Waktu Optimal dalam Diversifikasi Produksi Sumber Energi Terbarukan dan Tidak Terbarukan Dengan Menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin

Transkripsi

1 Waktu Optimal dalam Diversifikasi Produksi Sumber Energi Terbarukan dan Tidak Terbarukan Dengan Menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin Oleh: Misbahur Khoir Dosen Pembimbing: Subchan, Ph.D JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2014

2 Latar Belakang Kebutuhan energi di indonesia semakin meningkat. Persediaan energi semakin menurun. Kebijakan umum energi.

3 Rumusan Masalah Bagaimana menentukan waktu yang optimal dalam produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan?

4 Batasan Masalah 1. Model sistem dinamik dan fungsi tujuan yang digunakan telah ditentukan (Miah, dkk, 2011). 2. Variabel pengendali (u) adalah persentase tingkat pertumbuhan dalam produksi sumber energi?. 3. Simulasi menggunakan software Matlab

5 Tujuan untuk mendapatkan waktu yang optimal dalam produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan dengan kondisi batas yang sudah ditentukan.

6 Manfaat 1. Diperoleh pengetahuan untuk menerapkan teori kendali optimal menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin untuk menentukan waktu yang ptimal dalam produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan. 2. Dapat dijadikan sebagai bahan pertimbangan dalam menentukan kebijakan pada produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan.

7 Sumber Energi Terbarukan dan Tidak Terbarukan Sumber energi terbarukan adalah sumber energi yang secara alamiah tidak akan habis dan dapat berkelanjutan jika dikelola dengan baik. Sumber energi tidak terbarukan atau yang disebut konvensional adalah energi yang di ambil dari sumber yang hanya tersedia di alam dengan jumlah terbatas dan akan habis suatu saat nanti.

8 Model Matematika dari Sistem Dinamik Sumber Energi Terbarukan dan Tidak Terbarukan x 1 = x 2 = dx1 dt dx2 dt = α1 x1 β1 x1 x2 = α2 x2 β2 x1 x2 dengan: x1 : tingkat produksi sumber energi terbarukan. x2 : tingkat produksi sumber energi tidak terbarukan.

9 Model Matematika dari Sistem Dinamik Sumber Energi Terbarukan dan Tidak Terbarukan (2) α1 (t ) : presentase tingkat pertumbuhan dalam produksi sumber energi terbarukan, 1 u1 1 α2 (t ) : presentase tingkat pertumbuhan dalam produksi sumber energi tidak terbarukan, 1 u2 1 β1 : konstanta positif dari tingkat pengurangan produksi sumber energi terbarukan karena persaingan dengan produksi sumber energi tidak terbarukan. β2 : konstanta positif dari tingkat pengurangan produksi sumber energi tidak terbarukan karena persaingan dengan produksi sumber energi terbarukan.

10 Model Model matematika dari fungsi tujuan J (u ) = 1 2 Z tf t0 {q1 u12 + q2 u22 }dt

11 Model Kebijakan Energi Program Hemat energi Meningkatkan pemanfaatan energi terbarukan

12 Teori Kendali Optimal diberikan sistem dinamik: x (t ) = f (x (t ), u (t ), t ) x (t0 ) = x0 x (tf ) = xf Akan dicari kendali optimal u (t ) dengan tujuan meminimumkan/memaksimumkan: Rt J (x ) = S (x (tf ), tf ) + t0f V (x, u, t )dt

13 Prinsip Minimum Pontryagin Langkah 1 bentuk fungsi hamiltonian H, yaitu: H (x (t ), u (t ), λ(t ), t ) = V (x (t ), u (t ), t ) + λ0 f (x (t ), u (t ), t ) Langkah 2 selesaikan persamaan kendali, yaitu minimumkan H terhadap u(t) ( Hu ) = 0 sehingga diperoleh kondisi stationer u (t ) Langkah 3 gunakan hasil u (t ) pada langkah 2 untuk menhapatkan Hamiltonian baru yang optimal, yaitu: H (x (t ), u (t ), λ (t ), t ) H (x (t ), u (t ), λ (t ), t )

14 Prinsip Minimum Pontryagin (Lanjutan) Langkah 4 Selesaikan 2n persamaan: ( H ) x (t ) = +( λ ) dan t ) = ( ( H ) ) λ( x

15 Prinsip Minimum Pontryagin (Lanjutan) Berdasarkan perbedaan antara keadaan dimana tf dan state pada waktu akhir (x (tf )) sistem dibedakan menjadi lima tipe yaitu (Naidu, 2002): Sistem dengan waktu akhir dan state pada waktu akhir ditentukan, sehingga tidak ada batas untuk sistem ini. Sistem dengan waktu akhir tidak ditentukan dan state pada waktu akhir ditentukan, sehingga batas untuk sistem ini yaitu: S (H + )tf = 0 t Sistem dengan waktu akhir ditentukan dan state pada waktu akhir tidak ditentukan, sehingga batas untuk sistem ini adalah: S (( ) λ (t ))tf = 0 x

16 Prinsip Minimum Pontryagin (Lanjutan) Sistem dengan waktu akhir dan state pada waktu akhir tidak ditentukan keduanya, dengan state pada waktu akhir merupakan fungsi yang bergantung pada waktu akhir Karena x (tf ) = θ(tf ) dan δxf θ (tf )δtf, batas untuk sistem ini adalah: [(H + S S ) + (( ) λ (t ))0 θ (t )]tf δtf = 0 t x Dan karena waktu akhir tidak ditentukan maka δtf bernilai sebarang, oleh sebab itu untuk sistem ini yaitu: [(H + S S ) + (( ) λ (t ))θ (t )]tf = 0 t x

17 Prinsip Minimum Pontryagin (Lanjutan) Sistem dengan waktu akhir dan state pada waktu akhir tidak ditentukan keduanya, dengan state pada waktu akhir dan waktu akhir tidak berhubungan. Karena tf dan x (tf ) tidak berhubungan maka δtf dan δxf juga tidak berhubungan, batas untuk sistem ini yaitu: (H + (( S )tf = 0 t S ) λ (t ))t f = 0 x

18 A. Formula Kendali Optimal x 1 (t ) = x 2 (t ) = dx1 (t ) dt dx2 (t ) dt = u1 (t )x1 (t ) β1 x1 (t )x2 (t ) = u2 (t )x2 (t ) β2 x1 (t )x2 (t ) dengan kondisi batas yang sudah ditentukan, yaitu: x1(t0) = 0.05 x2(t0) = 0.95 tf = free t0 = 0 x1(tf ) = 0.5 x2(tf ) = 0.5

19 (Lanjutan) dan fungsi tujuan sebagai berikut: J (u ) = 1 2 Z tf t0 {q1 u12 + q2 u22 }dt

20 (Lanjutan) B. Penyelesaian Kendali Optimal B.1. Fungsi Hamiltonian H = 1 1 Q1 u12 (t ) + Q2 u22 (t ) 2 2 +λ1 (t )u1 (t )x1 (t ) β1 λ1 (t )x1 (t )x2 (t ) +λ2 (t )u2 (t )x2 (t ) β2 λ2 (t )x1 (t )x2 (t )

21 (Lanjutan) B.ii. Menentukan u H =0 u (t ) didapatkan: λ1 (t )x1 (t ) u1 = q1 λ ( t )x2 (t ) 2 u2 = q2 dengan u (t ) [ 1, 1] kemudian hasil tersebut disubtitusikan ke dalam hamiltonian, untuk mendapatkan fungsi Hamiltonian yang Optimal (H ).

22 (Lanjutan) H = λ21 (t )x12 (t ) 2Q1 2 λ2 (t )x22 (t ) 2Q2 β1 λ1 (t )x1 (t )x2 (t )) β2 λ2 (t )x1 (t )x2 (t ))

23 (Lanjutan) B.iii. Menentukan State dan Costate x1 (t ) = H λ1 (t )x12 (t ) = β1 x1 (t )x2 (t ) λ1 (t ) Q1 x2 (t ) = H λ2 (t )x22 (t ) = β2 x1 (t )x2 (t ) λ2 (t ) Q2

24 (Lanjutan) H λ 1 (t ) = x1 (t ) = β1 λ1 (t )x2 (t ) +β2 λ2 (t )x2 (t ) + 2λ21 (t )x1 (t ) Q1 H λ 2 (t ) = x2(t ) = β1 λ1 (t )x1 (t ) +β2 λ2 (t )x1 (t ) + 2λ2 12 (t )x2 (t ) Q2

25 (Lanjutan) B.iv. Menentukan Kondisi Tranversalitas S (H + )tf = 0 t dengan S adalah mayer dari fungsi tujuan, yaitu: S=0 daidapatkan: ( x12 (tf ) 2Q1 )λ21 (tf ) ( x22 (tf ) 2Q2 )λ22 (tf ) (β1 x1 (tf )x2 (tf ))λ1 (tf ) (β2 x1 (t )x2 (t ))λ2 (tf ) = 0

26 (Lanjutan) C. Hasil Simulasi Hasil Simulasi a tingkat produksi sumber energi terbarukan tanpa pengendalian Gambar: Tingkat produksi energi terbarukan tanpa pengendalian

27 (Lanjutan) Hasil Simulasi b tingkat produksi sumber energi tidak terbarukan tanpa pengendalian. Gambar: Tingkat produksi energi tidak terbarukan tanpa pengendalian

28 (Lanjutan) Hasil Simulasi c tingkat produksi sumber energi terbarukan dengan pengendalian. Gambar: Tingkat produksi energi terbarukan dengan pengendalian

29 (Lanjutan) Hasil Simulasi d tingkat produksi sumber energi terbarukan dengan pengendalian. Gambar: tingkat produksi energi tidak terbarukan dengan pengendalian

30 Kesimpulan: Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah disajikan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa dengan menerapkan PMP (Prinsip Minimum Pontryagin) diperoleh pengendali optimal dalam produksi sumber energi terbarukan dengan nilai awal produksi sebesar 0.05 (5%) dan produksi sumber energi tidak terbarukan dengan nilai produksi awal 0.95% dan nilai produksi di akhir masing masing sebesar 50% adalah selama tahun.

31 Agustiawan,K Indonesia dan Ketahanan Energi 5 Februari 2014 Taslima Kendali Optimal Pada Pencegahan Wabah Flu Burung Dengan Eliminasi, Karantina Dan Pengobatan Paper jurusan Matematika UNY, 2011 David, dkk Penggunaan Bahan Bakar Nabati Biosolar dan Tanaman Jarak Rak Pengganti Bahan Bakar Fosil Solar 5 Februari 2014

32 (Lanjutan) (Lanjutan) Hujui Sumber energi 6 Februari 2014 Farhadian Febri Menghadapi krisis energi (Fosil Fuel) di Indonesia 6 Februari 2014 Miah,M.S Optimum Policy for Integration of Renewable energy sources into the power Generation System helsevier. Energy Economics pp:

33 (Lanjutan) (Lanjutan) Irma F Kendali Optimal dalam Produksi Sumber Energi Terbarukan dan Tidak Terbarukan Paper Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Surabaya Naidu,D.S Optimal Control System CRC PRESS, New York, 2002 Perpres Peraturan presiden republik Indonesia Jakarta, 2006