BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

Transkripsi

1 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia dilajutka dega kekompakka dari ruag Hausdorff, diataraya jika suatu ruag Hausdorff X adalah kompak, maka ruag X juga ormal. Pembahasa diakhiri dega megkaji ruag reguler legkap, yaitu membuktika bahwa ruag ormal adalah ruag regular legkap. 3. Ruag Hausdorff Ruag Hausdorff adalah ruag dimaa setiap dua buah eleme yag berbeda dapat dipisahka oleh dua buah persekitara yag disjoit. Berikut adalah defiisi dari ruag Hausdorff. Defiisi 3.. Ruag Hausdorff Diberika ruag topologi ( X, τ ). Ruag X dikataka ruag Hausdroff jika da haya jika utuk setiap pasaga x, y X ada persekitara U, V sehigga x U, y V da U V = φ. X sedemikia Berikut beberapa cotoh ruag topologi yag merupaka ruag Hausdorff da ruag yag buka ruag Hausdorff

2 9 Cotoh 3.. Diberika ruag topologi ( X, τ ), dega X { a, b, c, d} = da τ = X. Ruag topologi X adalah ruag Hausdorff, karea utuk setiap x, y X ada { }, { } U = x V = y X sedemikia sehigga x U, y V da U V = φ. Maka X adalah Ruag Hausdorff Cotoh 3..3 Diberika ruag topologi ( M, τ ), dega M { a, b, c, d} { a, b},{ c, d}, X } = da τ =,φ. Ruag topologi M buka ruag Hausdorff, karea ada a, b M sedemikia sehigga utuk setiap persekitara U, V X a U, b V tetapi {, } U V = a b φ Maka X buka Ruag Hausdorff Ruag Hausdorff memiliki sifat diataraya: setiap subruagya adalah juga Hausdorff; hasil jumlah da hasil kali dari aggota-aggota koleksi ruag Hausdorff yag disjoi adalah juga Hausdorff. Dibawah ii aka ditujukka beberapa sifat dari ruag Hausdorff Teorema 3..4 Setiap subruag E dari ruag Hausdorff X adalah ruag Hausdorff. Bukti :

3 0 Misal a, b E. Karea X ruag Hausdorff, maka ada himpua buka U da V di X sedemikia sehigga a U, b V da U V = φ. Misal U = E U da V = E V. Karea E, U, V, himpua buka, maka U da V juga himpua buka dari subruag E. Karea a U, b V da U V = φ. Dari defisi ruag Hausdorff maka E dalah Ruag Hausdorff. Teorema 3..5 Jumlah topologi X dari sebarag disjoit koleksi { X M} dari ruag Hausdorff adalah ruag Hausdorff. Bukti : Misalka X { X M} = da a, b X, a b sembarag. Dari defiisi jumlah topologi X maka ada z, v M sedemikia sehigga a X z da b X v, dimaa X, X X z v. Terdapat dua kasus Kasus : z v, Ambil U = X z da V X v =, Karea X z, X v X maka X z X v = φ. Kasus : z = v Ii berarti a, b X z dega a b. Karea X z ruag Hausdorff maka terdapat himpua buka U da V di X sedemikia sehigga a U da b V da z U V = φ. Dari kedua kasus diatas dapat disimpulka bahwa X adalah Ruag Hausdorff.

4 Teorema 3..6 Hasil kali topologi X dari sebarag koleksi { X M} adalah ruag Hausdorff. Bukti : dari ruag Hausdorff Misal a, b sebarag dua titik yag berbeda di X. Dari hasil kali Cartesia (..), a b megakibatka keberadaa dari v M sedemikia sehigga a ( v ) da b( v) adalah dua eleme yag berbeda di X v. Karea X v adalah ruag Hausdorff, maka ada himpua buka U da V di X sedemikia sehigga a ( v) v U da b( v) V da U V = φ. Misal U da V diotasika sebagai subbasis himpua buka di X yag didefiisika oleh { ( ) } U = x X x v U { ( ) } V = x X x v V Karea ( ), ( ) a v U b v V maka adalah Ruag Hausdorff a U, b V da U V = φ. Akibatya X 3. Kekompaka pada ruag Hausdorff Pada pasal ii aka dibahas sifat kekompaka pada ruag Hausdorff. Sebelumya aka didefiisika terlebih dahulu suatu ruag dikataka kompak da beberapa sifat yag dipeuhi oleh sebuah ruag yag kompak.

5 Pada teorema 3..3 dibahas sifat suatu himpua kompak pada suatu ruag Hausdorff. Sifat ii petig utuk meujukka bahwa ruag Hausdorff yag kompak adalah ruag ormal Selajutya aka ditujukka bahwa hasil kali topologi X dari ruag Hausdorff yag kompak adalah juga kompak. Utuk membuktikaya diperluka teorema Tychooff da teorema Heie Borel. Berikut pembahasa di mulai dega defiisi ruag yag kompak. Defiisi 3.. Sebuah ruag X dikataka ruag yag kompak jika da haya jika setiap cover buka dari X mempuyai sebuah subcover higga. Teorema 3.. Setiap himpua tutup K di dalam sebuah ruag X yag kompak adalah kompak. Bukti: Diberika C adalah cover dari K oleh himpua-himpua buka dari X. Karea K tutup, maka kompleme X \ K adalah buka. Aggota-aggota dari C dega himpua buka X \ K membetuk sebuah cover buka dari X. Karea X adalah kompak, cover buka dari X megadug sebuah subcover higga dari X. Dega kata lai, ada sebuah bilaga batas dari himpuahimpua buka U, U,..., U di dalam C sedemikia sehigga U U... U X \ K = X.

6 3 U, U,..., U adalah cover dari K. Karea C memiliki subcover Akibatya { } higga maka K kompak. Teorema 3..3 Jika K adalah sebuah himpua yag kompak di dalam sebuah ruag Hausdorff X da p adalah sebuah titik di dalam X \ K, maka ada himpuahimpua buka U da V yag salig lepas dari X sedemikia sehigga K da p V. Bukti: U Ambil a K sembarag K X, da diketahui p X \ K. Karea X ruag Hausdorff maka ada himpua-himpua buka U a da V a dari X sedemikia sehigga a U a da p V a. Misal F { U a a K} = dega U a himpua buka dari X, maka F adalah sebuah cover dari K. Karea K kompak, maka F memiliki sebuah subcover higga dari K, yaitu ada berhigga titik a, a,..., a dari K sedemikia sehigga K terkadug di dalam U yaitu U = U... U. Di lai pihak, misalka V = V... V. Diperoleh U da V adalah himpua-himpua buka dari X, sedemikia sehigga K U, p V, da U V = φ. Terbukti teorema diatas

7 4 Akibat 3..4 Bukti: Setiap himpua K yag kompak pada ruag Hausdorff X adalah tutup. Utuk setiap p X \ K, berdasarka teorema 3..3 terdapat himpuahimpua buka U da V yag salig lepas dari X sedemikia sehigga K U da p V. Selajutya diperoleh V X \ U X \ K. Karea utuk setiap p X \ K, ada persekitara V sedemikia sehigga p V X \ K. Dega demikia, X \ K buka da K tutup. Aka ditujukka bahwa ruag Hausdorff yag kompak adalah ruag ormal, sebelumya berikut ii adalah defiisi dari ruag ormal. Defiisi 3..5 Ruag ormal X adalah ruag yag utuk setiap himpua tutup A, B yag disjoit terdapat himpua buka F, G sedemikia sehigga A F, B G da G F = φ. Teorema 3..6 Setiap ruag Hausdorff yag kompak adalah ormal. Bukti: Diberika A da B sebarag dua himpua-himpua tutup yag disjoit pada ruag Hausdorff X yag kompak. Berdasarka teorema 3.., maka A da B adalah himpua kompak. Selajutya berdasarka 3..3 utuk setiap b B

8 5 terdapat dua himpua buka yag salig lepas U b da V b dari X sedemikia sehigga A Ub da b Vb. Misalka F { Vb b B} = adalah koleksi dari himpua-himpua buka dari X, maka F adalah cover dari B. Karea B kompak, maka F mempuyai sebuah subcover higga dari B. Dega kata lai, ada eleme b, b,..., b dari B sedemikia sehigga B termuat di dalam V dimaa V = V b... V b. Di lai pihak, misalka U = U b... U b, maka U da V adalah himpua- himpua buka dari X, sedemikia sehigga A U, B V da U V = φ. Dega demikia, X adalah ormal. Berikut aka ditujukka bahwa jika X adalah ruag Hausdorff yag kompak maka hasil kali X juga ruag Hausdorff yag kompak. Namu terlebih dahulu aka dibuktika hasil kali Topologi dari keluarga ruag yag kompak adalah kompak. Defiisi 3..7 Keluarga himpua F dikataka memiliki fiite itersectio property jika da haya jika irisa berhigga subkeluarga dari F adalah tidak kosog Teorema 3..8 Ruag X kompak jika da haya jika setiap keluarga dari himpua tutup di X yag memiliki fiite itersectio property memiliki irisa yag tidak kosog

9 6 Bukti: ( ) Misal Y sebarag keluarga himpua tutup di ruag kompak X. Asumsika irisa dari seluruh aggota Y adalah kosog. Aka ditujukka bahwa Y tidak memiliki fiite itersectio property. Misal G { X \ A A } = Y. Karea irisa dari eleme Y adalah kosog, berdasarka dalil De Morga (Teorema..7), maka G adalah cover buka pada ruag X. Karea X kompak, maka G memiliki subcover higga. Dega kata lai terdapat himpua A, A,..., A di Y sedemikia sehigga { } X A X A X A adalah cover di X. Berdasarka dalil De Morga maka \, \,..., \ A A... A = φ. Artiya Y tidak memiliki fiite itersectio property. ( ) Misal B sebarag cover buka dari X da F { X \ U U B} = adalah keluarga himpua tutup dari X. Karea B cover dari X, maka berdasarka dalil De Morga diperoleh bahwa irisa dari seluruh aggota Y adalah kosog. Ii berarti Y tidak memiliki fiite itersectio property. Dega kata lai ada himpua buka U, U,..., U di B sedemikia sehigga ( ) ( ) ( ) X U X U X U = φ. Berdasarka dalil De Morga diperoleh \ \... \ ( ) ( ) ( ) U U U = X. Dega kata lai B memiliki subcover higga di... X, selajutya terbukti bahwa X kompak

10 7 Teorema 3..9 Teorema Tychooff Hasil Kali Topologi dari keluarga ruag kompak adalah kompak. Bukti : Misal Y = { X M} adalah sebuah keluarga dari ruag kompak da misalka X merupaka hasil kali topologi dari keluarga Y. Aka dibuktika kekompaka dari X, dega membuktika jika U adalah sebuah keluarga dari himpua-himpua bagia dari X yag memiliki fiite itersectio property, { Cl B B } I U φ (Teorema 3..7). maka ( ) Misal V kelas dari semua keluarga dari himpua-himpua bagia dari X yag mempuyai fiite itersectio property, maka berdasarka defiisi..9 kelas V ii adalah fiite character. Berdasarka Lemma Tukey (Lemma..0) ada sebuah aggota maksimal dari V yag memuat keluarga U yag diberika. Tapa meguragi keumuma, diasumsika bahwa U itu sediri adalah aggota maksimal dari kelas V. Dari kemaksimala U, itu berarti bahwa irisa dari aggota-aggota setiap keluarga-keluarga bagia higga dari U adalah aggotau. Selai itu, jika sebuah himpua bagia E dari X beririsa dega setiap aggota dari U, maka E juga merupaka aggota dari U. p Sekarag, diberika M da proyeksi : X, X misalka keluarga ( ) { p B B } U = U adalah himpua bagia dari X, maka U memiliki fiite itersectio property. Karea X kompak, { } H = I Cl p B B U φ. berdasarka teorema 3..7, ( ) Pilih sebuah eleme x H utuk setiap M. maka -ya ( ) Misalka x adalah eleme dari hasil kali topologi X yag koordiat ke- x adalah x X. Aka dibuktika bahwa x Cl ( B) utuk setiap B U.

11 8 Utuk tujua ii, aggap sebarag subbasic himpua buka U dari X yag memuat titik x, dega M da U adalah sebuah himpua buka dari X memuat titik x. Karea x Cl p ( B) utuk setiap B U, ii berarti bahwa U beririsa p ( B) utuk setiap B U. Dega demikia, himpua ( ) U p U bahwa = beririsa setiap aggota B dari U. Dari kemaksimala U U termasuk U, da irisa dari sebarag berhigga subbasic himpua buka yag memuat x adalah aggota dari U. Akibatya setiap persekitara dari x di X beririsa dega setiap aggota B U. Kosekuesiya, x Cl(B) utuk setiap persekitara dari x di X beririsa dega B, utuk setiap B U. Dega kata lai x Cls ( B), B U. Akibatya ( ) { Cl B B } I U φ. Berdasarka teorema 3..7 diperoleh hasil kali topologi dari keluarga dari ruag yag kompak adalah kompak. Teorema 3..0 Teorema Heie Borel Misalka K himpua bagia dari. K adalah kompak jika da haya jika K tutup da terbatas Bukti : ( ) Aka ditujukka K tutup da terbatas Misalka K kompak, artiya utuk setiap cover buka V dari K, maka ada sub cover higga W V sedemikia sehigga W cover dari K.

12 9 Misal H : ( m, m) m = utuk m, maka H m buka da U K H = m= m. Dega kata lai = { Hm m } _ adalah cover buka dari K. Karea K kompak maka _ memiliki berhigga subkoleksi sedemikia sehigga M U m M (, ) utuk suatu M. Ii berarti K terbatas K H = H = M M m= Selajutya aka ditujukka bahwa K tutup dega meujukka \K buka. Misalka u \ K, da didefiisika himpua G : = y : y u > utuk. Diperoleh G tidak memuat u utuk. Selajutya G dapat dibuat mejadi betuk G = y y > u y < u +, dega G = y y > u, G = y y < u + da G = G G. Aka dibuktika G buka dega membuktika ) UtukG = y y > u. G, G buka. Ambil sebarag a G, misal a u =, maka ( a, a ) + adalah persekitara yag memuat a. Karea a > u, maka ( a, a + ) G. Akibatya ( a, a ) + adalah persekitara dari a. Karea utuk sebarag ada persekitara ( a, a ) a G + sedemikia a a + G, maka, sehigga ( ) G buka.

13 30 ) UtukG = y y < u +. Ambil sebarag b G, misal b u =, maka ( b, b ) + adalah persekitara yag memuat b. Karea b + < u +, maka ( b, b + ) G. Akibatya ( b, b ) + adalah persekitara dari b. Karea utuk sebarag ada persekitara ( b, b ) b G + sedemikia b b + G, maka, sehigga ( ) G buka. Dari ) da ) diperoleh kesimpula bahwa G buka utuk. Klaim { u} \ = G = U. Karea u K maka K U G. Selajutya karea K = kompak akibatya ada m sedemikia sehigga m U m. = K G = G Dari defiisi G diperoleh bahwa K u, u + =φ da iterval m m u, u + \ K. m m Karea utuk u \ K ada persekitara u, u + m m sedemikia sehigga u, u + \ K, maka \K buka akibatya K tutup m m Terbukti bahwa K terbatas da tutup. ( ) Aka ditujukka bahwa K kompak

14 3 Misalka K tutup da terbatas da G = { g a } cover buka dari K. Aka dibuktika dega kotradiksi dega megadaika bahwa K tidak kompak. Artiya utuk setiap m maka K m U ga. a= Dari pemisala K terbatas maka ada 0 r > sedemikia sehigga K [ r, r]. ' Misal I := [-r,r], I dibagi mejadi dua sub-iterval tutup I [ r ] : =,0 da [ r] '' I : = 0,, maka K I φ atau ' K I φ. " Jika K I φ, maka ada ' z K I I. Karea ' m ' K I U ga, m maka a= ambil I : = I kemudia I dibagi mejadi dua subiterval tutup ' ' I da " I. Jika ' K I tidak kosog maka ada z K I I. Karea ' K I g, m ' m U a= a maka ambil I : = I. Dega melajutka sampai kali aka diperoleh barisa " 3 iterval tutup bersarag ( I ). Berdasarka Nested Iterval Property (Teorema..8) diperoleh, ada titik z sedemikia sehigga z I,. Karea utuk setiap iterval I ada z sedemikia sehigga z I dimaa z z maka z adalah titik akumulasi dari K. Karea K tutup dari teorema..5 diperoleh z K, oleh karea itu ada himpua g λ di G dega z g λ. Karea g λ buka, ε > sedemikia sehigga ( ε, ε ) ada 0 diperoleh dega membagi dua I [ r r] z z + g λ. Dilai pihak karea iterval I : =, secara berulag-ulag diperoleh r r pajag dari iterval I adalah, utuk yag cukup besar, < ε maka

15 3 ( ε, ε ) I z z g λ +. Artiya jika cukup besar sedemikia r sehigga < ε, maka K I termuat di satu himpua g λ di G. Kotradiksi dega pegadaia, maka haruslah K termuat di berhigga gabuga himpua di G. Dega kata lai K haruslah kompak Akibat 3.. Setiap hasil kali topologi M I dari uit iterval tutup [ 0,] I = adalah ruag Hausdorff yag kompak Bukti : Dari Teorema Heie-Borel (Teorema 3..0) diperoleh bahwa I kompak, Dari Teorema Tychooff (Teorema 3..9) jika I kompak maka M I kompak da dari teorema 3..4 diperoleh I ruag Hausdorff. Dari teorema 3..6 jika I ruag Hausdorff maka Hausdorff yag kompak M I ruag Hausdorff. Artiya hasil kali topologi M I adalah ruag 3.3 Ruag Reguler Legkap Pada pasal ii aka dibuktika bahwa ruag ormal adalah ruag reguler. Defiisi 3.3. Ruag X dikataka regular legkap di titik p dari X jika da haya jika, utuk setiap ligkuga N dari p di X, ada fugsi kotiu χ : X I Sedemikia sehigga χ ( p) = 0 da ( X N ) χ \ =.

16 33 Ruag X dikataka ruag regular jika da haya jika regular legkap di setiap p X. Berikut aka dibuktika Lemma Urysoh yaitu jika X ormal maka X adalah reguler legkap, amu aka dibuktika beberapa teorema yag aka diguaka pada pembuktia Lemma Urysoh Teorema 3.3. Ruag X ormal jika da haya jika utuk setiap himpua tutup F da himpua buka H yag memuat F ada himpua buka G sedemikia sehigga F G Cls( G) H Bukti : ( ) Misal X ormal da F H, dega F tutup da H buka. Maka X \ H tutup, da F X \ K = φ. Karea X ormal maka ada himpua buka G, G sedemikia sehigga G G = φ maka F G X H G, \ da G X G G G = φ...() \. Dari defiisi closure diperoleh ( ) \ G Cls G X G () X \ H G maka X \ G H...(3) dari (), () da (3) diperoleh ( ) \ maka ( ) F G Cls G X G H F G Cls G H

17 34 Terbukti Jika X ruag ormal maka utuk setiap himpua tutup F da himpua buka H yag memuat F ada himpua buka G sedemikia sehigga F G Cls( G) H. ( ) Misal utuk setiap himpua tutup F da himpua buka H yag memuat F ada himpua buka G sedemikia sehigga F G Cls( G) H. Misal F, F himpua tutup yag disjoit, maka F X \ F dega X \ F buka. Dari pemisala ada himpua buka G sedemikia sehigga ( ) F G Cls G X \ F. ( ) \, maka F X \ Cls( G) da G Cls( G) Cls G X F \ ( ) =, dega X \ ( ) G X Cls G φ Cls G buka., maka Diperoleh utuk setiap himpua tutup F, F yag disjoit ada himpua buka G da X \ Cls ( G) sedemikia sehigga \ ( ) ormal G X Cls G = φ, akibatya X Teorema Jika D himpua bilaga dyadic pada uit iterval [ 0,] yaitu D = 0,,,,,,,,,...,,..., Bukti:, maka D padat di [ 0, ] Aka dibuktika D padat di [ 0, ] dega meujukka setiap iterval buka ( a, a + ) dega pusat di sebarag a [ 0,] memuat eleme D. Perhatika

18 35 bahwa lim 0 = 0, maka ada q = sedemikia sehigga 0 < <. Kemudia q perhatika iterval 3 q q q 0,,,,,,...,,,, q q q q q q q q, maka q k k + 0, =, k = 0 q q [ ] U. Karea a [ 0, ] k k +, a termuat disalah satu iterval, q q, misal m m + a, q q yaitu m m + m + h a, artiya a =, 0 h, dilai q q q pihak + l < =,0 < l, l akibatya ( m + h) ( + l) = ( m + h ) l < m. q q Dega kata lai m a < da q m a a q < +. Diperoleh m a < < a +, q dega m q D. Diperoleh kesimpula, sebarag iterval buka ( a, a + ) memuat eleme D yaitu m q, maka D padat di [ 0, ] Lemma Lemma Urysoh Jika A da B dua buah himpua tutup yag disjoit pada ruag ormal X, maka ada fugsi kotiu χ : X I sedemikia sehigga χ ( A) = 0 da χ ( B) = Bukti : Dari hipotesis bahwa A B = φ, maka A X \ B. Karea B tutup maka X \ B buka da X \ B memuat A dimaa A tutup. Dari teorema 3.3.

19 36 dijami keberadaa Karea U buka da ( ) U sedemikia sehigga ( ) Cls U tutup, maka ada 4 ( ) ( ) ( ) A U Cls U X \ B. U, U 3 sedemikia sehigga 4 A U Cls U U Cls U U Cls U X \ B. Dega melajutkaya, diperoleh himpua keluarga F { Ut t D} jika t, t D da t t < maka Cls ( Ut ) Didefiisika fugsi χ : X I yaitu : χ ( x) Karea A U, t D t { } U t if t : x Ut utuk x B = utuk x B = yag memiliki sifat maka χ ( A) = 0. Dari defiisi χ diperoleh ( B) χ =. Selajutya aka dibuktika χ kotiu. Dari teorema.3.3 χ kotiu jika ivers dari himpua subbasic [ 0,a) da (,] Aka dibuktika χ [ 0, a) = { U : t < a} U b adalah himpua buka di X. i). Misal x χ [ 0, a), maka χ ( x) [ 0, a) yaitu χ ( ) padat di [ 0, ], maka ada tx kata lai ( ) { } t 0 x < a. Karea D D sedemikia sehigga χ ( x) < tx < a. Dega x U t χ x = if t : x Ut < tx < a. Karea x dimaa t x U { t : }. Karea x sebarag maka χ [ 0, a ) { U : t < a } t x U t < a < a, maka U.

20 37 U ii). Misal y { U : t < a} t, maka ada t y D sedemikia sehigga t y y U ty, oleh karea itu ( ) { } y < a da χ y = if t : y Ut < ty < a. Akibatya χ [ 0, a). Dega kata lai χ [ 0, a) { U : t < a} U Dari i) da ii) diperoleh χ [ 0, a) = { U : t < a} t < a maka χ [ 0, a) = U { Ut : t < a} U t. Karea t t U buka utuk { t } χ b, = U X \ Cls U : t > b Aka dibuktika ( ] ( ) iii) Misal x χ ( b,], maka χ ( x) ( b,] yaitu b χ ( x) padat di [ ] 0,, maka ada t, t D <. Karea D sedemikia sehigga b t t χ ( x) < < <. χ x = if t : x Ut > t. Jadi Dega kata lai ( ) { } x G t. Perhatika jika t < t maka Cls ( Gt ) Gt. Karea maka x Cls ( G t ) x G t artiya ( ) x X Cls G dimaa t \ t x sebarag, ( ] ( ) iv). Misal ( ) t y U { t } > b. Akibatya x X \ Cls( U ): t > b { t } χ b, U X \ Cls U : t > b { \ t : } y U X Cls U t > b, maka ada t y > b da y X \ Cls ( U ty ) atau megakibatka Ut Ut Cls y ( Uty ). Karea D sedemikia sehigga y U ty. Dilai pihak utuk t < t y maka y Ut utuk t < t y. Oleh karea itu χ ( y) = { t y U } t > b, megakibatka y χ ( b,] if : t y { t } χ b, U X \ Cls U : t > b sebarag maka ( ] ( ) ( ). Karea y

21 38 { t } dari iii) da iv) diperoleh kesimpula ( ] ( ) χ b, = U X \ Cls U : t > b. Karea { t } X \ Cls ( Ut ) buka utuk t > b, maka ( ] ( ) χ b, = U X \ Cls U : t > b buka Karea gabuga dari setiap himpua buka adalah buka, maka ( b,] { X \ Cls ( U t ): t b U } gabug χ [ 0, a ) = { U t : t < a } χ = > buka. Dari teorema (.3.3) diperoleh χ kotiu. U adalah Terbukti jika A da B dua buah himpua tutup yag disjoit pada ruag ormal X, maka ada fugsi kotiu χ : X I Sedemikia sehigga χ ( A) = 0 da χ ( B) =