PENGENDALIAN OPTIMAL PADA MODEL KEMOPROFILAKSIS DAN PENANGANAN TUBERKULOSIS

Transkripsi

1 PENGENDALIAN OPTIMAL PADA MODEL KEMOPROFILAKSIS DAN PENANGANAN TUBERKULOSIS Ole: Citra Dewi Ksma P Dosen pembimbing: DR. Sbiono, MSc.

2 Latar Belakang PENDAHULUAN Penyakit Tberklosis TB adala penyakit menlar yang disebabkan ole bakteri Mycobacterim Tberklosis Mtb. Dalam penanganan pasien penderita TB, perawatan tidak lengkap dapat menyebabkan penyakit tersebt kamb, tetapi kamb dapat jga terjadi pada pasien yang mengambil pengobatan pen dan dinyatakan semb

3 Dalam tgas akir ini, dibaas tentang analisis ketnggalan dan penyelesaian kontrol optimal dari kemoprofilaksis, kontrol penanganan penderita TB, dan kontrol penanganan pada penderita TB yang kamb ntk mengrangi jmla individ yang terinfeksi TB laten dan aktif.

4 Rmsan Masala Permasalaan yang dibaas dalam tgas akir ini dengan adala: Bagaimana menentkan optimal kontrol dari kemoprofilaksis, kontrol penanganan TB, dan kontrol pada kambnya penyakit TB. Bagaimana asil simlasi nmeriknya dengan menggnakan software MATLAB. Batasan Masala Kontrol yang dapat diterima disimbolkan dengan dalam keadaan terbatas dan kontin pada Sistem dalam keadaan terkontrol dan lama perawatan pada interval wakt tertent. State dalam keadaan kontin.

5 Tjan Tjan yang dicapai dalam tgas akir ini antara lain: Mendapatkan kontrol optimal dari kemoprofilaksis, kontrol penanganan TB, dan kontrol pada kambnya penyakit TB seingga dapat mengrangi jmla individ yang terinfeksi TB laten dan aktif. Mengetai asil simlasi nmerik dari model TB yang diberikan dengan menggnakan software MATLAB. Manfaat Manfaat dari penelitian ini adala agar piak/badan keseatan dapat mengetai penanganan TB dan kemoprofilaksis secara optimal.

6 TINJAUAN PUSTAKA Model Optimal Kontrol kemoprofilaksis dan Penanganan Tberklosis

7 : Meminimalkan performance index berikt: Dengan: f: individ yang rentan tertlar TB :infeksi laten :gejala TB :penyemban dari penyakit :laj rekrtmen :tingkat individ aktif yang tertlar :tingkat kematian alami :probabilitas infeksi akan memaski tingkat laten

8 : k: p: d: q: :modifikasi parameter :tingkat kemajan alami TB aktif :penanganan ntk infeksi laten :modifikasi parameter :tingkat penyemban alami :penanganan teradap infeksi :tingkat TB penyebab kematian :laj penyakit yang kamb :kontrol kemoprofilaksis :kontrol penanganan :kontrol penyakit yang kamb :wakt akir :penyeimbang faktor biaya

9 Fngsi Lipscitz Definisi 3.1 [] Misalkan A dan f : A jika terdapat bilangan positif sedemikian ingga L f x f L x 6 ntk setiap x,, A maka f dikatakan fngsi Lipscitz memeni kondisi Lipscitz pada. A

10 Masala Optimal Kontrol Pada prinsipnya, tjan dari optimal kontrol adala menentkan signal yang akan diproses dalam plant dan memeni konstrain fisik. Kemdian, pada wakt yang sama dapat ditentkan ekstrim maksimm/minimm yang sesai dengan kreteria performance index. Gambar 4.1 Skema Kontrol

11 Pada gambar tersebt masala kontrol optimal adala mendapatkan kontrol optimal, tanda * menyatakan kondisi optimal yang akan mendorong dan mengatr plant C dari keadaan awal sampai keadaan akir dengan beberapa konstrain pada kontrol dengan keadaan dan wakt yang sama dapat ditentkan ekstrim berdasarkan performance index yang diberikan. Berarti secara mm, formlasi yang dapat diberikan pada permasalaan optimal kontrol [5]: Mendiskripsikan secara matematik artinya diperole metode matematika dari proses terjadinya pengendalian secara mm dalam bentk variabel keadaan. Spesifikasi dari performance index. Menentkan kondisi batas dan konstrain fisik pada keadaan state dan ata kontrol.

12 Prinsip Maksimm Pontryagins dengan Kontrol Terbatas Prinsip maximm merpakan sat kondisi seingga dapat diperole penyelesaian kontrol optimal yang sesai dengan tjan memaksimalkan performance index. Hal ini, tela dikembangkan pada tan 1950 ole L. S. Pontryagin dan rekan kerjanya, yang diaplikasikan ntk sema masala kalkls variasi [6]. Diberikan permasalaan dengan sat kontrol yang terbatas sebagai berikt [4]: max t 1 t 0 f x,, t dt Hamiltonian adala dengan kendala x g x,, t x t0 x a b 0 H f x,, t g x,, t Spaya optimal jika memeni persamaan H 0 jika a b

13 dengan Persamaan keadaan State dan Co- State x H H x Metode beda ingga Jika x maka trnan pertama dari teradap x didefinisikan

14 Kemdian deret Taylor 1. x d x x 1! dx diekspansikan menrt d! dx x x.... d x x x o dx x x d dx Persamaan 9 disebt persamaan beda ingga maj. d x x 1! dx d! dx x x... d x x x o dx x x d dx Persamaan 11 disebt persamaan beda ingga mndr.

15 3. Jika persamaan 8 dikrangi dengan persamaan 10, maka Persamaan 13 disebt persamaan beda ingga tenga. 4. Jika persamaan 8 ditambakan dengan persamaan 10, maka... dx d x x o dx d x x dx d x x... dx d x x x o dx d x x x dx d x x x

16 Beda ingga memiliki tiga tipe syarat batas: Syarat batas Diriclet, adala syarat batas pada kondisi awal dan kondisi akir. conto : dan Syarat batas Nemann, adala syarat batas ntk kondisi akir dari trnan pertamanya. d dx conto : 0 0 dan d dx 1 Syarat batas Robbins, adala syarat batas ntk kondisi awal ata akir dan pada trnan pertamanya. d d 1 1 dx 3 dx conto : ata 0

17 Pembaasan dan Hasil Penyelesaian Kontrol Optimal Untk mendapatkan penyelesaian kontrol optimal dari persamaan 1,, 3, dan 4 dignakan Prinsip Maksimm Pontryagin. Metode ini merpakan pengembangan dari masala kalkls variasi. Hamiltonian yang terbentk adala:

18 Persamaan co-state dapat diperole dari Seingga Variabel co-state

19 Berdasarkan prinsip optimm didapatkan Seingga diperole dan

20 ,,,,,,,,,,, Analisis ketnggalan solsi sistem persamaan diferensial Andaikan dan adala da solsi yang berbeda dari sistem persamaan diferensial. Dengan dan

21 Untk m>0, berarti dapat diperole bentk kontrol optimal dan

22 Dengan menggnakan teorema Lipscitz sedemikian ingga dapat diperole: dan Untk Seingga dapat diperole Dilakkan cara yang sama pada state dan costate lainnya dan jga pada solsi yang keda. Kemdian dilakkan pengrangan pada persamaan tersebt dan kemdian diintegralkan menjadi

23 Mengingat lama perawatan dibatasi pada selang wakt tertent maka solsi yang diasilkan pada sistem Hamiltonian adala terbatas, berarti terdapat sat konstanta positif seingga diperole Demikian jga pada pengrangan yang lain dilakkan al yang sama. Kemdian jmlakan delapan penyelesaian tersebt seingga diperole

24 Maka Berarti jika dipili dan Maka arsla seingga menjadi jadi penyelesaian dari sistem adala tnggal.

25 Simlasi Nmerik Persamaan state diselesaikan dengan menggnakan metode beda ingga maj

26 Persamaan co-state diselesaikan dengan menggnakan metode beda ingga mndr

27 kontrol kontrol Wakt tan Gambar 7.1 simlasi kontrol kemoprofilaksis Wakt tan Gambar 7. simlasi kontrol penanganan TB

28 kontrol 3 jmla individ yang terinfeksi TB laten dan aktif Wakt tan Gambar 7.3 simlasi kontrol penanganan TB yang kamb dengan kontrol tanpa kontrol Wakt tan Gambar 7.4 perbandingan jmla individ yang terinfeksi TB laten dan aktif antara pemberian kontrol pada sistem dengan tanpa kontrol

29 Pada gambar 7.4 mennjkkan bawa sistem yang diberi kontrol 1,, dan 3 memberikan perbedaan yang signifikan pada wakt setela 5 tan dengan sistem yang tanpa kontrol. Jmla individ yang terinfeksi laten dan aktif pada sistem tanpa kontrol adala 593 orang sedangkan pada sistem dengan kontrol adala 19 orang. Hal ini berarti bawa kontrol kemoprofilaksis 1, kontrol penanganan penderita TB, dan kontrol penanganan pada penderita TB yang kamb 3 dapat mengrangi jmla individ yang terinfeksi laten dan aktif.

30 Kesimplan dan Saran Kesimplan Dari analisis yang dilakkan pada model tberklosis, maka dapat diperole sebagai berikt : Pada analisis kontrol optimal dapat diketai bawa bentk kontrol optimal yang diperole dari model tberklosis adala

31 dengan: : kontrol kemoprofilaksis : kontrol penanganan TB : kontrol penanganan TB yang kamb : penanganan ntk infeksi laten : penanganan teradap infeksi : laj penyakit yang kamb q : individ yang terinfeksi TB laten : individ yang terinfeksi TB aktif : individ yang semb dari TB : faktor penyeimbang biaya

32 Hasil simlasi nmerik mennjkkan bawa kontrol kemoprofilaksis 1, kontrol penanganan TB, dan kontrol pada TB yang kamb 3 dapat mengrangi jmla individ yang terinfeksi TB laten dan aktif. Saran Saran dari Tgas Akir ini adala dapat dicari kontrol ntk penyakit yang lain, seingga dapat meminimalkan ata mengrangi jmla penderita penyakit tersebt.

33 DAFTAR PUSTAKA [1]AgstoF.B.OptimalCemopropylaxis And Treatment Control Strategies Of A Tberklosis Transmission Model. World Jornal Of Modelling And Simlation, 009, 53: []Bartle, R.G., dan Serbert, D.R., Introdction to Real Analysis. Singapore: Jon Willy & Sons. [3]Gerald, C.F.1994.Apllied Nmerical Analysis.Polytecnic State Univercity, California. [4]Kamien, M. I dan Scwarz, N. L Dynamic Optimization: te calcls of variations and optimal control in economics and management. Nort-Holland. Amsterdam. [5]Naid, D. S., 00. Optimal Control Systems. USA: CRC Presses LCC. [6]Pontryagin, L.S, Boltyanskii, V. G, Gamkrelidze, R. V, and Miscenko, E.F Te Matematical Teory Of Optimal Processe. Wiley, New York.