19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b"

Transkripsi

1 PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang paling sederana adala bilangan asli yaitu... Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat mengitung banyaknya buku yang kita miliki kendaraan yang melalui suatu jalan orang-orang yang berada dalam suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi N { 4 } Jika di dalam impunan semua bilangan asli kita tambakan semua negatifnya dan nol maka diperole bilangan-bilangan bulat yaitu 0 Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. Jadi Z { 0 } Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang berat dan arus listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Dalam al ini bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup. Untuk keperluan ini maka dapat digunakan bilangan-bilangan rasional seperti dan didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b a 7. Bilangan rasional 8 dengan a dan b keduanya bilangan bulat dan b 0. Dengan demikian bilangan-bilangan bulat termasuk bilangan rasional juga. Bilangan bulat merupakan bilangan rasional sebab dapat ditulis sebagai 6. Himpunan semua bilangan rasional biasa dinotasikan dengan Q. Jadi Q { b a a Z b Z b 0} Bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup ternyata masi tidak dapat menjadi ukuran semua besaran misalnya panjang sisi miring segitiga siku-siku berikut.

2 Gambar Dengan menggunakan bilangan irrasional maka al tersebut di atas tidak menjadi masala. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adala. Bilangan irrasional yang lain antara lain 5 7 e dan π. Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol bilangan-bilangan real bilangan nyata. Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Hubungan keempat impunan N Z Q dan R dapat dinyatakan dengan N Z Q R dan digambarkan dengan diagram venn berikut. R Q Z N Gambar Masi terdapat sistem bilangan yang lebi luas dari system bilangan real yaitu bilangan yang secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk a b dengan a dan b keduanya bilangan bulat atau a bi dengan i. Bilangan demikian dinamakan bilangan kompleks dan impunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan C.

3 Dalam buku ini bilangan kompleks tidak dibicarakan lebi lanjut. Jadi apabila dalam buku ini disebutkan suatu bilangan tanpa keterangan apapun dimaksudkan adala bilangan real.. Operasi Bilangan Pada R tela dikenal operasi penjumlaan dan perkalian. Misalkan dan y bilangan real maka penjumlaan dan y ditulis y dan perkalian dan y ditulis. y atau secara singkat ditulis y. Sifat-sifat operasi penjumlaan dan perkalian pada R adala sebagai berikut. Hukum komutatif: y y dan y y. Hukum asosiatif: y z y z dan yz yz. Hukum distributif: y z y z. 4 Elemen-elemen identitas: Teradap penjumlaan: 0 sebab 0. Teradap perkalian: sebab.. 5 Invers balikan: Setiap bilangan real mempunyai invers aditif disebut juga negatif yang memenui 0 dan setiap bilangan real yang tidak nol mempunyai invers multiplikatif disebut juga balikan yaitu yang memenui.. Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan y y dan. y y. Urutan Bilangan-bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua impunan terpisa yaitu bilangan-bilangan real positif dan bilangan-bilangan real negatif. Berdasarkan fakta ini diperkenalkan relasi urutan < dibaca kurang dari yang didefinisikan dengan: < y jika dan anya jika y positif. < y mempunyai arti yang sama dengan y >.

4 Sifat-sifat urutan: Trikotomi: Jika dan y bilangan-bilangan real maka pasti berlaku sala satu di antara yang berikut: < y atau y atau > y. Transitif: jika < y dan y < z maka < z. Penambaan: < y z < y z 4 Perkalian: Jika z positif maka < y z < yz Jika z negatif maka < y z > yz Relasi urutan dibaca kurang dari atau sama dengan didefinisikan dengan: y jika dan anya jika y positif atau nol. Sifat-sifat ini adala: Transitif: jika y dan y z maka z. Penambaan: y z y z Perkalian: Jika z positif maka y z yz Jika z negatif maka y z yz.4. Pertidaksamaan Pertidaksamaan merupakan kaat terbuka yang menggunakan relasi < > atau. Penyelesaian suatu pertidaksamaan adala semua bilangan yang memenui pertidaksamaan tersebut yang biasanya merupakan interval atau gabungan intervalinterval. Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut. Interval terbuka ab adala impunan semua bilangan real yang lebi besar dari a dan kurang dari b. Jadi ab { a < < b}. Sedangkan interval tertutup [ab] adala impunan semua bilangan real yang lebi besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi [ab] { a b}. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut. 4

5 Penulisan Interval Penulisan Himpunan Dalam Garis Bilangan a b { a < < b} [a b] { a b} [a b { a < b} a b] { a < b} b { < b} b] { b} a { > a} [a { a} R a a a a a a a a b b b b b b b b Conto Pertidaksamaan 7 < < 4 6 < 0 4 > Conto Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 7 < 4. 7 < 4 < 4 5 < 5 > 5 5 Hp: interval { > 5 } 5

6 Conto Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 5 6 < < 4 < < Hp: interval [ { < } Conto Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan 6 < 0. 6 < 0 < 0 Hp: interval { < < } Conto 4 Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan > 0 > 0 > 0 Hp: interval { < atau > } Conto 5 5 Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan

7 0 0 dengan syarat mengapa? Hp: interval ] { < }.5 Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Ole karena pembaca yang ingin memaami betul konsep-konsep dalam kalkulus disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak. Definisi: Nilai mutlak bilangan real ditulis didefinisikan dengan jika 0 jika < 0 Misal: Sifat-sifat nilai mutlak ab a b a b a b a b a b ketidaksamaan segitiga 4 a b a b Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat digunakan teorema berikut. 7

8 Teorema:. < a a < < a. > a < a atau > a. Secara fisis dapat menyatakan jarak ke 0 seingga yang memenui < a menyatakan yang jaraknya ke 0 kurang dari a. Secara fisis c dapat menyatakan jarak ke c seingga yang memenui c < a menyatakan yang jaraknya ke c kurang dari a a a 448 a 0 a 64 7 a a 448 a c a Conto Tentukan penyelesaian <. Nilai yang memenui < < merupakan penyelesaian pertidaksamaan <. Gambarkan penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan. Conto Tentukan penyelesaian pertidaksamaan <. < < < < < < < 5 Jadi penyelesaiannya adala yang memenui < < 5. Gambarkan pada garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini. 8

9 Conto Tentukan penyelesaian pertidaksamaan atau 5 4 atau 6 4 atau Jadi penyelesaiannya adala yang memenui 4 atau. Gambarkan pada garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini. Conto 4 Andaikan ε epsilon adala bilangan positif. Tunjukkan bawa ε < 5 < ε 5 ε < 5 0 < ε. 5 5 < ε < ε < ε Conto 5 Andaikan ε epsilon adala bilangan positif carila bilangan positif δ sedemikian seingga < δ 6 8 < ε 6 8 < ε 6 < ε 6 < ε 6 < ε ε < 6 Ole karena itu dapat dipili δ 6 ε. 9

10 Secara mundur dapat diliat bawa < δ 6 8 < ε. Terkait dengan bilangan akar pangkat dua dapat dinyatakan bawa SOAL Tentukan impunan penyelesaian pertidaksamaan berikut dan gambarkan impunan penyelesaiannya pada garis bilangan < < < > < > < <. < 4 7. < 4 9 <. 4 < 8 8. < 5 < < > > > > 0. > 6. 0

11 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI. Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebua fungsi f dari impunan A ke impunan B adala suatu aturan yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut domain daera asal fungsi f dan B disebut kodomain daera kawan. Sedangkan impunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range daera asil. f A B Gambar. Fungsi Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa impunan yang beranggotakan orang atau yang lain demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada impunan-impunan bilangan real. Untuk memberi nama fungsi digunakan uruf tunggal seperti f atau g atau F maka f menunjukkan nilai yang diberikan ole f kepada. Jadi jika f 4 maka

12 f 4 4 f 4 5 fa a 4 fa a 4 a a a 4 Conto Untuk f carila dan sederanakan: a. f4 b. f4 c. f4 f4 f 4 f 4 d. dengan 0. Conto Untuk f dengan daera asal { 0 } carila daera asil fungsi f.

13 Bilamana untuk sebua fungsi daera asalnya tidak dirinci maka dianggap daera asal fungsi tersebut adala impunan bilangan real seingga aturan fungsinya bermakna dan memberikan nilai bilangan real. Conto a. Daera asal f adala { R }. b. Daera asal gt 9 t adala {t R 9 t 0}. Apabila daera asal dan daera asil sebua fungsi merupakan impunan bilangan real kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat dan grafik fungsi f adala grafik dari persamaan y f. Conto 4 Buatla sketsa grafik dari: a f 4 b g c

14 . Operasi pada Fungsi Jika f dan g dua fungsi maka jumla f g selisi f g asil kali fg asil bagi f/g dan perpangkatan f n adala fungsi-fungsi dengan daera asal berupa irisan dari daera asal f dan daera asal g dan dirumuskan sebagai berikut. f g f g f g f g f g f g f f / g asalkan g 0 g Conto 5 Jika f dan g tentukan f g f g fg f/g dan f. Selanjutnya gambarla sketsa grafiknya. 4

15 Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut. Jika f dan g dua fungsi dengan daera asal g merupakan daera asil f maka komposisi g o f memenui g o f g f Conto 6 Jika f dan g tentukan g o f dan f o g. Selanjutnya gambarla sketsa grafiknya. g o f g f g f o g f g f 4 Gambar grrafik dibiarkan untuk latian.. Pengertian Limit Perkataan it berarti mendekati seperti Saya suda menaan sampai mendekati batas kesabaran saya atau Janganla kamu mendekati zina. Untuk memaami pengertian it fungsi kita awali dengan fungsi berikut. f Fungsi tersebut tidak terdefinisi di sebab di titik ini f berbentuk 00. Tetapi dapat diselidiki mengenai nilai f di titik-titik yang dekat dengan mendekati. Peratikan nilai f untuk beberapa seperti terliat pada daftar dan grafik y f dapat diliat pada gambar berikut. 5

16 y f ? Gambar. Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bawa f mendekati apabila mendekati. Secara matematis al tersebut dituliskan dengan dan ini dibaca it / untuk mendekati adala. Dalam conto ini kita mengubungkan it dengan perilaku fungsi dekat dengan bukannya di. 6

17 .4 Teorema Limit Teorema.4. Misalkan n bilangan bulat positif k konstanta serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai it di c maka: k k c c c kf k f c c 4 [ f g] f g c c c 5 [ f g] f g c c c 6 [ f.g] f. g c c c 7 8 f f c asalkan g 0 g g c c n f n f [ ] c c 9 n n c c c f f asalkan f > 0 untuk n bilangan genap. c Bukti teorema.4. ini dibiarkan untuk latian. Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai it suatu fungsi akan menjadi lebi muda. Conto 6 Carila teorema.. 5 teorema teorema

18 Conto 7 Carila teorema teorema.. 5. Conto 8 Carila teorema teorema.. dan 9 5 dari conto 7. 5 Ingat bentuk polinom disebut fungsi rasional Teorema.4. f a a a... a 0 a a a... a 0 b b b... b 0 Jika f fungsi polinom maka f fc c n n disebut polinom dan asil bagi Jika f fungsi rasional maka f fc asalkan nilai penyebut di c tidak nol. c n m n m. Teorema.4. ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema.4.. Dengan adanya teorma.4. maka penentuan nilai it fungsi polinom atau fungsi rasional menjadi sangat muda tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut untuk fungsi rasional dipenui. 8

19 Conto 9 5 Tentukan Conto 0 Tentukan Conto 7 Tentukan 7 Teorema.4. tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di adala nol dan teorema.4. bagian 7 juga tidak dapat dugunakan karena it penyebut nol. Tetapi karena it pembilang maka selama mendekati terjadi pembagian bilangan yang dekat dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adala sebua bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekeendak kita dengan membiarkan cukup dekat dengan. Dalam al ini dikatakan itnya tidak ada. Conto seperti ini akan diuraikan lebi lanjut pada bagian lain. Conto 0 Tentukan 6 Sebelum mencoba mengambil itnya terlebi daulu diadakan penyederanaan pecaan dengan faktorisasi

20 SOAL. Untuk fungsi f itungla masing-masing nilai a. f c. f b. f 6 d. f t. Untuk fungsi gt itungla masing-masing nilai t a. f c. f 4 b. f9 d. f 4. Gambarla grafik fungsi 4 a. f b. > g 0 0 < < 4. Jika f dan g tentukan: a. f g d. f / g b. f g e. g o f c. f g f. f o g 5. Jika f dan g tentukan: a. f g d. f o g b. f / g e. f 4 g 4 c. g o f Dalam soal nomor 6 0 buktikan it-it tersebut

21 . Buktikan bawa jika f L dan f M maka L M. c. Misalkan F dan G adala fungsi-fungsi sedemikian seingga 0 F G untuk semua dekat dengan c kecuali mungkin di c buktikan bawa jika G 0 maka F 0. c c Untuk soal-soal berikut no. s.d. 0 tentukan nilai it fungsi berikut. 7 4 c u u u u 4 t 7t 7 t t 4t 5 w w w 6 w 4w 4 w 0. y y y y y y

22 .5 Limit Kiri dan Limit Kanan Definisi Limit f untuk mendekati c dari kiri adala L ditulis f L c jika untuk setiap bilangan ε > 0 betapapun kecilnya terdapat bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ maka berlaku f L < ε. Limit f untuk mendekati c dari kanan adala L ditulis f L c jika untuk setiap bilangan ε > 0 betapapun kecilnya terdapat bilangan δ > 0 sedemikian seingga apabila 0 < c < δ maka berlaku f L < ε. Teorema.5. f L jika dan anya jika f f L c c c Conto 4 f < Tentukan f f dan f selanjutnya gambarkan grafik fungsi f. f f Karena f f maka f.

23 Conto 5 g Tentukan g g dan g < selanjutnya gambarkan grafik fungsi g Tentukan g g dan g selanjutnya gambarkan grafik fungsi f. g g Karena g g maka g tidak ada..6 Limit Tak Hingga Conto 6 Carila 0 jika ada. ± ± 05 4 ± 0 5 ± 0 00 ± ± ± bilangan seingga tidak ada. 0 Untuk menunjukkan jenis perilaku seperti uang ditunjukkan dalam conto ini kita gunakan notasi Semakin mendekati 0 juga semakin dekat dengan 0 dan nilai menjadi sangat besar liat tabel di samping. Nampak dari grafik fungsi f yang diperliatkan pada gambar.4 bawa nilai f dapat dibuat sangat besar dengan mengambil cukup dekat ke 0. dengan demikian nilai f tidak mendekati suatu

24 0 Hal ini tidak berarti bawa kita menganggap sebagai suatu bilangan. Tidak juga bermakna bawa it tersebut ada. Notasi tersebut anyala menyatakan cara kusus untuk menunjukkan bawa it tersebut tidak ada. Secara umum kita tuliskan f c untuk menunjukkan nilai f menjadi semakin besar ketika semakin mendekati c. Limit jenis serupa untuk fungsi yang menjadi negatif tak beringga ketika mendekati c dituliskan dengan f c Conto 7 0 Hal ini juga dapat diberlakukan untuk it kiri dan it kanan f f c c f f c c Sebua garis c disebut asimtot tegak kurfa y f jika paling sedikit sala satu dari pernyataan berikut benar: f f f c c c c f f f c Sebagai conto sumbu Y atau 0 merupakan asimtot tegak kurva y karena 0. c 4

25 Conto 8 Hitungla π tan dan π tan tan π tan π sin cos π sin cos π sin π π π π cos sin cos.7 Kekontinuan Fungsi Definisi Misalkan f : A R suatu fungsi maka a. Fungsi f dikatakan kontinu di c A jika f f c b. Fungsi f dikatakan kontinu pada impunan A jika f kontinu disetiap anggota A. c Definisi a mengandung arti bawa f dikatakan kontinu di c A jika dipenui ketiga syarat berikut: f ada c Nilai fc ada f f c c 5

26 Conto 9 4. f Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. f f ada 4 Karena f f maka f tidak kontinu di. 4 ada Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada pembaca. 4. f Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. f 4 f tidak ada Karena f tidak ada maka f tidak kontinu di. Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada pembaca. 4 ada 4. f 4 Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. 6

27 f f 4 ada 4 Karena f f maka f kontinu di. 4 ada Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada maasiswa. 4. f < Apaka f kontinu di? Gambarkan grafik fungsi f. f f Karena f f maka f ada Liat kembali conto 4. f ada Karena f f maka f kontinu di. Gambarkan grafik fungsi f diserakan kepada maasiswa. 5. g < Apaka g kontinu di? Gambarkan grafik fungsi g. g g 7

28 Karena maka tidak ada. g g g liat kembali conto 5 Karena tidak ada maka g g tidak kontinu di SOAL. Tentukan it sepiak berikut: a. 0 b. 0 c. > < 0 0 f 0 f dan 0 f f f. Apaka fungsi-fungsi berikut kontinu di? a. t 8 t t t t 8

29 b. t 8 4 t t t t c. g < d. f > 4. f > < 0 0 a. Apaka f kontinu di 0? b. Apaka f kontinu di? 4. > < 0 0 g a. Apaka g kontinu di 0? b. Apaka g kontinu di? 9

30 TURUNAN FUNGSI. Pengertian Turunan Fungsi Definisi Turunan fungsi f adala fungsi f yang nilainya di c adala f c f c f c 0 asalkan it ini ada. Conto Jika f 4 maka turunan f di adala f f f Jika f mempunyai turunan di setiap anggota domain maka f f f 0 dy Jika y f turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y atau atau f atau d df d 0

31 Conto Jika f 4 maka turunan f di sembarang adala f f f Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat. Jika f k dengan k konstan untuk setiap f fungsi konstan maka f 0. Bukti: f f f 0 k k 0 0. Jika f untuk setiap f fungsi identitas maka f. Bukti: f f f Jika f n dengan n bilangan bulat positif untuk setiap maka f n n. Bukti: f f f 0 n n 0

32 0 n n n 0 n n n n n n n n... n... n n n n n n n n n n n... n 0 n 0 n n n n n Conto Jika f 5 maka turunan f adala f 5 4. Sifat-sifat Turunan Jika k suatu konstanta f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan u dan v fungsifungsi dalam seingga u f dan v g maka berlaku:. Jika y ku maka y ku. Jika y u v maka y u v. Jika y u v maka y u v 4. Jika y u v maka y u v u v 5. Jika y v u u ' v uv ' maka y v Conto 4. Jika f 5 maka f Jika f 5 maka f 5 4. Jika f 5 maka f Jika f maka f Jika f maka f

33 6. Jika f p dengan p bilangan bulat negatif maka f n dengan n p seingga f n 0.. n f n n n n n p p n n n n u n. Dengan menggunakan turunan y diperole v n.4 Aturan Rantai untuk Turunan Fungsi Komposisi Untuk menentukan turunan y dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor kemudian mencari turunan polinom berderajat 6 tentula sangat melelakan. Cara yang muda untuk menentukan turunan y adala dengan menggunakan aturan rantai. Aturan Rantai Misalkan y fu dan u g menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan dengan y fg f o g. Jika g terdiferensialkan di dan f terdiferensialkan di u g maka y f o g terdiferensialkan di dan atau y f o g f g g dy d dy du du d Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi fungsi 4 fungsi dan seterusnya. Jika y fu u gv v yakni y f o g o maka dy d dy du du dv dv d

34 Conto 5 Tentukan turunan y Misalkan u 4 du d y u 9 dy 9u 8. du dy dy du 9u 8 7 d du d Turunan Fungsi Invers Misalkan y f dan f mempunyai invers f seingga f y. Dengan menggunakan aturan rantai pada f y diperole d df y d dy d dy d dy dy d dy d dy d.6 Turunan Fungsi Implisit Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f y 0 dengan y sebagai fungsí dalam. Conto fungsi implisit: y 8 0 y 7y 0 Conto 6 dy. Tentukan dari fungsí yang dirumuskan dengan y 8 0 d Apabila kedua ruas y 8 0 diturunkan teradap maka diperole: 4

35 dy 6 0 d dy 6 d dy. Tentukan dari fungsí yang dirumuskan dengan y 7y 0 d Apabila kedua ruas y 7y 0 diturunkan teradap maka diperole: 6 y dy dy 7 0 d d dy 7 6 y d dy 6 y d 7.7 Turunan Tingkat Tinggi Jika fungsi diturunkan maka turunannya yaitu f juga berupa fungsi seingga bole jadi f mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan ole f f. Fungsi yang f baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f. Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y f sebagai Notasi lain adala f D f d d dy d y d d Conto 7 Jika f tentukan f. f 7 untuk mencari f kita turunkan f : d f 7 d 6 Conto 8 Jika f tentukan f. 5

36 f d d d 4 7 d d f [ ] d d [5 4 d 4 7] [ 5 4] d d d 4 4 d d d d d 5 5 d 4 4 d

37 SOAL dy Carila untuk yang berikut d. y y. y 4 6. y. y 4. y 7. y dy Dengan aturan rantai tentukan untuk yang berikut d 8. y y y 0. y Tentukan turunan fungsí implisit berikut. y y y y 6 7. y y 0. y 4 8. y sin y 4. y cos y y 5. y 9y y y y 7

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Ole : Tony Hartono Bagio 00 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi 8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan

A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan. Turunan Fungsi Aljabar a. Mengitung Limit Fungsi yang Mengara ke Konsep Turunan Dari grafik di bawa ini, diketaui fungsi y f() pada interval k < < k +, seingga

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 10

MODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 10 SMA IPA Kelas 0 A. Relasi (Hubungan). Pengertian Dasar Hubungan (relasi) berarti arus ada dua kelompok (impunan) yang diubungkan dengan nama ubungan tersebut. Definisi Relasi Relasi (ubungan) dari impunan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut

Lebih terperinci

LEMBAR KERJA MAHASISWA MATEMATIKA

LEMBAR KERJA MAHASISWA MATEMATIKA LEMBAR KERJA MAHASISWA MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS UDAYANA 05 LEMBAR KERJA MAHASISWA MATA KULIAH: MATEMATIKA Disusun ole: Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si., M.Si. Lu Putu

Lebih terperinci

Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri 7 Limit Fungsi Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Mengitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri Cobala kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan

65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan Galeri Soal Soal dengan Pembaasan, Soal Latian Dirangkum Ole: Anang Wibowo, SPd April MatikZone s Series Email : matikzone@gmailcom Blog : HP : 8 8 8 Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengkutip

Lebih terperinci

Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri 7 di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat untuk Mengitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri Cobala kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebua tempat dengan genggaman sebanyak

Lebih terperinci

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya . Tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tertutup [, 5] untuk fungsi f(x) x + 9 x. 4. Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk

Lebih terperinci

TURUNAN KE-n HASIL KALI FUNGSI

TURUNAN KE-n HASIL KALI FUNGSI TURUNAN KE-n HASIL KALI FUNGSI Disusun Ole : H A M Z A H, S.Pd. NIP.98408 00 007 MADRASAH ALIYAH NEGERI PURBALINGGA KEMENTERIAN AGAMA REPUBLIK INDONESIA 05 KATA PENGANTAR Puji dan syukur senantiasa kita

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )

4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba menjadi garis ggung

Lebih terperinci

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1 4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba

Lebih terperinci

Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f

Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +

Lebih terperinci

Kalkulus 1 MA1104 TURUNAN. Dr. I W. Sudarsana. Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako

Kalkulus 1 MA1104 TURUNAN. Dr. I W. Sudarsana. Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako Kalkulus MA04 TURUNAN Dr. I W. Sudarsana Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetauan Alam Universitas Tadulako 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. 1. Turunan Fungsi

TURUNAN FUNGSI. 1. Turunan Fungsi TURUNAN FUNGSI. Turunan Fungsi Turunan fungsi f disembarang titik dilambangkan dengan f () dengan definisi f ( ) f ( ) f (). Proses mencari f dari f disebut penurunan; dikatakan bawa f diturunkan untuk

Lebih terperinci

Galeri Soal. Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd

Galeri Soal. Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd Galeri Soal Dirangkum Ole: Anang Wibowo, SPd April Semoga sedikit conto soal-soal ini dapat membantu siswa dalam mempelajari Matematika kususnya Bab Limit Kami mengusaakan agar soal-soal yang kami baas

Lebih terperinci

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi

Lebih terperinci

MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA)

MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA) MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) Muammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN Bone-Bone Luwu Utara Sulsel ttp://meetabied.wordpress.com PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

KALKULUS. Laporan Ini Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc. Disusun Oleh :

KALKULUS. Laporan Ini Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc. Disusun Oleh : KALKULUS Laporan Ini Disusun Untuk Memenui Mata Kulia KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc Disusun Ole : 1. Anggit Sutama 14144100107 2. Andi Novantoro 14144100111 3. Diya Elvi Riana

Lebih terperinci

3.1 Pengertian Turunan Fungsi. 10/11/2017 Prepared by : Rachmat Suryadi

3.1 Pengertian Turunan Fungsi. 10/11/2017 Prepared by : Rachmat Suryadi TURUNAN FUNGSI . Pengertian Turunan Fungsi 0//07 Prepared by : Racmat Suryadi 0//07 Prepared by : Racmat Suryadi 0//07 Prepared by : Racmat Suryadi 0//07 Prepared by : Racmat Suryadi 0//07 Prepared by

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Matematika ITB Tahun 1975

Matematika ITB Tahun 1975 Matematika ITB Taun 975 ITB-75-0 + 5 6 tidak tau ITB-75-0 Nilai-nilai yang memenui ketidaksamaan kuadrat 5 7 0 atau atau 0 < ITB-75-0 Persamaan garis yang melalui A(,) dan tegak lurus garis + y = 0 + y

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real EXPERT COURSE. #bimbelnyamahasiswa

Sistem Bilangan Real EXPERT COURSE. #bimbelnyamahasiswa Sistem Bilangan Real EXPERT COURSE #bimbelnyamahasiswa Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS

STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS KALKULUS 018 Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si PUTRI WILANDARI Z., S.TP., M.Si PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS DESKRIPSI SINGKAT MATA

Lebih terperinci

Newton, Leibniz, dan Kalkulus.

Newton, Leibniz, dan Kalkulus. Bab 1 LIMIT Newton, Leibniz, dan Kalkulus www.calculusbook.net 1.1 Pengantar Limit Kenapa Limit Penting? Misalkan suatu objek selalu bergerak maju, dengan s(t) adalah posisi pada saat t. Kecepatan rata-rata

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN RENCN PELKSNN PEMBELJRN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IP/ lokasi Waktu: 8 jam Pelajaran (4 Pertemuan). Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam

Lebih terperinci

2.1 Fungsi dan Grafiknya

2.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI DAN LIMIT 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Fungsi Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Ri l

Sistem Bilangan Ri l Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil. Kalkulus 1 MA1104. Dr. I W. Sudarsana

Sistem Bilangan Riil. Kalkulus 1 MA1104. Dr. I W. Sudarsana Kalkulus 1 MA1104 Sistem Bilangan Riil Dr. I W. Sudarsana Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Q : q R a b, a, b Z, b Q Irasional Contoh Bil Irasional,, 0

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

BAB 2 Sistem Bilangan Riil

BAB 2 Sistem Bilangan Riil BAB Sistem Bilangan Riil Bilangan Riil Himpunan bilangan riil adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional Himpunan bilangan rasional,

Lebih terperinci

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

Disarikan dari Malatuni Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi

Disarikan dari Malatuni Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi Disarikan dari Malatuni 7 Topik Baasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi y f Ditulis: f L L X Amati ara terbang dua ekor burung menuju sangkar dari ara yang berbeda. Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis

Lebih terperinci

untuk i = 0, 1, 2,..., n

untuk i = 0, 1, 2,..., n RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK INTERPOLASI POLINOMIAL DAN TURUNAN NUMERIK 1. Interpolasi linear a. Interpolasi Polinomial Lagrange Suatu fungsi f dapat di interpolasikan ke dalam bentuk interpolasi

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

MATEMATIKA I (FIS 6111, Wajib, 3 SKS)

MATEMATIKA I (FIS 6111, Wajib, 3 SKS) MATEMATIKA I (FIS 6111, Wajib, 3 SKS) Kompetensi Umum Sistem bilangan real, fungsi, barisan dan deret bilangan real, Limit dan keontinuan, turunan dan penggunaannya, interpretasi derivatif. Teorema Rolle,

Lebih terperinci

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1 4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Sinun Kemirinan tali busur PQ adala : m PQ Jika à, maka tali busur PQ akan beruba menjadi

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5 TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a

Lebih terperinci

Bagian 3 Differensiasi

Bagian 3 Differensiasi Bagian Differensiasi Bagian Differensiasi berisi materi tentang penerapan konsep limit untuk mengitung turunan an berbagai teknik ifferensial. Paa penerapan konsep limit, Ana akan iperkenalkan engan konsep

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

TURUNAN / DIFERENSIAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN / DIFERENSIAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL TURUNAN / DIFERENSIAL 4. Devinisi Turunan Derivati Turunan ungsi adala yang nilainya pada bilangan dan dideinisikan ole : ' lim0 untuk semua dengan limit tersebut ada. Conto Andaikan cari 4? Penyelesaian

Lebih terperinci

dapat dihampiri oleh:

dapat dihampiri oleh: BAB V PENGGUNAAN TURUNAN Setela pada bab sebelumnya kita membaas pengertian, sifat-sifat, dan rumus-rumus dasar turunan, pada bab ini kita akan membaas tentang aplikasi turunan, diantaranya untuk mengitung

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan

Lebih terperinci

1.1 SISTEM BILANGAN Sistem bilangan Bilangan Asli, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat dan Bilangan Rasional

1.1 SISTEM BILANGAN Sistem bilangan Bilangan Asli, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat dan Bilangan Rasional 1.1 SISTEM BILANGAN Sistem bilangan adalah himpunan dari bilangan-bilangan beserta sifat-sifatnya. Himpunan bilangan yang teristimewa dan penting adalah himpunan bilangan real. Tetapi apakah bilangan real

Lebih terperinci

Bab 0 Pendahuluan. MA1101 Matematika 1A Semester I Tahun 2018/2019 FMIPA (K-03) Dosen: Dr. Rinovia Simanjuntak

Bab 0 Pendahuluan. MA1101 Matematika 1A Semester I Tahun 2018/2019 FMIPA (K-03) Dosen: Dr. Rinovia Simanjuntak Bab 0 Pendahuluan MA1101 Matematika 1A Semester I Tahun 2018/2019 FMIPA (K-03) Dosen: Dr. Rinovia Simanjuntak 0.1 Bilangan Real Bilangan Real Desimal Berulang dan Tak Berulang Setiap bilangan rasional

Lebih terperinci

TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi

TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

Rangkuman Materi dan Soal-soal

Rangkuman Materi dan Soal-soal Rangkuman Materi dan Soal-soal Dirangkum Ole: Anang Wibowo, S.Pd matikzone@gmail.com / www.matikzone.co.cc Rangkuman Materi dan Conto Soal. Definisi dy df Turunan dari fungsi y f ( adala y ' f '( ( y'

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

BAB 5 DIFFERENSIASI NUMERIK

BAB 5 DIFFERENSIASI NUMERIK BAB 5 DIFFERENSIASI NUMERIK 5.1. Permasalaan Differensiasi Numerik Sala satu peritungan kalkulus yang banyak digunakan adala differensial, dimana differensial ini banyak digunakan untuk keperluan peritungan

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

SUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI

SUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 009 SUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI Suciati

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

A B A B. ( a ) ( b )

A B A B. ( a ) ( b ) BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 13 September 2013

Hendra Gunawan. 13 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2 Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa

Lebih terperinci

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,

Lebih terperinci

Differensiasi Numerik

Differensiasi Numerik Dierensiasi Numerik Yuliana Setiowati Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2007 1 Topik DIFFERENSIASI NUMERIK Mengapa perlu Metode Numerik? Dierensiasi dg MetNum Metode Selisi Maju Metode Selisi Tengaan

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

DEFINISI TURUNAN. dy dx

DEFINISI TURUNAN. dy dx DEFINISI TURUNAN Turunan dari y () teradap dideinisikan dengan : dy d lim ( y () ) - () Tentukan turunan dari ungsi ini ) )( ( () g. () b. (). 4 () a. () j. () e. ) ( () i. () d. (-) ) ( (). 7 () c. -5

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. Relasi dan Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari tentang topik Relasi, Fungsi dan Grafik. Pada materi relasi ini selain menggunakan istilah

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN BAB III METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adala penelitian komparasi. Kata komparasi dalam baasa inggris comparation yaitu perbandingan. Makna dari

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR 1A. Modul 3 : Limit dan Kekontinuan. Tim Matematika

MATEMATIKA DASAR 1A. Modul 3 : Limit dan Kekontinuan. Tim Matematika MATEMATIKA DASAR A Modul : Tim Matematika TAHAP PERSIAPAN BERSAMA INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA - LAMPUNG SELATAN 8 PENDAHULUAN Modul ini berisikan konsep dasar dalam mempelajari Matematika Dasar Kalkulus.

Lebih terperinci

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x) II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya

Lebih terperinci

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal

Lebih terperinci

BAB III STRATIFIED CLUSTER SAMPLING

BAB III STRATIFIED CLUSTER SAMPLING BAB III STRATIFIED CUSTER SAMPING 3.1 Pengertian Stratified Cluster Sampling Proses memprediksi asil quick count sangat dipengarui ole pemilian sampel yang dilakukan dengan metode sampling tertentu. Sampel

Lebih terperinci