K : Akan ditunjukkan bahwa graf matahari C n K untuk n 3 adalah prim cordial dalam bntuk fungsi f(v i ) = { 3i ;i ganjil 3 ;i gnap...(57) 3i ; i ganjil, j = f(v i,j ) = { 3i 3i ; i gnap, j = ; i n, j =...(58) Kasus C n K 3 : Akan ditunjukkan bahwa graf matahari C n K 3 untuk n 3 adalah prim cordial dalam bntuk fungsi f(v i ) = 4i ; i n...(59) 4i 3 ; i n, j = f(v i,j ) = { 4i ; i n, j =...(60) 4i ; i n, j = 3 Kasus C n K 5 : Akan ditunjukkan bahwa graf matahari C n K 5 untuk n 3 adalah prim cordial dalam bntuk fungsi f(v i ) = 4i ; i n...(6) 6i 5 6i 3 ; i n, j = ; i n, j = f(v i,j ) = 6i ; i n, j = 3...(6) 6i ; i n, j = 4 { 6i ; i n, j = 5 IV. KESIMPULAN Brdasarkan hasil pnlitian yang tlah dilakukan, dapat disimpulkan :. Graf buku K,n P 3 untuk stiap n 3 adalah plablan prim cordial.. Graf buku K,n P 4 untuk stiap n 3 adalah plablan prim cordial. 3. Graf buku K,n P 5 untuk stiap n 6 adalah plablan prim cordial. 4. Graf buku K,n P 6 untuk stiap n 0 adalah plablan prim cordial. 5. Graf buku K,n P 7 untuk stiap n 8 adalah plablan prim cordial. 6. Graf matahari C n K untuk stiap n 3 adalah plablan prim cordial. 7. Graf matahari C n K 3 untuk stiap n 3 adalah plablan prim cordial. 8. Graf matahari C n K 5 untuk stiap n 3 adalah plablan prim cordial. 68

14 DAFTAR PUSTAKA [] Babuj, J.B., dan Shobana, L, 009, Prim Cordial Lablings, Int. Rviw on Pur and Appl. Math. [] Cahayani, K.P., Solistyo, R.H., dan Zaki, S, 03, Plablan Cordial dan Gracful pada Arbitrary Suprsubdivision Graf Path dan Star, Univrsitas Dipongoro, Smarang. [3] Gallian, J.A, 03, A Dynamic Survy of Graph Labling, Univrsity of Minnsota Duluth, USA. [4] Rohman, A.S, 0, Plablan Cordial pada Graf Tangga P n P dan Graf Buku K,n P, Univrsitas Jmbr, Jmbr. [5] Sundaram, M., Ponraj, R., dan Somasundram, S, 005, Prim Cordial Labling of Graphs, J. Indian Acad. Math. [6] Vaidya, S.K., dan Vihol, P.L, 00, Prim Cordial Labling for Som Graphs, Modrn Applid Scinc. 69