BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU"

Transkripsi

1 BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU Konsep it mempnyai peranan yang sangat penting di dalam kalkls dan berbagai bidang matematika. Oleh karena it, konsep ini sangat perl ntk dipahami. Meskipn pada awalnya konsep it skar ntk dipahami, tetapi dengan sedikit bantan cara nmeris kemdian konsep ini bisa dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitng it relative mdah. Mengingat hal it, maka pada bagian pertama Bab ini it diterangkan secara intitive (nmeris. Kemdian pada bagian selanjtnya, dikembangkan teknik penghitngan it.. Pengertian Limit Terlebih dahl diperhatikan fngsi f (. Grafik y f ( diberikan pada Gambar.. di bawah ini. 8

2 Gambar.. Apa yang terjadi dengan f ( apabila ckp dekat dengan? Perhatikan table.. berikt. Tabel.. f ( f (,,,,,9 6,8,,4,999 6,996,,4,9999 6,9996 Dari table terlihat bahwa apabila ckp dekat dengan, maka f ( mendekati. Hal ini tidak mengherankan, karena apabila dihitng f (. Dalam hal ini dikatakan bahwa it f( mendekati sama dengan, ditlis: f ( Selanjtnya, perhatikan fngsi f yang ditentkan oleh rms: f ( 9

3 Fngsi f tersebt tidak terdefinisikan di karena di titik ini f( berbentk. Tetapi masih dapat dipertanyakan apa yang terjadi pada f( bilamana mendekati tetapi. Untk, ( ( f ( g( (a. f (, D R {} f (b. g (, Dg R Gambar.. Dari table.. di bawah terlibat bahwa apabila ckp dekat dengan, maka nilai f ( mendekati. Jadi, Tabel.. 6

4 f ( f (,,,,,99,99,,,9999,9999,,, , Dari beberapa raian di atas, berikt diberikan definisi it. Definisi.. Limit f( mendekati c sama dengan L, ditlis: f ( L c jika ntk setiap yang ckp dekat dengan c, tetapi c, maka f( mendekati L. Secara matematis definisi di atas dapat ditlis sebagai berikt. f ( L jika ntk setiap bilangan ε > yang diberikan (berapapn kecilnya terdapat bilangan c δ > sehingga ntk setiap D f dengan < c < δ berlak f ( L < ε. Catatan: Pada definisi it di atas, fngsi f tidak perl terdefinisikan di c. Limit f( ntk mendekati c mngkin ada walapn f tidak terdefinisikan di c. Contoh.. Bktikan bahwa (. 4 6

5 Penyelesaian: ( 8 ( Diberikan bilangan ε > sebarang. Apabila diambil δ ε/, maka ntk setiap di dalam domain f yang memenhi < 4 < δ berlak: ( 4 < δ.ε/ ε. Contoh.. Bktikan bahwa ntk c >, c. c Penyelesaian: (.. c ( c c c c c Ditinja > dengan sifat Hal ini berakibat: c < c. Menrt ketidaksamaan segitiga: c c c c > c c (.. > Selanjtnya, dari (.. dan (.. diperoleh: c c c <, c c ntk setiap >. Diberikan bilangan ε > sebarang. Apabila diambil c ε c δ min, maka ntk setiap > dengan < c < δ berlak: c c c < c c < ε 6

6 Jadi, ntk setiap ε > terdapat δ> sehingga ntk setiap > dengan < c < δ berlak: c c c < c c < ε. Agar bisa lebih mendalami hitng it, berikt diberikan sifat-sifat dasar it. Teorema..4 Jika f ( ada maka nilainya tnggal. c Bkti: Misalkan f ( L dan f ( K. Akan ditnjkkan bahwa L K. c c Diberikan ε > sebarang, maka terdapat δ, δ > sehingga: i. ε f ( L <, ntk setiap D f dengan < c < δ. ii. ε f ( K <, ntk setiap D f dengan < c < δ. Apabila diambil {, } D f dengan < c < δ berlak: L K L f ( f ( K < ε Hal ini berarti L K. Contoh.. Tnjkkan bahwa tidak ada. Penyelesaian: Untk >, Sementara, ntk <, 6

7 Karena nilai it tidak tnggal maka tidak ada.. Teknik Aljabar Untk Menghitng Limit Sifat-sifat dasar it yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikt ini sangat diperlkan dalam hitng it. (Dengan berbagai pertimbangan bkti teorema tidak disertakan dalam bk ini. Teorema.. (i. (ii. c. c A A, A, c R. c k R maka berlak pernyataan- Teorema.. Jika f ( dan g( kedanya ada dan c c pernyataan berikt: i. { f ( ± g( } f ( ± g( c c c ii. kf ( k f ( c c iii. f ( g( f (. g( c c c iv. c f ( f ( c, asalkan g( g( g( c c v. Untk N n : (a. ( f ( c n c n f ( n n f (, asalkan f ( c c c (b. ( f ( (c. ( f ( c n c n f (, asalkan ntk n genap f ( > c 64

8 Contoh.. (a. ( (i 6.. (ii.. (v.a (b.... (iii.. (ii&(v.c ( (.. (c. (.(... (iv (.( Contoh..4 Hitng. 4 Penyelesaian: Karena it penyebt sama dengan, maka Teorema.. (iv tidak dapat dignakan. Akan tetapi, hal ini bkan berarti it di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitng adalah nilai it ntk mendekati, bkan nilai ntk sama dengan. Oleh karena it, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar, ntk diperoleh: Sehingga: ( ( 4 ( ( 4... (iv 4 6

9 Contoh.. Tentkan. Penyelesaian: ( ( (. Contoh..6 Tentkan Penyelesaian: ( ( (.( ( ( ( (.(.( ( ( ( ( ( Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat dignakan ntk menyelesaikan soal hitng it. Namn demikian tidak sema soal it dapat diselesaikan dengan sin cara demikian. Sebagai contoh, misalnya. Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membant dalam penyelesaian soal hitng it. Teorema.. (Teorema Apit Misalkan f, g, dan h fngsi-fngsi sehingga f ( g( h( ntk sema di dalam interval terbka yang memat c, kecali mngkin di c. Jika f ( h( L maka g( L. c c c Contoh..8 Tentkan sin. 66

10 Penyelesaian: Untk, sin. Oleh karena it, ntk berlak: Hal ini berakibat: sin sin sin Selanjtnya, karena ( maka sin. Soal Latihan Untk soal 6, tnjkkan pernyataan berikt dengan definisi it.. ( Jika, f (, tnjkkan bahwa f (, < tidak ada. Untk soal 8, hitnglah masing-masing it jika ada. 8. ( 9. (

11 4. 4 s s s n n a 9. a a n n a a a. h. h h ( (.. Limit Sat Sisi Kiranya mdah dipahami bahwa tidak ada, karena tidak terdefinisikan ntk <. Namn demikian, apabila > maka kepada definisi berikt ini. ada dan nilainya sama dengan. Hal ini membawa kita Definisi.. (i. Misalkan f( terdefinisikan pada sat interval ( c, c δ. Apabila ntk di dalam ( c, c δ yang ckp dekat dengan c, nilai f( mendekati L, maka dikatakan bahwa L merpakan it kanan f( ntk mendekati c, ditlis: c f ( L (ii. Misalkan f( terdefinisikan pada sat interval ( c δ, c. Apabila ntk di dalam ( c δ, c yang ckp dekat dengan c, nilai f( mendekati L, maka dikatakan bahwa L merpakan it kiri f( ntk mendekati c, ditlis: c f ( L Secara matematis, definisi di atas dapat ditliskan sebagai berikt: 68

12 (i. f ( L jika dan hanya jika ntk setiap ε > ada δ > sehingga ntk setiap ( c, c δ c berlak f ( L < ε. (ii. f ( L jika dan hanya jika ntk setiap ε > ada δ > sehingga ntk setiap ( c δ, c c berlak f ( L < ε. L ε L L ε L ε L L ε c cδ c-δ c (a Gambar.. (b Contoh.. (a. dan tidak ada. (b. Untk bilangan blat n, [] n dan [ ] n n n Contoh.. Tentkan f (, f (, f (, dan f ( jika diketahi: 69

13 Penyelesaian:, f (, < > (a. Untk ckp dekat dengan (baik < mapn >, f (. Oleh karena it, f ( f ( ( ( (b. Untk ckp dekat dengan dan <, f (. Sehingga: f ( Tetapi, ntk ckp dekat dengan dan >, f ( f ( (. Sehingga: ( (. Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri sat fngsi ada tetapi it kanannya tidak ada (ata sebaliknya, it kiri dan kanan sat fngsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan it kiri dan kanan sat fngsi ada dan nilainya sama. Selanjtnya, karena ketnggalan it maka diperoleh pernyataan berikt. Teorema..4 f ( L jika dan hanya jika f ( f ( L. c c c Sebagai akibat langsng dari Teorema di atas, diperoleh: Akibat.. Jika f ( f ( maka f ( tidak ada. c c c Pada Contoh.. di atas, karena f ( f ( maka f ( tidak ada.

14 Contoh..6 Diberikan: Karena ntk <, f (, maka:, f (, < > Secara sama, f ( f ( (.. Selanjtnya, karena f ( f ( maka: f (. Contoh.. Tentkan f ( jika diketahi:, f ( [], > Penyelesaian: f ( f ( [ ] Jadi, f (..4 Limit Tak Hingga dan Limit Menj Tak Hingga Terlebih dahl diperhatikan masalah hitng it berikt:. Untk nilai-nilai yang ckp dekat dengan, maka nilai-nilai f ( diberikan pada table berikt ini.

15 Tabel.4., 4, 4,.,.,..,.., 4..., 4... Dari Tabel.4. di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai semakin dekat dengan, maka nilai menjadi semakin besar. Bahkan nilai baik dari sisi kiri mapn dari sisi kanan. Grafik fngsi f ( f ( akan menjadi besar tak terbatas apabila mendekati, f ( dapat dilihat pada Gambar.4.. f ( Gambar.4.

16 Dalam hal ini, dikatakan bahwa it f( menj nol sama dengan tak hingga, ditlis: f ( Secara sama mdah diperlihatkan: Selanjtnya, diperoleh definisi berikt: Definisi.4. (i. c menjadi besar tak terbatas arah positif. (ii. c f ( jika ntk setiap ckp dekat dengan c, tetapi c, maka f( f ( jika ntk setiap ckp dekat dengan c, tetapi c, maka f( menjadi besar tak terbatas arah negatif. Secara matematis, Definisi di atas dapat ditlis sebagai: c f ( (ata jika ntk setiap bilangan real M > terdapat bilangan real δ > sehingga ntk setiap D f dengan sifat < c < δ berlak f ( > M (ata f ( < M Contoh.4. (a. (b.. Di atas telah diterangkan pengertian it ntk c, dengan c sat bilangan berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai f ( apabila nilai ckp besar.

17 Sebagai contoh, bagaimana nilai f ( apabila nilai ckp besar? Tabel.4. di bawah memperlihatkan nilai f ntk berbagai nilai. Ternyata semakin besar nilai (arah positif, nilai f ( semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan: Tabel.4. (a (b f ( f (,..,..,..,..,..,.., Secara sama, apabila besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat f ( mendekati nol, yait: Kemdian dapat ditrnkan pengertian it menj tak hingga. Hal it ditliskan dalam definisi berikt. Definisi.4. (i. f ( L jika f ( terdefinisikan ntk setiap nilai ckp besar (arah positif dan jika menjadi besar tak terbatas (arah positif maka f ( mendekati L. (ii. f ( jika f ( terdefinisikan ntk setiap nilai ckp besar (arah negatif dan jika menjadi besar tak terbatas (arah negatif maka f ( mendekati L. 4

18 Secara matematis, Definisi.4. dapat ditlis sebagai: (i. f ( L jika ntk setiap bilangan real ε > terdapat bilangan M > sehingga ntk setiap > M berlak f ( L < ε. (ii. f ( L jika ntk setiap bilangan real ε > terdapat bilangan M > sehingga ntk setiap < M berlak f ( L < ε. Mdah ditnjkkan bahwa: dan Contoh.4.4 Tentkan. 9 Penyelesaian: Untk >, 9 >. Sehingga dengan Teorema Apit diperoleh:. 9 < <. Selanjtnya, karena 9 maka Contoh.4. Hitng Penyelesaian: Karena:. 4 ( ( ( ( 4 maka sifat it perbagian tidak dapat dignakan. Namn demikian apabila pembilang dan penyebt samasama dibagi dengan maka:

19 6 ( ( Contoh.4.6 Tentkan 6. Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebt dengan, diperoleh: Contoh.4. Hitng 6 6. Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebt dengan, diperoleh:

20 Soal Latihan Untk soal, tentkan nilai itnya jika ada. Jika tidak ada itnya, terangkan alasannya! ( a. a ( a ( (.. ( 8.. Tentkan f (, f (, dan f ( jika diberikan:,, f (, < <

21 . Fngsi f yang terdefinisikan pada [ a, a] dikatakan genap (ata ganjil jika f ( f ( (ata f ( f ( ntk setiap [ a, a]. Jika f ( L genap, (b. f ganjil. maka tentkan f ( jika: (a. f. Limit Fngsi Trigonometri Dengan memanfaatkan Teorema Apit, dapat ditnjkkan teorema di bawah ini. sin Teorema.. (i.. sin tan (ii.. tan sinθ Contoh.. Hitng. θ tanθ Penyelesaian: sin θ sin θ θ sin θ θ θ θ.. θ tanθ θ θ tan θ θ θ θ θ tan θ θ θ Tetapi ntk θ berakibat θ dan θ, sehingga: Soal Latihan θ Untk soal, hitnglah nilai itnya. sin.. tan sin θ sin θ θ θ.. tanθ θ θ θ tan θ θ θ cos π π (... sin 4 tan. 4. sin. cos sin 6. a sin( a a 8

22 . 8. sin sin 4 tan 9. cos cos sin π cos. sin sin a.. a a sin tan cos.6 Bilangan Alam Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada rms binomim Newton. Untk sebarang a, b R dan n N : n n n nk k n n n n n n (.6. ( a b a b a na b ( a b... b k k! Apabila diambil a dan b, maka dari (.6. diperoleh: n n n n k n nk n( n... n n! n n k k n n......! n! n n n! n n n n Karena n n maka menrt Teorema Apit nilai n n n ada. Berdasarkan perhitngan, ntk n diperoleh: n...,8... e n n!! 4! Selanjtnya, e disebt bilangan alam. Secara sama dapat ditnjkkan: n (.6. e n n Mdah ditnjkkan bahwa ntk n m berlak: 9

23 n m n m Selanjtnya, apabila diberikan sebarang bilangan real positif maka dapat dicari bilangan asli m dan n sehingga n m. Hal ini berakibat: n m n m n m dan karena e maka sekali lagi dengan Teorema Apit diperoleh: n n m m (.6. e Berdasarkan (.6., tentnya mdah dipahami bahwa: (.6.4 e Selanjtnya, apabila diambil sbstitsi, maka ntk berakibat ±. Sehingga, dari (.6. dan (.6.4 diperoleh: ± (.6. ( e Contoh.6. Hitng. Penyelesaian: Apabila diambil sbstitsi y maka bertrt-trt diperoleh: (i. y, sehingga 6y. (ii. Karena y maka ntk berakibat y. Selanjtnya, berdasarkan (.6.4: 8

24 6y y y 6y y y y 6 y y y y y 6 y 6 6 e. e. y y y y Contoh.6. Tentkan ( ( Penyelesaian: Soal dapat ditlis:. ( ( ( ( ( Diambil sbstitsi y. Jika maka y. Selanjtnya, menrt (.6. diperoleh: y ( ( ( ( y ( ( y ( y y y. e Teorema berikt ini sangat bermanfaat ntk menyelesaikan soal-soal hitng it yang berkaitan dengan bilangan alam. Bkti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Teorema.6. Apabila f ( c dan g( (ata c maka: c ( f ( g( e c f (. g( Contoh.6.4 Tentkan Penyelesaian: Soal dapat ditlis:. 8

25 8 Apabila bertrt-trt diambil ( f dan ( g maka: ( dan ( g f Selanjtnya, menrt Teorema.6.: 6 ( e e. Contoh.6. Hitng. Penyelesaian: ( ( Selanjtnya, jika diambil ( f dan ( g maka: ± ( dan ( g f Sehingga menrt Teorema.6.: ( (. ( e ( ( ( e e. Contoh.6.6 Selesaikan. Penyelesaian: Tlis: Bertrt-trt diambil sbstitsi:

26 8 dan v maka: (i. ( ( ln log. log log log(. e (ii. ( ( ln log. log log log(. e Selanjtnya, dari (i dan (ii diperoleh: ( ln ln. Soal Latihan Untk soal, hitnglah nilai itnya... ( (. 4. ( (. 6.. ln (

27 . Fngsi Kontin Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelmnya, kadang-kadang nilai f ( sama dengan c f (c, kadang pla tidak sama. Pada kenyataannya, meskipn f (c tidak terdefinisikan akan tetapi f ( c mngkin ada. Apabila f ( c f (c maka dikatakan fngsi f kontin di c. Definisi.. Fngsi f dikatakan kontin di a jika f ( f ( a. D f a Definisi.. di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fngsi f kontin di a, yait: (i. f(a ada ata terdefinisikan, (ii. f ( ada, dan a (iii. f ( f ( a a Secara grafik, fngsi f kontin di a jika grafik fngsi f pada sat interval yang memat a tidak terpotong di titik ( a, f ( a. Jika fngsi f tidak kontin di a maka dikatakan f diskontin di a. Pada Gambar, f kontin di dan di setiap titik di dalam ( a, b kecali di titik-titik,, dan 4. Fngsi f diskontin di karena f ( tidak ada, diskontin di karena nilai f ( tidak sama dengan nilai fngsi di (meskipn kedanya ada, dan diskontin di 4 karena nilai fngsi di titik ini tidak ada. y f ( a 4 b Gambar.. 84

28 Fngsi f dikatakan kontin pada interval I jika f kontin di setiap titik anggota I. Contoh.. (a. Fngsi f dengan rms ( (b. Fngsi Heavyside H yang didefinisikan oleh f diskontin di karena f ( tidak terdefinisi. H ( jika < jika diskontin di sebab H ( tidak ada. (c. Fngsi g dengan definisi: g ( 4 jika jika 4 diskontin di sebab g( sedangkan g( ( 4 fngsi g kontin di sebab g( g(.. Namn demikian Berikt sifat-sifat dasar fngsi kontin. Teorema.. Jika fngsi f dan g kontin di a, dan k sebarang konstanta real, maka fg, f g, kf, dan fg kontin di a. Demikian pla, g f g a. kontin di a asalkan ( 8

29 Seperti halnya pada hitng it, dalam kekontinan jga dikenal istilah kontin sat sisi. Hal it diberikan pada definisi berikt ini. Definisi..4 (i. Fngsi f dikatakan kontin dari kiri di a jika f ( a. a (ii. Fngsi f dikatakan kontin dari kanan di c jika f ( f ( c. c Contoh.. Diberikan f (. Penyelesaian: Selidikilah kekontinan fngsi f. Jelas f tidak kontin pada (, dan pada (, Untk nilai-nilai a dengan < a < diperoleh: a f sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebt. ( ( a f ( a a a Jadi, f kontin pada (,. Dengan perhitngan serpa didapatkan: f ( f ( dan f ( f ( sehingga f kontin dari kanan di dan kontin dari kiri di. Jadi, f kontin pada [, ]. Teorema..6 Fngsi polinomial, fngsi rasional, fngsi akar, fngsi logaritma, fngsi eksponen, dan fngsi trigonometri kontin pada domainnya masing-masing. Contoh.. f kontin pada R. (a. ( f kontin pada { R ;, }. (b. ( (c. f ( kontin pada [,. 86

30 Hbngan antara fngsi kontin dan hitng it dinyatakan dalam teorema berikt. Teorema..8 Jika f kontin di b dan g( b, a maka f ( g( f ( b. a Dengan kata lain f a ( g( f g( a Contoh..9 Hitng ln (. Penyelesaian: Namakan f ( ln dan g (. Karena g( dan f kontin di maka ln ( f ( g( f g( ln g( ln. Soal Latihan Untk soal 8, tentkan titik-titik di mana fngsi berikt diskontin.. h(. f (. f ( s t 4 4. g( tan. f ( s 6. h ( t s t., > g (, < 8.,, f (,, < > 9. Selidiki kontinitas f ( pada [,] 8

31 88.Jika <,, ( f maka tnjkkan bahwa f kontin pada ], [. Untk soal, tentkan nilai a dan b agar fngsi-fngsi berikt kontin ntk pada R.. >,, ( b a f. > <,, 4, tan tan ( b a b a f

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM 5 Hasil Kali Dalam Untk memotiasi konsep hasil kali dalam diambil ektor di R dan R sebagai anak panah dengan titik awal di titik asal O = ( ) Panjang sat ektor x di R dan R

Lebih terperinci

HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI

HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI A. Hasil Kali Titik (Hasil Kali Skalar) Da Vektor. Hasil Kali Skalar Da Vektor di R Perkalian diantara da

Lebih terperinci

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM 5 Hasil Kali Dalam Untk memotiasi konsep hasil kali dalam diambil ektor di R dan R sebagai anak panah dengan titik awal di titik asal O ( ) Panjang sat ektor x di R dan R dinamakan

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR (Vektor diruang 2 dan 3) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.

ALJABAR LINEAR (Vektor diruang 2 dan 3) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M. ALJABAR LINEAR (Vektor dirang 2 dan 3) Dissn Untk Memenhi Tgas Mata Kliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdl Aziz Saefdin, M.Pd Dissn Oleh : Kelompok 3/3A4 1. Nrl Istiqomah 14144100130 2. Ambar Retno

Lebih terperinci

3. RUANG VEKTOR. dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh

3. RUANG VEKTOR. dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh . RUANG VEKTOR. VEKTOR (GEOMETRIK) PENGANTAR Jika n adalah sebah bilangan blat positif maka tpel-terorde (ordered-n-tple) adalah sebah rtan n bilangan riil (a a... a n ). Himpnan sema tpel-terorde dinamakan

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

Solusi Sistem Persamaan Linear Fuzzy

Solusi Sistem Persamaan Linear Fuzzy Jrnal Matematika Vol. 16, No. 2, November 2017 ISSN: 1412-5056 / 2598-8980 http://ejornal.nisba.ac.id Diterima: 14/08/2017 Disetji: 20/10/2017 Pblikasi Online: 28/11/2017 Solsi Sistem Persamaan Linear

Lebih terperinci

PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM. V, yang selanjutnya dinotasikan dengan v, didefinisikan:

PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM. V, yang selanjutnya dinotasikan dengan v, didefinisikan: PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM Perl diingat kembali definisi panjang dan jarak sat ektor pada rang hasil kali dalam Eclid, yait rnag ektor yang hasil kali dlamnya didefinisikan sebagai

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

Hasil Kali Titik. Dua Operasi Vektor. Sifat-sifat Hasil Kali Titik. oki neswan (fmipa-itb)

Hasil Kali Titik. Dua Operasi Vektor. Sifat-sifat Hasil Kali Titik. oki neswan (fmipa-itb) oki neswan (fmipa-itb) Da Operasi Vektor Hasil Kali Titik Misalkan OAB adalah sebah segitiga, O (0; 0) ; A (a 1 ; a ) ; dan B (b 1 ; b ) : Maka panjang sisi OA; OB; dan AB maing-masing adalah q joaj =

Lebih terperinci

PENYELESAIAN LUAS BANGUN DATAR DAN VOLUME BANGUN RUANG DENGAN KONSEP DETERMINAN

PENYELESAIAN LUAS BANGUN DATAR DAN VOLUME BANGUN RUANG DENGAN KONSEP DETERMINAN Bletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volme xx, No. x (tahn), hal xx xx. PENYELESAIAN LUAS BANGUN DATAR DAN VOLUME BANGUN RUANG DENGAN KONSEP DETERMINAN Doni Saptra, Helmi, Shantika Martha

Lebih terperinci

URUNAN PARSIAL. Definisi Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka: atau f x (x,y), didefinisikan sebagai

URUNAN PARSIAL. Definisi Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka: atau f x (x,y), didefinisikan sebagai 6 URUNAN PARSIAL Deinisi Jika ngsi da ariable maka: i Trnan parsial terhadap dinotasikan dengan ata dideinisikan sebagai ii Trnan parsial terhadap dinotasikan dengan ata dideinisikan sebagai Tentkan trnan

Lebih terperinci

NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com

NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com 1 NAMA : KELAS : teresiaeni.wordpress.com TURUNAN/DIFERENSIAL Deinisi : Laj perbaan nilai teradap ariabelnya adala : y dy d ' = = d d merpakan ngsi bar disebt trnan ngsi ata perbandingan dierensial, proses

Lebih terperinci

lim 0 h Jadi f (x) = k maka f (x)= 0 lim lim lim TURUNAN/DIFERENSIAL Definisi : Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah :

lim 0 h Jadi f (x) = k maka f (x)= 0 lim lim lim TURUNAN/DIFERENSIAL Definisi : Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah : TURUNAN/DIFERENSIAL Deinisi : Laj perbaan nilai teradap ariabelnya adala : y dy d lim = lim = 0 0 d d merpakan ngsi bar disebt trnan ngsi ata perbandingan dierensial, proses mencarinya disebt menrnkan

Lebih terperinci

BEBERAPA SIFAT JARAK ROTASI PADA POHON BINER TERURUT DAN TERORIENTASI

BEBERAPA SIFAT JARAK ROTASI PADA POHON BINER TERURUT DAN TERORIENTASI JRISE, Vol.1, No.1, Febrari 2014, pp. 28~40 ISSN: 2355-3677 BEBERAPA SIFA JARAK ROASI PADA POHON BINER ERURU DAN ERORIENASI Oleh: Hasniati SMIK KHARISMA Makassar hasniati@kharisma.ac.id Abstrak Andaikan

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

Diferensial fungsi sederhana

Diferensial fungsi sederhana Diferensial fngsi sederhana Kaidah-kaidah diferensiasi 1. Diferensiasi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka / = 0 contoh : y = 5 / = 0. Diferensiasi fngsi pangkat Jika y = n, dimana n

Lebih terperinci

BUKU AJAR METODE ELEMEN HINGGA

BUKU AJAR METODE ELEMEN HINGGA BUKU AJA ETODE EEEN HINGGA Diringkas oleh : JUUSAN TEKNIK ESIN FAKUTAS TEKNIK STUKTU TUSS.. Deinisi Umm Trss adalah strktr yang terdiri atas batang-batang lrs yang disambng pada titik perpotongan dengan

Lebih terperinci

CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE

CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE Inner Prodcts Angle and Orthogonality in Inner Prodct Spaces Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Sqares Orthogonal Matrices;

Lebih terperinci

(x, f(x)) P. x = h. Gambar 4.1. Gradien garis singgung didifinisikan sebagai limit y/ x ketika x mendekati 0, yakni

(x, f(x)) P. x = h. Gambar 4.1. Gradien garis singgung didifinisikan sebagai limit y/ x ketika x mendekati 0, yakni Diktat Klia TK Matematika BAB TURUNAN Graien Garis Singgng Tinja seba krva = f() seperti iperliatkan paa Gambar Garis ang melali titik P(, f( )) an Q( +, f( + )) isebt tali bsr Graien tali bsr tersebt

Lebih terperinci

EKONOMETRIKA PERSAMAAN SIMULTAN

EKONOMETRIKA PERSAMAAN SIMULTAN EKONOMETRIKA PERSAMAAN SIMULTAN OLEH KELOMPOK 5 DEKI D. TAPATAB JUMASNI K. TANEO MERSY C. PELT DELFIANA N. ERO GERARDUS V. META ARMY A. MBATU SILVESTER LANGKAMANG FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS NUSA CENDANA

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

PENELUSURAN LINTASAN DENGAN JARINGAN SARAF TIRUAN

PENELUSURAN LINTASAN DENGAN JARINGAN SARAF TIRUAN Bab 4 PENELUSURAN LINTASAN DENGAN JARINGAN SARAF TIRUAN Tgas mendasar dari robot berjalan ialah dapat bergerak secara akrat pada sat lintasan (trajectory) yang diberikan Ata dengan kata lain galat antara

Lebih terperinci

BAB RELATIVITAS Semua Gerak adalah Relatif

BAB RELATIVITAS Semua Gerak adalah Relatif BAB RELATIVITAS. Sema Gerak adalah Relatif Sat benda dikatakan bergerak bila keddkan benda it berbah terhadap sat titik aan ata kerangka aan. Seorang penmpang kereta api yang sedang ddk di dalam kereta

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gnawan Semester II, 2016/2017 3 Maret 2017 Kliah yang Lal 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kra di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

Untuk pondasi tiang tipe floating, kekuatan ujung tiang diabaikan. Pp = kekuatan ujung tiang yang bekerja secara bersamaan dengan P

Untuk pondasi tiang tipe floating, kekuatan ujung tiang diabaikan. Pp = kekuatan ujung tiang yang bekerja secara bersamaan dengan P BAB 3 LANDASAN TEORI 3.1 Mekanisme Pondasi Tiang Konvensional Pondasi tiang merpakan strktr yang berfngsi ntk mentransfer beban di atas permkaan tanah ke lapisan bawah di dalam massa tanah. Bentk transfer

Lebih terperinci

III PEMODELAN SISTEM PENDULUM

III PEMODELAN SISTEM PENDULUM 14 III PEMODELAN SISTEM PENDULUM Penelitian ini membahas keterkontrolan sistem pendlm, dengan menentkan model matematika dari beberapa sistem pendlm, dan dilakkan analisis dan menyederhanakan permasalahan

Lebih terperinci

Mata Kuliah: Aljabar Linier Dosen Pengampu: Darmadi, S. Si, M. Pd

Mata Kuliah: Aljabar Linier Dosen Pengampu: Darmadi, S. Si, M. Pd . RUANG BERDIMENSI n EUCLIDIS Mata Kliah: Aljabar Linier Dosen Pengamp: Darmadi S. Si M. Pd Dissn oleh: Kelompok Pendidikan Matematika VA. Abdl Fajar Sidiq (8.). Lilies Prwanti (8.76). Ristinawati (8.)

Lebih terperinci

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika PENGANTAR KALKULUS Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gnawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kliah yang Lal 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kra di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2 Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

Penerapan Masalah Transportasi

Penerapan Masalah Transportasi KA4 RESEARCH OPERATIONAL Penerapan Masalah Transportasi DISUSUN OLEH : HERAWATI 008959 JAKA HUSEN 08055 HAPPY GEMELI QUANUARI 00890 INDRA MOCHAMMAD YUSUF 0800 BAB I PENDAHULUAN.. Pengertian Riset Operasi

Lebih terperinci

BAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Diktat Kuliah TK Matematika BAB LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Limit Fungsi Pengantar Limit Tinjau fungsi yang didefinisikan oleh f ( ) Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi pada = karena memiliki

Lebih terperinci

PENYELESAIAN MASALAH KONTROL OPTIMAL KONTINU YANG MEMUAT FAKTOR DISKON

PENYELESAIAN MASALAH KONTROL OPTIMAL KONTINU YANG MEMUAT FAKTOR DISKON Jrnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 157 161 ISSN : 233 291 c Jrsan Matematika FMIPA UNAND PENYELESAIAN MASALAH KONTROL OPTIMAL KONTINU YANG MEMUAT FAKTOR DISKON DALIANI Program Stdi Matematika, Fakltas

Lebih terperinci

EKSISTENSI BAGIAN IMAJINER PADA INTEGRAL FORMULA INVERSI FUNGSI KARAKTERISTIK

EKSISTENSI BAGIAN IMAJINER PADA INTEGRAL FORMULA INVERSI FUNGSI KARAKTERISTIK Jrnal Matematika UNAND Vol. No. 2 Hal. 39 43 ISSN : 233 29 c Jrsan Matematika FMIPA UNAND EKSISTENSI BAGIAN IMAJINER PADA INTEGRAL FORMULA INVERSI FUNGSI KARAKTERISTIK YULIANA PERMATASARI Program Stdi

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Pengembangan Hasil Kali Titik Pada Vektor

Pengembangan Hasil Kali Titik Pada Vektor Pengembangan Hasil Kali Titik Pada Vektor Swandi *, Sri Gemawati 2, Samsdhha 2 Mahasiswa Program Stdi Magister Matematika, Dosen Pendidikan Matematika Uniersitas Pasir Pengaraian 2 Dosen Jrsan Matematika

Lebih terperinci

BEBERAPA IDENTITAS PADA GENERALISASI BARISAN FIBONACCI ABSTRACT

BEBERAPA IDENTITAS PADA GENERALISASI BARISAN FIBONACCI ABSTRACT BEBERP IDENTITS PD GENERLISSI BRISN FIBONCCI Sri Melati 1, Mashadi, Msraini M 1 Mahasiswa Program Stdi S1 Matematika Dosen Jrsan Matematika Fakltas Matematika dan Ilm Pengetahan lam Universitas Ria Kamps

Lebih terperinci

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Limit Fungsi Pertemuan - 2

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Limit Fungsi Pertemuan - 2 a home base to eellene Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 0 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - a home base to eellene TIU : Mahasiswa dapat memahami it ungsi TIK : Mahasiswa mampu menyelesaikan it ungsi

Lebih terperinci

BAB III 3. METODOLOGI PENELITIAN

BAB III 3. METODOLOGI PENELITIAN BAB III 3. METODOLOGI PENELITIAN 3.1. PROSEDUR ANALISA Penelitian ini merpakan sebah penelitian simlasi yang menggnakan bantan program MATLAB. Adapn tahapan yang hars dilakkan pada saat menjalankan penlisan

Lebih terperinci

KAJIAN PEMODELAN MATEMATIKA TERHADAP PENYEBARAN VIRUS AVIAN INFLUENZA TIPE-H5N1 PADA POPULASI UNGGAS

KAJIAN PEMODELAN MATEMATIKA TERHADAP PENYEBARAN VIRUS AVIAN INFLUENZA TIPE-H5N1 PADA POPULASI UNGGAS KAJIAN PEMODELAN MATEMATIKA TERHADAP PENYEBARAN VIRUS AVIAN INFLUENZA TIPE-H5N1 PADA POPULASI UNGGAS Dian Permana Ptri 1, Herri Slaiman FKIP, Pendidikan Matematika, Universitas Swadaya Gnng Jati Cirebon

Lebih terperinci

karena limit dari kiri = limit dari kanan

karena limit dari kiri = limit dari kanan A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami

Lebih terperinci

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Trihastuti Agustinah

Trihastuti Agustinah TE 9467 Teknik Nmerik Sistem Linear Trihastti Agstinah Bidang Stdi Teknik Sistem Pengatran Jrsan Teknik Elektro - FTI Institt Teknologi Seplh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF TEORI CONTOH 4 SIMPULAN 5 LATIHAN

Lebih terperinci

Trihastuti Agustinah

Trihastuti Agustinah TE 9467 Teknik Nmerik Sistem Linear Trihastti Agstinah Bidang Stdi Teknik Sistem Pengatran Jrsan Teknik Elektro - FTI Institt Teknologi Seplh Nopember O U T L I N E. Objektif. Teori. Contoh 4. Simplan

Lebih terperinci

METODE FINITE DIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS ABSTRACT 1. PENDAHULUAN

METODE FINITE DIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS ABSTRACT 1. PENDAHULUAN METODE FINITE DIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS Mardhika WA 1, Syamsdhha 2, Aziskhan 2 mardhikawirahadi@nriacid 1 Mahasiswa Program Stdi S1 Matematika 2 Laboratorim Komptasi Jrsan

Lebih terperinci

Pemodelan Matematika Rentang Waktu yang Dibutuhkan dalam Menghafal Al-Qur an

Pemodelan Matematika Rentang Waktu yang Dibutuhkan dalam Menghafal Al-Qur an Pemodelan Matematika Rentang Wakt yang Dibthkan dalam Menghafal Al-Qr an Indah Nrsprianah Tadris Matematika, IAIN Syekh Nrjati Cirebon Email: rizqi.syadida@yahoo.com Abstrak Kegiatan menghafal Al-Qr an

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer Aljabar Linear Elementer MA SKS Silabs : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Rang Bab V Rang Vektor Bab VI Rang Hasil Kali

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

Pengenalan Pola. Ekstraksi dan Seleksi Fitur

Pengenalan Pola. Ekstraksi dan Seleksi Fitur Pengenalan Pola Ekstraksi dan Seleksi Fitr PTIIK - 4 Corse Contents Collet Data Objet to Dataset 3 Ekstraksi Fitr 4 Seleksi Fitr Design Cyle Collet data Choose featres Choose model Train system Evalate

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Logika Fzzy Pada awalnya sistem logika fzzy diperkenalkan oleh Profesor Lotfi A. Zadeh pada tahn 1965. Konsep fzzy bermla dari himpnan klasik (crisp) yang bersifat tegas ata

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

MODUL PERKULIAHAN. Kalkulus. Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

MODUL PERKULIAHAN. Kalkulus. Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh MODUL PERKULIAHAN Modl Standar ntk dignakan dalam Perkliahan di Universitas Merc Bana Fakltas Program Stdi Tatap Mka Kode MK Dissn Oleh Ilm Kompter Teknik Informatika 9 Abstract Matakliah Menjadi Dasar

Lebih terperinci

Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi. Syawaluddin H 1)

Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi. Syawaluddin H 1) tahaean Vol. 4 No. Janari 007 rnal TKNIK SIPIL Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan nergi Syaalddin ) Abstrak Paper ini menyajikan pengerjaan hkm kekekalan energi pada pemodelan

Lebih terperinci

TEKANAN TANAH PADA DINDING PENAHAN METODA RANKINE

TEKANAN TANAH PADA DINDING PENAHAN METODA RANKINE TEKAA TAAH PADA DIDIG PEAHA METODA RAKIE Moda kernthan F Gaya F dapat disebabkan oleh: gesekan pada dasar (gravity retaining walls) masknya dinding ke dalam tanah (sheet retaining walls) angker dan penahan

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Pengertian dan notasi dari it suatu fungsi, f() di suatu nilai = a diberikan secara intuitif berikut. Bila nilai f() mendekati L untuk nilai mendekati a dari arah kanan maka dikatakan

Lebih terperinci

MODEL MATEMATIKA WAKTU PENGOSONGAN TANGKI AIR

MODEL MATEMATIKA WAKTU PENGOSONGAN TANGKI AIR Prosiding Seinar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakltas MIPA, Universitas Negeri Yogakarta, 6 Mei 9 MODEL MATEMATIKA WAKTU PENGOSONGAN TANGKI AIR Irawati, Kntjoro Adji Sidarto. Gr SMA

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 8 BAB LANDASAN TEORI. Pasar.. Pengertian Pasar Pasar adalah sebah tempat mm yang melayani transaksi jal - beli. Di dalam Peratran Daerah Khss Ibkota Jakarta Nomor 6 Tahn 99 tentang pengrsan pasar di Daerah

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Sejarah Analisis Jalr Teknik analisis jalr yang dikembangkan oleh Sewal Wright di tahn 1934, sebenarnya merpakan pengembangan korelasi yang dirai menjadi beberapa interpretasi akibat

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM

LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM Bilangan Tidak Tertentu Nol = Bilangan yang menyatakan banyaknya elemen himpunan kosong Misal : A={Orang yang Istrinya } Terdapat bilangan mendekati dari kiri/bawah/negati

Lebih terperinci

lensa objektif lensa okuler Sob = fob

lensa objektif lensa okuler Sob = fob 23 jekti ler S = ~ S = A B d 24 Diagram pembentkan bayangannya adalah sebagari berikt: jekti d ler S = ~ S S A B S Teropong Pantl (Teleskop Releksi) Teropong jenis ini menggnakan sat positi, sat cermin

Lebih terperinci

PENGENDALIAN OPTIMAL PADA MODEL KEMOPROFILAKSIS DAN PENANGANAN TUBERKULOSIS

PENGENDALIAN OPTIMAL PADA MODEL KEMOPROFILAKSIS DAN PENANGANAN TUBERKULOSIS PENGENDALIAN OPTIMAL PADA MODEL KEMOPROFILAKSIS DAN PENANGANAN TUBERKULOSIS Ole: Citra Dewi Ksma P. 106 100 007 Dosen pembimbing: DR. Sbiono, MSc. Latar Belakang PENDAHULUAN Penyakit Tberklosis TB adala

Lebih terperinci

PRAKTIKUM OPERASI TEKNIK KIMIA II MODUL 5 BILANGAN REYNOLD

PRAKTIKUM OPERASI TEKNIK KIMIA II MODUL 5 BILANGAN REYNOLD PRAKTIKUM OPERASI TEKNIK KIMIA II MODUL 5 BILANGAN REYNOLD LABORATORIUM RISET DAN OPERASI TEKNIK KIMIA PROGRAM STUDI TEKNIK KIMA FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UPN VETERAN JAWA TIMUR SURABAYA BILANGAN REYNOLD

Lebih terperinci

BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Pembahasan pada bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama dibahas it fungsi yang meliputi pengertian, sifat, dan penghitungan nilai it suatu fungsi. Pada

Lebih terperinci

PENGGUNAAN ALGORITMA KUHN MUNKRES UNTUK MENDAPATKAN MATCHING MAKSIMAL PADA GRAF BIPARTIT BERBOBOT

PENGGUNAAN ALGORITMA KUHN MUNKRES UNTUK MENDAPATKAN MATCHING MAKSIMAL PADA GRAF BIPARTIT BERBOBOT PENGGUNAAN ALGORITMA KUHN MUNKRES UNTUK MENDAPATKAN MATCHING MAKSIMAL PADA GRAF BIPARTIT BERBOBOT oleh GURITNA NOOR AINATMAJA M SKRIPSI ditlis dan diajkan ntk memenhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Lebih terperinci

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT VEKTOR Oleh : Msayyanah, S.ST, MT . ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang ckp dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satan). Contoh

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN

Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN 440 Bagian IV. TOPIK-TOPIK LJUT Stabilitas liran Flida 44 BB 6 Stabilitas liran Flida 6. Pendahlan pa yang telah kita lakkan selama ini adalah memprediksikan gerakan flida dengan menggnakan persamaan-persamaan

Lebih terperinci

WALIKOTA BANJARMASIN

WALIKOTA BANJARMASIN / WALIKOTA BANJARMASIN PERATURAN WALIKOTA BANJARMASIN NOMOR TAHUN2013 TENTANG PEDOMAN STANDAR KINERJA INDIVIDU PEGAWAI NEGERI SIPIL DILINGKUNGAN PEMERINTAH KOTA BANJARMASIN DENGAN RAHMAT TUHAN YANG MAHA

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

LENSA OBJEKTIF LENSA OKULER SOB = FOB

LENSA OBJEKTIF LENSA OKULER SOB = FOB LENSA OBJEKTIF LENSA OKULER SOB = FOB 23 lensa objektif lensa okler Sob = ~ Sob = fob A fob fob B d 24 Diagram pembentkan bayangannya adalah sebagari berikt: lensa objektif d Sob = ~ lensa okler Sob Sok

Lebih terperinci

vektor ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip

vektor ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip MODUL MATEMATIKA SMA ektr ( MAT..4 ) Dissn Oleh : Drs. Pndjl Prijn Nip. 95807.980..00 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sngkn N. 58 Telp. (04) 7506 Malang Mdl..4 VEKTOR

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Pengertian limit secara intuisi

Pengertian limit secara intuisi Pengertian it secara intuisi Perhatikan fungsi f ( ) = Fungsi diatas tidak terdefinisi di =, karena di titik tersebut f() berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f() jika mendekati Dengan

Lebih terperinci

8. FUNGSI TRANSENDEN

8. FUNGSI TRANSENDEN 8. FUNGSI TRANSENDEN 8. Fngsi Invrs Misalkan : D R dngan Dinisi 8. Fngsi = disbt sat-sat jika = v maka = v ata jika v maka v v ngsi = sat-sat ngsi =- sat-sat ngsi tidak sat-sat INF8 Kalkls Dasar Scara

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan

Lebih terperinci

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi .. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Small Area Estimation Small Area Estimation (SAE) adalah sat teknik statistika ntk mendga parameter-parameter sb poplasi yang kran sampelnya kecil. Sedangkan, area kecil didefinisikan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I 7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi

Lebih terperinci

PERPINDAHAN KALOR KONVEKSI DAN ALAT PENUKAR KALOR

PERPINDAHAN KALOR KONVEKSI DAN ALAT PENUKAR KALOR Diktat Mata Kliah PERPINDAHAN KALOR KONVEKSI DAN ALA PENUKAR KALOR Dignakan Khss Di Lingkngan Program Stdi eknik Mesin S-1 Universitas Mhammadiah Yogakarta Oleh: EDDY NURCAHYADI, S, MEng (1979010600310

Lebih terperinci

FAKULTAS DESAIN dan TEKNIK PERENCANAAN

FAKULTAS DESAIN dan TEKNIK PERENCANAAN Wiryanto Dewobroto ---------------------------------- Jrsan Teknik Sipil - Universitas elita Harapan, Karawaci FAKULTAS DESAIN dan TEKNIK ERENCANAAN UJIAN TENGAH SEMESTER ( U T S ) GENA TAHUN AKADEMIK

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis jalur yang dikenal dengan path analysis dikembangkan pertama pada tahun 1920-an oleh

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis jalur yang dikenal dengan path analysis dikembangkan pertama pada tahun 1920-an oleh BAB LANDASAN TEORI. Sejarah Analisis Jalr (Path Analysis) Analisis jalr yang dikenal dengan path analysis dikembangkan pertama pada tahn 90-an oleh seorang ahli genetika yait Sewall Wright. Teknik analisis

Lebih terperinci

OPTIMALISASI FITUR-FITUR PADA APLIKASI PRESENTASI UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PENYAMPAIAN PESAN BERBASIS HCI

OPTIMALISASI FITUR-FITUR PADA APLIKASI PRESENTASI UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PENYAMPAIAN PESAN BERBASIS HCI OPTIMALISASI FITUR-FITUR PADA APLIKASI PRESENTASI UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PENYAMPAIAN PESAN BERBASIS HCI Mokhamad Fatoni, Indri Sdanawati Rozas, S.Kom., M.Kom., Latifah Rifani, S.T., MIT. Jrsan Sistem

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

Integrasi 2. Metode Integral Kuadratur Gauss 2 Titik Metode Integral Kuadratur Gauss 3 Titik Contoh Kasus Permasalahan Integrasi.

Integrasi 2. Metode Integral Kuadratur Gauss 2 Titik Metode Integral Kuadratur Gauss 3 Titik Contoh Kasus Permasalahan Integrasi. Interasi Metode Interal Kadratr Gass Titik Metode Interal Kadratr Gass Titik Contoh Kass Permasalahan Interasi Interasi Metode Interasi Gass Metode interasi Gass merpakan metode yan tidak mennakan pembaian

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

KAJIAN PENGGUNAAN KOMPRESOR AKSIAL

KAJIAN PENGGUNAAN KOMPRESOR AKSIAL Jrnal Dinamis Vol. II, No. 6, Janari 00 ISSN 06-749 KAJIAN PENGGUNAAN KOMPRESOR AKSIAL Tekad Sitep Staf Pengajar Departemen Teknik Mesin Fakltas Teknik Universitas Smatera Utara Abstrak Tlisan ini mencoba

Lebih terperinci

Korelasi Pasar Modal dalam Ekonofisika

Korelasi Pasar Modal dalam Ekonofisika Korelasi Pasar Modal dalam Ekonofisika Yn Hariadi Dept. Dynamical System Bandng Fe Institte yh@dynsys.bandngfe.net Pendahlan Fenomena ekonomi sebagai kondisi makro yang merpakan hasil interaksi pada level

Lebih terperinci