Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR"

Transkripsi

1 Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Ole : Tony Hartono Bagio 00

2 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio KATA PENGANTAR Kalkulus Dasar adala sala satu mata diskusi di Fakultas Ilmu Komputer Universitas Narotama, buku ini merupakan modul untuk menunjang mata kulia tersebut, diarapkan buku ini menjadi buku pegangan bagi maasiswa sebagai modul (and out) untuk melengkapi isi dari modul ini, saya arap para maasiswa membaca buku-buku lain yang sejenis, karena modul (and out) ini sangat jau dari sempurna. Modul / and out dari ttp://blog.uad.ac.id/aris_tobirin/files/008//.pdf,.pdf : terdiri dari 7 files, yakni : kalkulus-diktat.pdf Bab. Pendauluan. kalkulus-diktat.pdf Bab. Fungsi dan Limit (Sub bab. s/d.3) kalkulus-diktata.pdf Bab. Fungsi dan Limit (Sub bab.4 s/d.7) kalkulus-diktat3.pdf Bab 3. Turunan Fungsi. kalkulus-diktat.pdf Bab 4. Integral kalkulus-diktat.pdf Bab 5. Integral Tertentu (Sub bab 5. s/d 5..5) kalkulus-diktat3.pdf Bab 5. Integral Tertentu (Sub bab 5..6) Dari ke 7 files diatas, digabung menjadi satu, dan dapat di download langsung dari ttp://tonyartonobagio.blogspot.com/00//modul-mata-kulia.tml, pili Kalkulus Dasar, muda-mudaan modul/and out ini dapat berguna bagi semua maasiswa, Pembagian diskusi ini dibagi dalam 4 kali pertemuan, yang terdiri dari : I. PENDAHULUAN Sistem Bilangan Real Operasi Bilangan Urutan Pertidaksamaan Nilai Mutlak II. FUNGSI dan LIMIT Fungsi dan Grafik Operasi pada Fungsi Pengertian Limit III. FUNGSI dan LIMIT Teorema Limit Limit Kiri dan :Limit Kanan Limit Tak Hingga Kekontinuan Fungsi IV. TURUNAN FUNGSI Pengertian Turunan Fungsi Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat V. TURUNAN FUNGSI i

3 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio Sifat - Sifat Turunan Aturan Rantai VI. TURUNAN FUNGSI Turunan Fungsi Invers Turunan Fungsi Implisit Turunan Tingkat Tinggi VII. TURUNAN FUNGSI Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden Turunan Fungsi Parameter VIII. UJIAN TENGAH SEMESTER IX. INTEGRAL Rumus Dasar Integral dengan Subsitusi X. INTEGRAL Integral Parsial Integral Arcus Tangen dan Logaritma XI. INTEGRAL Fungsi Peca Rasional Keadaan N() D () Keadaan derajat N() derajat D() Keadaan Derajat N() < Derajat D() XII. INTEGRAL Fungsi Trigonometri Rumus-rumus Sederana Bentuk R(sin ) cos d dan R(cos ) sin d Integral dengan memperatikan rumus-rumus XIII. INTEGRAL Fungsi Trigonometri Substitusi y tan (/) Integral R(tan ) Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri XIV. INTEGRAL Fungsi Irrasional Rumus Penting Bentuk Irrasional Satu Suku Satu-satunya Bentuk Irrasional Subsitusi Trigonometri XV. INTEGRAL TERTENTU Pengertian Integral Tertentu Aplikasi Integral XVI. UJIAN AKHIR SEMESTER ii

4 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio Angka Romawi diatas, merupakan jadwal pertemuan, termasuk jadwal Ujian, baik UTS (Ujian Tenga Semester) maupun UAS (Ujian Akir Semester), sedang jadwal tugas tidak tercantum diatas, melainkan tergantung dari situasi. Bila para pembaca sekalian ingin memberi tambaan, koreksi atau penyempurnaan, penulis mengaturkan terima kasi sebelumnya, karena modul ini pasti akan menjadi lebi bermanfaat. Atas peratiannya dalam membaca modul ini, penulis mengucapkan terima kasi. Narotama, 0 November 00 Tony Hartono Bagio Dosen Fakultas Ilmu Komputer Universitas Narotama Surabaya iii

5 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio DAFTAR ISI Kata Pengantar... Daftar Isi... Hal i iv. PENDAHULUAN.... Sistem Bilangan Real.... Operasi Bilangan Urutan Pertidaksamaan Nilai Mutlak FUNGSI dan LIMIT.... Fungsi dan Grafik.... Operasi pada Fungsi Pengertian Limit Teorema Limit Limit Kiri dan :Limit Kanan Limit Tak Hingga Kekontinuan Fungsi TURUNAN FUNGSI Pengertian Turunan Fungsi Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat Sifat - Sifat Turunan Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi) Turunan Fungsi Invers Turunan Fungsi Implisit Turunan Tingkat Tinggi Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden Turunan Fungsi Rasional Turunan Fungsi Irrasional Turunan Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Siklometri Turunan Fungsi Logaritma Turunan Fungsi Eksponensial Turunan Fungsi Hiperbolik iv

6 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio 3.9 Turunan Fungsi Parameter INTEGRAL Rumus Dasar Integral dengan Subsitusi Integral Parsial Integral yang Mengasilkan Arcus Tangen dan Logaritma Integral Fungsi Peca Rasional Keadaan N() D () Keadaan derajat N() derajat D() Keadaan Derajat N() < Derajat D() Integral Fungsi Trigonometri Rumus-rumus Sederana Bentuk R(sin ) cos d dan R(cos ) sin d Integral dengan memperatikan rumus-rumus Substitusi y tan (/) Integral R(tan ) Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri Integral Fungsi Irrasional Rumus yang perlu diafal Bentuk Irrasional Satu Suku Satu-satunya Bentuk Irrasional Subsitusi Trigonometri INTEGRAL TERTENTU Pengertian Integral Tertentu Aplikasi Integral Luas Daera Volume Benda Putar Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Usaa atau Kerja Momen dan Pusat Massa (Titik Berat) v

7 PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang paling sederana adala bilangan asli, yaitu,, 3,... Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat mengitung banyaknya buku yang kita miliki, kendaraan yang melalui suatu jalan, orang-orang yang berada dalam suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi N {,, 3, 4, } Jika di dalam impunan semua bilangan asli kita tambakan semua negatifnya dan nol, maka diperole bilangan-bilangan bulat, yaitu, 3,,, 0,,, 3, Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. Jadi Z {, 3,,, 0,,, 3, } Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat dan arus listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Dalam al ini bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup. Untuk keperluan ini maka dapat digunakan bilangan-bilangan rasional, seperti,,, dan. Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b a dengan a dan b keduanya bilangan bulat dan b 0. Dengan demikian bilangan-bilangan bulat termasuk bilangan rasional juga. Bilangan bulat 3 merupakan bilangan rasional sebab 3 dapat ditulis sebagai 6. Himpunan semua bilangan rasional biasa dinotasikan dengan Q. Jadi Q { b a a Z, b Z, b 0} Bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup ternyata masi tidak dapat menjadi ukuran semua besaran misalnya panjang sisi miring segitiga siku-siku berikut.

8 Gambar Dengan menggunakan bilangan irrasional maka al tersebut di atas tidak menjadi masala. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adala. Bilangan irrasional yang lain antara lain 3, 5, 3 7, e dan π. Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol bilangan-bilangan real (bilangan nyata). Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Hubungan keempat impunan N, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan N Z Q R dan digambarkan dengan diagram venn berikut. R Q Z N Gambar Masi terdapat sistem bilangan yang lebi luas dari system bilangan real yaitu bilangan yang secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk a b dengan a dan b keduanya bilangan bulat, atau a bi dengan i. Bilangan demikian dinamakan bilangan kompleks dan impunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan C.

9 Dalam buku ini bilangan kompleks tidak dibicarakan lebi lanjut. Jadi, apabila dalam buku ini disebutkan suatu bilangan tanpa keterangan apapun dimaksudkan adala bilangan real.. Operasi Bilangan Pada R tela dikenal operasi penjumlaan dan perkalian. Misalkan dan y bilangan real maka penjumlaan dan y ditulis y dan perkalian dan y ditulis. y atau secara singkat ditulis y. Sifat-sifat operasi penjumlaan dan perkalian pada R adala sebagai berikut. ) Hukum komutatif: y y dan y y. ) Hukum asosiatif: (y z) ( y) z dan (yz) (y)z. 3) Hukum distributif: (y z) y z. 4) Elemen-elemen identitas: Teradap penjumlaan: 0 sebab 0. Teradap perkalian: sebab.. 5) Invers (balikan): Setiap bilangan real mempunyai invers aditif (disebut juga negatif) yang memenui 0 dan setiap bilangan real yang tidak nol mempunyai invers multiplikatif (disebut juga balikan) yaitu yang memenui.. Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan y ( y) dan. y y.3 Urutan Bilangan-bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua impunan terpisa yaitu bilangan-bilangan real positif dan bilangan-bilangan real negatif. Berdasarkan fakta ini diperkenalkan relasi urutan < (dibaca kurang dari ) yang didefinisikan dengan: < y jika dan anya jika y positif. < y mempunyai arti yang sama dengan y >. 3

10 Sifat-sifat urutan: ) Trikotomi: Jika dan y bilangan-bilangan real maka pasti berlaku sala satu di antara yang berikut: < y atau y atau > y. ) Transitif: jika < y dan y < z maka < z. 3) Penambaan: < y z < y z 4) Perkalian: Jika z positif maka < y z < yz Jika z negatif maka < y z > yz Relasi urutan (dibaca kurang dari atau sama dengan ) didefinisikan dengan: y jika dan anya jika y positif atau nol. Sifat-sifat ini adala: ) Transitif: jika y dan y z maka z. ) Penambaan: y z y z 3) Perkalian: Jika z positif maka y z yz Jika z negatif maka y z yz.4. Pertidaksamaan Pertidaksamaan merupakan kaat terbuka yang menggunakan relasi <, >, atau. Penyelesaian suatu pertidaksamaan adala semua bilangan yang memenui pertidaksamaan tersebut yang biasanya merupakan interval atau gabungan intervalinterval. Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut. Interval terbuka (a,b) adala impunan semua bilangan real yang lebi besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) { a < < b}. Sedangkan interval tertutup [a,b] adala impunan semua bilangan real yang lebi besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi [a,b] { a b}. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut. 4

11 Penulisan Interval Penulisan Himpunan Dalam Garis Bilangan (a, b) { a < < b} [a, b] { a b} [a, b) { a < b} (a, b] { a < b} (, b) { < b} (, b] { b} (a, ) { > a} [a, ) { a} (, ) R a a a a a a a a b b b b b b b b Conto Pertidaksamaan ) 7 < 4 ) 5 6 < 4 3) 6 < 0 4) 3 > 0 5 5) Conto Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 7 < 4. Penyelesaian: 7 < 4 < 4 5 < 5 > 5 5 Hp: interval (, ) { > 5 } 5

12 Conto Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 5 6 < 4. Penyelesaian: 5 6 < 4 < < Hp: interval [, ) { < } Conto 3 Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 6 < 0. Penyelesaian: 6 < 0 ( 3)( ) < 0 Hp: interval (, 3) { < < 3} 3 Conto 4 Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 3 > 0 Penyelesaian: 3 > 0 ( )(3 ) > 0 3 Hp: interval (, ) (, ) { < 3 atau > } 3 Conto 5 5 Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan Penyelesaian: ( ) 0 6

13 3 0 ( 3)( ) 0 dengan syarat (mengapa?) Hp: interval (, 3] { < 3} 3.5 Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Ole karena pembaca yang ingin memaami betul konsep-konsep dalam kalkulus disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak. Definisi: Nilai mutlak bilangan real, ditulis didefinisikan dengan jika 0 jika < 0 Misal: 5 5, 5 ( 5) 5, 0 0 Sifat-sifat nilai mutlak ) ab a b ) a b a b 3) a b a b (ketidaksamaan segitiga) 4) a b a b Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat digunakan teorema berikut. 7

14 Teorema:. < a a < < a. > a < a atau > a. Secara fisis dapat menyatakan jarak ke 0, seingga yang memenui < a menyatakan yang jaraknya ke 0 kurang dari a. Secara fisis c dapat menyatakan jarak ke c, seingga yang memenui c < a menyatakan yang jaraknya ke c kurang dari a a a 448 a 0 a 64 7 a a 448 a c a Conto Tentukan penyelesaian < 3. Penyelesaian: Nilai yang memenui 3 < < 3 merupakan penyelesaian pertidaksamaan < 3. Gambarkan penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan. Conto Tentukan penyelesaian pertidaksamaan < 3. Penyelesaian: < 3 3 < < 3 3 < < 3 < < 5 Jadi, penyelesaiannya adala yang memenui < < 5. Gambarkan pada garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini. 8

15 Conto 3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 3 5. Penyelesaian: atau atau atau Jadi, penyelesaiannya adala yang memenui 3 4 atau. Gambarkan pada garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini. Conto 4 Andaikan ε (epsilon) adala bilangan positif. ε Tunjukkan bawa < 5 0 < ε. 5 Penyelesaian: ε < 5 < ε 5 5 < ε 5( ) 5 0 < ε < ε Conto 5 Andaikan ε (epsilon) adala bilangan positif, carila bilangan positif δ sedemikian seingga 3 < δ 6 8 < ε Penyelesaian: 6 8 < ε 6( 3) < ε 6 3 < ε 6 3) < ε ε 3 < 6 Ole karena itu dapat dipili δ 6 ε. 9

16 Secara mundur dapat diliat bawa 3 < δ 6 8 < ε. Terkait dengan bilangan akar pangkat dua dapat dinyatakan bawa SOAL Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan berikut dan gambarkan impunan penyelesaiannya pada garis bilangan < ( )( )(3 7) 0. 6 < < ( 5)( ) ( ) > < > < 3 <. < < 4 9 <. 3 4 < < 5 < < > > > > > 6. 0

17 Buktikan bawa implikasi yang ditunjukkan adala benar 3. 3 < 0, <, 5. ε 3. < 6 < ε. 6 ε < 8 < ε. Dalam soal berikut, jika ε bilangan positif, carila bilangan positif δ sedemikian seingga implikasi yang diberikan benar < δ 3 5 < ε 35. < δ ( 4 5) 3 < ε

18 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI. Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebua fungsi f dari impunan A ke impunan B adala suatu aturan yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut domain (daera asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daera kawan). Sedangkan impunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range (daera asil). f A B Gambar. Fungsi Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa impunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada impunan-impunan bilangan real. Untuk memberi nama fungsi digunakan uruf tunggal seperti f (atau g, atau F), maka f() menunjukkan nilai yang diberikan ole f kepada. Jadi jika f() 3 4, maka Fungsi dan Limit Fungsi

19 f() f( ) ( ) f(a) a 3 4 f(a ) (a ) 3 4 a 3 3a 3a 3 4 Conto Untuk f(), carila dan sederanakan: a. f(4) b. f(4 ) c. f(4 ) f(4) f ( 4 ) f (4) d. dengan 0. Penyelesaian: Conto Untuk f() dengan daera asal {, 0,,, 3}, carila daera asil fungsi f. Penyelesaian: Fungsi dan Limit Fungsi 3

20 Bilamana untuk sebua fungsi daera asalnya tidak dirinci, maka dianggap daera asal fungsi tersebut adala impunan bilangan real seingga aturan fungsinya bermakna dan memberikan nilai bilangan real. Conto 3 a. Daera asal f() 3 adala { R 3}. b. Daera asal g(t) 9 t adala {t R 9 t 0}. Apabila daera asal dan daera asil sebua fungsi merupakan impunan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat, dan grafik fungsi f adala grafik dari persamaan y f(). Conto 4 Buatla sketsa grafik dari: (a) f() 4 (b) g() (c) () Penyelesaian: Fungsi dan Limit Fungsi 4

21 . Operasi pada Fungsi Jika f dan g dua fungsi maka jumla f g, selisi f g, asil kali fg, asil bagi f/g dan perpangkatan f n adala fungsi-fungsi dengan daera asal berupa irisan dari daera asal f dan daera asal g, dan dirumuskan sebagai berikut. (f g)() f () g() (f g)() f () g() (f g)() f () g() f ( ) (f / g)() asalkan g() 0 g( ) Conto 5 Jika f() dan g(), tentukan f g, f g, fg, f/g dan f 3. Selanjutnya gambarla sketsa grafiknya. Penyelesaian: Fungsi dan Limit Fungsi 5

22 Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut. Jika f dan g dua fungsi dengan daera asal g merupakan daera asil f maka komposisi g o f memenui (g o f)() g (f()) Conto 6 Jika f() dan g(), tentukan g o f dan f o g. Selanjutnya gambarla sketsa grafiknya. Penyelesaian: (g o f)() g (f()) g ( ) (f o g)() f (g()) f ( ) ( ) ( ) 4 3 Gambar grrafik dibiarkan untuk latian..3 Pengertian Limit Perkataan it berarti mendekati, seperti Saya suda menaan sampai mendekati batas kesabaran saya, atau Janganla kamu mendekati zina. Untuk memaami pengertian it fungsi kita awali dengan fungsi berikut. 3 f() Fungsi tersebut tidak terdefinisi di sebab di titik ini f() berbentuk 00. Tetapi dapat diselidiki mengenai nilai f() di titik-titik yang dekat dengan ( mendekati ). Peratikan nilai f() untuk beberapa seperti terliat pada daftar dan grafik y f() dapat diliat pada gambar berikut. Fungsi dan Limit Fungsi 6

23 y f(),5 3,83, 3,30,0 3,030,00 3,003? 0,999,997 0,99,970 0,9,70 0,75,33 Gambar. Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bawa f() mendekati 3 apabila mendekati. Secara matematis al tersebut dituliskan dengan 3 3 dan ini dibaca it ( 3 )/ ( ) untuk mendekati adala 3. Dalam conto ini kita mengubungkan it dengan perilaku fungsi dekat dengan, bukannya di. Conto Dengan menggunakan beberapa nilai pendekatan tentukan sin 0 Fungsi dan Limit Fungsi 7

24 Penyelesaian: y sin 0,8447 0,5 0, , 0, ,0 0, ? 0,0 0, , 0, ,5 0, ,8447 Jadi, sin. 0 Ingat kembali mengenai nila mutlak. Jika ε adala sembarang bilangan positif, maka jarak f() ke bilangan L kurang dari ε dapat dinyatakan dalam bentuk: f ( ) L < ε dan ini ekuivalen dengan L ε < f() < L ε yang menunjukkan bawa f() terletak pada interval terbuka (L ε, L ε) seperti terliat pada gambar.3 (a). Selanjutnya misalkan δ adala suatu bilangan positif dan cukup dekat dengan c seingga jarak ke c kurang dari δ, tetapi c maka 0 < c < δ dan ini ekuivalen dengan c δ < < c δ yang berarti terletak dalam interval terbuka (c δ, c δ) dan dapat digambarkan seperti terliat pada gambar.3 (b). Fungsi dan Limit Fungsi 8

25 f() f() L ε L L ε c δ c c δ f ( ) L (a) < ε 0 < c (b) < δ Gambar.3 Gambar-gambar dalam Gambar. dan Gambar.3 diarapkan dapat memudakan kita untuk memaami definisi formal dari it sebagai berikut. Definisi Limit f() untuk mendekati c adala L, ditulis f ( ) L c jika dan anya jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ berlaku f ( ) L < ε. Fungsi dan Limit Fungsi 9

26 Untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ berlaku f ( ) L < ε Gambar.4 Conto Buktikan bawa (3 7) 5 4 Analisis pendauluan: Misalkan ε > 0 sembarang, kita arus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < 4 < δ berlaku ( 3 7) 5 < ε. Peratikan ( 3 7) 5 < ε 3 < ε 3( 4) < ε 3 4 < ε ε 4 < 3 Fungsi dan Limit Fungsi 0

27 Ole karena itu dapat dipili δ 3 ε. Tentu saja dapat dipili bilangan δ yang kurang dari 3 ε. Bukti: ε Ambil sembarang bilangan ε > 0. Kita pili δ > 0, yaitu δ. Apabila 0 < 4 < δ 3 maka berlaku ( 3 7) 5 3 Jadi, terbukti (3 7) ( 4) < 3δ 3. 3 ε ε. Conto 3 3 Buktikan bawa 5 Analisis pendauluan: Misalkan ε > 0 sembarang, kita arus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian 3 seingga apabila 0 < < δ berlaku 5 < ε. 3 Peratikan 5 ( )( ) < ε 5 ( ) 5 < ε ( ) < ε < ε ε < < ε Ole karena itu dapat dipili δ ε atau yang lebi kecil dari ε. Fungsi dan Limit Fungsi

28 Bukti: ε Ambil sembarang ε > 0 dipili δ seingga 0 < < δ berlaku 3 5 ( )( ) 5 ( ) 5 ( ) < δ ε < ε 3 Berarti terbukti bawa 5. Conto 4 Buktikan ( m b) mc b c Analisis Pendauluan: Untuk setiap ε > 0, akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ berlaku (m b) (mc b) < ε. Peratikan: (m b) (mc b) < ε m mc < ε m c < ε ε c < asalkan m 0 m Dapat dipili δ m ε. Bukti: Untuk m 0, bukti cukup jelas. ε Misal m 0. Untuk setiap ε > 0 dipili δ. Ole karenanya jika 0 < c < δ m maka berlaku (m b) (mc b) (m b) (mc b) m mc Fungsi dan Limit Fungsi

29 m c < m m ε ε. Fungsi dan Limit Fungsi 3

30 Conto 5 Buktikan, jika c > 0, maka c c Analisis Pendauluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Peratikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat dipili δ ε c Bukti: Ambil sembarang ε > 0 dipili δ ε c. Ole karenanya jika 0 < c < δ maka c ε c berlaku c < < ε. c c.4 Teorema Limit Teorema.4. Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai it di c, maka: ) k k c ) c c 3) kf ( ) k f ( ) c c Fungsi dan Limit Fungsi 3

31 4) [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) c c c 5) [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) c c c 6) [ f ( ). g( )] f ( ). g( ) 7) 8) c c c f ( ) f ( ) c, asalkan g( ) 0 g( ) g( ) c c n n [ f ( )] f c ( ) c c 9) n f ( ) n f ( ), asalkan f ( ) > 0 untuk n bilangan genap. c c c Bukti teorema.4. ini dibiarkan untuk latian. Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai it suatu fungsi akan menjadi lebi muda. Conto 6 Carila 5 3 Penyelesaian: 5 teorema.. 3) teorema.. 8) 3 5(3) teorema.. ) 45. Conto 7 3 Carila (5 0) Penyelesaian: (5 0) 5 0 teorema.. 5) 45 0 teorema.. ) 5. Fungsi dan Limit Fungsi 4

32 Conto 8 Carila Penyelesaian: 3 teorema.. 7) teorema.. ) dan 9) 5 3 dari conto Ingat, bentuk f ( ) a a a... a polinom disebut fungsi rasional, b a a b b n a n disebut polinom dan asil bagi... a... b n m n m. Teorema.4. ) Jika f fungsi p olinom maka f ( ) f(c) c ) Jika f fungsi rasional maka f ( ) f(c) asalkan nilai penyebut di c tidak nol. c Teorema.4. ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema.4.. Dengan adanya teorma.4. maka penentuan nilai it fungsi polinom atau fungsi rasional menjadi sangat muda, tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut untuk fungsi rasional dipenui. Fungsi dan Limit Fungsi 5

33 Conto 9 5 Tentukan Penyelesaian: () 5 0() 4 3() 6 44 Conto 0 Tentukan Penyelesaian: () 5 0() 3() 4 3() 6 6() Conto Tentukan Penyelesaian: ( ) Teorema.4. tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di adala nol dan teorema.4. bagian 7) juga tidak dapat dugunakan karena it penyebut nol. Tetapi, karena it pembilang, maka selama mendekati terjadi pembagian bilangan yang dekat dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adala sebua bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekeendak kita dengan membiarkan cukup dekat dengan. Dalam al ini dikatakan itnya tidak ada. Conto seperti ini akan diuraikan lebi lanjut pada bagian lain. Conto 3 0 Tentukan 6 Penyelesaian: Sebelum mencoba mengambil itnya terlebi daulu diadakan penyederanaan pecaan dengan faktorisasi. 3 0 ( )( 5) 6 ( )( 3) Fungsi dan Limit Fungsi 6

34 Teorema.4.3 (Teorema Apit) Misalkan f, g dan adala fungsi-fungsi dengan f() g() () untuk setiap di sekitar c, kecuali mungkin di c. Jika f ( ) ( ) L, c g( ) c c maka L. Bukti: Diberikan bilangan ε > 0 Karena Karena c f ( ) L, berarti terdapat bilangan δ > 0 sedemikian ingga 0 < c < δ f() L < ε L ε < f() < L ε. ( ) L, berarti terdapat bilangan δ > 0 sedemikian ingga c 0 < c < δ () L < ε L ε < () < L ε Dipili δ min{δ, δ } Apabila 0 < c < δ maka berlaku L ε < f() g() () < L ε L ε < g() < L ε g() L < ε Terbukti g( ) L. c Conto 3 Dapat diselidiki bawa 6 tidak 0. Tunjukkan bawa sin 0 sin. untuk semua yang mendekati tetapi Fungsi dan Limit Fungsi 7

35 Penyelesaian: Misalkan f() sin, g(), dan (), maka f ( ) 6 0 dan ( ) 0, seingga diperole sin sin Berdasarkan teorema.4.3 maka dapat disimpulkan sin. 0 SOAL. Untuk fungsi f() 3 3, itungla masing-masing nilai a. f() c. f( ) b. f( 6) d. f( ) t. Untuk fungsi g(t) t, itungla masing-masing nilai a. f() c. f( 4 ) b. f(9) d. f( ) 4 3. Gambarla grafik fungsi 4, a. f ( ) b. 3, > g( ),,, 0 0 < < 4. Jika f() dan g(), tentukan: 3 a. (f g)() d. (f / g)() b. (f g)() e. (g o f)() c. (f g)() f. (f o g)() 5. Jika f() dan g(), tentukan: Fungsi dan Limit Fungsi 8

36 a. (f g)() d. (f o g)() b. (f / g)() e. f 4 () g 4 () c. (g o f)() Dalam soal nomor 6 0, buktikan it-it tersebut. 6. (3 7) 3 7. ( 4) Buktikan bawa jika f ( ) L dan f ( ) M, maka L M. c. Misalkan F dan G adala fungsi-fungsi sedemikian seingga 0 F() G() untuk semua dekat dengan c, kecuali mungkin di c, buktikan bawa jika G( ) 0 maka F( ) 0. c c Untuk soal-soal berikut (no. 3 s.d. 0), tentukan nilai it fungsi berikut 3. (7 4) 3 c ( ( ) 3)( u u u u 4 3 ) 8. t 7t 7 t 4t 5 t Fungsi dan Limit Fungsi 9

37 9. ( w )( w w 6) w 4w 4 w 0. ( y )( y y 3) y y y Fungsi dan Limit Fungsi 30

38 .5 Limit Kiri dan Limit Kanan Definisi Limit f() untuk mendekati c dari kiri adala L, ditulis f ( ) L c jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ, maka berlaku f ( ) L < ε. Limit f() untuk mendekati c dari kanan adala L, ditulis f ( ) L c jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ, maka berlaku f ( ) L < ε. Teorema.5. f ( ) L jika dan anya jika f ( ) f ( ) L c c c Conto 4 f(),, < Tentukan f ( ), f ( ), dan f ( ), selanjutnya gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: f ( ) f ( ) Karena f ( ) f ( ) maka f ( ). Fungsi dan Limit Fungsi 3

39 Conto 5 3, g() Tentukan g( ), g( ), dan g( ),, < selanjutnya gambarkan grafik fungsi g Tentukan g( ), g( ), dan g( ), selanjutnya gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: g( ) g( ) 3 Karena g( ) g( ) maka g( ) tidak ada..6 Limit Tak Hingga Conto 6 Carila 0 jika ada. Penyelesaian: Semakin mendekati 0, juga semakin dekat ± dengan 0, dan nilai menjadi sangat besar ± 0,5 4 ± 0, 5 (liat tabel di samping). Nampak dari grafik ± 0, 00 fungsi f() yang diperliatkan pada ± 0, ± 0, gambar.4 bawa nilai f() dapat dibuat sangat ± 0, besar dengan mengambil cukup dekat ke 0. dengan demikian nilai f() tidak mendekati suatu bilangan, seingga tidak ada. 0 Untuk menunjukkan jenis perilaku seperti uang ditunjukkan dalam conto ini kita gunakan notasi Fungsi dan Limit Fungsi 3

40 0 Hal ini tidak berarti bawa kita menganggap sebagai suatu bilangan. Tidak juga bermakna bawa it tersebut ada. Notasi tersebut anyala menyatakan cara kusus untuk menunjukkan bawa it tersebut tidak ada. Secara umum kita tuliskan f ( ) c untuk menunjukkan nilai f() menjadi semakin besar ketika semakin mendekati c. Limit jenis serupa, untuk fungsi yang menjadi negatif tak beringga ketika mendekati c dituliskan dengan f ( ) c Conto 7 0 Hal ini juga dapat diberlakukan untuk it kiri dan it kanan f ( ) f ( ) c c f ( ) f ( ) c c Sebua garis c disebut asimtot tegak kurfa y f() jika paling sedikit sala satu dari pernyataan berikut benar: f ( ) f ( ) f ( ) c c c c f ( ) f ( ) f ( ) c Sebagai conto, sumbu Y atau 0 merupakan asimtot tegak kurva y karena 0. c Fungsi dan Limit Fungsi 33

41 Conto 8 Hitungla ( π ) tan dan ( π ) tan Penyelesaian: tan ( π ) tan ( π ) sin ( ) cos π sin ( ) cos π sin π ( ) π ( ) π ( ) π ( ) cos sin cos.7 Kekontinuan Fungsi Definisi Misalkan f : A R suatu fungsi, maka a. Fungsi f dikatakan kontinu di c A jika f ( ) f ( c) b. Fungsi f dikatakan kontinu pada impunan A jika f kontinu disetiap anggota A. c Definisi a mengandung arti bawa f dikatakan kontinu di c A jika dipenui ketiga syarat berikut: ) f ( ) ada c ) Nilai f(c) ada 3) f ( ) f ( c) c Fungsi dan Limit Fungsi 34

42 Conto 9 4,. f(), Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: ) f ( ) ) f() (ada) 4 ( )( ) ( ) 3) Karena f ( ) f() maka f tidak kontinu di. 4 (ada) Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada pembaca. 4. f() Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: ) f ( ) 4 ( )( ) ( ) ) f() tidak ada 3) Karena f() tidak ada, maka f tidak kontinu di. Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada pembaca. 4 (ada) 4, 3. f() 4, Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. Fungsi dan Limit Fungsi 35

43 Penyelesaian: ) f ( ) ) f() 4 (ada) 4 ( )( ) ( ) 3) Karena f ( ) f() maka f kontinu di. 4 (ada) Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada maasiswa. 4. f(),, < Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: ) f ( ) f ( ) Karena f ( ) f ( ) maka f ( ) (ada) Liat kembali conto 4. ) f() (ada) 3) Karena f ( ) f(), maka f kontinu di. Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada maasiswa. 3, 5. g(), < Apaka g kontinu di? Gambarkan grafik fungsi g. Penyelesaian: ) g( ) g( ) 3 Fungsi dan Limit Fungsi 36

44 Karena g( ) g( ) maka g( ) tidak ada. (liat kembali conto 5) Karena g( ) tidak ada, maka g tidak kontinu di Teorema.7.. Fungsi polinom (fungsi suku banyak) kontinu pada R.. Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu di c dan k sembarang konstanta maka fungsi f g, f g, kf, f /g (asal g( ) 0) juga kontinu di c. 3. Jika g fungsi yang kontinu di c dan f fungsi kontinu di g(c) maka f o g kontinu di c. c SOAL. Tentukan it (sepiak) berikut: a. 0 b. 0, < 0 c. f ( ), 0,, > f ( ), f ( ), f ( ), dan 0 0 f ( ). Apaka fungsi-fungsi berikut kontinu di? 3 t 8, t t a. (t), t Fungsi dan Limit Fungsi 37

45 b. (t),, 8 4 t t t t c. g() <,, 3 d. f() >,, f() > <, 0, 0, a. Apaka f kontinu di 0? b. Apaka f kontinu di? 4. > <, 0, 0, ) ( g a. Apaka g kontinu di 0? b. Apaka g kontinu di? Fungsi dan Limit Fungsi 38

46 3 TURUNAN FUNGSI 3. Pengertian Turunan Fungsi Definisi Turunan fungsi f adala fungsi f yang nilainya di c adala f ( c ) f ( c) f (c) 0 asalkan it ini ada. Conto Jika f() 3 4, maka turunan f di adala f ( ) f () f () 0 3( ) ( ) 4 (3.. 4) 0 3( 4 4 ) 4 4 ( 4 4) ( 3 ) 0 ( 3 ) 0 4 Jika f mempunyai turunan di setiap anggota domain maka f ( ) f ( ) f () 0 dy Jika y f() turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y, atau, atau f (), atau d df ( ) d Turunan Fungsi 38

47 Conto Jika f() 3 4, maka turunan f di sembarang adala f () f f ) ( ) ( 0 4) (3 4 ) ( ) 3( 0 4) (3 4 ) 3( ) 3 (6 0 ) 3 ( Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat. Jika f() k dengan k konstan untuk setiap (f fungsi konstan), maka f () 0. Bukti: f () f f ) ( ) ( 0 k k 0 0. Jika f() untuk setiap (f fungsi identitas), maka f (). Bukti: f () f f ) ( ) ( 0 ) ( Jika f() n dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap, maka f () n n. Bukti: f () f f ) ( ) ( 0 n n ) ( 0 Turunan Fungsi 39

48 0 n n n 0 n n n( n ) n( n ) n n... n... n n n n n n( n ) n n n n... n 0 n 0 n n n n n Conto 3 Jika f() 5, maka turunan f adala f () Sifat-sifat Turunan Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsifungsi dalam seingga u f() dan v g() maka berlaku:. Jika y ku maka y k(u ). Jika y u v maka y u v 3. Jika y u v maka y u v 4. Jika y u v maka y u v u v 5. Jika y v u u ' v uv ' maka y v Conto 4. Jika f() 3 5, maka f () Jika f() 3 5, maka f () Jika f() 3 5, maka f () Jika f() (3 5 )(4 7), maka f () (5 4 ) (4 7) (3 5 )4 5. Jika f() (5 )(4 7) (3, maka f () 4 7 (4 7) 5 )4 Turunan Fungsi 40

49 6. Jika f() p dengan p bilangan bulat negatif maka f() n dengan n p, seingga f() n 0.. n f () n ( ) n n n n p p n n n n u n. Dengan menggunakan turunan y diperole v n 3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi) Untuk menentukan turunan y ( ) 9 dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor ( ) kemudian mencari turunan polinom berderajat 36 tentula sangat melelakan. Cara yang muda untuk menentukan turunan y ( ) 9 adala dengan menggunakan aturan rantai. Aturan Rantai Misalkan y f(u) dan u g() menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan dengan y f(g()) (f o g)(). Jika g terdiferensialkan di dan f terdiferensialkan di u g() maka y (f o g)() terdiferensialkan di dan y (f o g) () f (g()) g () atau dy d dy du du d Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya. Jika y f(u) u g(v) v () yakni y (f o g o )() maka dy d dy du du dv dv d Turunan Fungsi 4

50 Conto 5 Tentukan turunan y ( ) 9 Penyelesaian: Misalkan u 3 4 du d y u 9 dy 9u 8. du dy dy du 9u 8 ( 3 7) d du d 9( ) 8 ( 3 7) 3.5 Turunan Fungsi Invers Misalkan y f() dan f mempunyai invers f seingga f (y). Dengan menggunakan aturan rantai pada f (y) diperole d df ( y) d dy d dy d dy dy d dy d dy d 3.6 Turunan Fungsi Implisit Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(, y) 0 dengan y sebagai fungsí dalam. Conto fungsi implisit: ) y ) 3 y 7y 0 Conto 6 dy. Tentukan dari fungsí yang dirumuskan dengan y d Penyelesaian: Apabila kedua ruas y diturunkan teradap, maka diperole: Turunan Fungsi 4

51 dy 6 0 d dy 6 d dy. Tentukan dari fungsí yang dirumuskan dengan 3 y 7y 0 d Penyelesaian: Apabila kedua ruas 3 y 7y 0 diturunkan teradap, maka diperole: 6 y 3 dy dy 7 0 d d dy ( 3 7) 6 y d dy 6 y d Turunan Tingkat Tinggi Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f juga berupa fungsi seingga bole jadi f mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan ole (f ) f. Fungsi yang f baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f. Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y f() sebagai Notasi lain adala f () D f() d d dy d y d d Conto 7 Jika f() , tentukan f (). Penyelesaian: f () 3 7 untuk mencari f () kita turunkan f (): d f () ( 3 7) d 36 Conto 8 Jika f() (3 5 )(4 7), tentukan f (). Turunan Fungsi 43

52 Penyelesaian: f () d d (3 5 ) (4 7) (3 5 d ) ( 4 7) d (5 4 ) (4 7) (3 5 )4 d f () [(5 4 ) (4 7) (3 5 )4] d d [(5 4 d ) (4 7)] [(3 5 )4] d d d 4 4 d (5 ) (4 7) (5 ) (4 7) d d d d (3 5 5 d ) 4 (3 ) 4 d 60 3 (4 7) (5 4 ) 4 (5 4 ) 4 (3 5 ) (4 7) (5 4 ) 4 (5 4 ) Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden Fungsi Fungsi Aljabar Fungsi Rasional Fungsi Irrasional Fungsi Trigonometri Fungsi Siklometri Fungsi Transenden Fungsi Logaritma Fungsi Eksponensial Fungsi Hiperbolik 3.8. Turunan Fungsi Rasional Conto-conto tentang turunan yang diuraikan sebelumnya (conto 3) adala conto-conto turunan fungsi rasional. Jadi turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibaas kembali Turunan Fungsi Irrasional Fungsi Irrasional adala akar dari fungsi-fungsi rasional Turunan Fungsi 44

53 Conto 9 Tentukan turunan y n dengan n bilangan bulat positif Penyelesaian: y n y n d seingga ny n dy Conto 0 dy d Tentukan turunan y Penyelesaian: y d dy n ny y n 3 4 n 3 ( ) n ( ) n n n ( ) n n n Dengan aturan rantai diperole: y 3 ( 4) ( 3 4) n Turunan Fungsi Trigonometri Akan dicari turunan fungsi kosinus sebagai berikut. Ingat: cos (a b) cos a cos b sin a sin b. Jika f() cos, maka f ( ) f ( ) f () 0 cos( ) cos 0 cos cos sin sin cos 0 cos (cos ) sin sin 0 cos (cos ) sin sin 0 0 (cos ) sin cos sin cos. 0 sin. sin Turunan Fungsi 45

54 Jadi, jika f() cos, maka f () sin Analog: jika f() sin, maka f () cos jika f() tg, maka f () sec jika f() ctg, maka f () cosec jika f() sec, maka f () sec tg jika f() cosec, maka f () cosec ctg Turunan Fungsi Siklometri Fungsi siklometri adala invers fungsi trigonometri. Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut. y arc sin sin y y d cos y dy dy d cos y cos y Jadi, jika y arc sin, maka y Turunan Fungsi 46

55 Analog: jika y arc cos, maka y jika y arc tg, maka y jika y arc ctg, maka y jika y arc sec, maka y jika y arc cosec, maka y Turunan Fungsi Logaritma Akan dicari turunan f() ln berikut. f ( ) f ( ) f () 0 ln( ) ln 0 ln 0 ln 0 ln 0. 0 ln Turunan Fungsi 47

56 0 ln ln 0 0 Mengingat () ln f ( ) ln f ( ) dan () 0 Seingga diperole: f () ln e ln 0 ln e 0 Jadi, jika f() ln, maka f () Selanjutnya jika y a log maka turunannya dapat dicari sebagai berikut. y a ln log y ln a Seingga y ln a ln ln a ln a Turunan Fungsi 48

57 Jadi, jika y a log, maka y ln a Turunan Fungsi Eksponensial Akan dicari turunan y a sebagai berikut. y a ln y ln a ln y ln a ln y ln a ln y ln a d Seingga dy ln a y dy Diperole y ln a. d a ln a Jadi, jika y a, maka y a ln a Kususnya untuk a e, jika y e, maka y e ln e e Jadi, jika y e, maka y e Turunan Fungsi 49

58 3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik Definisi sin e e cot tan e e e e cos e e sec cos e e tan sin cos e e e e csc sin e e Jika f() sin, maka dengan menggunakan turunan fungsi eksponensial diperole f '( ) d e e d e ( e ) e e cos. Jadi, jika f() sin, maka f () cos 3.9 Turunan Fungsi Parameter Apabila disajikan persamaan berbentuk: f(t) y g(t) maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari dan y, dan t disebut dy parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai d berikut. Dari f(t) dibentuk t () dengan fungsi invers dari f. Nampak bawa y g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi y g(t) g(()) Turunan Fungsi 50

59 dy dy Diperole d dt seingga dy d dt d dy dy atau d dt dy dt d dt d dt SOAL dy Carila untuk yang berikut d. y (3 4 )( 7) 5. y. y ( 3 3 )(4 ) 6. y 3. y 4. y 7. y dy Dengan aturan rantai tentukan untuk yang berikut d 8. y ( 9) 5 9. y (5 8) y sin 5 0. y 9 (4 3 9) 6. y cos 4. y sin (3 ) 7. y arcsin (3 4 ). y cos (3 4 ) 8. y arctg (3 4 ) 8 3. y sin 3 9. y ln (5 8) 4. y 4 0. y e ( 9) Tentukan turunan fungsí implisit berikut. y y y y y 3y 0 3. y 4 8. y sin y 4. y cos (y) y y 9y y y 3 y Turunan Fungsi 5

60 dy Tentukan untuk fungís parameter berikut d 3. y 9t 34. ln (t 9) sin t y (t 7) 3 3. y 9t (t 9) 35. e arc sin (t ) y cosec t 33. ln ( 9t) 36. y sec (t ) y sin t tg (t ) Turunan Fungsi 5

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi 8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala

Lebih terperinci

A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan

A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan. Turunan Fungsi Aljabar a. Mengitung Limit Fungsi yang Mengara ke Konsep Turunan Dari grafik di bawa ini, diketaui fungsi y f() pada interval k < < k +, seingga

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri 7 Limit Fungsi Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Mengitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri Cobala kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam

Lebih terperinci

65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan

65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan Galeri Soal Soal dengan Pembaasan, Soal Latian Dirangkum Ole: Anang Wibowo, SPd April MatikZone s Series Email : matikzone@gmailcom Blog : HP : 8 8 8 Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengkutip

Lebih terperinci

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Galeri Soal. Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd

Galeri Soal. Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd Galeri Soal Dirangkum Ole: Anang Wibowo, SPd April Semoga sedikit conto soal-soal ini dapat membantu siswa dalam mempelajari Matematika kususnya Bab Limit Kami mengusaakan agar soal-soal yang kami baas

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1 4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )

4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba menjadi garis ggung

Lebih terperinci

MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA)

MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA) MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) Muammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN Bone-Bone Luwu Utara Sulsel ttp://meetabied.wordpress.com PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini

Lebih terperinci

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya . Tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tertutup [, 5] untuk fungsi f(x) x + 9 x. 4. Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

KALKULUS. Laporan Ini Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc. Disusun Oleh :

KALKULUS. Laporan Ini Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc. Disusun Oleh : KALKULUS Laporan Ini Disusun Untuk Memenui Mata Kulia KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc Disusun Ole : 1. Anggit Sutama 14144100107 2. Andi Novantoro 14144100111 3. Diya Elvi Riana

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. 1. Turunan Fungsi

TURUNAN FUNGSI. 1. Turunan Fungsi TURUNAN FUNGSI. Turunan Fungsi Turunan fungsi f disembarang titik dilambangkan dengan f () dengan definisi f ( ) f ( ) f (). Proses mencari f dari f disebut penurunan; dikatakan bawa f diturunkan untuk

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

Matematika ITB Tahun 1975

Matematika ITB Tahun 1975 Matematika ITB Taun 975 ITB-75-0 + 5 6 tidak tau ITB-75-0 Nilai-nilai yang memenui ketidaksamaan kuadrat 5 7 0 atau atau 0 < ITB-75-0 Persamaan garis yang melalui A(,) dan tegak lurus garis + y = 0 + y

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN RENCN PELKSNN PEMBELJRN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IP/ lokasi Waktu: 8 jam Pelajaran (4 Pertemuan). Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,

Lebih terperinci

Bagian 3 Differensiasi

Bagian 3 Differensiasi Bagian Differensiasi Bagian Differensiasi berisi materi tentang penerapan konsep limit untuk mengitung turunan an berbagai teknik ifferensial. Paa penerapan konsep limit, Ana akan iperkenalkan engan konsep

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

Kalkulus: Fungsi Satu Variabel Oleh: Prayudi Editor: Kartono Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2006 Hak Cipta 2005 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli

Lebih terperinci

KATA PENGANTAR. Malang, 20 Januari 2015 Penulis. DR Suhartono M.Kom

KATA PENGANTAR. Malang, 20 Januari 2015 Penulis. DR Suhartono M.Kom KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Alhamdulillahirabbil Alamin penulis haturkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat, hidayah, dan ridha-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan buku

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

TURUNAN / DIFERENSIAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN / DIFERENSIAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL TURUNAN / DIFERENSIAL 4. Devinisi Turunan Derivati Turunan ungsi adala yang nilainya pada bilangan dan dideinisikan ole : ' lim0 untuk semua dengan limit tersebut ada. Conto Andaikan cari 4? Penyelesaian

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada. 3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f 3 + +4, maka turua f di adala f f f 0 3 4 3.. 4 0 34 4 4 4

Lebih terperinci

Disarikan dari Malatuni Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi

Disarikan dari Malatuni Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi Disarikan dari Malatuni 7 Topik Baasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi y f Ditulis: f L L X Amati ara terbang dua ekor burung menuju sangkar dari ara yang berbeda. Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y)

Lebih terperinci

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika PENGANTAR KALKULUS Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta

Lebih terperinci

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1 4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Sinun Kemirinan tali busur PQ adala : m PQ Jika à, maka tali busur PQ akan beruba menjadi

Lebih terperinci

dapat dihampiri oleh:

dapat dihampiri oleh: BAB V PENGGUNAAN TURUNAN Setela pada bab sebelumnya kita membaas pengertian, sifat-sifat, dan rumus-rumus dasar turunan, pada bab ini kita akan membaas tentang aplikasi turunan, diantaranya untuk mengitung

Lebih terperinci

TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi

TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA . Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5 TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

SUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI

SUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 009 SUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI Suciati

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Ri l

Sistem Bilangan Ri l Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π

Lebih terperinci

BAB III STRATIFIED CLUSTER SAMPLING

BAB III STRATIFIED CLUSTER SAMPLING BAB III STRATIFIED CUSTER SAMPING 3.1 Pengertian Stratified Cluster Sampling Proses memprediksi asil quick count sangat dipengarui ole pemilian sampel yang dilakukan dengan metode sampling tertentu. Sampel

Lebih terperinci

Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah

Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 13 September 2013

Hendra Gunawan. 13 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0

Lebih terperinci

untuk i = 0, 1, 2,..., n

untuk i = 0, 1, 2,..., n RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK INTERPOLASI POLINOMIAL DAN TURUNAN NUMERIK 1. Interpolasi linear a. Interpolasi Polinomial Lagrange Suatu fungsi f dapat di interpolasikan ke dalam bentuk interpolasi

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA Mata Kuliah : Matematika Dasar 1 Kode / SKS : IT012314 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi 1 & 2 HIMPUNAN BILANGAN Mahasiswa memahami konsep himpunan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Q : q R a b, a, b Z, b Q Irasional Contoh Bil Irasional,, 0

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I 7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah : TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2 Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

Rangkuman Materi dan Soal-soal

Rangkuman Materi dan Soal-soal Rangkuman Materi dan Soal-soal Dirangkum Ole: Anang Wibowo, S.Pd matikzone@gmail.com / www.matikzone.co.cc Rangkuman Materi dan Conto Soal. Definisi dy df Turunan dari fungsi y f ( adala y ' f '( ( y'

Lebih terperinci

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,

Lebih terperinci

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g() maka f(g())g () d = f(u) du = F(u) + c = F(g()) + c sin. 1.

Lebih terperinci

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat

Lebih terperinci

DEFINISI TURUNAN. dy dx

DEFINISI TURUNAN. dy dx DEFINISI TURUNAN Turunan dari y () teradap dideinisikan dengan : dy d lim ( y () ) - () Tentukan turunan dari ungsi ini ) )( ( () g. () b. (). 4 () a. () j. () e. ) ( () i. () d. (-) ) ( (). 7 () c. -5

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN

MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata Kuliah Jurusan SKS Kode M. Kuliah : Kalkulus IA : Teknik Elektro : 2 SKS : KD-0420 Minggu ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan dan Sasaran Belajar Cara Pengajaran

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

Asimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN

Asimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN FUNGSI TRANSENDEN 7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 7.6 Persamaan

Lebih terperinci

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci