Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f

Transkripsi

1 D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c + ) Q f f(c + ) f(c) f(c) P c c + Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f Gradien garis singgung grafik pada suatu titik diitung dengan melakukan pendekatan garis yang melalui titik tersebut dan titik lainnya pada grafik yang sama. Semakin dekat titik yang kedua teradap titik yang pertama, semakin dekat garis yang dibentuk dengan garis singgung. Garis singgung grafik f di titik P dapat didekati ole garis PQ dengan membuat titik Q pada grafik f sedekat mungkin dengan P. Ole sebab itu, gradien garis singgung f di titik P dapat diperole dari gradien garis PQ dengan Q sangat dengan P. Dengan kata lain, gradien garis singgung f di titik P (dinotasikan dengan m) dapat diperole dengan f(c + ) f(c) m m PQ. Q P

2 Definisi 1. Gradien garis singgung grafik f pada titik P(c, f(c)) didefinisikan dengan m f(c + ) f(c) apabila limit tersebut ada dan tidak bernilai atau. Masala lainnya yang berkaitan dengan turunan adala kecepatan sesaat. Kecepatan sesaat beda dengan kecepatan rata-rata. Kecepatan sesaat digunakan untuk mengitung kecepatan saat t. Definisi peritungan kecepatan sesaat sama dengan gradien pada Definisi 1 dengan f menyatakan fungsi dari jarak yang ditempu Conto 1. Tentukan gradien garis singgung grafik f dengan f(x) = x 2 + 2x + 2 pada titik-titik dengan absis 0, 1, 2, dan 3. 2 Dengan menggunakan Definisi 1 diperole untuk x = c: m f(c + ) f(c) (c + ) 2 + 2(c + ) + 2 (c 2 + 2c + 2) c 2 + 2c c (c 2 + 2c + 2) (2c ) = 2c + 2. Jadi gradien garis singgung untuk masing-masing titik diitung dengan mensubstitusikan nilai dari x menggantikan c. Diperole Untuk x = 0, nilai m = 2(0) + 2 = 2. Untuk x = 1 2, nilai m = 2 (1 2 ) + 2 = 3. Untuk x = 2, nilai m = 2(2) + 2 = 6. Untuk x = 3, nilai m = 2(3) + 2 = 8. 2

3 Bentuk lain dari Definisi 1 diperole dengan mendefinisikan x = c +. Dari definisi tersebut diperole = x c dan untuk 0 x c. Diperole f (c) x c f(x) f(c) x c Dengan syarat limit tersebut ada atau dengan kata lain f (c) = f + (c) f(x) f(c) di mana f (c) (Turunan kiri di c) x c x c f(x) dan f f(c) + (c) (Turunan kanan di c). x c + x c Perumumam dari Definisi 1 mengasilkan definisi turunan fungsi f pada sembarang titik x D f yang diberikan pada Definisi 2. Definisi 2. Turunan dari fungsi f adala fungsi f dengan f(x + ) f(x) f (x). Conto 2. Tentukan f (x) apabila f(x) = x Jelas f f(x+) f(x) (x) (x + ) (x 2 + 2) x 2 + 2x (x 2 + 2) (2x + ) = 2x. Conto 3. Tentukan f (x) apabila f(x) = 1 x 2. Jelas f f(x+) f(x) (x) 3

4 1 (x + ) 2 1 x 2 x 2 (x + ) 2 (x + ) 2 x 2 x 2 (x 2 + 2x + 2 ) (x + ) 2 x 2 (2x + ) (x + ) 2 x 2 [ (2x + ) 2x (x + ) 2 x2] = x 4 = 2 x 3 = 2x 3. b. Teorema-teorema turunan Kaitan antara fungsi yang diferensiabel (mempunyai turunan) dengan kekontinuan fungsi tersebut diberikan pada Teorema 1. Teorema 1. Jika f (c) ada maka f kontinu pada c. Dari teorema tersebut, dapat disimpulkan bawa setiap fungsi yang mempunyai turunan pada domainnya pasti kontinu pada domainnya tetapi fungsi kontinu tidak menjamin eksistensi turunan dari fungsi tersebut. Berikut conto fungsi yang kontinu pada suatu titik tetapi tidak mempunyai turunan pada titik tersebut. Conto 4. Periksa eksistensi f (0) apabila f(x) = x. x, x < 0 Jelas f(x) = x = { x, x 0. Jelas f kontinu di x = 0. f(x) Jelas f f(0) x (0) x 0 x 0 x 0 x f(x) f f(0) + (0) x 0 + x 0 Jadi f (0) f + (0). x x 0 ( 1) = 1 dan x 0 x (1) = 1. x 0 4

5 Jadi f (0) tidak ada. Notasi lain yang biasanya digunakan dalam menuliskan turunan adala notasi Leibniz, sebagai conto d[f(x)] f (x). = f (x), dy = y, d2 [f(x)] 2 = Rumus turunan beberapa fungsi diberikan pada teorema-teorema berikut ini. 1) Turunan dari fungsi konstan. Teorema 2. Dipunyai K suatu konstanta real dan f: I R, I R. Jika f(x) = K x I maka f (x) = d[f(x)] = 0 x I. 2) Turunan dari penjumlaan dan perkalian fungsi dengan konstanta. Dengan menggunakan definisi turunan, diperole turunan dari penjumlaan dan perkalian fungsi dengan konstanta sebagai berikut. Teorema 3. Jika fungsi-fungsi f dan g mempunyai turunan di x D f D g maka (f + g) (x) = f (x) + g (x) dan (K. f) (x) = K. f (x) dengan K sembarang bilangan real. 3) Turunan dari perkalian dan pembagian fungsi. Teorema 4. Jika fungsi-fungsi f dan g mempunyai turunan di x D f D g maka dan (f. g) (x) = f(x). g (x) + f (x). g(x) ( f g ) (x) = f (x). g(x) f(x). g (x) [g(x)] 2, dengan syarat g(x) 0. Bukti: Dengan menggunakan definisi jelas bawa 5

6 (f. (f. g) g)(x + ) (f. g)(x) (x) f(x + ). g(x + ) f(x). g(x) f(x + ). g(x + ) f(x + ). g(x) + f(x + ). g(x) f(x). g(x) g(x + ) g(x) f(x + ). lim + lim = f(x). g (x) + f (x). g(x). f(x + ) f(x). lim g(x) Bukti turunan pembagian fungsi diberikan berikut ini. Tulis f g =. Jelas ( f f(x) ) (x) = (x) = (x) f(x) = (x). g(x). g g(x) Karena f ada maka juga ada. Jelas f (x) = (x). g (x) + (x). g(x) (x) = f (x) (x). g (x) g(x) ( f g ) (x) = f (x) f(x) g(x). g (x) g(x) ( f g ) (x) = f (x). g(x) f(x). g (x) [g(x)] 2. 4) Turunan dari x n. Teorema 5. Jika f: I R, I R dan f(x) = x n dengan n bilangan bulat tak nol maka f (x) = d[xn ] = nxn 1. Bukti untuk n merupakan bilangan bulat positif (bilangan asli) menggunakan induksi matematika dan untuk n merupakan bilangan bulat negatif menggunakan turunan pembagian fungsi. 6

7 5) Turunan dari fungsi trigonometri. Dengan menggunakan definisi dan teorema-teorema turunan yang diberikan sebelumnya, diperole turunan untuk fungsi trigonometri sebagai berikut. Teorema 6. Turunan fungsi trigonometri diberikan berikut ini. (1) d(sin x) = cos x d(cos x) (2) = sin x d(tan x) (3) = sec 2 x d(sec x) (4) = sec x. tan x d(csc x) (5) = csc x. cot x d(cot x) (6) = csc 2 x c. Aturan rantai Aturan rantai didasari dari turunan fungsi komposisi. Selengkapnya diberikan pada Teorema 7. Teorema 7. Jika g mempunyai turunan di x dan f mempunyai turunan di g(x) maka d[(f g)(x)] = d[(f g)(x)]. d[g(x)] = f d[g(x)] [g(x)]. g (x). Apabila y = (f g)(x) dan u = g(x) maka Teorema 7 dapat dituliskan dy = dy du. du. Bentuk tersebut dapat diperumum untuk komposisi lebi dari dua fungsi. Sebagai conto untuk komposisi 3 tiga fungsi yaitu Apabila y = (f g )(x), u = (g )(x), dan v = g(x) maka diperole d[(f g )(x)] atau dy = dy du. du dv. dv. = d[(f g )(x)] d[(g )(x)]. d[(g )(x)]. d[(x)] d[(x)] 7

8 Conto 5. Tentukan f (x) apabila f(x) = sin 6 (x 2 + 2x + 5). Jelas f (x) = d[f(x)] = d[sin6 (x 2 + 2x + 5)] = d[sin6 (x 2 + 2x + 5)] d[sin(x 2 + 2x + 5)]. d[sin(x2 + 2x + 5)] d(x 2. d(x2 + 2x + 5) + 2x + 5) = 6. sin 5 (x 2 + 2x + 5). cos(x 2 + 2x + 5). (2x + 2) = 12(x + 1). cos(x 2 + 2x + 5). sin 5 (x 2 + 2x + 5). 8