BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU

Transkripsi

1 BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU Konsep it mempnyai peranan yang sangat penting di dalam kalkls dan berbagai bidang matematika. Oleh karena it, konsep ini sangat perl ntk dipahami. Meskipn pada awalnya konsep it skar ntk dipahami, tetapi dengan sedikit bantan cara nmeris kemdian konsep ini bisa dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitng it relative mdah. Mengingat hal it, maka pada bagian pertama Bab ini it diterangkan secara intitive (nmeris. Kemdian pada bagian selanjtnya, dikembangkan teknik penghitngan it.. Pengertian Limit Terlebih dahl diperhatikan fngsi f (. Grafik y f ( diberikan pada Gambar.. di bawah ini. 8

2 Gambar.. Apa yang terjadi dengan f ( apabila ckp dekat dengan? Perhatikan table.. berikt. Tabel.. f ( f (,,,,,9 6,8,,4,999 6,996,,4,9999 6,9996 Dari table terlihat bahwa apabila ckp dekat dengan, maka f ( mendekati. Hal ini tidak mengherankan, karena apabila dihitng f (. Dalam hal ini dikatakan bahwa it f( mendekati sama dengan, ditlis: f ( Selanjtnya, perhatikan fngsi f yang ditentkan oleh rms: f ( 9

3 Fngsi f tersebt tidak terdefinisikan di karena di titik ini f( berbentk. Tetapi masih dapat dipertanyakan apa yang terjadi pada f( bilamana mendekati tetapi. Untk, ( ( f ( g( (a. f (, D R {} f (b. g (, Dg R Gambar.. Dari table.. di bawah terlibat bahwa apabila ckp dekat dengan, maka nilai f ( mendekati. Jadi, Tabel.. 6

4 f ( f (,,,,,99,99,,,9999,9999,,, , Dari beberapa raian di atas, berikt diberikan definisi it. Definisi.. Limit f( mendekati c sama dengan L, ditlis: f ( L c jika ntk setiap yang ckp dekat dengan c, tetapi c, maka f( mendekati L. Secara matematis definisi di atas dapat ditlis sebagai berikt. f ( L jika ntk setiap bilangan ε > yang diberikan (berapapn kecilnya terdapat bilangan c δ > sehingga ntk setiap D f dengan < c < δ berlak f ( L < ε. Catatan: Pada definisi it di atas, fngsi f tidak perl terdefinisikan di c. Limit f( ntk mendekati c mngkin ada walapn f tidak terdefinisikan di c. Contoh.. Bktikan bahwa (. 4 6

5 Penyelesaian: ( 8 ( Diberikan bilangan ε > sebarang. Apabila diambil δ ε/, maka ntk setiap di dalam domain f yang memenhi < 4 < δ berlak: ( 4 < δ.ε/ ε. Contoh.. Bktikan bahwa ntk c >, c. c Penyelesaian: (.. c ( c c c c c Ditinja > dengan sifat Hal ini berakibat: c < c. Menrt ketidaksamaan segitiga: c c c c > c c (.. > Selanjtnya, dari (.. dan (.. diperoleh: c c c <, c c ntk setiap >. Diberikan bilangan ε > sebarang. Apabila diambil c ε c δ min, maka ntk setiap > dengan < c < δ berlak: c c c < c c < ε 6

6 Jadi, ntk setiap ε > terdapat δ> sehingga ntk setiap > dengan < c < δ berlak: c c c < c c < ε. Agar bisa lebih mendalami hitng it, berikt diberikan sifat-sifat dasar it. Teorema..4 Jika f ( ada maka nilainya tnggal. c Bkti: Misalkan f ( L dan f ( K. Akan ditnjkkan bahwa L K. c c Diberikan ε > sebarang, maka terdapat δ, δ > sehingga: i. ε f ( L <, ntk setiap D f dengan < c < δ. ii. ε f ( K <, ntk setiap D f dengan < c < δ. Apabila diambil {, } D f dengan < c < δ berlak: L K L f ( f ( K < ε Hal ini berarti L K. Contoh.. Tnjkkan bahwa tidak ada. Penyelesaian: Untk >, Sementara, ntk <, 6

7 Karena nilai it tidak tnggal maka tidak ada.. Teknik Aljabar Untk Menghitng Limit Sifat-sifat dasar it yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikt ini sangat diperlkan dalam hitng it. (Dengan berbagai pertimbangan bkti teorema tidak disertakan dalam bk ini. Teorema.. (i. (ii. c. c A A, A, c R. c k R maka berlak pernyataan- Teorema.. Jika f ( dan g( kedanya ada dan c c pernyataan berikt: i. { f ( ± g( } f ( ± g( c c c ii. kf ( k f ( c c iii. f ( g( f (. g( c c c iv. c f ( f ( c, asalkan g( g( g( c c v. Untk N n : (a. ( f ( c n c n f ( n n f (, asalkan f ( c c c (b. ( f ( (c. ( f ( c n c n f (, asalkan ntk n genap f ( > c 64

8 Contoh.. (a. ( (i 6.. (ii.. (v.a (b.... (iii.. (ii&(v.c ( (.. (c. (.(... (iv (.( Contoh..4 Hitng. 4 Penyelesaian: Karena it penyebt sama dengan, maka Teorema.. (iv tidak dapat dignakan. Akan tetapi, hal ini bkan berarti it di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitng adalah nilai it ntk mendekati, bkan nilai ntk sama dengan. Oleh karena it, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar, ntk diperoleh: Sehingga: ( ( 4 ( ( 4... (iv 4 6

9 Contoh.. Tentkan. Penyelesaian: ( ( (. Contoh..6 Tentkan Penyelesaian: ( ( (.( ( ( ( (.(.( ( ( ( ( ( Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat dignakan ntk menyelesaikan soal hitng it. Namn demikian tidak sema soal it dapat diselesaikan dengan sin cara demikian. Sebagai contoh, misalnya. Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membant dalam penyelesaian soal hitng it. Teorema.. (Teorema Apit Misalkan f, g, dan h fngsi-fngsi sehingga f ( g( h( ntk sema di dalam interval terbka yang memat c, kecali mngkin di c. Jika f ( h( L maka g( L. c c c Contoh..8 Tentkan sin. 66

10 Penyelesaian: Untk, sin. Oleh karena it, ntk berlak: Hal ini berakibat: sin sin sin Selanjtnya, karena ( maka sin. Soal Latihan Untk soal 6, tnjkkan pernyataan berikt dengan definisi it.. ( Jika, f (, tnjkkan bahwa f (, < tidak ada. Untk soal 8, hitnglah masing-masing it jika ada. 8. ( 9. (

11 4. 4 s s s n n a 9. a a n n a a a. h. h h ( (.. Limit Sat Sisi Kiranya mdah dipahami bahwa tidak ada, karena tidak terdefinisikan ntk <. Namn demikian, apabila > maka kepada definisi berikt ini. ada dan nilainya sama dengan. Hal ini membawa kita Definisi.. (i. Misalkan f( terdefinisikan pada sat interval ( c, c δ. Apabila ntk di dalam ( c, c δ yang ckp dekat dengan c, nilai f( mendekati L, maka dikatakan bahwa L merpakan it kanan f( ntk mendekati c, ditlis: c f ( L (ii. Misalkan f( terdefinisikan pada sat interval ( c δ, c. Apabila ntk di dalam ( c δ, c yang ckp dekat dengan c, nilai f( mendekati L, maka dikatakan bahwa L merpakan it kiri f( ntk mendekati c, ditlis: c f ( L Secara matematis, definisi di atas dapat ditliskan sebagai berikt: 68

12 (i. f ( L jika dan hanya jika ntk setiap ε > ada δ > sehingga ntk setiap ( c, c δ c berlak f ( L < ε. (ii. f ( L jika dan hanya jika ntk setiap ε > ada δ > sehingga ntk setiap ( c δ, c c berlak f ( L < ε. L ε L L ε L ε L L ε c cδ c-δ c (a Gambar.. (b Contoh.. (a. dan tidak ada. (b. Untk bilangan blat n, [] n dan [ ] n n n Contoh.. Tentkan f (, f (, f (, dan f ( jika diketahi: 69

13 Penyelesaian:, f (, < > (a. Untk ckp dekat dengan (baik < mapn >, f (. Oleh karena it, f ( f ( ( ( (b. Untk ckp dekat dengan dan <, f (. Sehingga: f ( Tetapi, ntk ckp dekat dengan dan >, f ( f ( (. Sehingga: ( (. Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri sat fngsi ada tetapi it kanannya tidak ada (ata sebaliknya, it kiri dan kanan sat fngsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan it kiri dan kanan sat fngsi ada dan nilainya sama. Selanjtnya, karena ketnggalan it maka diperoleh pernyataan berikt. Teorema..4 f ( L jika dan hanya jika f ( f ( L. c c c Sebagai akibat langsng dari Teorema di atas, diperoleh: Akibat.. Jika f ( f ( maka f ( tidak ada. c c c Pada Contoh.. di atas, karena f ( f ( maka f ( tidak ada.

14 Contoh..6 Diberikan: Karena ntk <, f (, maka:, f (, < > Secara sama, f ( f ( (.. Selanjtnya, karena f ( f ( maka: f (. Contoh.. Tentkan f ( jika diketahi:, f ( [], > Penyelesaian: f ( f ( [ ] Jadi, f (..4 Limit Tak Hingga dan Limit Menj Tak Hingga Terlebih dahl diperhatikan masalah hitng it berikt:. Untk nilai-nilai yang ckp dekat dengan, maka nilai-nilai f ( diberikan pada table berikt ini.

15 Tabel.4., 4, 4,.,.,..,.., 4..., 4... Dari Tabel.4. di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai semakin dekat dengan, maka nilai menjadi semakin besar. Bahkan nilai baik dari sisi kiri mapn dari sisi kanan. Grafik fngsi f ( f ( akan menjadi besar tak terbatas apabila mendekati, f ( dapat dilihat pada Gambar.4.. f ( Gambar.4.

16 Dalam hal ini, dikatakan bahwa it f( menj nol sama dengan tak hingga, ditlis: f ( Secara sama mdah diperlihatkan: Selanjtnya, diperoleh definisi berikt: Definisi.4. (i. c menjadi besar tak terbatas arah positif. (ii. c f ( jika ntk setiap ckp dekat dengan c, tetapi c, maka f( f ( jika ntk setiap ckp dekat dengan c, tetapi c, maka f( menjadi besar tak terbatas arah negatif. Secara matematis, Definisi di atas dapat ditlis sebagai: c f ( (ata jika ntk setiap bilangan real M > terdapat bilangan real δ > sehingga ntk setiap D f dengan sifat < c < δ berlak f ( > M (ata f ( < M Contoh.4. (a. (b.. Di atas telah diterangkan pengertian it ntk c, dengan c sat bilangan berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai f ( apabila nilai ckp besar.

17 Sebagai contoh, bagaimana nilai f ( apabila nilai ckp besar? Tabel.4. di bawah memperlihatkan nilai f ntk berbagai nilai. Ternyata semakin besar nilai (arah positif, nilai f ( semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan: Tabel.4. (a (b f ( f (,..,..,..,..,..,.., Secara sama, apabila besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat f ( mendekati nol, yait: Kemdian dapat ditrnkan pengertian it menj tak hingga. Hal it ditliskan dalam definisi berikt. Definisi.4. (i. f ( L jika f ( terdefinisikan ntk setiap nilai ckp besar (arah positif dan jika menjadi besar tak terbatas (arah positif maka f ( mendekati L. (ii. f ( jika f ( terdefinisikan ntk setiap nilai ckp besar (arah negatif dan jika menjadi besar tak terbatas (arah negatif maka f ( mendekati L. 4

18 Secara matematis, Definisi.4. dapat ditlis sebagai: (i. f ( L jika ntk setiap bilangan real ε > terdapat bilangan M > sehingga ntk setiap > M berlak f ( L < ε. (ii. f ( L jika ntk setiap bilangan real ε > terdapat bilangan M > sehingga ntk setiap < M berlak f ( L < ε. Mdah ditnjkkan bahwa: dan Contoh.4.4 Tentkan. 9 Penyelesaian: Untk >, 9 >. Sehingga dengan Teorema Apit diperoleh:. 9 < <. Selanjtnya, karena 9 maka Contoh.4. Hitng Penyelesaian: Karena:. 4 ( ( ( ( 4 maka sifat it perbagian tidak dapat dignakan. Namn demikian apabila pembilang dan penyebt samasama dibagi dengan maka:

19 6 ( ( Contoh.4.6 Tentkan 6. Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebt dengan, diperoleh: Contoh.4. Hitng 6 6. Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebt dengan, diperoleh:

20 Soal Latihan Untk soal, tentkan nilai itnya jika ada. Jika tidak ada itnya, terangkan alasannya! ( a. a ( a ( (.. ( 8.. Tentkan f (, f (, dan f ( jika diberikan:,, f (, < <

21 . Fngsi f yang terdefinisikan pada [ a, a] dikatakan genap (ata ganjil jika f ( f ( (ata f ( f ( ntk setiap [ a, a]. Jika f ( L genap, (b. f ganjil. maka tentkan f ( jika: (a. f. Limit Fngsi Trigonometri Dengan memanfaatkan Teorema Apit, dapat ditnjkkan teorema di bawah ini. sin Teorema.. (i.. sin tan (ii.. tan sinθ Contoh.. Hitng. θ tanθ Penyelesaian: sin θ sin θ θ sin θ θ θ θ.. θ tanθ θ θ tan θ θ θ θ θ tan θ θ θ Tetapi ntk θ berakibat θ dan θ, sehingga: Soal Latihan θ Untk soal, hitnglah nilai itnya. sin.. tan sin θ sin θ θ θ.. tanθ θ θ θ tan θ θ θ cos π π (... sin 4 tan. 4. sin. cos sin 6. a sin( a a 8

22 . 8. sin sin 4 tan 9. cos cos sin π cos. sin sin a.. a a sin tan cos.6 Bilangan Alam Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada rms binomim Newton. Untk sebarang a, b R dan n N : n n n nk k n n n n n n (.6. ( a b a b a na b ( a b... b k k! Apabila diambil a dan b, maka dari (.6. diperoleh: n n n n k n nk n( n... n n! n n k k n n......! n! n n n! n n n n Karena n n maka menrt Teorema Apit nilai n n n ada. Berdasarkan perhitngan, ntk n diperoleh: n...,8... e n n!! 4! Selanjtnya, e disebt bilangan alam. Secara sama dapat ditnjkkan: n (.6. e n n Mdah ditnjkkan bahwa ntk n m berlak: 9

23 n m n m Selanjtnya, apabila diberikan sebarang bilangan real positif maka dapat dicari bilangan asli m dan n sehingga n m. Hal ini berakibat: n m n m n m dan karena e maka sekali lagi dengan Teorema Apit diperoleh: n n m m (.6. e Berdasarkan (.6., tentnya mdah dipahami bahwa: (.6.4 e Selanjtnya, apabila diambil sbstitsi, maka ntk berakibat ±. Sehingga, dari (.6. dan (.6.4 diperoleh: ± (.6. ( e Contoh.6. Hitng. Penyelesaian: Apabila diambil sbstitsi y maka bertrt-trt diperoleh: (i. y, sehingga 6y. (ii. Karena y maka ntk berakibat y. Selanjtnya, berdasarkan (.6.4: 8

24 6y y y 6y y y y 6 y y y y y 6 y 6 6 e. e. y y y y Contoh.6. Tentkan ( ( Penyelesaian: Soal dapat ditlis:. ( ( ( ( ( Diambil sbstitsi y. Jika maka y. Selanjtnya, menrt (.6. diperoleh: y ( ( ( ( y ( ( y ( y y y. e Teorema berikt ini sangat bermanfaat ntk menyelesaikan soal-soal hitng it yang berkaitan dengan bilangan alam. Bkti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Teorema.6. Apabila f ( c dan g( (ata c maka: c ( f ( g( e c f (. g( Contoh.6.4 Tentkan Penyelesaian: Soal dapat ditlis:. 8

25 8 Apabila bertrt-trt diambil ( f dan ( g maka: ( dan ( g f Selanjtnya, menrt Teorema.6.: 6 ( e e. Contoh.6. Hitng. Penyelesaian: ( ( Selanjtnya, jika diambil ( f dan ( g maka: ± ( dan ( g f Sehingga menrt Teorema.6.: ( (. ( e ( ( ( e e. Contoh.6.6 Selesaikan. Penyelesaian: Tlis: Bertrt-trt diambil sbstitsi:

26 8 dan v maka: (i. ( ( ln log. log log log(. e (ii. ( ( ln log. log log log(. e Selanjtnya, dari (i dan (ii diperoleh: ( ln ln. Soal Latihan Untk soal, hitnglah nilai itnya... ( (. 4. ( (. 6.. ln (

27 . Fngsi Kontin Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelmnya, kadang-kadang nilai f ( sama dengan c f (c, kadang pla tidak sama. Pada kenyataannya, meskipn f (c tidak terdefinisikan akan tetapi f ( c mngkin ada. Apabila f ( c f (c maka dikatakan fngsi f kontin di c. Definisi.. Fngsi f dikatakan kontin di a jika f ( f ( a. D f a Definisi.. di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fngsi f kontin di a, yait: (i. f(a ada ata terdefinisikan, (ii. f ( ada, dan a (iii. f ( f ( a a Secara grafik, fngsi f kontin di a jika grafik fngsi f pada sat interval yang memat a tidak terpotong di titik ( a, f ( a. Jika fngsi f tidak kontin di a maka dikatakan f diskontin di a. Pada Gambar, f kontin di dan di setiap titik di dalam ( a, b kecali di titik-titik,, dan 4. Fngsi f diskontin di karena f ( tidak ada, diskontin di karena nilai f ( tidak sama dengan nilai fngsi di (meskipn kedanya ada, dan diskontin di 4 karena nilai fngsi di titik ini tidak ada. y f ( a 4 b Gambar.. 84

28 Fngsi f dikatakan kontin pada interval I jika f kontin di setiap titik anggota I. Contoh.. (a. Fngsi f dengan rms ( (b. Fngsi Heavyside H yang didefinisikan oleh f diskontin di karena f ( tidak terdefinisi. H ( jika < jika diskontin di sebab H ( tidak ada. (c. Fngsi g dengan definisi: g ( 4 jika jika 4 diskontin di sebab g( sedangkan g( ( 4 fngsi g kontin di sebab g( g(.. Namn demikian Berikt sifat-sifat dasar fngsi kontin. Teorema.. Jika fngsi f dan g kontin di a, dan k sebarang konstanta real, maka fg, f g, kf, dan fg kontin di a. Demikian pla, g f g a. kontin di a asalkan ( 8

29 Seperti halnya pada hitng it, dalam kekontinan jga dikenal istilah kontin sat sisi. Hal it diberikan pada definisi berikt ini. Definisi..4 (i. Fngsi f dikatakan kontin dari kiri di a jika f ( a. a (ii. Fngsi f dikatakan kontin dari kanan di c jika f ( f ( c. c Contoh.. Diberikan f (. Penyelesaian: Selidikilah kekontinan fngsi f. Jelas f tidak kontin pada (, dan pada (, Untk nilai-nilai a dengan < a < diperoleh: a f sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebt. ( ( a f ( a a a Jadi, f kontin pada (,. Dengan perhitngan serpa didapatkan: f ( f ( dan f ( f ( sehingga f kontin dari kanan di dan kontin dari kiri di. Jadi, f kontin pada [, ]. Teorema..6 Fngsi polinomial, fngsi rasional, fngsi akar, fngsi logaritma, fngsi eksponen, dan fngsi trigonometri kontin pada domainnya masing-masing. Contoh.. f kontin pada R. (a. ( f kontin pada { R ;, }. (b. ( (c. f ( kontin pada [,. 86

30 Hbngan antara fngsi kontin dan hitng it dinyatakan dalam teorema berikt. Teorema..8 Jika f kontin di b dan g( b, a maka f ( g( f ( b. a Dengan kata lain f a ( g( f g( a Contoh..9 Hitng ln (. Penyelesaian: Namakan f ( ln dan g (. Karena g( dan f kontin di maka ln ( f ( g( f g( ln g( ln. Soal Latihan Untk soal 8, tentkan titik-titik di mana fngsi berikt diskontin.. h(. f (. f ( s t 4 4. g( tan. f ( s 6. h ( t s t., > g (, < 8.,, f (,, < > 9. Selidiki kontinitas f ( pada [,] 8

31 88.Jika <,, ( f maka tnjkkan bahwa f kontin pada ], [. Untk soal, tentkan nilai a dan b agar fngsi-fngsi berikt kontin ntk pada R.. >,, ( b a f. > <,, 4, tan tan ( b a b a f